3.2.2.1 双曲线的简单几何性质讲义 2026-2027学年高二上学期数学选修一例题精讲及课时精练

该高中数学讲义通过表格对比与分点梳理构建双曲线知识体系，系统呈现标准方程、几何性质、渐近线、焦点三角形等核心内容，用结构化框架图串联离心率、有界性等重难点，清晰展现知识内在逻辑与应用关联。 讲义亮点在于分层题型设计，如“渐近线问题”结合直线与双曲线交点、焦点三角形面积等综合题，培养逻辑推理与运算能力。提供焦点三角形面积公式法等解题技巧，基础题巩固性质理解，综合题提升数学思维，助力学生自主复习与教师精准教学。

3.2.2.1 双曲线的简单几何性质 题型一 双曲线的简单几何性质 2 题型二 由几何性质求标准方程 7 题型三 双曲线的渐近线问题 13 题型四 双曲线的焦点三角形 21 题型五 双曲线有界性的有关应用 27 题型六 双曲线的离心率及其范围 33 课时精练 40 【基础回顾】 ( 1 / 51 ) 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 双曲线的简单几何性质 标准方程 图形 焦点 的关系 范围 或 或 对称性 关于 轴、 轴对称,关于原点中心对称 顶点 轴 实轴长 ,虚轴长 ; 实半轴长 ,虚半轴长 离心率 越大,双曲线开口就越开阔. 所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度. 渐近线方程 知识点 2: 双曲线的渐近线 (1)已知双曲线方程求渐近线方程: 若双曲线方程为 ,则其渐近线方程为 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程. (2)已知渐近线方程求双曲线方程: 若双曲线渐近线方程为 ,则可设双曲线方程为 ,根据已知条件,求出 即可. (3)与双曲线 有公共渐近线的双曲线: 与双曲线 有公共渐近线的双曲线方程可设为 知识点 3: 等轴双曲线 在双曲线中,若 ,则双曲线的长轴和短轴相等,即等轴双曲线,故等轴双曲线可设为 . 等轴双曲线的性质有: (1)离心率:等轴双曲线的离心率为: ; (2)渐近线:①等轴双曲线的渐近线为: ,故等轴双曲线的渐近线互相垂直,且倾斜角分别为 和 . 知识点 4: 焦点三角形面积的求法 方法 1: 结合余弦定理 ①根据双曲线的定义，求出 ; ② 利用余弦定理表示出 、 、 之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出 的值，通过余弦定理可得 ④ 利用公式 求得面积. 方法 2: 利用公式 求得面积; 方法 3: 若双曲线中焦点三角形的顶角 ,则面积 ,结论适用于选择或填空题. 知识点 5: 点到焦点的距离的有界性 双曲线右支上一动点到右焦点的距离范围为 ,动点在右端点取得最小值 . 双曲线左支上一动点到右焦点的距离范围为 ,动点在左端点取得最小值 . 题型一 双曲线的简单几何性质 1．已知双曲线的右焦点为，其一条渐近线过点，则的实轴长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】依题意可得，结合渐近线方程求出，，即可得解. 【详解】由右焦点为得，所以， 又因为的一条渐近线过点，所以，所以， 所以的实轴长. 2．双曲线的右顶点到其渐近线的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到右顶点为，及其中一条渐近线方程，再利用点到直线的距离公式计算． 【详解】解：双曲线，则右顶点为， 由对称性，不妨取其中一条渐近线，方程为，即， 则右顶点到其渐近线的距离为． 3．已知双曲线，下列说法正确的是（   ） A．的取值范围为 B．双曲线的焦点可能在轴上 C．双曲线的焦距为 D．双曲线的两条渐近线可能垂直 【答案】D 【分析】根据双曲线标准方程的条件确定的取值范围，再根据的取值范围判断焦点位置、焦距以及渐近线的性质. 【详解】由题意，，解得，故A选项错误. ，且，所以双曲线的焦点不可能在轴上，只能在轴上，B选项错误. 双曲线，其中，，，焦距，C选项错误. 双曲线的渐近线方程为. ，解得，当时，双曲线的两条渐近线垂直，D选项正确. 故选：D 4．双曲线的焦距是4，其渐近线与圆相切，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据焦距可得，根据相切关系以及点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意可得，得． 因为双曲线的渐近线与圆相切， 所以，得，又， 解得， 所以双曲线的方程为． 故选：A 5．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，且双曲线过点，则双曲线的实轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与直线平行，求得与之间的等量关系，再根据点在曲线上得到与之间的另一个等量关系，解方程组. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 因为其中一条与直线平行，且直线的斜率为， 所以2，即， 因为双曲线过点，所以，即， ，， 所以双曲线的实轴长． 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线交双曲线的右支于点，交轴于点，为的中点，的外接圆的半径为，则双曲线的虚轴长为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据通径长公式求，再根据直线的斜率和三角形外接圆半径列式，结合双曲线中的关系可求的值，最后双曲线的虚轴长为，可得结论. 【详解】如图： 因为为的中点，为的中点，所以， 根据通径的长度公式，可得. 又因为直线的斜率为，所以，. 由 . 又的外接圆半径为4，所以 . 由 . 所以双曲线的虚轴长为：. 故选：C 7．已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到方程，求出，得到双曲线方程和渐近线方程. 【详解】由题意得，解得， ，故渐近线方程为. 故选：C 8．（多选）已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则的值可能是（    ） A． B．2 C． D．12 【答案】BD 【分析】分焦点在轴，轴两种情况讨论，求解即可. 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，，则，解得； 当双曲线的焦点在轴上时，，则，解得. 故选：BD 9．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作垂直于轴的直线交于A，B两点，若直线的斜率是的周长是36，则下列选项中正确的是（    ） A．的虚轴长为2 B．的渐近线方程为 C．的面积为48 D．的外接圆半径为 【答案】BCD 【分析】通过直线轴与双曲线交点、直线斜率、双曲线定义及周长建立方程组，解得后验证各选项，从而确定正确答案. 【详解】如图，设，直线， 由，得，则， 由直线的斜率是，得， 由双曲线定义得， 由的周长是36，得， 即，故，而， 代入得，解得， 所以双曲线方程为， 对于A，双曲线方程为，所以的虚轴长为，A错误； 对于B，因为，所以的渐近线方程为，B正确； 对于C，，所以，C正确； 对于D，由题意得， 所以的外接圆半径为，D正确. 10．（多选）已知双曲线，过点的直线与.交于两点，则（    ） A．的实轴长为2 B．的离心率为2 C．点到的两条渐近线的距离之积为3 D．点可能是线段的中点 【答案】BC 【分析】根据双曲线的定义、性质、直线与双曲线的关系逐项计算判断即可. 【详解】由题意知，所以的实轴长为，离心率，故A错误，B正确； 设，所以，所以点到的两条渐近线的距离之积为，故C正确； 显然直线的斜率存在，设直线的方程为，， 由得，即， 则，若点是线段的中点，则，则， 解得，此时，矛盾. 所以点不可能是线段的中点，故D错误. 题型二 由几何性质求标准方程 1．以直线为渐近线且过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由双曲线的渐近线为直线，设该双曲线方程为， 由该双曲线过点，得，解得， 所以所求双曲线方程为，即. 2．已知双曲线的右焦点为F，焦距为2c，过F的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点A，FA的延长线与直线交于点B，的面积为，O为原点，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据锐角三角函数定义，结合渐近线的倾斜角、勾股定理、三角形面积公式进行求解即可. 【详解】设直线与横轴的交点为， 根据双曲线的对称性，设双曲线的一条渐近线方程为， 在直角中，设， 因为， 即，于是， 因为的面积为， 所以， ， 所以由， 所以双曲线的方程为. 3．若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据渐近线设双曲线方程为，再根据点即可求解. 【详解】由题意得：设以直线为渐近线的双曲线的方程为， 又双曲线过点，所以， 所以双曲线为. 4．已知双曲线的虚轴长为为上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到和渐近线方程，并设点，则，由点到直线距离公式得到方程，求出，得到双曲线方程. 【详解】由题意得，解得， 双曲线渐近线方程为，即， 设点，则，即， 则到两渐近线方程的距离分别为， 所以， 解得， 故双曲线方程为. 故选：A 5．已知双曲线的虚轴长为2，离心率为，则其方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的离心率求得，利用虚轴长求得，进而求得，从而求得双曲线的方程. 【详解】双曲线的离心率，， 双曲线的虚轴长为，所以， 所以双曲线的方程为. 故选：C 6．已知双曲线的虚轴长为，两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线的标准方程为，根据题意求出、的值，由此可得出双曲线的标准方程. 【详解】由题，设双曲线的标准方程为，则，可得， 又因为双曲线的两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则， 因此，双曲线的标准方程为. 故选：A. 7．已知双曲线中心在原点，一顶点坐标为，且渐近线方程为，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由顶点位置可假设双曲线方程，结合顶点坐标和渐近线方程可求得，由此可得结果. 【详解】双曲线顶点在轴上，可设其方程为， 顶点坐标为，渐近线方程为，即， ，解得：，双曲线方程为：. 故选：A. 8．（多选）已知双曲线的焦距为4，则下列条件能使的方程为的是（   ） A．的离心率为 B．的渐近线方程为 C．的实轴长为 D．是上的点 【答案】AD 【分析】根据双曲线的方程以及双曲线的几何性质，对选项逐一判断即可. 【详解】由题可知，，即，因此. 双曲线方程，等价于. 对于A：若的离心率，解得， 又因为，故，符合题意，故A正确； 对于B：若的渐近线方程为，则，即， 又因为，易解得，与题意不符，故B错误； 对于C：若的实轴长为，即，则，与题意不符，故C错误； 对于D：将代入，可得，又因为， 联立，可得，整理得：，解得或（舍去，因为），又因为，故，符合题意，故D正确. 故选：AD. 9．（多选）若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为，则下列结论正确的是（    ） A．的焦点到渐近线的距离为4 B．的离心率为 C．上的点到距离的最小值为2 D．过的最短的弦长为 【答案】AC 【分析】根据题意，可知，再根据求得，从而得出双曲线的右焦点为 ，渐近线方程为，根据点到直线的距离公式即可求出焦点到渐近线的距离，即可判断A选项；直接求出离心率可知B选项错误；当双曲线上的点为其右顶点时，此时双曲线上的点到的距离最小，即可判断C选项；过点且斜率为零的直线与双曲线的交点为，可得出过的最短的弦长，即可判断D选项. 【详解】解：由题意知，，即， 因为，所以，解得：， 所以右焦点为 ，双曲线的渐近线方程为， 对于A： 到渐近线的距离为，故A正确； 对于B：因为，所以双曲线的离心率为，故B错误； 对于C：当双曲线上的点为其右顶点时，此时双曲线上的点到的距离最小为，故C正确； 对于D：过点且斜率为零的直线与双曲线的交点为，此时为过点的最短弦为，故D错误． 故选：AC. 10．（多选）已知双曲线，为双曲线上一点，过点的切线为，双曲线的左右焦点，到直线的距离分别为，，则（    ） A． B．直线与双曲线渐近线的交点为，，则，，，四点共圆 C．该双曲线的共轭双曲线的方程为 D．过的弦长为5的直线有且只有1条 【答案】AB 【分析】对于A中，求得切线的方程，结合点到直线的距离公式，可判定A正确 对于B中，联立方程组，分别求得坐标，结合斜率公式，可判定B正确，根据共轭双曲线的定义，可判定C错误；结合实轴长和通径，可判定D错误. 【详解】由题意，双曲线的焦点坐标为，， 对于A中，由双曲线的性质，可得切线的方程为，即， 则， 所以A正确 对于B中，联立方程组，可得， 又由，可得， ，， ， ， 则 ， ∴，， ∴，，，四点共圆，B正确.      对于C中，双曲线的共轭双曲线为，所以C错误 对于D中，由双曲线，可得，则， 可得，且通经长，所以过的弦长为5的直线有3条，所以D错误. 故选：AB. 【点睛】方法点拨：联立方程组，求得点，，结合斜率公式和倾斜角的定义，判定得到四点共面是解答的关键. 题型三 双曲线的渐近线问题 1．已知点，，，中有3个点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线对称性可知点，，在双曲线上，代入点可得，即可得渐近线方程. 【详解】根据双曲线对称性可知点，，在双曲线上， 则，解得， 且双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为. 2．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点P在C的右支上，且，若的中点在C的第一、三象限内的渐近线上，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的中点为M，设，结合双曲线定义与正弦定理计算可得，再利用余弦定理可列出与、、有关齐次等式，即可得其渐近线方程. 【详解】设的中点为M，又O是的中点，则，则， 设，则， 在中，由正弦定理得， 则，得， 在中，由余弦定理得， 则，即， 结合，整理得， 所以C的渐近线方程为. 3．已知过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，点是双曲线的左焦点，若，则双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的定义表示，再使用余弦定理表示和，由互补建立等量关系，结合双曲线参数关系即可求解. 【详解】由题意得在双曲线左支上，则， 因为，则，且， 则， ， 因为， 则， 即， 整理得，即， 在双曲线中有，即， 联立，整理得，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，直线与双曲线的右支交于点，若的内切圆半径为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义和内切圆的性质可得，设，则内切圆的圆心为，利用点到直线的距离公式建立关于的方程，解得，结合渐近线的概念即可求解. 【详解】因为左焦点，，所以直线过点， 由双曲线的定义知，设内切圆与各边的切点为， 则，，， 所以，设， 则，解得. 又内切圆的半径为，所以内切圆的圆心为， 因为直线过点，设圆心到直线的距离为， 则，解得， 又，所以，所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A 5．过双曲线：（）的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若点关于点的对称点恰好落在双曲线上，则双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先将直线和其中一条渐近线方程联立，求出点的坐标，再根据中点坐标公式求出对称点的坐标，最后由于对称点恰好落在双曲线上，将的坐标代入双曲线的方程即可求解. 【详解】 如图所示，已知双曲线，其右焦点为，其中， 不妨设过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，则直线的方程为， 联立方程组，解得，所以点的坐标为，其中为线段的中点， 设点的坐标为，由中点坐标公式得，解得，所以点的坐标为， 又因为点在双曲线上，则，结合，化简得，即， 因此双曲线的渐近线为，故B正确. 6．设双曲线的右焦点为，且在一条渐近线上的投影为点，若的内切圆与的实轴切于点，且，则的渐近线方程是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【详解】双曲线：的右焦点，根据双曲线的性质，右焦点坐标是，，渐近线方程是 取一条渐近线的方程为，则在的投影为点，可得， 因为是直角三角形，所以 由此可得，的内切圆半径， 内切圆与的实轴切于点，则，由此可得， 因为，所以，代入可得，化简可得， 把代入，可得，化简可得， 两边同时除以，可得， 令， 代入可得， 由此可得，， 因为，所以，， 因此双曲线的渐近线方程为. 7．已知双曲线的左顶点为，过的直线与的右支交于点，若线段的中点在圆上，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设线段的中点为，双曲线的右顶点为，连接，则可得，然后在中利用余弦定理求得，则，从而可表示出，代入双曲线方程化简可求出渐近线方程. 【详解】设线段的中点为，双曲线的右顶点为，左右焦点为，连接， 因为线段的中点在圆上，所以， 所以≌，所以， 因为，所以， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 所以，过作轴于，则， 所以， 所以，得，即， 所以双曲线的渐近线方程为； 故选：B 8．（多选）已知双曲线：（）的上、下焦点分别为，，下顶点为，是双曲线上第一象限内的动点.当时，的面积为3，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的离心率 B．双曲线的渐近线方程为 C．若过点作双曲线的切线与渐近线交于，两点，则的最小值为4 D． 【答案】AD 【分析】选项A，焦点三角形的相关性质，结合双曲线的定义，得到基本量的关系选项B，考查焦点在轴上，渐近线方程.选项D，设点坐标，利用正切值建立坐标与角的关系，两个角的正切值相等，限定范围，得到结论. 选项C，特殊点求解的值计算判断C. 【详解】对于A：由双曲线定义得 ，平方得 ， 在 中由余弦定理得， ， 代入 ，整理得 ，即 ， 的面积， 得 ，即， 又因为，所以，则离心率 ，A正确； 对于选项B：焦点在轴的双曲线渐近线为 ，得 ，B错误； 对于选项D：，设 ，满足 ， 设，，则 ， 代入 ，化简得 ， 设，同理得 ，且 ，故 ，即，D正确； 对于选项C：设点为双曲线C上任意一点，过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N两点， 设，因为，则. 又可得双曲线渐近线方程为：，将渐近线方程与直线方程联立， 可得或， 则，. 则，则的最小值不是4，C选项错误. 9．（多选）已知双曲线：（，）的离心率为，点为双曲线上一动点，且双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的渐近线方程为 B． C．若，则的面积为1 D．若的面积为，则为钝角三角形 【答案】ACD 【分析】利用离心率与点到直线距离公式可求出双曲线的方程，即可得A、B；结合双曲线定义与三角形面积公式计算可得C；利用面积可得，从而可得点坐标，再求出、、后即可得D. 【详解】双曲线：的渐近线方程为，焦点坐标为， 则由双曲线的焦点到渐近线的距离为1，可得 ， 由，则，即有， 解得，则，故双曲线的方程为； 对A：由双曲线的方程为，则渐近线方程为，故A正确； 对B：由双曲线的方程为，故，故B错误； 对C：设，，则， 由有 ， 又 ，故， 则，故C正确； 对D：由，则， 故有，解得，由对称性，不妨取， 则有 ， ， 又 ，故中最大角为， 由，故为钝角， 即为钝角三角形，故D正确. 10．（多选）已知、分别是双曲线的左、右焦点，点是上任意一点，为坐标原点，则下列结论正确的有（    ） A．的离心率为 B．点到的两条渐近线的距离之积为 C．若，则 D． 【答案】ACD 【分析】根据双曲线方程得出计算离心率判断A，应用点到直线距离计算判断B，应用垂直关系计算判断C，应用向量关系结合余弦定理计算判断D. 【详解】由双曲线化为标准方程形式：可得：， 对于A选项：的离心率，故A正确； 对于B选项：的两条渐近线方程为：， 设，则点到两条渐近线的距离分别为， 所以，故B错误； 对于C选项： 因为且点为的中点，所以，故C正确； 对于D选项：因为为的中点，可得，两边平方结合余弦定理得出 ， 又因为， 所以，故D正确； 题型四 双曲线的焦点三角形 1:焦点三角形的周长问题 2:焦点三角形的夹角问题 3:公式法求焦点三角形面积 4: 已知焦点三角形顶角求面积 若双曲线中焦点三角形的顶角 ,则面积 ,结论适用于选择或填空题. 1．设 分别是双曲线 的上、下焦点，双曲线上的点 满足 ，则 的面积等于（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】D 【分析】根据双曲线定义可得，进而得，即可利用面积公式求解. 【详解】由可得，故， 又，故,即， 故的面积为， 故选:D 2．设双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，且，若的面积为3，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合双曲线的定义和性质，即可得出答案. 【详解】由双曲线C：, 可得，∴. ∵, ∴. 假设在双曲线右支上， 则两边平方得， ∴， 又∵ 的面积为 3， ∴，即. 故选：A. 3．已知双曲线的左､右焦点分别为为的渐近线上一点.若的面积为，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算再来求数量积，可得，再利用底边为的焦半径三角面积，可求出高为，从而可得一条渐近线的斜率，则即可解得离心率. 【详解】 不妨设点在第一象限内，为坐标原点， 由，得. 由的面积为，结合三角形面积公式得：点到轴的距离为， 所以的一条渐近线的倾斜角为，其斜率为， 因此的离心率. 故选：B. 4．双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且．则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线的定义结合，解得，又，可求的面积. 【详解】因为双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点， 由，又有，所以． 由，为等腰三角形，则底边上的高， . 故选：B 5．已知点是双曲线：的右支上一点，、是双曲线的左、右焦点，的面积为20，则点的横坐标为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可得，代入计算，即可得到，再代入双曲线方程即可得到结果. 【详解】   因为双曲线：，则有，不妨设，， 由的面积为20，可得，其中，则， 将代入双曲线方程，可得. 故选：D 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线上一点，若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设在右支上，则，利用余弦定理及面积公式得到，从而得解. 【详解】双曲线，则、，所以，不妨设在右支上， 则，， 由余弦定理， 即， 又， ， 所以，即， 所以，又，所以， 则. 故选：C 7．已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则三角形的面积为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形面积公式、余弦定理，结合双曲线的性质可得，即可求面积. 【详解】设，则， 而 ，且， 所以， 故， 故选：D. 8．（多选）已知 分别为双曲线的左、右焦点，过 的直线交 的右支于 两点，若，，则（    ） A． B． C．的渐近线方程为 D．的面积为 【答案】AD 【详解】对于A，双曲线，则， 不妨设点在第一象限，由双曲线定义可知， 因为，所以，，故A正确； 对于B，因为，， 所以， 故，所以，故B错误； 对于C，由B可知，， 因为，所以，所以，即， 所以，即， 所以的渐近线方程为，故C错误； 对于D，由余弦定理可得， ， 所以，故D正确. 9．（多选）已知是双曲线：右支上一点，，分别是的左、右焦点，为坐标原点，，则（） A．的离心率为2 B．的渐近线方程为 C． D．的面积为3 【答案】AC 【详解】 由题意得，，，即，，. 焦点，，离心率，渐近线方程为，所以A对、B错； 设，则，又，所以，解得或（舍去），所以或， 所以，C对； ，高为，面积，D错. 10．（多选）已知 分别为双曲线的左、右焦点，过 的直线交 的右支于 两点，若，，则（   ） A． B． C．的渐近线方程为 D．的面积为 【答案】ABD 【分析】根据双曲线定义计算可判断A；根据计算可判断B；根据双曲线定义结合B可得，再根据双曲线渐近线方程计算可判断C；根据三角形面积公式计算可判断D. 【详解】对于A，双曲线，则， 不妨设点在第一象限，由双曲线定义可知， 因为，所以，，故A正确； 对于B，因为，， 所以， 故，所以，故B正确； 对于C，由B可知，， 因为，所以，所以，即， 所以，即， 所以的渐近线方程为，故C错误； 对于D，由余弦定理可得， ， 所以，故D正确. 题型五 双曲线有界性的有关应用 对于焦点在 轴上的双曲线, 取值范围是 或 . 对于焦点在 轴上的双曲线, 取值范围是 或 . 双曲线右支上一动点到右焦点的距离范围为 ,动点在右端点取得最小值 . 双曲线左支上一动点到右焦点的距离范围为 ,动点在左端点取得最小值 . 1．已知双曲线的离心率为，左、右焦点为，，为双曲线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件求出双曲线方程和焦点坐标，然后表示出，结合的范围求出最小值即可. 【详解】双曲线的离心率为. ，解得， 又，. 设点， 则且. . 的最小值为. 故选： 2．已知，，点满足，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以点轨迹是以、为焦点的双曲线的右支， 由题意得：且，即得，， 所以双曲线为，其中， 设直线的方程为，联立，消去得， 因，则，即得，则，解得：. 3．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，右顶点为A，过点的直线与y轴交于点M，与E的右支交于点N（异于点A），若，E的渐近线斜率为k，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，，即可表示出点的坐标，再根据，从而得到，再利用两点间的斜率公式得到点N横坐标，再根据N在双曲线右支即可得到a，b间的关系，再根据双曲线的渐近线斜率为，进而即可求得的取值范围． 【详解】设，，， 由，则直线的方程为， 令，得，所以． 因为，所以，即． 又，所以． 因为点N在E的右支上，所以，即， 又，所以，即． 因为E的渐近线斜率， 所以，即，解得， 所以的取值范围是． 故选：D． 4．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用坐标计算，再利用进行消元，解关于的不等式. 【详解】点在上，则，且或， 因，则，， 则， 解得，故或. 故选：B 5．设双曲线的右焦点为，上一点到轴的距离为，则点的横坐标为（   ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用双曲线方程求得右焦点坐标，设，结合已知可得，求解即可. 【详解】由双曲线，可得，则，其右焦点为， 设，因为上一点到轴的距离为， 所以，所以， 又，所以，所以， 所以，所以，解得或， 又或，所以，即点的横坐标为. 故选：D. 6．已知双曲线的焦点分别是、，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为4 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】设出点的坐标，结合双曲线的范围，利用数量积的坐标运算求解即可. 【详解】根据题意，的坐标为，设点的坐标为，则， 故， 又，故 ， 又，故当时，取得最小值，且其没有最大值， 故的最小值为，无最大值. 故选：D 7．双曲线的离心率是2，左右焦点分别为为双曲线左支上一点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合焦半径公式讨论分式函数的最大值. 【详解】由焦半径公式得，，则当时，. 故选：C. 8．（多选）已知双曲线的离心率为，则（    ） A． B．双曲线的焦点坐标为和 C．点在双曲线上 D．若为双曲线的右焦点，为双曲线右支上任意一点，则 【答案】AD 【分析】对于A，根据离心率公式得到方程，求出；对于B，求出焦点坐标为和；对于C，代入可得，从而得到点不在双曲线；对于D，根据双曲线性质得到D正确. 【详解】对于A，由，可得，故A正确； 对于B，由于，故焦点坐标为和，故B错误； 对于C，由，可得点不在双曲线上，故C错误； 对于D，由双曲线的性质，有，，故D正确. 故选：AD. 9．（多选）已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与交于另一点，的中点为，为坐标原点，则下列说法错误的是（    ） A．存在点，使得直线的斜率为2 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．存在点，使得点的横坐标为 【答案】ABD 【分析】对于A，找到渐近线斜率即可判断；对于B，利用，求出A点的横坐标，然后结合条件检验即可判断；对于C，将转化成两点间距离公式，求出A点的横坐标在符合题目范围内即可判断；对于D，利用点差法得，进而判断出不存在点使得等式成立. 【详解】设点，，，， 由题知离心率，解得， 故有，双曲线C的渐近线为， 对于A选项，如果存在点，使得直线的斜率为2， 直线与渐近线平行，不会与双曲线有两个交点，故A错误； 对于B选项： ，，若，即， 可得，即：（①）， 而位于双曲线右支上，其中， 故有：，即：（②）， 联立①②两个等式可得：，又，此时，由选项A可知不合题意，故B选项错误； 对于C选项：由，即：，化简得：，由点在的右支上可知：，故存在点，使得，故C选项正确； 对于D选项：设，，， 而，代入化简得：，而， 故，可知不存在这样的点M使等式成立， 故不存在点，使得点的横坐标为，故D选项错误. 下面为证明：， 的中点为，根据中点坐标公式可知，故， ，故， 而，两点均位于双曲线上，故： （③） （④），用③减④得：， 化简得，故，证毕. 故选：ABD 10．（多选）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（    ） A．曲线关于原点对称 B．直线与曲线有2个公共点 C．点的纵坐标的取值范围是 D．的最大值为 【答案】AD 【分析】根据对称性、直线与曲线的交点、判别式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，曲线， 点都满足方程， 所以曲线关于原点对称，A选项正确 由消去并化简得， 解得或，所以直线与曲线有3个公共点，B选项错误. 由整理得， 令，则有非负根， 而其对称轴， 所以，， 解得，所以C选项错误. 令，则，代入， 化简得，设. 由于的开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增， 由解得（负根舍去）， 所以的最大值为，所以的最大值为，D选项正确. 故选：AD 题型六 双曲线的离心率及其范围 1．已知双曲线：的一条渐近线与直线平行，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知的一条渐近线的斜率为，所以， 所以的离心率. 2．已知双曲线 的右焦点为，为坐标原点，直线与双曲线的一条渐近线交于点，若，则的离心率为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】双曲线的渐近线为，直线与渐近线的交点坐标为， 则，依题意有即， 因为，于是可得，的离心率为. 3．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线与双曲线的右支交于点，线段的中点在以为直径的圆上，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的中位线性质及双曲线的定义可得. 【详解】依题意，如图，因为是的中点，是的中点， 所以是的中位线，因为，所以， 因为，因此是等腰三角形， 因为，所以， 所以，因为，所以， 所以. 4．双曲线：的右焦点为，过点且斜率为的直线与y轴交于点A，线段与E交于点B，若B为的中点，则E的离心率为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】写出直线 方程，求出点与中点的坐标，再将点坐标代入双曲线方程，利用并令求解出，进而得到离心率. 【详解】记，则：，整理得， 则，因为为的中点，所以， 因为点B在双曲线E上，则，令，得， 化简得，又，则，故离心率. 5．如果一条双曲线的实轴与虚轴分别为另一条双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共轭双曲线，已知，互为共轭双曲线，且，的离心率分别为，，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设，的标准方程，再用，表示出，，代入后，利用函数的单调性求出最大值. 【详解】设双曲线的标准方程为 ，，则双曲线的标准方程为 ，， 所以，， 所以， 设 ，则， 设 ，则， 令，解得，又因为，所以， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当，函数有最大值， 所以的最大值为. 6．双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，为坐标原点，，垂足为，若，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由题意知，，再根据得，在上的投影向量为，进而求得，再根据建立的方程求解即可得答案. 【详解】因为为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，所以，， 因为，垂足为,所以， 所以，即①， 因为，所以在上的投影向量为 因为， 所以，即， 所以②， 由①②知， 所以． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，连接，若，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，，， 又，则， 则，则， 在中，，故， ，则， 综上，双曲线的离心率的取值范围为. 8．（多选）已知双曲线： 的渐近线与圆：相切，记的左、右焦点分别为，，为上一点，且，与圆交于，两点，则（   ） A．的离心率为2 B．的渐近线方程为 C． D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据圆与双曲线渐近线相切得到，结合离心率公式及可判断选项A、B；根据，求出，进而求出，判断选项C；根据，得到，，，进而得到点，坐标，求出直线方程，结合垂径定理及点到直线的距离可判断选项D. 【详解】双曲线：的渐近线方程为，即. 圆：的圆心为，半径为. 由题意得，圆心到渐近线的距离，即，所以. 对于A：，故A正确. 对于B：，所以渐近线方程为，故B正确. 对于C：，，因为，所以点的横坐标为， 代入双曲线方程，解得. 取，则，， 所以，故C错误. 对于D：若，则，，，，. 直线方程为，即. 圆心到直线的距离， 由垂径定理可得，，故D正确. 9．（多选）设为双曲线上一点，分别为双曲线的左、右焦点，，若的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则双曲线的离心率可能为（   ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】BC 【分析】利用双曲线的定义，结合图形，利用图形的几何性质构造的关系，转化为关于的方程进行求解. 【详解】设双曲线的半焦距为， ∵分别为双曲线的左、右焦点，∴，， ∵， ∴点在双曲线的右支，设的内切圆半径为， 则， 设，则， ∵，即， ∴，设外接圆的半径为R， 由正弦定理有：，即， 即的外接圆半径为， ∵的外接圆半径是其内切圆半径的倍， ∴，即， ∴， ∴或. 10．（多选）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为A，B，与y轴的交点为D，若，则下列说法正确的有（   ） A． B．双曲线C的离心率为 C．直线的斜率为 D．点D到双曲线C上的点的距离的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据条件及双曲线的定义，可得各个长度，根据勾股定理，可判断A的正误；根据三角函数的定义，可得，根据余弦定理，可得，的关系，代入离心率公式，可判断B的正误，根据余弦定理，可得，根据诱导公式及同角三角函数的关系，可得直线的斜率，再由，可得直线的斜率，即可判断C的正误；求出直线的方程，即可得D点坐标，设点在双曲线上，根据双曲线的方程及两点间距离公式，可得表达式，根据二次函数的性质，可判断D的正误. 【详解】由，且，得， 由双曲线的定义得，， 所以，，又， 所以， 则，即，所以，故A正确； 在中，， 在中，， 所以，则离心率，故B正确； 在中，， ， 则，则， 所以直线的斜率为3，又因为，所以直线的斜率为，故C错误； 由C选项得，直线的方程为， 令，得，即 设双曲线上点，则，即， 因为，所以，则， 所以， ， ， 所以当时，有最小值，且为， 所以，即点到上的点的距离的最小值为，故D正确. 课时精练 一、单选题 1．双曲线的实轴长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求得，进而求得实轴长. 【详解】双曲线，对应， 所以，所以实轴长为. 2．已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“虚轴长是实轴长的3倍”列方程，化简求得的自豪. 【详解】由题意有，解得． 故选：A 3．已知双曲线的焦距为4，右焦点到渐近线的距离等于1，则其离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由双曲线的焦距为4，得，所以， 所以右焦点的坐标为，又双曲线的渐近线方程为，即。 又右焦点到渐近线的距离等于1，所以，即，所以 又因为，所以，解得，所以，所以， 所以双曲线的离心率为. 4．设双曲线的左､右焦点分别为，过焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，且双曲线的离心率，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用点到直线的距离公式求出，再可求得，则，而，再结合的面积为，从而可求出离心率. 【详解】双曲线的渐近线为，由双曲线的对称性，不妨取，即，则 ， 所以， 所以， 因为的面积为，， 所以，得， 所以，令得， 解得或，即或， 或， 因为，所以 . 5．已知双曲线的焦距为，直线与双曲线交于，两点，与双曲线的渐近线交于，两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【详解】令，则，解得，所以， 又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即， 所以，所以双曲线的离心率． 6．已知分别是双曲线的左､右焦点，过作的渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作的渐近线的垂线，垂足为.先求出焦点到渐近线的距离，再由勾股定理求出，即可在中利用勾股定理得到的关系，即可求出的离心率. 【详解】 如图所示，过作的渐近线的垂线，垂足为. 已知双曲线的左､右焦点为， 双曲线的一条渐近线方程为，即, 则到渐近线的距离为，同理可得. 在中，，同理可得. 在中，由可得，即， 因为，所以的离心率. 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与C的右支交于A，B两点．若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义，在直角三角形中利用勾股定理计算即可求解. 【详解】因为双曲线的离心率为，不妨设，则， 设，，则，， 在中，由勾股定理可得，解得， 则， 同理，在中，由勾股定理可得，解得， 所以. 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得，从而得，由余弦定理求得，由诱导公式得，设，则，再由余弦定理求得，从而利用余弦定理求解即可. 【详解】因为双曲线的离心率为，所以，因为， 所以， 由双曲线的定义可得， 所以， 在中， 由余弦定理得， 在中，， 设，则， 由 得， 解得，所以， 所以. 故选：D. 二、多选题 9．（多选）已知双曲线C：，则下列结论正确的是（   ） A．m的取值范围是 B．C的焦距与m的取值无关 C．若C的离心率不小于2，则m的取值范围为 D．存在实数，使得点在C上 【答案】ABC 【分析】A.由求解判断；B.由C的焦距为2判断；C.由和求解判断；D.结合，由判断. 【详解】由题意得，则，A正确． 由题意知，故C的焦距为2，与m的取值无关，B正确． 由，解得，又，所以m的取值范围为，C正确． 假设存在实数，使得点在C上，则，． 当时，，则， 所以在上无实数解，D错误． 10．（多选）已知曲线的方程为，则（   ） A．当时，曲线为圆 B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 C．当时，曲线为焦点在轴上的椭圆 D．存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为 【答案】ABC 【分析】对于ABC，将代入结合椭圆、双曲线的方程和性质验证即可；对于D，由题意根据离心率列出方程，说明方程无解即可. 【详解】对于选项A：当时，曲线C的方程为，即曲线C为圆，故A正确； 对于选项B：当时，曲线C的方程为，其渐近线方程为，故B正确； 对于选项C：若，则， 且，可得，即， 所以曲线为焦点在轴上的椭圆，故C正确； 对于选项D：若曲线C为双曲线，且其离心率为， 则，即或， 当时，方程为，，令得，解得，无解； 当时，方程为，，令得，解得，无解， 综上，不存在满足条件的实数，故D错误. 故选：ABC. 11．（多选）已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线右支上一点，则下列说法正确的是（    ） A．若的内切圆圆心为，直线的斜率为 B．若的内切圆圆心为的外接圆半径为 C．若且，则 D．若且，则 【答案】ACD 【分析】A.根据双曲线的性质，结合内心的性质，确定内切圆的圆心在轴的射影为双曲线的顶点，再结合二倍角公式和正切公式，即可判断A，根据A的结果判断是直角三角形，再结合正弦定理判断B；由斜率结合三角形的正切公式，表示和，再根据双曲线的定义和离心率公式，即可判断C；首先由正切值求，再根据余弦定理求和，结合离心率公式，即可判断D. 【详解】如图1，由条件，点应在双曲线的右支上， 设圆分别与的三边切于点， 则， ，得，连接， 则， 所以，A选项正确； 同理，是直角三角形.. 由正弦定理，得选项错误； 若，则， 且，可得， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，所以 因为，即， 解得，若，即， 则 即，即，故D正确. 故选：ACD 【点睛】结论点睛：双曲线焦点三角形内切圆的圆心在长轴的射影为顶点. 三、填空题 12．圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为_____． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，再利用几何法求出弦长即可． 【详解】双曲线的一条渐近线为，即， 圆的圆心为，半径， 圆心到渐近线的距离为， 由勾股定理得，弦长为． 13．已知双曲线的离心率为2，为C的两个焦点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则_______． 【答案】 【分析】根据已知条件求出的长度，进而在和，分别求出和，从而求出即可得解. 【详解】因为，一条渐近线方程为，如图，作出符合题意的图形， 则，， 又，所以， 即，， 在中，， 在中， ， 所以. 14．已知双曲线的离心率为，F为右焦点，点A，B在右支上，设D为A关于原点O的对称点，且．若，则________． 【答案】 【分析】设，得到，且，根据题意和双曲线的定义，得到，结合双曲线的对称性，得到，求得，同理得出，即可求解. 【详解】由双曲线的离心率为， 设，（其中），则，可得， 再设为双曲线的左焦点，且， 因为，可得，根据双曲线的定义，可得， 又由双曲线的对称性，可得四边形为矩形，所以， 即，解得， 连接，设，则，由于 即，解得， 因为，解得． 故答案为：. 四、解答题 15．已知双曲线. (1)若双曲线的离心率为，求的值； (2)若直线与圆相切，证明：直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线的离心率公式可得出关于的等式，解之即可； （2）由直线与圆相切可得出，再将直线方程与双曲线方程联立，结合韦达定理可证得结论成立. 【详解】（1）由题意可得，因为，解得. （2）因为直线与圆相切，所以，可得， 联立得，即， 则，所以方程有两个不等的实根， 设这两个实根分别为、，则， 因此，直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 16．已知双曲线的离心率，抛物线的准线经过其左焦点． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程； (2)若过抛物线焦点的直线与该抛物线交于、两个不同的点，求证：以为直径的圆与抛物线的准线相切． 【答案】(1)抛物线的标准方程为，其准线方程为 (2)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线的离心率公式可求得的值，可求得抛物线的准线方程，进而可求得抛物线的准线方程； （2）设点、，利用抛物线的焦点弦长公式可证得结论成立. 【详解】（1）解：由题意可知，双曲线的离心率为， 因为，解得，则，所以，抛物线的准线方程为， 根据题意，设抛物线的标准方程为，则，解得， 所以，抛物线的标准方程为，其准线方程为. （2）解：抛物线的焦点为，设点、， 则线段的中点为，则点到直线的距离为， 所以，， 因此，以为直径的圆与抛物线的准线相切． 17．已知双曲线的离心率为，点的坐标是，为坐标原点． (1)若双曲线的离心率，求实数的取值范围； (2)当时，设过点的直线与双曲线的左支交于，两个不同的点，求该直线斜率的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率公式得出，进而解得实数的取值范围； （2）先得出双曲线的方程，再联立直线和双曲线方程，利用根与系数的关系结合题意可得斜率的取值范围． 【详解】（1）由双曲线方程可知，，，，， 因为，所以，解得， 即实数的取值范围是； （2）由（1）可知，，解得，所以双曲线方程为， 设，，过点的直线方程为， 由，消去整理得， ，， 由，，，解得， 所以该直线斜率的取值范围是． 18．已知椭圆和双曲线．、分别为和的离心率． (1)若，求的渐近线方程； (2)若，过椭圆的左焦点作斜率为的直线与交于不同两点、，过原点作的垂线，垂足为.若点恰好是与的中点，求线段的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得出关于实数的等式，求出的值，即可得出双曲线的渐近线方程； （2）分析可知，设点，根据可求出点的坐标，进而可得出直线的方程，将该直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，进而可求得. 【详解】（1）解：由已知可得，因为，解得， 因此，双曲线的渐近线方程为. （2）解：当时，椭圆的方程为，其左焦点为， 因为且为的中点，则， 设点，则，解得，则， 由对称性，不妨设点，，则直线的方程为， 联立解得或，即点， 故. 19．已知双曲线的离心率为e，点A的坐标是，O为坐标原点. (1)若双曲线E的离心率，求实数m的取值范围； (2)当时，设过点A的直线与双曲线的左支交于P，Q两个不同的点，线段的中点为M点，求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率公式得出，进而解得实数m的取值范围； （2）先得出双曲线E的方程，再联立直线和双曲线方程，利用韦达定理得出，再由的范围得出的取值范围. 【详解】（1）， ，，解得 （2）由（1）可知，，双曲线E的方程为 设，过点A的直线方程为 由可得 ， 由，解得 故 $ 3.2.2.1 双曲线的简单几何性质 题型一 双曲线的简单几何性质 2 题型二 由几何性质求标准方程 3 题型三 双曲线的渐近线问题 5 题型四 双曲线的焦点三角形 6 题型五 双曲线有界性的有关应用 8 题型六 双曲线的离心率及其范围 9 课时精练 10 【基础回顾】 ( 1 / 13 ) 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 双曲线的简单几何性质 标准方程 图形 焦点 的关系 范围 或 或 对称性 关于 轴、 轴对称,关于原点中心对称 顶点 轴 实轴长 ,虚轴长 ; 实半轴长 ,虚半轴长 离心率 越大,双曲线开口就越开阔. 所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度. 渐近线方程 知识点 2: 双曲线的渐近线 (1)已知双曲线方程求渐近线方程: 若双曲线方程为 ,则其渐近线方程为 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程. (2)已知渐近线方程求双曲线方程: 若双曲线渐近线方程为 ,则可设双曲线方程为 ,根据已知条件,求出 即可. (3)与双曲线 有公共渐近线的双曲线: 与双曲线 有公共渐近线的双曲线方程可设为 知识点 3: 等轴双曲线 在双曲线中,若 ,则双曲线的长轴和短轴相等,即等轴双曲线,故等轴双曲线可设为 . 等轴双曲线的性质有: (1)离心率:等轴双曲线的离心率为: ; (2)渐近线:①等轴双曲线的渐近线为: ,故等轴双曲线的渐近线互相垂直,且倾斜角分别为 和 . 知识点 4: 焦点三角形面积的求法 方法 1: 结合余弦定理 ①根据双曲线的定义，求出 ; ② 利用余弦定理表示出 、 、 之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出 的值，通过余弦定理可得 ④ 利用公式 求得面积. 方法 2: 利用公式 求得面积; 方法 3: 若双曲线中焦点三角形的顶角 ,则面积 ,结论适用于选择或填空题. 知识点 5: 点到焦点的距离的有界性 双曲线右支上一动点到右焦点的距离范围为 ,动点在右端点取得最小值 . 双曲线左支上一动点到右焦点的距离范围为 ,动点在左端点取得最小值 . 题型一 双曲线的简单几何性质 1．已知双曲线的右焦点为，其一条渐近线过点，则的实轴长为（    ） A．2 B． C．3 D． 2．双曲线的右顶点到其渐近线的距离为（   ） A．1 B． C． D． 3．已知双曲线，下列说法正确的是（   ） A．的取值范围为 B．双曲线的焦点可能在轴上 C．双曲线的焦距为 D．双曲线的两条渐近线可能垂直 4．双曲线的焦距是4，其渐近线与圆相切，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，且双曲线过点，则双曲线的实轴长为（   ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线交双曲线的右支于点，交轴于点，为的中点，的外接圆的半径为，则双曲线的虚轴长为 （    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则的值可能是（    ） A． B．2 C． D．12 9．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作垂直于轴的直线交于A，B两点，若直线的斜率是的周长是36，则下列选项中正确的是（    ） A．的虚轴长为2 B．的渐近线方程为 C．的面积为48 D．的外接圆半径为 10．（多选）已知双曲线，过点的直线与.交于两点，则（    ） A．的实轴长为2 B．的离心率为2 C．点到的两条渐近线的距离之积为3 D．点可能是线段的中点 题型二 由几何性质求标准方程 1．以直线为渐近线且过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的右焦点为F，焦距为2c，过F的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点A，FA的延长线与直线交于点B，的面积为，O为原点，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的虚轴长为为上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的虚轴长为2，离心率为，则其方程是（   ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的虚轴长为，两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线中心在原点，一顶点坐标为，且渐近线方程为，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知双曲线的焦距为4，则下列条件能使的方程为的是（   ） A．的离心率为 B．的渐近线方程为 C．的实轴长为 D．是上的点 9．（多选）若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为，则下列结论正确的是（    ） A．的焦点到渐近线的距离为4 B．的离心率为 C．上的点到距离的最小值为2 D．过的最短的弦长为 10．（多选）已知双曲线，为双曲线上一点，过点的切线为，双曲线的左右焦点，到直线的距离分别为，，则（    ） A． B．直线与双曲线渐近线的交点为，，则，，，四点共圆 C．该双曲线的共轭双曲线的方程为 D．过的弦长为5的直线有且只有1条 题型三 双曲线的渐近线问题 1．已知点，，，中有3个点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点P在C的右支上，且，若的中点在C的第一、三象限内的渐近线上，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，点是双曲线的左焦点，若，则双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，直线与双曲线的右支交于点，若的内切圆半径为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 5．过双曲线：（）的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若点关于点的对称点恰好落在双曲线上，则双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．设双曲线的右焦点为，且在一条渐近线上的投影为点，若的内切圆与的实轴切于点，且，则的渐近线方程是（   ） A． B．或 C．或 D． 7．已知双曲线的左顶点为，过的直线与的右支交于点，若线段的中点在圆上，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知双曲线：（）的上、下焦点分别为，，下顶点为，是双曲线上第一象限内的动点.当时，的面积为3，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的离心率 B．双曲线的渐近线方程为 C．若过点作双曲线的切线与渐近线交于，两点，则的最小值为4 D． 9．（多选）已知双曲线：（，）的离心率为，点为双曲线上一动点，且双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的渐近线方程为 B． C．若，则的面积为1 D．若的面积为，则为钝角三角形 10．（多选）已知、分别是双曲线的左、右焦点，点是上任意一点，为坐标原点，则下列结论正确的有（    ） A．的离心率为 B．点到的两条渐近线的距离之积为 C．若，则 D． 题型四 双曲线的焦点三角形 1:焦点三角形的周长问题 2:焦点三角形的夹角问题 3:公式法求焦点三角形面积 4: 已知焦点三角形顶角求面积 若双曲线中焦点三角形的顶角 ,则面积 ,结论适用于选择或填空题. 1．设 分别是双曲线 的上、下焦点，双曲线上的点 满足 ，则 的面积等于（    ） A． B．12 C． D．6 2．设双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，且，若的面积为3，则（    ） A．2 B．3 C． D． 3．已知双曲线的左､右焦点分别为为的渐近线上一点.若的面积为，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 4．双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且．则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知点是双曲线：的右支上一点，、是双曲线的左、右焦点，的面积为20，则点的横坐标为（    ） A．2 B．4 C． D． 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线上一点，若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则三角形的面积为（    ） A．2 B． C． D． 8．（多选）已知 分别为双曲线的左、右焦点，过 的直线交 的右支于 两点，若，，则（    ） A． B． C．的渐近线方程为 D．的面积为 9．（多选）已知是双曲线：右支上一点，，分别是的左、右焦点，为坐标原点，，则（） A．的离心率为2 B．的渐近线方程为 C． D．的面积为3 10．（多选）已知 分别为双曲线的左、右焦点，过 的直线交 的右支于 两点，若，，则（   ） A． B． C．的渐近线方程为 D．的面积为 题型五 双曲线有界性的有关应用 对于焦点在 轴上的双曲线, 取值范围是 或 . 对于焦点在 轴上的双曲线, 取值范围是 或 . 双曲线右支上一动点到右焦点的距离范围为 ,动点在右端点取得最小值 . 双曲线左支上一动点到右焦点的距离范围为 ,动点在左端点取得最小值 . 1．已知双曲线的离心率为，左、右焦点为，，为双曲线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，点满足，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，右顶点为A，过点的直线与y轴交于点M，与E的右支交于点N（异于点A），若，E的渐近线斜率为k，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．设双曲线的右焦点为，上一点到轴的距离为，则点的横坐标为（   ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 6．已知双曲线的焦点分别是、，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为4 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 7．双曲线的离心率是2，左右焦点分别为为双曲线左支上一点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．4 8．（多选）已知双曲线的离心率为，则（    ） A． B．双曲线的焦点坐标为和 C．点在双曲线上 D．若为双曲线的右焦点，为双曲线右支上任意一点，则 9．（多选）已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与交于另一点，的中点为，为坐标原点，则下列说法错误的是（    ） A．存在点，使得直线的斜率为2 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．存在点，使得点的横坐标为 10．（多选）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（    ） A．曲线关于原点对称 B．直线与曲线有2个公共点 C．点的纵坐标的取值范围是 D．的最大值为 题型六 双曲线的离心率及其范围 1．已知双曲线：的一条渐近线与直线平行，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线 的右焦点为，为坐标原点，直线与双曲线的一条渐近线交于点，若，则的离心率为（   ） A．2 B．3 C． D． 3．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线与双曲线的右支交于点，线段的中点在以为直径的圆上，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．双曲线：的右焦点为，过点且斜率为的直线与y轴交于点A，线段与E交于点B，若B为的中点，则E的离心率为（   ） A． B． C． D．5 5．如果一条双曲线的实轴与虚轴分别为另一条双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共轭双曲线，已知，互为共轭双曲线，且，的离心率分别为，，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 6．双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，为坐标原点，，垂足为，若，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，连接，若，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（多选）已知双曲线： 的渐近线与圆：相切，记的左、右焦点分别为，，为上一点，且，与圆交于，两点，则（   ） A．的离心率为2 B．的渐近线方程为 C． D．若，则 9．（多选）设为双曲线上一点，分别为双曲线的左、右焦点，，若的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则双曲线的离心率可能为（   ） A．3 B．4 C． D．5 10．（多选）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为A，B，与y轴的交点为D，若，则下列说法正确的有（   ） A． B．双曲线C的离心率为 C．直线的斜率为 D．点D到双曲线C上的点的距离的最小值为 课时精练 ( 2 / 13 ) 学科网（北京）股份有限公司 一、单选题 1．双曲线的实轴长为（   ） A．1 B． C．2 D． 2．已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的焦距为4，右焦点到渐近线的距离等于1，则其离心率为（   ） A． B． C． D． 4．设双曲线的左､右焦点分别为，过焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，且双曲线的离心率，则（    ） A．2 B． C． D． 5．已知双曲线的焦距为，直线与双曲线交于，两点，与双曲线的渐近线交于，两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D． 6．已知分别是双曲线的左､右焦点，过作的渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与C的右支交于A，B两点．若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．2 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）已知双曲线C：，则下列结论正确的是（   ） A．m的取值范围是 B．C的焦距与m的取值无关 C．若C的离心率不小于2，则m的取值范围为 D．存在实数，使得点在C上 10．（多选）已知曲线的方程为，则（   ） A．当时，曲线为圆 B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 C．当时，曲线为焦点在轴上的椭圆 D．存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为 11．（多选）已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线右支上一点，则下列说法正确的是（    ） A．若的内切圆圆心为，直线的斜率为 B．若的内切圆圆心为的外接圆半径为 C．若且，则 D．若且，则 三、填空题 12．圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为_____． 13．已知双曲线的离心率为2，为C的两个焦点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则_______． 14．已知双曲线的离心率为，F为右焦点，点A，B在右支上，设D为A关于原点O的对称点，且．若，则________． 四、解答题 15．已知双曲线. (1)若双曲线的离心率为，求的值； (2)若直线与圆相切，证明：直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 16．已知双曲线的离心率，抛物线的准线经过其左焦点． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程； (2)若过抛物线焦点的直线与该抛物线交于、两个不同的点，求证：以为直径的圆与抛物线的准线相切． 17．已知双曲线的离心率为，点的坐标是，为坐标原点． (1)若双曲线的离心率，求实数的取值范围； (2)当时，设过点的直线与双曲线的左支交于，两个不同的点，求该直线斜率的取值范围． 18．已知椭圆和双曲线．、分别为和的离心率． (1)若，求的渐近线方程； (2)若，过椭圆的左焦点作斜率为的直线与交于不同两点、，过原点作的垂线，垂足为.若点恰好是与的中点，求线段的长度. 19．已知双曲线的离心率为e，点A的坐标是，O为坐标原点. (1)若双曲线E的离心率，求实数m的取值范围； (2)当时，设过点A的直线与双曲线的左支交于P，Q两个不同的点，线段的中点为M点，求的面积的取值范围. $