精品解析：陕西西安市长安区第一初级中学2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷

西安市长安区第一初级中学 2025-2026学年度第二学期期末学业质量评价 八年级数学试题 满分：120分 第一部分（选择题共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，每小题的四个选项中只有一项符合题意） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 分式 的值为0，则x的值为（ ） A. 3 B. C. D. 不存在 4. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果一个正多边形的每个外角都等于，那么它是（ ） A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 6. 如图，在平行四边形中，已知，点E是的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点、分别是、的中点，点在上，连接、，，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 如图，将直角三角形沿着点B到点C的方向平移得到三角形，且交于点H，，，那么图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则的长为（ ） A. 1.5 B. 1 C. 2 D. 2.5 10. 为落实“每日一节体育课”的倡议，九年级拟购置一批排球，预算总额设定为1500元．已知A品牌每个排球的单价比B品牌便宜20元，如果全部购买A品牌，可比全部购买B品牌多买20个．设B品牌每个排球的单价为元，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题（共8题共24分） 11. 因式分解：__________． 12. 若，则的值为_____． 13. 如图，在中，，，平分，于点E，则的度数为_________． 14. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．若已知旋转角为，，则的度数为______． 15. 若关于x的分式方程解为正数，则m的取值范围是________． 16. 如图，函数与的图象交于点，则不等式的解集为__________． 17. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，，，，垂足为H．则的长为_________． 18. 如图，在中，，，，点，是直线上两个动点，，则的最小值为_______． 三、解答题（共8题共66分） 19. 解不等式组． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 解方程：． 22. 如图，在中，点，分别在，的延长线上，且．连接，交于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，则为_____． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，按要求解答下列问题． （1）作出将向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度后得到的图形； （2）作出关于点成中心对称的图形； （3）求的面积． 24. 四边形中，点、、、分别为、、、边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形称为中点四边形． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图：四边形中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形的形状． 25. 为弘扬航天精神、激发学生科学探索热情，长安区某校组织八年级学生走进航天科技馆开展“筑梦航天科技强国”主题研学活动．学校准备采购航天飞机模型和运载火箭模型，表彰研学活动中表现优秀的学生． （1）已知用元购买运载火箭模型的数量与用元购买航天飞机模型的数量恰好相等；每个运载火箭模型比航天飞机模型贵元，求航天飞机模型和运载火箭模型的单价各是多少元？ （2）学校准备一次性购进两种模型共个，根据表彰名额要求，运载火箭模型的数量不少于航天飞机模型数量的，在单价不变的前提下，求购买两种模型各多少个时，总采购费用最低，并求出最低总费用． 26. 阅读： 材料一：含角的直角三角形，角所对的直角边等于斜边的一半； 材料二：连接三角形两条边的中点，形成的线段是三角形的中位线，三角形的中位线具有以下性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 完成以下问题：在中，，点是边上的一点． （1）已知． ①如图1，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，求的值； ②如图2，以为边在其右侧作，交边于点，若，，求之长； （2）如图3，点是边的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是边上一点，连接，满足，已知，，求之长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市长安区第一初级中学 2025-2026学年度第二学期期末学业质量评价 八年级数学试题 满分：120分 第一部分（选择题共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，每小题的四个选项中只有一项符合题意） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形定义判断即可． 【详解】解：选项，是轴对称图形，不是中心对称图形， 选项，是轴对称图形，也是中心对称图形， 选项，是轴对称图形，不是中心对称图形， 选项，不是轴对称图形，是中心对称图形． 2. 下列从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质与符号运算，根据分式的相关性质逐一判断变形是否正确即可． 【详解】解：对于选项A：∵ 根据分式的基本性质，分式的分子分母同时加上同一个非零数，分式的值会改变，∴ 选项A错误，不符合题意； 对于选项B：∵ ，B选项的等式不恒成立，∴ 选项B错误，不符合题意； 对于选项C：∵ 根据分式的符号法则，分子的负号可以提到分式整体的前面，分式值不变，∴ 变形正确，选项C正确，符合题意； 对于选项D：∵ ，∴ 选项D错误，不符合题意． 3. 分式 的值为0，则x的值为（ ） A. 3 B. C. D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】根据且，计算即可． 【详解】解：分式的值为0， 故且， 解得，且， 故． 4. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形就是因式分解，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A中，变形是整式乘法，由整式乘积得到多项式，不符合因式分解的定义，故A不符合题意； 选项B中，等式右边的不是整式，不符合因式分解的要求，故B不符合题意； 选项C中，等式右边 是和的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解的定义，故C不符合题意； 选项D中，左边是多项式，右边是整式的乘积，符合因式分解的定义，故D符合题意． 5. 如果一个正多边形的每个外角都等于，那么它是（ ） A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 【答案】C 【解析】 【分析】任意多边形的外角和都为，正多边形的每个外角都相等，用外角和除以单个外角的度数即可得到边数 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该多边形为正多边形，每个外角都等于 ∴边数为 ∴它是正九边形 6. 如图，在平行四边形中，已知，点E是的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，由勾股定理得，证明是的中位线即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ，． ． ∵点E是的中点，点Ｏ是的中点， ∴是的中位线， ． 7. 如图，在中，点、分别是、的中点，点在上，连接、，，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据点、分别是、的中点，知是的中位线，根据三角形中位线定理，再结合，等角对等边，即可求出． 【详解】解：点、分别是、的中点， ，， ， ， ， ． 8. 如图，将直角三角形沿着点B到点C的方向平移得到三角形，且交于点H，，，那么图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的性质可得，从而得出，再根据梯形面积公式计算即可． 【详解】解：由平移的性质可知，，，， ， ， 即， ， ， ． 9. 将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则的长为（ ） A. 1.5 B. 1 C. 2 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， 则． 10. 为落实“每日一节体育课”的倡议，九年级拟购置一批排球，预算总额设定为1500元．已知A品牌每个排球的单价比B品牌便宜20元，如果全部购买A品牌，可比全部购买B品牌多买20个．设B品牌每个排球的单价为元，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“A品牌数量比B品牌多20个”的等量关系，用含的代数式表示出两种排球的购买数量，进而列出方程． 【详解】解：设B品牌每个排球的单价为元， ∵A品牌每个排球的单价比B品牌便宜20元， ∴A品牌每个排球的单价为元， 总预算为1500元，可得：购买A品牌排球的数量为个，购买B品牌排球的数量为个， 又∵全部购买A品牌可比全部购买B品牌多买20个， ∴可列方程：． 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题（共8题共24分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再用平方差公式分解彻底即可． 【详解】解： ． 12. 若，则的值为_____． 【答案】##0.2 【解析】 【详解】解：设，则，其中，代入，得 13. 如图，在中，，，平分，于点E，则的度数为_________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得出，根据直角三角形两锐角互余得出，利用角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．若已知旋转角为，，则的度数为______． 【答案】##50度 【解析】 【详解】解：由旋转的性质可得：， ∴， ∴． 15. 若关于x的分式方程解为正数，则m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】先解分式方程，再根据解为正数且分式分母不为零列出不等式，求解不等式得到m的取值范围． 【详解】解：方程两边同乘得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为1得： ∵方程的解为正数， ∴且 即且， 解得且． 16. 如图，函数与的图象交于点，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将交点纵坐标代入已知直线解析式，求出交点横坐标；再利用一次函数图像位置关系，直线在上方对应的范围即为不等式解集． 【详解】解：将点代入，得 ， 解得， 观察函数图象可知，当时，函数的图象在函数的图象上方， ∴不等式的解集为． 17. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，，，，垂足为H．则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质以及勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 18. 如图，在中，，，，点，是直线上两个动点，，则的最小值为_______． 【答案】13 【解析】 【分析】先利用平行四边形对边平行且相等完成线段等量替换，将转化为，再作点关于直线的对称点，借助“两点之间线段最短”构造最短路径；结合含的直角三角形求平行线垂距，最后用勾股定理算出线段最小值． 【详解】解：在中，且， ∵，点，是直线上两个动点， ∴且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 过点作，垂足为，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 过点作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，如图： 此时，点到直线的距离等于，即点到直线的距离等于6， ∴点到直线的距离也等于6， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵点关于直线的对称点为点， ∴， ∴， 当、、三点共线，即与重合时，的值最小， ∴的最小值为， ∴的最小值为13． 【点睛】线段双动点求和最值，优先通过平行四边形平移线段做等量转换，再用轴对称将军饮马模型转化折线段，结合直角三角形计算长度． 三、解答题（共8题共66分） 19. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解不等式：， ， ， ； 解不等式：， ， ， ， ∴该不等式组的解集为． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， 当时，原式． 21. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程转换成整式方程进行解方程即可，但注意检验方程解是否满足分母不为的条件 【详解】解： 等式两边同乘以，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 检验：将代入最简公分母中，最简公分母不为， 是原方程的解． 22. 如图，在中，点，分别在，的延长线上，且．连接，交于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，则为_____． 【答案】（1）证明：在中，，， ， ， ∴， 即， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的判定与性质求证即可； （2）根据平行线的性质求出，根据平行四边形的性质得出，根据三角形内角和定理求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知四边形是平行四边形， ， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，按要求解答下列问题． （1）作出将向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度后得到的图形； （2）作出关于点成中心对称的图形； （3）求的面积． 【答案】（1）如图，即为所求： （2）如图，即为所求： （3）6 【解析】 【分析】（1）找出各顶点向左平移3个单位，再向上平移1个单位的对应点，再顺次连接即可； （2）根据中心对称的性质找到各顶点关于点成中心对称的对应点，再顺次连接即可； （3）连接，利用矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可得的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接， 则 ． 24. 四边形中，点、、、分别为、、、边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形称为中点四边形． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图：四边形中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形的形状． 【答案】（1）证明：如图，连接， 点，，，分别为，，，边的中点， 和分别是和的中位线， ，，，， ，， 四边形是平行四边形 （2）四边形是菱形 【解析】 【分析】（1）连接对角线，依据三角形中位线定理，得到、均平行且等于的一半，推出一组对边平行且相等，即可证出四边形为平行四边形； （2）先延长、交于，证是等边三角形，结合推出、，用证，得对角线，再利用三角形中位线定理，得、，等量代换得邻边，最后由(1)知是平行四边形，从而证明四边形为菱形． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：四边形是菱形．理由如下： 分别延长、相交于点，连接、，如图： ， 是等边三角形， ，， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 点，分别是，的中点， 是的中位线， ， 由（1）知，， ∵， ∴， 由（1）知，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 25. 为弘扬航天精神、激发学生科学探索热情，长安区某校组织八年级学生走进航天科技馆开展“筑梦航天科技强国”主题研学活动．学校准备采购航天飞机模型和运载火箭模型，表彰研学活动中表现优秀的学生． （1）已知用元购买运载火箭模型的数量与用元购买航天飞机模型的数量恰好相等；每个运载火箭模型比航天飞机模型贵元，求航天飞机模型和运载火箭模型的单价各是多少元？ （2）学校准备一次性购进两种模型共个，根据表彰名额要求，运载火箭模型的数量不少于航天飞机模型数量的，在单价不变的前提下，求购买两种模型各多少个时，总采购费用最低，并求出最低总费用． 【答案】（1）航天飞机模型每个元，运载火箭模型每个元 （2）购买航天飞机模型个，运载火箭模型个时费用最少，最少费用为元 【解析】 【分析】（1）设航天飞机模型每个元，则运载火箭模型每个元，根据用元购买运载火箭模型的数量与用元购买航天飞机模型的数量恰好相等列方程即可． （2）设购进航天飞机模型个，运载火箭模型个，根据运载火箭模型的数量不少于航天飞机模型数量的求出的取值范围，再根据题意列出关于总费用的函数表达式即可． 【小问1详解】 解：设航天飞机模型每个元，则运载火箭模型每个元， 由题意，得 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴ 答：航天飞机模型每个元，运载火箭模型每个元． 【小问2详解】 解：设购进航天飞机模型个，运载火箭模型个，总花费为元，根据题意得：， 解得：，为正整数， 总费用： ∵， ∴随的增大而减小， ∴当取最大值时费用最少， 此时航天飞机模型个，运载火箭个时费用最少，最少费用为：． 26. 阅读： 材料一：含角的直角三角形，角所对的直角边等于斜边的一半； 材料二：连接三角形两条边的中点，形成的线段是三角形的中位线，三角形的中位线具有以下性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 完成以下问题：在中，，点是边上的一点． （1）已知． ①如图1，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，求的值； ②如图2，以为边在其右侧作，交边于点，若，，求之长； （2）如图3，点是边的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是边上一点，连接，满足，已知，，求之长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）①利用旋转的性质得到，，结合，，证明，再根据，得出，进而求出的值；②通过旋转构造全等三角形，将与已知线段建立联系，设，则，，利用勾股定理建立方程，求解即可； （2）先证明（构造辅助线），得到，利用勾股定理求出长度，利用三角形的中位线得到，由线段间的和差倍分关系即可求出的长度． 【小问1详解】 解：①，， ， ，， 即 在，中， ， 在中，，， ， ； ②将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，作如图所示 由①可知， ，， ， 在，中， ， ∴ ，， ， 令，则，， ， 在中，，， ， 在，中 ， 即，解得 ． 【小问2详解】 取中点，连接，作交延长线于点，如图所示， 是边的中点， 是的中位线， ， ， 即 ， ， 在，中， ， 在中 ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等腰三角形（含等边三角形）的性质、图形的旋转、全等三角形与三角形的中位线以及勾股定理，灵活运用“含角的直角三角形，角所对的直角边等于斜边的一半”是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $