3.3.1 抛物线及其标准方程讲义 -2026-2027学年高二上学期数学选择性必修第一册

该高中数学单元复习讲义通过知识框架系统梳理抛物线知识体系，涵盖定义、标准方程推导、方程形式及求法等核心内容，结合图示呈现方程推导过程，用“注意”板块强调定义中“定点不在定直线上”等关键条件，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分题型精准设计练习，如“抛物线定义应用”中求点到焦点距离、“实际应用”中太阳灶模型计算等题型，培养学生用数学眼光观察现实问题、用数学思维推理的素养。课时精练包含选择、填空、解答题分层设置，基础题巩固方法，综合题提升能力，助力教师实施分层教学，支持学生自主复习。

3.3.1 抛物线及其标准方程 题型 一 求抛物线的标准方程 2 题型二 抛物线的定义及其应用 7 题型三 与抛物线有关的轨迹问题 10 题型四 距离和与差的最值问题 15 题型五 抛物线的实际应用 21 课时精练 29 【基础回顾】 ( 1 / 39 ) 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 抛物线的定义 （1）定义：把平面内与一个定点 和一条定直线 ( 不经过点 ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 （2）焦点：定点 抛物线的焦点。 （3）准线：直线 叫作抛物线的准线。 （4）集合表示： . 注意： （1）定点 不在定直线 上，否则动点 的轨迹不是抛物线，而是过点 垂直于直线 的一条直线。 （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性， 故二者可相互转化， 这也是利用抛物线定义解题的实质。 知识点 2: 标准方程的推导 如图，以过 且垂直于 的直线为 轴，垂足为 . 以 的中点 为坐标原点建立直角坐标系 . 设 ，则焦点 坐标为 ，准线 的方程为 . 设点 是抛物线上任意一点，点 到 的距离为 . 由抛物线定义，抛物线就是集合 因为 ，所以 将上式两边平方并化简，得 ① 方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在 轴的正半轴上， 坐标是 它的准线方程是 . 知识点 3: 抛物线的标准方程 知识点 4: 求抛物线标准方程的方法 （1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数 ； （2）待定系数法： 先设出抛物线的方程， 再根据题中条件， 确定焦参数 . 当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为 或 注意：已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式， 需根据四种抛物线的图形及开口方向确定。 题型 一 求抛物线的标准方程 1．已知抛物线上一点到焦点的距离为4，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】点到抛物线焦点的距离为4，，. 2．已知抛物线（）上一点到其焦点的距离为6，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由抛物线的定义结合题意可得， 所以抛物线的方程为. 3．抛物线上与焦点的距离为2的点的横坐标为，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】由抛物线的定义进行求解即可. 【详解】该抛物线的准线方程为， 因为抛物线上与焦点的距离为2的点的横坐标为， 所以由抛物线的定义可知. 故选：D 4．已知抛物线上一点，则焦点到准线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】由抛物线过点，得，解得， 所以抛物线的焦点到准线的距离为2. 5．已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，过点分别向的准线作垂线，垂足为，若中点的纵坐标为2，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】如下图： 由题可知，设，且， 则两式相减得， 则直线的方程为， 因为中点的纵坐标为2，得， 由抛物线的定义可知， 即， 解得或， 故的方程为或. 6．已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义求得，然后在直角三角形中利用可求得，从而可得答案． 【详解】如图，连接，设准线与轴交点为    抛物线的焦点为，准线： 又抛物线的定义可得，又，所以为等边三角形， 所以， 所以在中，，则，所以抛物线的方程为. 故选：C. 7．抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出的坐标，然后利用垂直关系列出等式求出，进而得到抛物线方程. 【详解】根据题意，设抛物线方程为， 则，准线方程为. 所以点. 因为，所以， 化简得，即，解得. 所以抛物线方程为. 故选：D. 8．（多选）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】分类讨论焦点的位置，根据抛物线的标准方程计算即可. 【详解】易知直线与坐标轴的交点分别为， 当焦点为时，可知抛物线方程为：； 当焦点为时，可知抛物线方程为：. 故选：BD 9．（多选）设抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且则抛物线C的方程可以为 （ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据点在抛物线上、抛物线定义可得答案. 【详解】由题意得，解得，或， 当时，抛物线方程为； 当时，抛物线方程为. 故选：BC. 10．（多选）已知O是坐标原点，抛物线的焦点是点F，，B，C是抛物线上的三点，点T在圆上运动，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．如果，则直线BC与x轴的公共点为 D．如果直线AB，AC均与圆M相切，则直线BC的方程为 【答案】BCD 【分析】对于A，将点代入抛物线，得到方程后再求解即可；对于B，的最小值，等价于求圆心到​的距离减去半径;对于C，联立方程组后，运用平面向量的坐标运算求解即可；对于D，运用几何法，设切线，求解方程即可. 【详解】对于A：因为在抛物线上，所以，解得，所以抛物线的准线方程为：，则，故A不正确； 对于B：根据抛物线定义，等于点到准线​的距离， 要求的最小值，等价于求圆心到​的距离减去半径, 即，所以的最小值为，故B正确； 对于C，显然直线BC的斜率不为0，设直线BC的方程为， 由，得，所以，所以， 所以，解得：或， 当时，直线过原点，不满足题意，舍去， 所以，即直线BC与x轴的公共点为，故C正确； 对于D，直线AB的斜率为 ，所以直线AB的方程为，即， 又直线AB与圆 相切，所以，整理得，即， 同理可得 ，所以直线BC的方程为，故D正确. 题型二 抛物线的定义及其应用 1．已知抛物线C：的焦点为，点在上，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】 抛物线C：的焦点为，准线方程为， 点在抛物线上，到准线的距离， 所以． 2．已知点在抛物线上，则点到抛物线的焦点的距离为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据抛物线定义求解即可. 【详解】因为抛物线的准线方程为， 所以点到的焦点的距离等于它到准线的距离即：. 3．已知抛物线上的点与焦点的距离为7，则到轴的距离为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】设，根据抛物线的定义可知，结合抛物线方程运算求解即可. 【详解】由抛物线可知，准线为. 设，根据抛物线的定义可知，即， 由抛物线方程可得，即， 所以到轴的距离为. 4．从抛物线上各点向y轴作垂线段，则垂线段的中点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设垂线段的中点为，由题意得到点在抛物线上，将该点代入抛物线即可求解. 【详解】设垂线段的中点为， 则由题意可得点在抛物线上，所以，即， 所以垂线段的中点的轨迹方程是. 故选：D 5．已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可利用求轨迹方程的坐标法来求解，也可以用抛物线的几何定义来得到方程. 【详解】    方法一：轨迹方程法 设点，则点．连接PF，由题意知， 即，整理得，则曲线的方程为． 方法二：几何定义法 由题意知，点到点的距离等于其到直线的距离， 则点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线， 则曲线的方程为． 故选：B． 6．已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考察点到F的距离与到直线的距离，作辅助直线结合抛物线定义可解. 【详解】由图可知，到F的距离比到直线的距离大1， 记直线为直线 ，则到F的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义可知，M的轨迹为顶点在原点开口向左的抛物线，其中， 所以M的轨迹方程为： 故选：B 7．已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为，，若动点满足，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线定义得到圆心轨迹，设，再结合向量的坐标表示得到，即可求解； 【详解】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为， 设，则由动点满足， 故选：A 8．已知点到点的距离比到直线的距离大2，则点的轨迹方程为__________． 【答案】 【分析】先将题设的距离关系转化为带绝对值的等式，通过平方消去根号后分类讨论去绝对值，验证后得到完整轨迹方程. 【详解】设动点的坐标为， 由题意得， 等式两边平方得： 化简得： 当时，，代入得； 当时，，代入得即. 综上，点的轨迹方程为（）和（）. 9．已知抛物线的顶点为原点，为的准线上一点，为的焦点，线段交于点，若，则________． 【答案】12 【分析】求出抛物线焦点坐标，作出几何图形，结合抛物线定义列式求解. 【详解】由抛物线的准线为，则抛物线的焦点， 令抛物线的准线与轴交于点，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为， 于是，，而， 因此，解得， 所以.    10．已知M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，若，则直线的倾斜角为______________． 【答案】或. 【分析】由抛物线的几何性质求的纵坐标，再求的斜率，进而得到倾斜角. 【详解】    抛物线的准线为，设直线的倾斜角为， 过M向抛物线的准线作垂线交准线于，由抛物线的几何性质得，所以的纵坐标为， 又因为M是抛物线上的一点，所以，所以， 所以，或. 题型三 与抛物线有关的轨迹问题 1．已知动点到定点的距离比它到轴的距离大，则动点的轨迹为（ ） A．抛物线 B．射线 C．抛物线和射线 D．抛物线和直线 【答案】C 【分析】由题意得出，分、两种情况讨论，化简轨迹方程，可得结论. 【详解】由题意可得， 当时，则有，化简得，此时点的轨迹为抛物线， 当时，则有，化简得，此时点的轨迹为射线， 故点的轨迹为抛物线或射线. 故选：C. 2．已知圆与直线相切，且与圆外切，则圆心的轨迹为（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 【答案】C 【分析】根据所求圆与直线相切、与已知圆外切及相对位置关系，列出方程化简即可. 【详解】由题意可知，所求圆的圆心在直线左侧，即. 设所求圆的圆心为，半径为， 由圆与直线相切，得， 已知圆的圆心为，半径为1， 当两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，即，得. 平方后整理得， 故轨迹方程为，是抛物线． 故选：C． 3．设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，根据向量关系及垂直关系可得点的轨迹方程. 【详解】设点，因为，则为的中点，且点在轴上， 所以，则, 又，则，， 由， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 4．如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求点，根据点在直线上可得，根据点在直线上可得，最后根据轴得，化简即可. 【详解】设， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为轴，所以，则，故D正确. 故选：D． 5．过抛物线的顶点O作两条互相垂直的弦OA，OB，则弦AB的中点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令的斜率为且，则的斜率为，联立抛物线求坐标，进而得中点坐标，根据中点横纵坐标关系确定轨迹方程. 【详解】令的斜率为且，则的斜率为，    联立，可得，则，同理， 所以，又， 易知其横纵坐标关系有，即为M的轨迹方程. 故选：C 6．已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设 ，根据，整理即可得解. 【详解】设 ，则，整理得， 所以动点的轨迹方程是. 故选：A. 7．已知动点在抛物线上，点，为坐标原点，若，且直线与的外接圆相切，则（    ） A． B．或 C．或 D．2或 【答案】C 【分析】利用正弦定理求得△外接圆半径，结合几何关系求得外接圆圆心，再根据直线和圆相切则圆心到直线的距离等于半径，列出方程，即可求得. 【详解】由抛物线方程，设圆心，半径为，显然； 因为，，故； 在中，由正弦定理得，解得； 则 ； 又圆与直线相切，故圆心到直线的距离， 当时，则圆心到直线的距离，解得； 当时，则圆心到直线的距离，解得或（舍）， 综上或. 故选：C． 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是熟练掌握正弦定理，直线与圆的位置关系的转化，属综合中档题. 8．在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是______． 【答案】 【分析】先根据已知条件将动点到定点与定直线的距离关系进行转化，再依据抛物线定义确定其轨迹方程． 【详解】由已知可得动点满足到定点的距离等于到定直线的距离， 由抛物线定义知动点的轨迹方程为焦点在x轴上的抛物线，且焦点为，则，.因此轨迹方程为：． 故答案为：. 9．在平面直角坐标系中，动点N到定点的距离比它到y轴的距离大1，则动点N的轨迹方程为_________. 【答案】或 【分析】先设，再结合两点间距离公式，化简求解即可. 【详解】设为轨迹上任意点，则两边平方， 得， 所以动点N的轨迹方程为或. 故答案为：或. 10．设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为______． 【答案】 【分析】设，，，根据可得，根据可得，代入即可得结果. 【详解】设，，， 则，，， 因为， 则， 又因为，则，即， 可得，即． 故点的轨迹方程是． 故答案为：. 题型四 距离和与差的最值问题 1．已知抛物线，点P为抛物线上一点，，则的最小值为______. 【答案】 【分析】利用两点间距离公式，再结合点在抛物线上来消元，即可利用二次函数求出最小值. 【详解】 设，则由题意得：， 因为点P为抛物线上一点，所以， 代入可得：， 所以当时，的最小值为， 故答案为： 2．已知抛物线上有一动点，则与点距离的最小值为__________． 【答案】 【分析】设，根据两点距离公式可得，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】设， 则， 当时，取得最小值12， 故． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线，其焦点为，定点，动点在抛物线上，则的最大值为_____________. 【答案】 【分析】设，则由两点间距离公式及抛物线定义可得关于y的表达式，后由基本不等式可得答案. 【详解】设，由抛物线方程，得焦点，准线， 点为准线与轴的交点，作于点， 则．， 则 ，当且仅当，即时取等号. 则的最大值为. 4．已知定点，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，则的最小值为_______ 【答案】 【分析】根据题意，画出图形，结合图形和抛物线的定义，求出的最小值． 【详解】过点作准线，垂足为，根据抛物线的定义可知，当且仅当、、三点共线时，的最小值为. 如图所示，过点作准线，垂足为， 则， 当且仅当、、三点共线时， 取得最小值. 故答案为： 5．已知，，三点，点P在抛物线上运动，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】依题意，设点，根据两点间距离公式将所求式化成关于的二次函数，利用其配方法即可求得最小值. 【详解】由题意，设点，则 ， 故当时，即当点的坐标为时，取得最小值. 故答案为：. 6．已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，若为上一点，为钝角，且，则__________. 【答案】 【分析】若垂直于准线于，易得，从而有、，令，，应用余弦定理列方程求参数，注意即可得. 【详解】如下图，若垂直于准线于，则，故，    所以，在中，故， 令，，而，则， 所以，整理得， 所以，而为钝角，结合三角形边角关系知， 当时，，不符合要求， 所以，，经验证满足要求， 所以. 故答案为： 7．已知抛物线的焦点为为坐标原点，动点在上，若点满足，则周长的最小值为______． 【答案】 【分析】由已知条件可求出抛物线方程，进而得到焦点和，将的周长表示为，利用抛物线定义将转化为点到准线的距离，从而问题转化为求加上到准线距离的最小值，即到准线的距离. 【详解】已知抛物线的焦点，故， 由得，已知， 由两点距离公式： 平方整理得：，结合解得， 因此抛物线为，焦点，准线， ， 则的周长，即求的最小值， 由抛物线定义：抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离，即， 因此，当垂直于准线时，最小， 最小值为到准线的距离：， 因此周长最小值为. 故答案为： 8．已知直线与抛物线（）交于A，B两点，且，若C上的动点P到C的准线的距离为d，点，则的最大值为______. 【答案】 【分析】由弦长求出的值，的最大值转化为的最大值求解. 【详解】将代入，得， 因为，所以. 设，，则，， 则 ， 因为，所以. 故抛物线C的焦点为，点在C的上方， 由抛物线的定义知，，则 ， 当P，F，M三点共线且F位于P，M之间时，取得最大值. 9．已知抛物线是的焦点，是上一个动点，点，动点满足，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】先求得点的轨迹，进而得，再根据抛物线的定义转化求解即可. 【详解】设，因为点，动点满足， 所以，整理得， 即， 所以，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 因为抛物线，焦点，准线方程为， 过点准线的垂线，垂足为，则， 因为，当且仅当三点共线且在点之间时等号成立， 所以，当且仅当三点共线时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 10．如图，是抛物线的焦点，点在上，点在圆的优弧上，且，则周长的最小值是____________． 【答案】17 【分析】先确定点的纵坐标，再利用抛物线的定义把问题转化成抛物线上的点到点和点的距离和最小的问题求解. 【详解】由题可知圆的圆心与焦点重合． 过点作的准线的垂线，垂足为， 所以的周长为． 因为，所以， 所以周长的最小值是． 故答案为：17 题型五 抛物线的实际应用 1．世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（   ） A．0.25 B．0.5 C．1 D．2 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线标准方程，根据图形可得抛物线上一点坐标，代入可得p，然后可得. 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 由图可得点在抛物线上，即 ，解得， 故轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为. 故选：A. 2．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（    ）    A．40米 B．30米 C．25米 D．20米 【答案】A 【分析】以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，则可知点C、D的横坐标，从而可得CD的长． 【详解】以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系：   ，， 设抛物线的解析式为，将代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴C（-20，150），， ， 故选：A 3．某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为21.6m，拱顶距水面10.9m，路面厚度约1m．若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（    ）    A．3m B．4m C．5m D．6m 【答案】B 【分析】建立适当的平面直角坐标系，设出抛物线方程，将点的坐标代入抛物线方程可求得参数，进一步即可得解. 【详解】以拱形部分的顶点为坐标原点，水平线为x轴，垂直于轴，且方向向上，建立平面直角坐标系．    设抛物线的方程为． 易知抛物线过点，则，得， 所以，所以． 故选：B． 4．鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，其宽为，高为，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点到准线距离为（    ） A． B．5 C．10 D．20 【答案】C 【分析】根据给定条件，设出抛物线方程，利用待定系数法求出抛物线方程即可得解. 【详解】依题意，设该抛物线的方程为，显然点在此抛物线上， 因此，解得， 所以该抛物线的焦点到准线距离为10. 故选：C 5．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，设出抛物线的标准方程，代入点的坐标求出即可得解. 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 依题意可得的坐标为． 设抛物线的标准方程为，则，解得． 故该抛物线的焦点到准线的距离为． 故选：C 6．北京永定河七号桥是丰沙铁路下行线珠窝站和沿河城站间跨越永定河的铁路桥，为中国最大跨度的钢筋混凝土铁路拱桥，全长217.98米，矢高40米，主跨150米，则该拱桥对应的抛物线的焦点到其准线的距离约为（    ） A．70.3米 B．70.5米 C．70.7米 D．70.9米 【答案】A 【分析】以拱桥对应的抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，利用待定系数法可求出结果. 【详解】以拱桥对应的抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系（横坐标与纵坐标的单位均为米）， 依题意可得， 设该抛物线的方程为， 将A的坐标代入，得, 所以该拱桥对应的抛物线的焦点到其准线的距离约为70.3米. 故选：A 7．一抛物线型拱桥，当水面距离拱顶2m时，水面宽度为2m，若水面下降4m，则水面宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先以抛物线的顶点为原点建立直角坐标系，设抛物线方程为，将点代入求得抛物线的方程，再将代入抛物线方程求解. 【详解】以抛物线的顶点为原点建立直角坐标系，设抛物线方程为， 因为点在抛物线上 代入可得， 所以抛物线方程为 又因为， 所以 则水面宽为. 故选：B 【点睛】本题主要考查了抛物线方程的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 8．（多选）如图所示是某家用汽车远光灯示意图，其中心截口曲线是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，且灯口直径是，灯深，则（    ） A．远光灯光线按照路径射向远处 B．光源到反光镜顶点的距离是 C．与抛物线对称轴垂直的光线长度为 D．灯口上任意一点到焦点的距离是 【答案】AD 【分析】根据题意结合抛物线方程和定义分析逐项分析求解. 【详解】对于选项A：根据题意可知：远光灯光线按照路径射向远处，故A正确； 如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为，可知， 可得，解得， 所以抛物线方程为，焦点坐标为， 对于选项B：光源到反光镜顶点的距离是，故B错误； 对于选项C：与抛物线对称轴垂直的光线长度为，故C错误； 对于选项D：灯口上任意一点到焦点的距离是，故D正确； 故选：AD. 9．（多选）上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚，两点和敌方阵地点在同一条直线上，某炮弹的弹道是抛物线的一部分，其中在直线上，抛物线的顶点到直线的距离为100米，长为400米，，，建立适当的坐标系使得抛物线的方程为，则（    ）    A． B．的准线方程为 C．的焦点坐标为 D．弹道上的点到直线的距离的最大值为米 【答案】ABD 【分析】根据题意，建立以为坐标原点，轴平行于，轴垂直于，结合图像，求出抛物线方程，准线方程，焦点坐标，即可判断ABC；根据题意，求出直线的方程，不妨设CE上一点为，判断出当该点处的切线与直线平行时，其到直线的距离最大，求解最大值即可. 【详解】如图所示，建立以为坐标原点，轴平行于，轴垂直于. 此时，，， 抛物线的方程为，即， 解得，故A正确； 抛物线的方程为，准线方程为，焦点坐标为， 故B正确，C错误； 因为，，故， 所以直线的方程为即， 不妨设上一点为，， 当该点处的切线与直线平行时，其到直线的距离最大. 由可得，故， 解得， 此时点到直线的距离为，故D正确. 故选：ABD.    10．（多选）如图，一个杯座圆放置在水平桌面上且内壁光滑的酒杯，杯身的轴截面图形是顶点为O、焦点为的抛物线， ，为杯口圆的圆心，足够长，杯脚．现有一根长 的细木棍放在此酒杯的杯身内，的中点在桌面上的投影为，则下列命题正确的是（    ） A．若，则的最小值为 B．若，则的最小值为 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】如图：以为原点，以所在的直线为轴，过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，可得抛物线的方程为，根据对称性可知当时，此时木棍与轴垂直时，最小，当时，过焦点时，最小，讨论两种情况，利用抛物线的定义即可求最小值，进而可得正确选项. 【详解】 如图：以为原点，以所在的直线为轴，过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，因为，所以焦点为的抛物线的方程为， 因为的中点在桌面上的投影为，所以轴， 由分析可知：当时，此时木棍与轴垂直时，最小， 当时，过焦点时，最小， 当时，对于，令可得， 如图：此时中点为与轴的交点，投影点即为点，此时 此时最小为，即当时，最小为， 可得当，则的最小值为，故选项C正确； 当时，最小为，故选项A不正确； 当时，最小为，故选项D正确； 当时，过焦点时，最小， 如图作垂直于准线与点，作垂直于准线与点， 的中点在准线上的投影为， 由抛物线的定义可得，所以， 而，所以，此时的最小值为， 故选B正确， 故选：BCD. 课时精练 一、单选题 1．抛物线 ：（）的焦点为，点在上， 且， 点到轴的距离为3，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【详解】抛物线（）的焦点为，准线方程为. 因为点到轴的距离为3，所以点到准线的距离为. 由抛物线的定义可知，，解得， 所以，抛物线的方程为. 故选：C. 2．若为抛物线上一点，则点到其焦点的距离为（   ）. A．4 B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】先把点代入抛物线方程得出，结合抛物线定义及准线计算求解. 【详解】为抛物线上一点，则，即， 且抛物线的准线为， 则点到其焦点的距离为. 故选：B. 3．已知抛物线上的一点的纵坐标为，则点到焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点，将其代入抛物线方程可得，解得， 易知抛物线的准线方程为， 故点到焦点的距离为. 4．抛物线的焦点为，点在上，，则（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】由焦半径公式可得. 【详解】由题意得，，准线方程为， 由抛物线的定义可知，得. 故选：B 5．已知是抛物线的焦点，是上的一动点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离即可得． 【详解】设到的准线的距离为，则， 所以的最小值为6. 故选：B. 6．已知点M为抛物线上的动点，过点M向圆引切线，切点分别为P，Q，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由四边形的面积可知，即可求解. 【详解】如图，圆心为抛物线的焦点， 四边形的面积， ∴， ∴当最小时，即点M到准线的距离最小值为2， ∴， 故选:. 7．如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直交直线于点，则点的轨迹为（    ）的一部分. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【详解】由题意知翻折后点E与落点F重合，因此折痕l是线段的垂直平分线， 点P在l上，根据垂直平分线性质可得， 结合抛物线定义判断：已知，因此PF就是点P到定直线CD的距离， 即点P满足：到定点E的距离等于到定直线CD的距离，符合抛物线的定义， 因此点P的轨迹是抛物线的一部分. 另解： 如下图所示，以为原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系， 设，，则，，，， 因为是的中点，所以， 因为翻折后落在上，落点为，所以设的坐标为， 折痕是和连线的垂直平分线，的中点坐标为， 的斜率为，因此的斜率为， 所以的点斜式方程为， 在上，且，设P的坐标为， 代入可得，化简可得， 因为点的坐标为，把替换成可得点的轨迹方程为， 是一个二次函数，所以点的轨迹为抛物线的一部分. 8．过抛物线E：的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，．若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设出直线方程，由焦半径公式得到，从而根据求出，从而通过焦半径公式转化得到，由几何关系得到距离和最小值， 【详解】设直线的方程为，与联立可得， 设，则， 因为，则， 则， 因为，所以直线的直线方程为， 故可得， 因为，所以， 即，解得， 故抛物线方程为，故焦点为，准线方程为， 设P到准线的垂线段为，为垂足， 则，故， 表示点到准线的距离与到点的距离之和， 故当三点共线时，距离和最小， 此时点坐标为，故， 即，的最小值为4. 二、多选题 9．（多选）已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为 C．若，则 D． 【答案】BC 【分析】对A，B，根据抛物线的标准方程求出焦点，准线方程，判断；对C，D，根据抛物线的定义求解判断. 【详解】对于A，B，由抛物线方程为，则焦点，准线方程为，故A错误，B正确； 对于C，将代入，得，则，故C正确； 对于D，由抛物线定义得，当时，取等号，故D错误. 故选：BC. 10．（多选）已知抛物线的焦点为，圆与抛物线交于，两点，点为劣弧上不同于，的一个动点，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，则（    ） A．点的纵坐标的取值范围是 B．等于点到抛物线的准线的距离 C．圆的圆心到抛物线的准线的距离为2 D．周长的取值范围是 【答案】BCD 【分析】根据题意可知圆心和抛物线的焦点重合，联立两曲线方程可得A错误，由抛物线的定义可得B正确，C正确，利用焦半径公式可判断D正确. 【详解】如下图所示： ∵圆的圆心为，半径， 因此圆与轴正半轴的交点为， ∵抛物线的焦点为，准线方程为， 由，得，故点的纵坐标，故A错误； 由抛物线的定义可得等于点到抛物线的准线的距离，故B正确； 易知圆的圆心到抛物线的准线的距离为2，故C正确； 的周长为，故D正确. 故选：BCD 11．（多选）已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A．的坐标为 B． C． D． 【答案】BD 【分析】直接由抛物线方程得焦点坐标及其准线方程可判断A，由抛物线定义可判断BC，由两点间距离公式可判断D. 【详解】对于A，抛物线的焦点为，准线方程为，故A错误； 对于BC，由抛物线定义可得，所以，，解得，故B正确C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．若点为抛物线：上的一点，则点到抛物线的准线的距离为________. 【答案】 【详解】由点在抛物线上，得， 抛物线的准线方程为， 所以点到抛物线的准线的距离. 13．在中，O为坐标原点，点A为抛物线的准线与坐标轴的交点，点B在x轴上，其横坐标为直线在x轴上的截距，则内切圆的标准方程为_____. 【答案】 【分析】利用抛物线方程可得其准线方程，即可得点，再求出点后即可得各点坐标，结合等面积法可求出内切圆的半径，即可得其圆心坐标，即可得解. 【详解】抛物线的准线方程为，则， 直线在轴上的截距为，故， 设内切圆的标准方程为， 则，解得， 该圆与轴、轴相切，故， 由内切圆圆心在内部，故圆心坐标为， 即内切圆的标准方程为. 14．已知点是抛物线上的动点，点是圆上的动点，则两点间的最短距离为_____． 【答案】/ 【分析】由题意转化为抛物线上动点到圆心的距离的最小值即可得解. 【详解】由圆，知圆心为，半径为， 设为抛物线上动点，则两点间的距离为， 所以当时，， 所以． 故答案为： 四、解答题 15．已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知得到动点到的距离等于到直线的距离，满足抛物线的定义，根据定义即可求解； （2）利用点差法求出直线的斜率即可. 【详解】（1）由题意知根据已知得到动点到的距离等于到直线的距离， 即动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为. （2）设，则 两式相减得，整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即经检验满足题意. 16．平面内动点到点的距离与到直线距离相等. (1)求动点的轨迹方程； (2)设过点的直线交动点的轨迹于两点，求值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线的定义可得答案； （2）设出直线方程，联立，结合韦达定理可得答案. 【详解】（1）因为点到点的距离与到直线距离相等， 所以动点的轨迹是以为焦点的抛物线，其方程为. （2）设直线的方程为， 联立，得， ，. 17．已知抛物线C：上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)已知点，为抛物线上一点，连接，线段的中点也在抛物线上，为坐标原点，，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线定义可得，，代入计算即可求解； （2）设，则，由平面向量数量积坐标运算可得，因为M，Q均在抛物线上，建立方程组计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 代入抛物线方程得 因为，即，解得， 所以方程为． （2）设，， 因为点为线段的中点，所以，， 即，，则， 所以， 又M，Q均在抛物线上， 所以，解得，即．    18．过点的直线l与抛物线交于M，N两点，F是C的焦点． (1)若线段MN中点的横坐标为2，求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）利用抛物线的定义及中点横坐标可求答案； （2）联立方程，利用判别式求出的范围，结合韦达定理可求答案. 【详解】（1）抛物线的焦点，设，， 由线段MN中点的横坐标为2，得，由抛物线定义得 ，， 所以． （2）由直线l过点，设直线l的方程为， 由消去x并整理得， 由，得， 且，， 则， 所以的取值范围为． 19．已知平面内动点到点的距离与到直线的距离相等．记动点的轨迹为，过点的直线与曲线相交于，两点． (1)求轨迹的方程； (2)设点关于轴对称的点为，证明：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)过定点 【分析】（1）由抛物线的定义，直接得到轨迹的方程； （2）结合设直线的方程和，两点坐标，联立曲线的方程，写出直线的方程，结合韦达定理化简即可到直线恒过定点． 【详解】（1）∵平面内动点到点的距离与到直线的距离相等， ∴由抛物线的定义知，动点的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线， ∴其轨迹方程为. （2）由题意可知，直线的斜率不为， 设直线的方程为，，则. 由，得. 恒成立，， ∵不重合，∴，即， ∴直线的方程为， 即. ∴直线过定点. $ 3.3.1 抛物线及其标准方程 题型 一 求抛物线的标准方程 2 题型二 抛物线的定义及其应用 3 题型三 与抛物线有关的轨迹问题 4 题型四 距离和与差的最值问题 5 题型五 抛物线的实际应用 6 课时精练 9 【基础回顾】 ( 1 / 11 ) 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 抛物线的定义 （1）定义：把平面内与一个定点 和一条定直线 ( 不经过点 ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 （2）焦点：定点 抛物线的焦点。 （3）准线：直线 叫作抛物线的准线。 （4）集合表示： . 注意： （1）定点 不在定直线 上，否则动点 的轨迹不是抛物线，而是过点 垂直于直线 的一条直线。 （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性， 故二者可相互转化， 这也是利用抛物线定义解题的实质。 知识点 2: 标准方程的推导 如图，以过 且垂直于 的直线为 轴，垂足为 . 以 的中点 为坐标原点建立直角坐标系 . 设 ，则焦点 坐标为 ，准线 的方程为 . 设点 是抛物线上任意一点，点 到 的距离为 . 由抛物线定义，抛物线就是集合 因为 ，所以 将上式两边平方并化简，得 ① 方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在 轴的正半轴上， 坐标是 它的准线方程是 . 知识点 3: 抛物线的标准方程 知识点 4: 求抛物线标准方程的方法 （1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数 ； （2）待定系数法： 先设出抛物线的方程， 再根据题中条件， 确定焦参数 . 当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为 或 注意：已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式， 需根据四种抛物线的图形及开口方向确定。 题型 一 求抛物线的标准方程 1．已知抛物线上一点到焦点的距离为4，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．已知抛物线（）上一点到其焦点的距离为6，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．抛物线上与焦点的距离为2的点的横坐标为，则（    ） A． B．2 C． D．3 4．已知抛物线上一点，则焦点到准线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D．3 5．已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，过点分别向的准线作垂线，垂足为，若中点的纵坐标为2，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（   ） A． B． C． D． 8．（多选）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 9．（多选）设抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且则抛物线C的方程可以为 （ ） A． B． C． D． 10．（多选）已知O是坐标原点，抛物线的焦点是点F，，B，C是抛物线上的三点，点T在圆上运动，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．如果，则直线BC与x轴的公共点为 D．如果直线AB，AC均与圆M相切，则直线BC的方程为 题型二 抛物线的定义及其应用 1．已知抛物线C：的焦点为，点在上，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知点在抛物线上，则点到抛物线的焦点的距离为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．已知抛物线上的点与焦点的距离为7，则到轴的距离为（    ） A． B． C．2 D．4 4．从抛物线上各点向y轴作垂线段，则垂线段的中点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 5．已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 7．已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为，，若动点满足，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知点到点的距离比到直线的距离大2，则点的轨迹方程为__________． 9．已知抛物线的顶点为原点，为的准线上一点，为的焦点，线段交于点，若，则________． 10．已知M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，若，则直线的倾斜角为______________． 题型三 与抛物线有关的轨迹问题 1．已知动点到定点的距离比它到轴的距离大，则动点的轨迹为（ ） A．抛物线 B．射线 C．抛物线和射线 D．抛物线和直线 2．已知圆与直线相切，且与圆外切，则圆心的轨迹为（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 3．设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 5．过抛物线的顶点O作两条互相垂直的弦OA，OB，则弦AB的中点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知动点在抛物线上，点，为坐标原点，若，且直线与的外接圆相切，则（    ） A． B．或 C．或 D．2或 8．在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是______． 9．在平面直角坐标系中，动点N到定点的距离比它到y轴的距离大1，则动点N的轨迹方程为_________. 10．设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为______． 题型四 距离和与差的最值问题 1．已知抛物线，点P为抛物线上一点，，则的最小值为______. 2．已知抛物线上有一动点，则与点距离的最小值为__________． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线，其焦点为，定点，动点在抛物线上，则的最大值为_____________. 4．已知定点，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，则的最小值为_______ 5．已知，，三点，点P在抛物线上运动，则的最小值为______． 6．已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，若为上一点，为钝角，且，则__________. 7．已知抛物线的焦点为为坐标原点，动点在上，若点满足，则周长的最小值为______． 8．已知直线与抛物线（）交于A，B两点，且，若C上的动点P到C的准线的距离为d，点，则的最大值为______. 9．已知抛物线是的焦点，是上一个动点，点，动点满足，则的最小值为__________. 10．如图，是抛物线的焦点，点在上，点在圆的优弧上，且，则周长的最小值是____________． 题型五 抛物线的实际应用 1．世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（   ） A．0.25 B．0.5 C．1 D．2 2．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（    ）    A．40米 B．30米 C．25米 D．20米 3．某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为21.6m，拱顶距水面10.9m，路面厚度约1m．若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（    ）    A．3m B．4m C．5m D．6m 4．鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，其宽为，高为，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点到准线距离为（    ） A． B．5 C．10 D．20 5．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 6．北京永定河七号桥是丰沙铁路下行线珠窝站和沿河城站间跨越永定河的铁路桥，为中国最大跨度的钢筋混凝土铁路拱桥，全长217.98米，矢高40米，主跨150米，则该拱桥对应的抛物线的焦点到其准线的距离约为（    ） A．70.3米 B．70.5米 C．70.7米 D．70.9米 7．一抛物线型拱桥，当水面距离拱顶2m时，水面宽度为2m，若水面下降4m，则水面宽度为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）如图所示是某家用汽车远光灯示意图，其中心截口曲线是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，且灯口直径是，灯深，则（    ） A．远光灯光线按照路径射向远处 B．光源到反光镜顶点的距离是 C．与抛物线对称轴垂直的光线长度为 D．灯口上任意一点到焦点的距离是 9．（多选）上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚，两点和敌方阵地点在同一条直线上，某炮弹的弹道是抛物线的一部分，其中在直线上，抛物线的顶点到直线的距离为100米，长为400米，，，建立适当的坐标系使得抛物线的方程为，则（    ）    A． B．的准线方程为 C．的焦点坐标为 D．弹道上的点到直线的距离的最大值为米 10．（多选）如图，一个杯座圆放置在水平桌面上且内壁光滑的酒杯，杯身的轴截面图形是顶点为O、焦点为的抛物线， ，为杯口圆的圆心，足够长，杯脚．现有一根长 的细木棍放在此酒杯的杯身内，的中点在桌面上的投影为，则下列命题正确的是（    ） A．若，则的最小值为 B．若，则的最小值为 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 课时精练 ( 2 / 11 ) 学科网（北京）股份有限公司 一、单选题 1．抛物线 ：（）的焦点为，点在上， 且， 点到轴的距离为3，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 2．若为抛物线上一点，则点到其焦点的距离为（   ）. A．4 B．5 C． D．6 3．已知抛物线上的一点的纵坐标为，则点到焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 4．抛物线的焦点为，点在上，，则（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．已知是抛物线的焦点，是上的一动点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．已知点M为抛物线上的动点，过点M向圆引切线，切点分别为P，Q，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 7．如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直交直线于点，则点的轨迹为（    ）的一部分. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 8．过抛物线E：的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，．若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．（多选）已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为 C．若，则 D． 10．（多选）已知抛物线的焦点为，圆与抛物线交于，两点，点为劣弧上不同于，的一个动点，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，则（    ） A．点的纵坐标的取值范围是 B．等于点到抛物线的准线的距离 C．圆的圆心到抛物线的准线的距离为2 D．周长的取值范围是 11．（多选）已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A．的坐标为 B． C． D． 三、填空题 12．若点为抛物线：上的一点，则点到抛物线的准线的距离为________. 13．在中，O为坐标原点，点A为抛物线的准线与坐标轴的交点，点B在x轴上，其横坐标为直线在x轴上的截距，则内切圆的标准方程为_____. 14．已知点是抛物线上的动点，点是圆上的动点，则两点间的最短距离为_____． 四、解答题 15．已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 16．平面内动点到点的距离与到直线距离相等. (1)求动点的轨迹方程； (2)设过点的直线交动点的轨迹于两点，求值. 17．已知抛物线C：上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)已知点，为抛物线上一点，连接，线段的中点也在抛物线上，为坐标原点，，求点的坐标． 18．过点的直线l与抛物线交于M，N两点，F是C的焦点． (1)若线段MN中点的横坐标为2，求的值； (2)求的取值范围． 19．已知平面内动点到点的距离与到直线的距离相等．记动点的轨迹为，过点的直线与曲线相交于，两点． (1)求轨迹的方程； (2)设点关于轴对称的点为，证明：直线恒过定点． $