奥数第14讲 智取巧思——策略与对称思想（讲义）-2026-2027学年四年级上册数学人教版

【人教版】小学四年级上册奥数培优讲义・第 14 讲 智取巧思 —— 策略与对称思想 前言 教学目标与学情分析 波利亚说：解题是一种实践性技能，就像游泳、滑雪、弹钢琴一样，只能通过模仿和实践来学到它。 智取火柴是经典数学博弈游戏，看似凭运气，实则藏着严谨的数学策略。本讲重点学习逆推法与对称思想两大核心方法，破解单堆、多堆两类取物博弈问题，培养逆向思维与策略规划能力。 希望同学们找准必胜策略，巧用对称思维，成为数学博弈小高手！ 三维教学目标 · 知识与技能： · 掌握逆推法、对称思想两大核心方法；熟练解决单堆取火柴（胜 / 负两种规则）、两堆对称、三堆博弈三类经典题型。 · 过程与方法： · 学会从结果倒推必胜点，建立 "找周期、定倍数、控对称" 的解题思维；通过分类讨论，培养策略规划与逆向推理能力。 · 情感态度与价值观： · 感受数学博弈的趣味与智慧，养成 "先思考、后动手" 的解题习惯，提升逻辑分析与全局规划能力。 教学重难点 · 重点： · 逆推法找必胜点；(1+n) 倍数规律；两堆对称策略。 · 难点： · 取最后一根为负的变形规则；多堆火柴的对称构造；报数、移棋子等变形题型。 ⚠️ 【高频易错总提示】 1. 先看清规则：是 "取最后一根胜" 还是 "取最后一根输"，两类规则必胜点完全不同； 2. 每次取 1~n 根时，控制两人一轮总和为 (1+n) 根，不是 n 根； 3. 两堆对称策略：只能在一堆取，不能同时在两堆取； 4. 变形题（报数、移棋子）要先转化为取火柴模型，再套用规律，不要直接硬算。 一、知识点总结 （一）两大核心思想 1. 逆推法（本讲核心方法） 从最终结果倒着往前推，找出 "必胜点" 和 "必败点"： · 必胜点：轮到你时，处于这个位置一定能赢； · 必败点：轮到你时，无论怎么取，对方都能赢。 · 解题步骤：从最后一根开始倒推，标记必胜 / 必败点，找到循环规律。 2. 对称思想 两堆或多堆物品时，通过构造对称局面，让对方每次面临相同的选择：对方怎么取，你就在另一堆模仿怎么取，最后一根一定是你拿到。 （二）三大常考【题型】与公式 【题型】 规则 必胜策略 必胜公式 类型 1：单堆取最后胜 每次取 1~n 根，取最后一根赢 留给对方 (1+n) 的倍数根 总数 ÷(1+n)，有余数先取余数个必胜；无余数后取必胜 类型 2：单堆取最后输 每次取 1~n 根，取最后一根输 留给对方 (1+n) 的倍数 + 1 根 (总数 - 1)÷(1+n)，有余数先取余数个必胜；无余数后取必胜 类型 3：两堆对称取 两堆数量，每次任选一堆取任意根，取最后一根赢 让两堆数量始终相等 两堆不等：先取者取多的一堆，使两堆相等，之后对称模仿必胜；两堆相等：后取者必胜 （三）通用解题四步法（速记：读→转→算→验） 1. 读规则：明确每次取几根、谁取最后一根胜 / 负； 2. 转模型：把报数、移棋子等变形题转化为取火柴模型； 3. 算周期：按公式计算余数，确定先取还是后取、第一次取多少； 4. 验策略：验证每一轮都能控制总和，确保最后获胜。 二、经典例题 标注说明：★基础 / ★★提升 【例 1 单堆取最后胜・基础型】★基础 【题目】 桌子上放着 60 根火柴，甲、乙二人轮流每次取走 1～3 根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？ 【解题思路】 每次取 1~3 根，两人一轮可以控制共取 4 根（1+3=4）。留给对方 4 的倍数根，对方取几根，你就补成 4 根，必胜。 【完整解析】 1. 确定周期：1+3=4（根），每轮两人共取 4 根； 2. 计算：60÷4=15，没有余数； 3. 分析：甲先取，无法直接留给乙 4 的倍数根；乙后取，每次甲取 k 根，乙就取 (4-k) 根，乙总能把 4 的倍数根留给甲； 4. 结论：在双方都采用最佳策略的情况下，乙必胜。 答：乙将获胜。 🚀 【随堂小练】 桌上有 20 根火柴，两人轮流取 1~2 根，取最后一根胜。先取者怎么拿才能必胜？ 小练答案：先取 2 根，剩下 18 根是 3 的倍数，对方取 1 你取 2、对方取 2 你取 1，必胜。 【例 2 单堆取最后胜・变化型】★基础 【题目】 在例 1 中将 "每次取走 1～3 根" 改为 "每次取走 1～6 根"，其余不变，情形会怎样？ 【解题思路】 每次取 1~6 根，周期变为 1+6=7。计算 60 除以 7 的余数，先取者取走余数根，剩下 7 的倍数，之后每轮控制总和为 7 根，必胜。 【完整解析】 1. 确定周期：1+6=7（根）； 2. 计算：60÷7=8……4，余数是 4； 3. 策略：甲第一次取走 4 根，剩下 56 根是 7 的倍数； 4. 后续：乙取 k 根，甲就取 (7-k) 根，每轮共取 7 根，甲总能取到最后一根。 答：甲必胜，第一次取 4 根。 【例 3 单堆取最后输・变形型】★★提升 【题目】 将例 1 中 "谁取走最后一根火柴谁获胜" 改为 "谁取走最后一根火柴谁输"，其余不变，情形又将如何？ 【解题思路】 取最后一根输 = 要让对方取最后 1 根 = 你取到倒数第 2 根就赢。相当于把总数减 1，转化为 "取最后一根胜" 的模型。 【完整解析】 1. 转化模型：取最后一根输 → 留给对方 1 根必胜 → 总数减 1 后按 "取最后胜" 计算； 2. 周期：1+3=4（根）； 3. 计算：(60-1)÷4=59÷4=14……3，余数是 3； 4. 策略：甲第一次取 3 根，剩下 57 根（57÷4=14……1，即 4 的倍数加 1）； 5. 后续：乙取 k 根，甲取 (4-k) 根，每轮共取 4 根，最后总会留给乙 1 根，乙必须取最后一根，甲胜。 答：甲必胜，第一次取 3 根。 🚀 【随堂小练】 25 根火柴，两人轮流取 1~4 根，取最后一根输。先取者怎么赢？ 小练答案：先取 4 根，剩下 21 根是 5 的倍数加 1，对方取 k 你取 (5-k)，最后留 1 根给对方。 【例 4 报数变形题】★★提升 【题目】 两人从 1 开始按自然数顺序轮流依次报数，每人每次只能报 1～5 个数，谁先报到 50 谁胜。你选择先报数还是后报数？怎样才能获胜？ 【解题思路】 报数问题是取火柴的变形：报 1~5 个数 = 取 1~5 根火柴，报到 50 胜 = 取到第 50 根胜。直接套用取最后胜公式。 【完整解析】 1. 转化模型：报 1~5 个数 = 每次取 1~5 根，报到 50 胜 = 取第 50 根胜； 2. 周期：1+5=6（个）； 3. 计算：50÷6=8……2，余数是 2； 4. 策略：选择先报，第一次报 2 个数（1、2），剩下 48 个数是 6 的倍数； 5. 后续：对方报 k 个数，你就报 (6-k) 个数，每轮共报 6 个数，你总能报到 50。 答：选择先报数，第一次报 2 个数，以后对方报 k 个你就报 (6-k) 个。 【例 5 两堆对称策略】★★提升 【题目】 今有两堆火柴，一堆 35 根，另一堆 24 根。两人轮流在其中任一堆中拿取，取的根数不限，但不能不取。规定取得最后一根者为赢。问：先取者有何策略能获胜？ 【解题思路】 两堆数量不同，先取者在多的一堆取走差值，让两堆相等。之后对方在某一堆取几根，你就在另一堆取同样多根，对称模仿，最后一根一定是你拿到。 【完整解析】 1. 计算差值：35-24=11（根）； 2. 第一步：先取者在 35 根的那堆取走 11 根，两堆都变成 24 根，构造对称局面； 3. 后续策略：无论对方在哪一堆取几根火柴，你都在另一堆取同样多的根数； 4. 原理：只要对方有火柴可取，你也一定有火柴可取，最后一根总会被你拿到。 答：先取者在 35 根的一堆取 11 根，使两堆都是 24 根，之后对方取几根你就在另一堆取几根。 🚀 【随堂小练】 两堆棋子，一堆 18 枚，一堆 12 枚，轮流取，取最后一枚胜。先取者怎么赢？ 小练答案：先在 18 枚那堆取 6 枚，两堆都 12 枚，之后对称模仿。 三、拓展例题★★★拔高 【拓展 1 移棋子・取最后输变形】★★★拔高 【题目】 1111 个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动 1～7 格。规定将棋子移到最后一格者输。甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？ 【解题思路】 移棋子到最后一格输 = 取最后一根输的变形。注意：棋子已占 1 格，实际需要移动的空格数是 1111-1=1110 格。套用 "取最后输" 公式。 【完整解析】 1. 转化模型：移到最后一格输 = 让对方移到最后一格 = 你移到倒数第 2 格就赢； 2. 实际空格数：1111-1=1110（格）； 3. 周期：1+7=8（格）； 4. 计算：(1110-1)÷8=1109÷8=138……5，余数是 5； 5. 策略：甲第一步向右移 5 格，剩下 1110-5=1105 格，1105÷8=138……1，即 8 的倍数加 1； 6. 后续：乙移 k 格，甲就移 (8-k) 格，每轮共移 8 格，最后总会留给乙 1 格，乙必须移到最后一格，甲胜。 答：甲第一步必须向右移 5 格。 【拓展 2 三堆火柴博弈】★★★拔高 【题目】 有 3 堆火柴，分别有 1 根、2 根与 3 根火柴。甲先乙后轮流从任意一堆里取火柴，取的根数不限，规定谁能取到最后一根或最后几根火柴就获胜。如果采用最佳方法，那么谁将获胜？ 【解题思路】 三堆火柴的核心：谁能取完后留下 "两堆数量相等" 的局面，谁就赢（转化为两堆对称问题，后取者必胜）。分析甲的所有取法，看乙能否都构造出两堆相等的局面。 【完整解析】 1. 核心原理：留下两堆相等的火柴 → 进入两堆对称模式 → 后取者必胜； 2. 枚举甲的所有取法： · 甲取第 1 堆 1 根：剩 (0,2,3)，乙在第 3 堆取 1 根→(0,2,2)，两堆相等，乙胜； · 甲取第 2 堆 1 根：剩 (1,1,3)，乙在第 3 堆取 3 根→(1,1,0)，两堆相等，乙胜； · 甲取第 2 堆 2 根：剩 (1,0,3)，乙在第 3 堆取 2 根→(1,0,1)，两堆相等，乙胜； · 甲取第 3 堆 1 根：剩 (1,2,2)，乙在第 1 堆取 1 根→(0,2,2)，两堆相等，乙胜； · 甲取第 3 堆 2 根：剩 (1,2,1)，乙在第 2 堆取 2 根→(1,0,1)，两堆相等，乙胜； · 甲取第 3 堆 3 根：剩 (1,2,0)，乙在第 2 堆取 1 根→(1,1,0)，两堆相等，乙胜； 3. 结论：无论甲怎么取，乙都能构造两堆相等的对称局面，乙采用最佳方法一定获胜。 答：乙将获胜。 🚀 【随堂小练】 三堆火柴：2、3、4 根，先取者怎么取才能必胜？ 小练答案：在 4 根那堆取 1 根，变成 2、3、3，两堆相等，之后对称模仿。 四、基本练习 ★基础 1. 桌上有 30 根火柴，两人轮流从中拿取，规定每人每次可取 1～3 根，且取最后一根者为赢。问：先取者如何拿才能保证获胜？ 2. 有 1999 个球，甲、乙两人轮流取球，每人每次至少取一个，最多取 5 个，取到最后一个球的人为输。如果甲先取，那么谁将获胜？ 3. ★★甲、乙二人轮流报数，甲先乙后，每次每人报 1～4 个数，谁报到第 888 个数谁胜。谁将获胜？怎样获胜？ 4. ★★有两堆枚数相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，取的枚数不限，但不能不取，谁取到最后一枚棋子谁获胜。如果甲后取，那么他一定能获胜吗？ 五、拓展练习 ★★★拔高 1. ★★★黑板上写着一排相连的自然数 1，2，3，…，51。甲、乙两人轮流划掉连续的 3 个数。规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜。问：甲有必胜的策略吗？ 2. ★★★★有三行棋子，分别有 1，2，4 枚棋子，两人轮流取，每人每次只能在同一行中至少取走 1 枚棋子，谁取走最后一枚棋子谁胜。问：要想获胜是先取还是后取？ 六、基本练习完整分步答案 第 1 题 【题型】单堆取最后胜，每次 1~3 根 1. 周期：1+3=4（根） 2. 计算：30÷4=7……2，余数是 2 3. 策略：先取者第一次取 2 根，剩下 28 根是 4 的倍数 4. 后续：对方取 k 根，你就取 (4-k) 根，每轮共取 4 根，先取者必胜 答：先取者第一次取 2 根，以后对方取 k 根你就取 (4-k) 根。 第 2 题 【题型】单堆取最后输，每次 1~5 个 1. 转化：取最后一个输 → 总数减 1 按取最后胜算 2. 周期：1+5=6（个） 3. 计算：(1999-1)÷6=1998÷6=333，没有余数 4. 分析：甲先取，无法直接留给乙 6 的倍数加 1 个；乙后取，每次甲取 k 个，乙取 (6-k) 个，乙总能把 6 的倍数加 1 个留给甲 答：乙将获胜。 第 3 题 【题型】报数变形，取最后胜，每次 1~4 个 1. 转化：报 1~4 个数 = 取 1~4 根，报到 888 胜 = 取第 888 根胜 2. 周期：1+4=5（个） 3. 计算：888÷5=177……3，余数是 3 4. 策略：甲先报，第一次报 3 个数，剩下 885 个是 5 的倍数 5. 后续：乙报 k 个，甲报 (5-k) 个，甲总能报到 888 答：甲获胜，第一次报 3 个数，以后乙报 k 个甲就报 (5-k) 个。 第 4 题 【题型】两堆对称，初始相等 1. 两堆数量相等，甲后取 2. 策略：乙在哪一堆取几枚，甲就在另一堆取同样多枚 3. 原理：只要乙有棋子可取，甲也一定有棋子可取，最后一枚总会被甲拿到 答：甲一定能获胜，采用对称模仿策略。 七、拓展练习完整分步答案 拓展 1 【题型】划数对称策略 1. 总共有 51 个数，划连续 3 个，中间位置是第 25、26、27 三个数 2. 甲的策略：第一次划掉中间的 25、26、27 三个数，把这排数分成左右两段，每段各 24 个数，形成对称局面 3. 后续：乙在某一段划掉连续 3 个数，甲就在另一段对称位置也划掉连续 3 个数 4. 原理：只要乙能划，甲就一定能在对称位置划，最后甲划完乙就没得划了 答：甲有必胜策略，第一次划掉中间 25、26、27 三个数，之后对称模仿。 拓展 2 【题型】三堆火柴博弈 三堆：1、2、4 枚 1. 目标：先取者要构造出 "两堆相等" 的对称局面 2. 枚举验证： · 在 4 枚那堆取 2 枚 → 剩 1、2、2；两堆相等（2和2），之后按对称法必胜） 3. 策略：先取者在 4 枚的那行取走 2 枚，变成 1、2、2，两堆相等 4. 后续：对方在哪一堆取几枚，你就在另一堆数量相同的取同样多枚，对称模仿必胜 答：先取能获胜，在 4 枚那行取 2 枚，使三行变成 1、2、2，之后对称模仿。 学科网（北京）股份有限公司 $