3.3.1　抛物线及其标准方程 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

该高中数学课件聚焦抛物线的定义、标准方程及应用，通过直尺、三角尺与细绳的操作实验情境导入，引导学生从直观画图抽象出抛物线定义，进而学习四种标准方程形式，结合自我诊断题夯实基础，构建从实践到理论的学习支架。 其亮点在于以情境导入培养直观想象，典型例题分层设计（如求方程、定义应用、最值问题），通性通法总结提升数学运算与抽象能力。例如例5利用定义转化距离求最值，帮助学生构建知识体系，提升解题思维，为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

3.3.1　 抛物线及其标准方程 新课程标准解读 核心素养 1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世 界和解决实际问题中的作用 数学抽象 2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程 直观想象、 数学运算 目录 数学·选择性必修第一册 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　把一根直尺固定在图板上直线 l 的位置，把一块三角尺的一条直 角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条 直角边的一点 A ，取绳长等于点 A 到直角顶点 C 的长（即点 A 到直线 l 的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点 F . 用铅笔尖扣 着绳子，使点 A 到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着 直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线. 目录 数学·选择性必修第一册 【问题】　你能画出该曲线并说明该曲线具有哪些性质吗？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 目录 数学·选择性必修第一册 知识点一　抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l （ l 不经过点 F ）的 ⁠ 的点的轨迹叫做抛物线.点 F 叫做抛物线的 ，直线 l 叫做抛物 线的 ⁠. 提醒　定义中要注意强调定点 F 不在定直线 l 上.当直线 l 经过点 F 时， 点的轨迹是过定点 F 且垂直于定直线 l 的一条直线. 距离相等　 焦点　 准线　 目录 数学·选择性必修第一册 知识点二　抛物线标准方程的几种形式 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 ⁠ （ p ＞0） x ＝ ⁠ ⁠ （ p ＞0） x ＝ ⁠ y2＝2 px 　 － 　 y2＝－2 px 　 　 目录 数学·选择性必修第一册 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 ⁠ （ p ＞0） y ＝ ⁠ ⁠ （ p ＞0） y ＝ ⁠ x2＝2 py 　 － 　 x2＝－2 py 　 　 目录 数学·选择性必修第一册 提醒　四个标准方程的区分方法：焦点在一次项变量对应的坐标轴 上，开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口向坐标轴 的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向. 目录 数学·选择性必修第一册 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）抛物线的方程都是二次函数. （　×　） （2）抛物线的焦点到准线的距离是 p （ p ＞0）. （　√　） （3）平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛 物线. （　×　） （4）只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线 才具有标准形式. （　√　） × √ × √ 目录 数学·选择性必修第一册 2. 焦点为（0，2）的抛物线的标准方程是（　　） A. x2＝8 y B. x2＝4 y C. y2＝4 x D. y2＝8 x 3. 抛物线 y2＝ x 的准线方程为（　　） 解析： 　抛物线 y2＝ x 的焦点在 x 轴上，且开口向右，2 p ＝1， ∴ ＝ ，∴抛物线 y2＝ x 的准线方程为 x ＝－ ，故选D. 目录 数学·选择性必修第一册 4. (2025·高二上·贵阳月考) 若抛物线上有一点，其横坐标为，则该点到焦点的距离为（ ）⁠. 解析：因为抛物线的方程为，所以，所以， 所以点到焦点的距离与点到其准线的距离相等， 即 A. B. C. D.  目录 数学·选择性必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 求抛物线的标准方程 角度1　直接法求抛物线的标准方程 【例1】　（1）焦点在 y 轴上，并且焦点到准线的距离等于6的抛物线 的标准方程是（　C　） A. x2＝±3 y B. y2＝±6 x C. x2＝±12 y D. x2＝±6 y 解析： 由已知得 p ＝6且焦点在 y 轴上，所以抛物线的标准 方程是 x2＝±12 y . C 目录 数学·选择性必修第一册 （2）准线方程为 x ＝ 的抛物线的标准方程是 　 y2＝－ x 　. 解析： 由题意知 ＝ ，所以 p ＝ ，所以抛物线的标准方 程是 y2＝－ x . y2＝－ x 　 通性通法 　　在抛物线方程的类型已确定的前提下，由于标准方程中只有一个 参数 p ，所以只需一个条件就可以确定抛物线的方程. 目录 数学·选择性必修第一册 角度2　待定系数法求抛物线的标准方程 【例2】　顶点在原点，且过点（－4，4）的抛物线的标准方程是 （　　） A. y2＝－4 x B. x2＝4 y C. y2＝－4 x 或 x2＝4 y D. y2＝4 x 或 x2＝－4 y 解析： 　设抛物线方程为 y2＝－2 p1 x （ p1＞0）或 x2＝2 p2 y （ p2＞ 0），把（－4，4）代入得16＝8 p1或16＝8 p2，即 p1＝2或 p2＝2.故抛 物线的标准方程为 y2＝－4 x 或 x2＝4 y .故选C. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 提醒　当抛物线的类型没有确定时，可设方程为 y2＝ mx （ m ≠0）或 x2＝ ny （ n ≠0），这样可以减少讨论情况的个数. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 　根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： （1）经过点（－3，－1）； 解： 因为点（－3，－1）在第三象限，所以设所求抛物线 的标准方程为 y2＝－2 px （ p ＞0）或 x2＝－2 py （ p ＞0）. 若抛物线的标准方程为 y2＝－2 px （ p ＞0）， 则由（－1）2＝－2 p ×（－3），解得 p ＝ ； 若抛物线的标准方程为 x2＝－2 py （ p ＞0），则由（－3）2＝－ 2 p ×（－1），解得 p ＝ . 故所求抛物线的标准方程为 y2＝－ x 或 x2＝－9 y . 目录 数学·选择性必修第一册 （2）焦点为直线3 x －4 y －12＝0与坐标轴的交点. 解： 对于直线方程3 x －4 y －12＝0，令 x ＝0，得 y ＝－3； 令 y ＝0，得 x ＝4， 所以抛物线的焦点为（0，－3）或（4，0）. 当焦点为（0，－3）时， ＝3，所以 p ＝6，此时抛物线的标准 方程为 x2＝－12 y ； 当焦点为（4，0）时， ＝4，所以 p ＝8，此时抛物线的标准方 程为 y2＝16 x . 故所求抛物线的标准方程为 x2＝－12 y 或 y2＝16 x . 目录 数学·选择性必修第一册 题型二 抛物线定义的应用 角度1　焦半径公式及应用 【例3】　（1）（2024·常州月考）已知抛物线 C ： y2＝ x 的焦点为 F ， A （ x0， y0）是 C 上一点，｜ AF ｜＝ x0，则 x0＝（　A　） A. 1 B. 2 解析： 由题意，知抛物线的准线方程为 x ＝－ ，因为｜ AF ｜＝ x0，根据抛物线的定义，得 x0＋ ＝｜ AF ｜＝ x0，所 以 x0＝1，故选A. A C. 4 D. 8 目录 数学·选择性必修第一册 （2）抛物线 x2＝4 y 上的点 P 到焦点的距离是10，则 P 点的坐标 为 ⁠. 解析： 设点 P （ x0， y0），由抛物线方程为 x2＝4 y ，知焦 点坐标为（0，1），准线方程为 y ＝－1.由抛物线的定义，得｜ PF ｜＝ y0＋1＝10，所以 y0＝9，代入抛物线方程得 x0＝±6.所以 P 点坐标为（±6，9）. （6，9）或（－6，9）　 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 　　根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准 线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互 转化，从而简化某些问题. 目录 数学·选择性必修第一册 角度2　与抛物线有关的轨迹问题 【例4】　已知圆 C 的方程为 x2＋ y2－10 x ＝0，求与 y 轴相切且与圆 C 外切的动圆圆心 P 的轨迹方程. 解：设点 P 的坐标为（ x ， y ），动圆的半径为 R ， ∵动圆 P 与 y 轴相切，∴ R ＝｜ x ｜. ∵动圆与定圆 C ：（ x －5）2＋ y2＝25外切， ∴｜ PC ｜＝ R ＋5， ∴｜ PC ｜＝｜ x ｜＋5， 目录 数学·选择性必修第一册 当点 P 在 y 轴右侧时， x ＞0，则｜ PC ｜＝ x ＋5， ∴点 P 的轨迹是以（5，0）为焦点的抛物线，则圆心 P 的轨迹方程为 y2＝20 x （ x ＞0）； 当点 P 在 y 轴左侧时， x ＜0，则｜ PC ｜＝－ x ＋5，此时点 P 的轨迹 是 x 轴的负半轴，即方程为 y ＝0（ x ＜0）. ∴点 P 的轨迹方程为 y2＝20 x （ x ＞0）或 y ＝0（ x ＜0）. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 解与抛物线有关的轨迹问题的方法 　　求解与抛物线有关的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可 以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解. 目录 数学·选择性必修第一册 角度3　最值问题 【例5】　已知点 P 是抛物线 y2＝2 x 上的一个动点，求点 P 到点（0， 2）的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值. 解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的 距离等于它到焦点的距离.由图可知，当点 P ，点 （0，2）和抛物线的焦点 F 三点共线时距离 之和最小，所以最小距离 d ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册 【母题探究】 1. （变条件）若将本例中的点（0，2）改为点 A （3，2），求｜ PA ｜ ＋｜ PF ｜的最小值. 解：将 x ＝3代入 y2＝2 x ， 得 y ＝± . 所以点 A 在抛物线内部. 设点 P 到准线 x ＝－ 的距离为 d ，则｜ PA ｜＋｜ PF ｜＝｜ PA ｜＋ d .由图可知，当 PA ⊥ l 时，｜ PA ｜＋ d 最小，最小值 是 .即｜ PA ｜＋｜ PF ｜的最小值是 . 目录 数学·选择性必修第一册 2. （变条件）若将本例中的点（0，2）换为直线 l1：3 x －4 y ＋ ＝0， 求点 P 到直线3 x －4 y ＋ ＝0的距离与点 P 到该抛物线的准线的距离 之和的最小值. 解：如图，作 PQ 垂直于准线 l 于点 Q ， ｜ PA1｜＋｜ PQ ｜＝｜ PA1｜＋｜ PF ｜≥ . ｜ A1 F ｜的最小值为点 F 到直线3 x －4 y ＋ ＝0的距 离，设点 F 到直线 l1的距离为 d ， d ＝ ＝ 1.即所求最小值为1. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 利用抛物线定义研究最值的一般思路 （1）若点 M 在抛物线的内部，过点 M 作准线的垂线，该垂线与抛物 线的交点到抛物线焦点 F 和到已知点 M 的距离最小； （2）若点 M 在抛物线的外部，连接 MF ，则 MF 与抛物线的交点 P 可 使｜ PF ｜＋｜ PM ｜的值最小. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 　平面上一动点 P 到定点 F （1，0）的距离比点 P 到 y 轴的距离大1， 求动点 P 的轨迹方程. 解：由题意，动点 P 到定点 F （1，0）的距离比到 y 轴的距离大1，由 于点 F （1，0）到 y 轴的距离为1，故当 x ＜0时，直线 y ＝0上的点符 合题意； 当 x ≥0时，题中条件等价于点 P 到点 F （1，0）与到直线 x ＝－1的距 离相等，故点 P 的轨迹是以 F 为焦点，直线 x ＝－1为准线的抛物线， 轨迹方程为 y2＝4 x . 故所求动点 P 的轨迹方程为 y2＝4 x （ x ≥0）或 y ＝0（ x ＜0）. 目录 数学·选择性必修第一册 1. 若动点 P 到定点 F （－4，0）的距离与到直线 x ＝4的距离相等，则 P 点的轨迹是（　　） A. 抛物线 B. 线段 C. 直线 D. 射线 解析： 　动点 P 的条件满足抛物线的定义.故选A. 目录 数学·选择性必修第一册 2. 已知抛物线 y ＝2 px2过点（1，4），则抛物线的焦点坐标为 （　　） A. （1，0） D. （0，1） 解析： 　由抛物线 y ＝2 px2过点（1，4），可得 p ＝2，∴抛物线 的标准方程为 x2＝ y ，则焦点坐标为 ，故选C. 目录 数学·选择性必修第一册 3. 已知抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）的焦点为 F1，若点 A （2，－4）在抛 物线上，则点 A 到焦点的距离为 ⁠. 解析：把点（2，－4）代入抛物线 y2＝2 px ，得16＝4 p ，即 p ＝4， 从而抛物线的焦点为（2，0）.故点 A 到焦点的距离为4. 4. 若焦点在 y 轴上，且抛物线上一点 P （ m ，1）到焦点 F 的距离为 6，求抛物线的标准方程. 解：由题意，可设抛物线的标准方程为 x2＝2 py （ p ＞0）.点 P 到焦 点的距离等于点 P 到准线的距离，故1－（－ ）＝6，解得 p ＝ 10，所以抛物线的标准方程为 x2＝20 y . 4　 目录 数学·选择性必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 抛物线 y ＝－ x2的准线方程为（　　） B. x ＝1 C. y ＝1 D. y ＝2 解析： 　抛物线的标准方程为 x2＝－4 y ，则准线方程为 y ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 2. 在平面直角坐标系中，与点（1，2）和直线 x ＋ y －3＝0的距离相 等的点的轨迹是（　　） A. 直线 B. 抛物线 C. 圆 D. 双曲线 解析： 　因为点（1，2）在直线 x ＋ y －3＝0上，所以所求点的轨 迹是过点（1，2）且与直线 x ＋ y －3＝0垂直的直线，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 3. (2025高二上·柳州期末) 抛物线的准线方程是（　　） 解析： 　由可得，故，且开口向下，故抛物线的准线方程是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A. B.  C. D.  目录 数学·选择性必修第一册 4. （2024·温州月考）已知 P 为抛物线 y2＝4 x 上一个动点， Q 为圆 x2＋ （ y －4）2＝1上一个动点，则点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的 准线的距离之和的最小值是（　　） A. 5 解析： 　点 P 到抛物线的准线的距离等于点 P 到抛物线焦点 F （1，0）的距离.圆心坐标是（0，4），圆心到抛物线焦点的距离为 ，即圆上的点 Q 到抛物线焦点的距离的最小值是 －1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 5. （多选）经过点 P （4，－2）的抛物线的标准方程为（　　） A. y2＝ x B. x2＝8 y C. x2＝－8 y D. y2＝－8 x 解析： 　若抛物线的焦点在 x 轴上，设抛物线的方程为 y2＝ mx （ m ≠0），因为抛物线经过点 P （4，－2），所以（－2）2＝4 m ，解得 m ＝1，所以抛物线的标准方程为 y2＝ x .若抛物线的焦点在 y 轴上，设抛物线的方程为 x2＝ ny （ n ≠0），因为抛物线经过点 P （4，－2），所以42＝－2 n ，解得 n ＝－8，所以抛物线的标准方 程为 x2＝－8 y .故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 6. （多选）对标准形式的抛物线给出下列条件，其中满足抛物线 y2＝ 10 x 的有（　　） A. 焦点在 y 轴上 B. 焦点在 x 轴上 C. 开口向右，焦点坐标为（5，0） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　抛物线 y2＝10 x 的焦点在 x 轴上，B满足，A不满足；易 知抛物线开口向右，焦点坐标为（ ，0），C不满足；设 M （1， y0）是抛物线 y2＝10 x 上一点， F 为焦点，则｜ MF ｜＝1＋ ＝1＋ ＝ ，所以D满足. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 7. 已知双曲线 － y2＝1的右焦点恰好是抛物线 y2＝8 x 的焦点，则 m ＝ ⁠. 解析：由题意得 m ＋1＝22，解得 m ＝3. 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 8. 在抛物线 y2＝－12 x 上，与焦点的距离等于9的点的坐标是 ⁠ ⁠. 解析：由方程 y2＝－12 x ，知焦点 F （－3，0），准线 l ： x ＝3.设 所求点为 P （ x ， y ），则由抛物线定义知｜ PF ｜＝3－ x .又｜ PF ｜＝9，所以3－ x ＝9， x ＝－6，代入 y2＝－12 x ，得 y ＝±6 . 所以所求点的坐标为（－6，6 ）或（－6，－6 ）. （－ 6，6 ）或（－6，－6 ）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 9. （2024·泰州月考）已知直线 l1：4 x －3 y ＋6＝0和直线 l2： x ＝－ 1，抛物线 y2＝4 x 上一动点 P 到直线 l1和直线 l2 的距离之和的最小值 是 ⁠. 解析：易知直线 l2： x ＝－1恰为抛物线 y2＝4 x 的准 线，如图所示，动点 P 到 l2： x ＝－1的距离可转化 为 PF 的长度，其中 F （1，0）为抛物线 y2＝4 x 的 焦点.由图可知，距离之和的最小值即 F 到直线 l1的 距离 d ＝ ＝2. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 10. 根据下列条件分别求抛物线的标准方程： （1）抛物线的焦点是双曲线16 x2－9 y2＝144的左顶点； 解： 双曲线方程可化为 － ＝1，左顶点为（－3，0）， 由题意设抛物线方程为 y2＝－2 px （ p ＞0）且 ＝－3， ∴ p ＝6，∴抛物线的方程为 y2＝－12 x . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 y ＝－3与抛物线交于点 A ，｜ AF ｜＝5. 解： 设所求焦点在 x 轴上的抛物线的方程为 y2＝2 px （ p ≠0）， A （ m ，－3）， 由抛物线定义得5＝｜ AF ｜＝｜ m ＋ ｜. 又（－3）2＝2 pm ，∴ p ＝±1或 p ＝±9， 故所求抛物线方程为 y2＝±2 x 或 y2＝±18 x . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 11. 若动点 M （ x ， y ）到点 F （4，0）的距离比它到直线 x ＋5＝0的 距离小1，则点 M 的轨迹方程是（　　） A. x ＋4＝0 B. x －4＝0 C. y2＝8 x D. y2＝16 x 解析： 　依题意可知，点 M 到点 F 的距离等于点 M 到直线 x ＝－ 4的距离，因此其轨迹是抛物线，且 p ＝8，顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上，所以其方程为 y2＝16 x .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 12. （多选）设抛物线 y2＝4 x ， F 为其焦点， P 为抛物线上一点，则 下列结论正确的是（　　） A. 抛物线的准线方程是 x ＝－1 B. 当 PF ⊥ x 轴时，｜ PF ｜取最小值 D. 以线段 PF 为直径的圆与 y 轴相切 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　对于A，抛物线的准线方程为 x ＝－ ＝－1，故A正 确；对于B，设 P （ x0， y0），则 x0≥0， ＝4 x0， F （1，0）， 则｜ PF ｜＝ ＝ x0＋1≥1，当 x0＝0时取得最小 值，此时 P （0，0）在原点，故B错误；对于C， A 在抛物线外 部，故当 P ， A ， F 三点共线时｜ PA ｜＋｜ PF ｜取得最小值， 为｜ AF ｜＝ ＝ ，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 对于D，过点 P 作准线的垂线，垂足为 Q ，设 P （ m ， n ），线段 PF 的中点为 B （ x1， y1），可得 x1＝ （1＋ m ），由抛物线的定 义，得｜ PF ｜＝｜ PQ ｜＝ m ＋1，∴ x1＝ ｜ PF ｜，即点 B 到 y 轴的距离等于以 PF 为直径的圆的半径，因此，以 PF 为直径的圆 与 y 轴相切，故D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 13. 已知 M 是抛物线 C ： y2＝2 px （ p ＞0）上一点， F 是抛物线 C 的焦 点，过 M 作抛物线 C 的准线的垂线，垂足为 N ，若∠ MFO ＝120° （ O 为坐标原点），△ MNF 的周长为12，则｜ NF ｜＝ ⁠. 解析：因为∠ MFO ＝120°，所以∠ FMN ＝60°.又 M 是抛物线 C 上 一点，所以｜ FM ｜＝｜ MN ｜，则△ FMN 是等边三角形.又△ FMN 的周长为12，所以｜ NF ｜＝ ＝4. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 14. （2024·青岛月考）如图所示，已知抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）的焦 点为 F ， A 是抛物线上横坐标为4，且位于 x 轴上方的点，点 A 到抛 物线准线的距离等于5，过点 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为点 B ， OB 的中点为 M . （1）求抛物线的方程； 解： 抛物线 y2＝2 px 的准线方程为 x ＝－ ， 于是4＋ ＝5， p ＝2， 所以抛物线的方程为 y2＝4 x . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）过点 M 作 MN ⊥ FA ，垂足为 N ，求点 N 的坐标. 解： 由题意得 A （4，4）， B （0， 4）， M （0，2）. 又 F （1，0），所以 kAF ＝ ， 则 FA 的方程为 y ＝ （ x －1）. 因为 MN ⊥ FA ，所以 kMN ＝－ ， 则 MN 的方程为 y ＝－ x ＋2. 解方程组得所以 N . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 15. （2024·泉州质检）已知抛物线 C ： y2＝8 x 的焦点为 F ，准线 l 与 x 轴的交点为 M ，点 P 在抛物线上，且｜ PM ｜＝ ｜ PF ｜，则△ PMF 的面积为（　　） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　如图所示，易得 F （2，0），过点 P 作 PN ⊥ l ，垂足为 N . 因为｜ PM ｜＝ ｜ PF ｜，｜ PF ｜＝｜ PN ｜，所以｜ PM ｜＝ ｜ PN ｜，所以｜ MN ｜＝｜ PN ｜.设 P （ ， t ），则｜ t ｜＝ ＋2，解得 t ＝±4，所以△ PMF的面积为 · ｜ t ｜·｜ MF ｜＝ ×4×4＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 16. 已知抛物线 y2＝4 ax （ a ＞0）的焦点为 A ，以 B （ a ＋4，0）为圆 心，｜ BA ｜为半径，在 x 轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不 同两点 M ， N ，点 P 为线段 MN 的中点. （1）求｜ AM ｜＋｜ AN ｜的值； 解： 设 M （ xM ， yM ）， N （ xN ， yN ），由抛物线的定 义，得｜ AM ｜＋｜ AN ｜＝ xM ＋ xN ＋2 a .又圆的方程为[ x －（ a ＋4）]2＋ y2＝16，将 y2＝4 ax 代入，得 x2－2（4－ a ） x ＋ a2＋8 a ＝0，∴ xM ＋ xN ＝2（4－ a ），∴｜ AM ｜＋｜ AN ｜＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）是否存在这样的 a ，使2｜ AP ｜＝｜ AM ｜＋｜ AN ｜？若存 在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由. 解： 不存在.假设存在这样的 a ，使得2｜ AP ｜＝｜ AM ｜＋ ｜ AN ｜.过点 P 作PP'垂直抛物线的准线，垂足为P'. ∵｜ AM ｜＋｜ AN ｜＝2｜PP'｜，∴｜ AP ｜＝｜PP'｜.由 抛物线的定义知点 P 必在抛物线上，这与点 P 是线段 MN 的 中点矛盾，∴这样的 a 不存在. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 谢 谢 观 看！ $