第11讲 弃九法（讲义）-2026-2027学年四年级上册数学人教版

【人教版】四年级上册奥数培优讲义・第11讲 弃九法教学目标与学情分析 三维教学目标 · 知识与技能： · 了解弃九法的发展历史；理解“九余数”定义，熟练掌握利用弃九法快速求一个数除以 9 的余数；掌握利用弃九法验算加、减、乘、除四则运算。 · 过程与方法： · 通过划去和为 9 或 9 的倍数的数字简化运算，培养观察简化、快速验算的数感；深刻理解弃九法验算的局限性。 · 情感态度与价值观： · 感受跨越千年的古代数学智慧，体会数字运算简化技巧，养成计算后验算的严谨习惯。 教学重难点 · 重点： · 弃九法求九余数；利用弃九法验算加、减、乘运算。 · 难点： · 多位数连续拼接类题型求九余数；理解弃九法“只能判错、不能百分百判对”的原理；除法转化为乘法进行验算。 前言 华罗庚说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。” 今天我们学习弃九法——一套拥有千年历史、古人用于快速验算的数论实用工具。它承接了上一讲《数的整除特征》中关于 9 的整除规律。本讲义分为七大板块，旨在帮助同学们读懂古人的数学巧思，熟练划数简化技巧，快速求九余数，高效检验计算对错！ 一、知识点总结 （一）弃九法历史背景 将和为9或9的倍数的数字划掉，用剩下的数字和求除以9的余数的方法，叫做弃九法。弃九法是古代为手工计算发明的快速验算工具，发展脉络清晰： 1. 成文记载：公元 952 年，阿拉伯数学家乌格里迪西在《印度算术之书》中完整记载了弃九法，是现存最早系统讲解该方法的古籍。其基本原理可能源自更早的印度或波斯地区的数学传统。 2. 向外传播：13 世纪，斐波那契《计算之书》将弃九法传入欧洲，成为欧洲商人、数学家通用的验算手段。 3. 传入中国：明末随西方算术译本传入，广泛用于民间珠算、笔算验算。 4. 延伸发展：后世数学家仿照思路，创造出适合六十进制的“弃五十九法”，用于高精度圆周率计算。 （二）基础原理回顾 · 若一个数的所有数位数字之和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除。 · 若数字和 余 ，则原数 的余数也为 。这个余数叫做九余数。 · 缺点：当数位极多时，全部相加计算繁琐，因此引入弃九法简化运算。 （三）弃九法定义 计算一个数的九余数时，直接划掉任意相加等于 9 或 9 的倍数的数字，无需全部求和，只用剩余数字相加再取余数，这种简化方法叫弃九法。 · 核心技巧：遇见数字 9 直接划，能凑 9 的一组数字同步划去。 （四）四则运算弃九验算规则 设 为自然数， 代表数字 的九余数。 1. 加法： 。 · 若两边余数不等 算式一定错误；若相等 算式可能正确。 2. 减法： 。 · 若不够减，给被减数余数加 9 再减。若两边余数不等 算式一定错误。 3. 乘法： 。 · 若两边余数不等 算式一定错误。 4. 除法：无余数除法转化为乘法 ，再用弃九法验算。 （五）关键易错提示 弃九法存在局限性：它只能判定计算错误。若两边九余数相等，不能保证算式完全正确（例如数字顺序颠倒、9与0混淆等情况九余数相同），它仅为一种粗略检验手段。 二、经典例题 【例 1 多位数直接求九余数】 ★ 【题目】求多位数 除以 9 的余数。 【解题思路】使用弃九法，逐组划去相加为 9、单独数字 9，剩余数字求和取余。 完整解析： 1. 分组划去凑 9 组合： · 、 、 、 、数字 、 、 、 、 全部划掉； 2. 剩余数字：最后仅剩余末尾的数字 ； 3. 计算余数：剩余数字和为 ，因此该数除以 9 余 。 答：余数为 1。 🚀 【随堂小练】用弃九法求 除以 9 的余数。 【例 2 连续拼接大数求九余数】 ★★ 【题目】从 1、2、3…… 不间断依次写到 100，拼接成超大自然数 ，求这个数除以 9 的余数。 【解题思路】两种解法，方法一分组弃九简化；方法二高斯求和验证。 完整解析： · 方法 1：分组弃九 1. 数字总和 ，是 9 的倍数，整组全部划去； 1. 中，十位 各出现10次、个位数字 各出现9次（0不计入数字和），10×(1+2+⋯+9) 和 9×(1+2+⋯+9)，均为 9 的倍数； 1. 仅剩末尾 中的数字 ； 1. 因此大数除以 9 余 。 · 方法 2：高斯求和验证 1. 到 总和： ； 1. 对 使用弃九法： ， 弃 9 余 ； 1. 一个数与自身数字和的九余数完全相同，故大数余 。 答：除以 9 余数是 1。 🚀 【随堂小练】将 1 写到 50 拼接成数，求除以 9 余数。 【例 3 弃九法验算加法】 ★ 【题目】验算 是否正确。 完整解析： 1. 求加数九余数： · 余 ； · 余 ； · 余 ； 2. 余数相加： ，18 是 9 的倍数，余数为 ； 3. 求和的九余数：等式右侧和 弃九余 （ ）； 4. 比对：左边余 ，右边余 ，两边九余数不匹配。 答：该加法算式计算错误。 🚀 【随堂小练】验算 。 【例 4 弃九法验算减法】 ★ 【题目】验算 是否正确。 完整解析： 1. 求九余数：被减数 余 （ ），减数 余 （ ）； 2. 余数相减： ； 3. 求差的九余数：差 弃九余 （ ）； 4. 比对：左右余数相等，算式可能正确。 答：弃九检验无矛盾，计算大概率正确。 🚀 【随堂小练】验算 。 【例 5 弃九法验算乘法】 ★ 【题目】验算 是否正确。 完整解析： 1. 求因数九余数：被乘数 余 （ ），乘数 余 （ ）； 2. 余数相乘： ，24 弃 9 余 ； 3. 求积的九余数：乘积 弃九余 （ ）； 4. 比对：左边余 ，右边余 ，两边余数不一致。 答：该乘法算式计算错误。 🚀 【随堂小练】验算 。 三、拓展例题 【拓展 1 除法转化乘法验算】 ★★★ 【题目】用弃九法检验 是否正确。 【解题思路】无余数除法等价于 ，转化乘法使用弃九规则验算。 【完整解析】 1. 转换等式： ； 2. 求因数余数： 九余数 （ ）， 九余数 （ ）； 3. 余数乘积： ； 4. 求被除数余数：被除数 数字和 ，23 弃 9 余 ； 5. 比对：两边余数相等，算式可能正确。 答：弃九检验无错误。 【拓展 2 多层数字和拔高思考题】 ★★★★ 【题目】有一个 2000 位的自然数 能被 9 整除， 的各位数字之和记作 ， 的各位数字之和记作 ， 的各位数字之和记作 ，求 的值。 【完整解析】 1. 整除性质： 能被 9 整除，说明 的九余数为 0。根据性质，其各级数字和 的九余数也均为 0（即都能被 9 整除）。 2. 估算范围： · 是 2000 位数，最大为 2000 个 9，故 。 · 最大是 18000（5 位数），故 。 · 是小于等于 45 的正整数，且能被 9 整除，则 可能是 9, 18, 27, 36, 45。 · 对应的 值分别为： ； ； ； ； 。 3. 结论：无论 取何值， 均为 9。 答： 。 四、基本练习 ★ 基础 1 求各数除以 9 的余数 1. 2. 3. 4. ★ 基础 2 求算式结果除以 9 的余数 1. 2. 3. 4. ★★ 基础 3 弃九法检验计算对错 1. 2. 3. 4. (注意：此题数字明显有误，用于考察验算敏感度) 五、拓展练习 ★★★ 拔高思考题 【题目】有一个 2000 位的数 能被 9 整除， 的各位数字之和是 ， 的各位数字之和是 ， 的各位数字之和是 。求 。 六、基本练习完整分步答案 基础1. 求九余数 1. 74529：划去 、 、 ，剩余 ，余数 0。 2. 369725：划去 、 、 ，剩余 ，余数 5。 3. 2763548：划去 、 、 ，剩余 ，余数 8。 4. 123456789：全部数字均可凑 9 划去（如 ），剩余 ，余数 0。 基础2. 算式九余数 1. 余 ， 余 ， ，余数 0。 2. 余 ， 余 ， 不够减， ，余数 7。 3. 余 ， 余 ， ，余数 0。 4. 先算乘法： 余 ， 余 ，积余 ； 余 ；总和 ，余数 1。 基础3. 验算 1. 余 ， 余 ；积余 ；结果 余 。两边相等，可能正确。 2. 余 ， 余 ；积余 ；结果 余 。两边相等，可能正确。 3. 除法转乘法： 余 ， 余 ，积余 ；被除数 余 。 ，计算错误。 4. 转化乘法验算：两边余数均为6，弃九法验算通过（可能正确）。但观察可知该算式显然不成立，这正是弃九法‘只能判错、不能判对’的典型例证。 七、拓展练习完整分步答案 【题目】2000 位自然数 能被 9 整除，数字和依次为 ，求 。 解： ①整除性质： 能被 9 整除，自身及各级数字和 九余数均为 0（即都是 9 的倍数）。 ②范围界定： 最大为 2000 个 9，故 。 最大为 18000（5 位数），故 。 C 是一个不超过45且能被9整除的正整数，可能取值为 9、18、27、36、45。 分别计算𝐷： 9→9 18→1+8=9 27→2+7=9 36→3+6=9 45→4+5=9； 综上：因此无论 𝐶 取何值， 。 学科网（北京）股份有限公司 $