3.2.2 双曲线的简单几何性质（第1课时）课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线的简单几何性质，涵盖标准方程、焦点、范围等几何性质，等轴双曲线、共轭双曲线及与椭圆的区别，通过对比椭圆性质结合“书读百遍”“入木三分”环节，搭建从已知到未知的学习支架，衔接前后知识。 其亮点是以数学抽象和数学思维为核心，用对比表清晰呈现焦点位置不同的性质，题型设计含四步解题法等思维工具，如探究2总结渐近线求法。助力学生夯实基础提升解题能力，为教师提供系统资源，提高教学效率。

课前自学 内容导航 课时学案 课后巩固 Content Navigation 01 02 03 3.2.2　双曲线的简单几何性质 (第1课时) 素养目标 1.掌握双曲线的简单几何性质．(数学抽象)2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程．(数学抽象) 课前自学 4 要点1　双曲线的几何性质 第页 2a 2b 第页 要点2　等轴双曲线 第页 1.双曲线与椭圆的六点不同 (1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线． (2)双曲线只有2个顶点，而椭圆有4个顶点． (3)双曲线有实轴、虚轴，而椭圆有长轴、短轴． (4)双曲线的两条渐近线是区别于其他圆锥曲线所特有的． (5)双曲线的离心率e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e∈(0，1)． (6)双曲线中a，b，c，e的等量关系与椭圆中a，b，c，e的等量关系有区别． 第页 2．共轭双曲线 (1)定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线． (2)性质： ①一对共轭双曲线有相同的渐近线； ②一对共轭双曲线有相同的焦距； ③共轭双曲线的渐近线与直线x＝±a及y＝±b的四个交点，以及两双曲线的四个焦点，八点共圆，圆心为坐标原点，半径为c(半焦距)； 第页 第页 1．渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？ 答：渐近线相同的双曲线有无数条，若它们的焦点在同一坐标轴上，则它们实轴与虚轴的长的比值相同． 2．双曲线离心率对双曲线形状有何影响？ 返 回 课时学案 12 例 1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图． 题型一　 双曲线的简单几何性质 第页 13 探究1 (1)由双曲线的方程求几何性质的四个步骤：   (2)画几何图形，要先画双曲线的两条渐近线和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的大致图形． 第页 第页 例 2 √ 题型二　 求渐近线方程 第页 16 y＝±2x 第页 探究2 第页 √ 第页 1 2 第页 例 3 题型三　 由双曲线的几何性质求标准方程 第页 21 第页 第页 第页 探究3 第页 第页 第页 (2)以直线2x±3y＝0为渐近线，且过点(1，2)； 第页 第页 例 4 题型四　 双曲线的离心率 第页 30 第页 第页 √ 第页 √ 第页 第页 探究4 第页 √ 第页 第页 √ 第页 √ 第页 返 回 课后巩固 42 解析　由已知得左焦点的坐标为(－5，0)，右顶点的坐标为(3，0)，所以左焦点与右顶点之间的距离等于8. √ 第页 √ 第页 3．【多选题】关于双曲线C1：4x2－9y2＝－36与双曲线C2：4x2－9y2＝36的说法正确的是(　　) A．有相同的焦点 B．有相同的焦距 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线 √ √ 第页 4．等轴双曲线C的一个焦点为(－2，0)，则它的实轴长为_______． 第页 第页 第页 (2)已知中心在原点的双曲线的焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)，渐近线方程为3x±4y＝0，求此双曲线的标准方程． 第页 返 回 请做：课时作业（三十五） 教师备用资料 标准方程 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0) eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) 焦距 2c 范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点对称 顶点 (－a，0)，(a，0) (0，－a)，(0，a) 轴长 实轴长＝_______，虚轴长＝_______ 离心率及其范围 e＝eq \f(c,a)>1 渐近线 y＝±eq \f(b,a)x y＝±eq \f(a,b)x 定义 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 方程形式 x2－y2＝λ(λ≠0)，当λ>0时，焦点在x轴上；当λ<0时，焦点在y轴上 性质 ①离心率：e＝eq \r(2)； ②渐近线方程：y＝±x ④一对共轭双曲线的离心率分别为e1＝eq \f(c,a)，e2＝eq \f(c,b)，则2,1)eq \f(1,e) ＋2,2)eq \f(1,e) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c))) eq \s\up16(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c))) eq \s\up16(2)＝1，可知共轭双曲线的离心率虽不同，但离心率倒数的平方和等于常数1. 答：以双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)为例． e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2＋b2),a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))，故当eq \f(b,a)的值越大，渐近线y＝eq \f(b,a)x的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大． 【解析】　将9y2－4x2＝－36变形为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1， 即eq \f(x2,32)－eq \f(y2,22)＝1，∴a＝3，b＝2，∴c＝eq \r(9＋4)＝eq \r(13).因此顶点坐标为A1(－3，0)，A2(3，0)， 焦点坐标为F1(－eq \r(13)，0)，F2(eq \r(13)，0)， 实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(13),3)， 渐近线方程为y＝±eq \f(2,3)x.作草图如图． 思考题1　求双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率，并画出该双曲线的草图． 【解析】　由双曲线方程可得实半轴长a＝3，虚半轴长b＝4， 则c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(9＋16)＝5， 于是焦点坐标为(－5，0)，(5，0)．渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \f(4,3)x，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,3). 作出双曲线草图如图． 【解析】　因为2b＝2，2c＝2eq \r(3)，所以b＝1，c＝eq \r(3)，所以a＝eq \r(c2－b2)＝eq \r(2)，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \f(\r(2),2)x. 　(1)设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2eq \r(3)，则双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±eq \f(1,2)x　　　　　 B．y＝±eq \f(\r(2),2)x C．y＝±eq \r(2)x D．y＝±2x 【解析】　因为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \f(\r(5),2)， 所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，所以eq \f(b,a)＝eq \f(1,2). 由双曲线方程可知，焦点在y轴上， 所以其渐近线方程为y＝±2x. (2)已知双曲线C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \f(\r(5),2)，则C的渐近线方程为__________． (1)求双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程，一般有两种方法： ①分别求出a，b，再代入y＝±eq \f(b,a)x得渐近线方程． ②令eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0，得eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0，即y＝±eq \f(b,a)x. (2)直线y＝±eq \f(b,a)x恰好是过实轴端点A1，A2，虚轴端点B1，B2，作平行于坐标轴的直线x＝±a，y＝±b所围成的矩形的两条对角线所在的直线． (3)双曲线的焦点到渐近线的距离为b. 【解析】　A、B中双曲线的焦点在x轴上，C、D中双曲线的焦点在y轴上，又令eq \f(y2,4)－x2＝0，得y＝±2x，令y2－eq \f(x2,4)＝0，得y＝±eq \f(1,2)x.故选C. 思考题2　(1)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是(　　) A．x2－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)－y2＝1 C.eq \f(y2,4)－x2＝1 D．y2－eq \f(x2,4)＝1 (2)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(eq \r(5)，0)，则a＝________，b＝________． 【解析】　因为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，即y＝－2x，且焦点在x轴上，所以eq \f(b,a)＝2.① 又双曲线的一个焦点为(eq \r(5)，0)，所以a2＋b2＝5.② 由①②及a＞0，b＞0，得a＝1，b＝2. 【解析】　(1)易知所求双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线方程为eq \f(x2,64)－eq \f(y2,16)＝λ(λ>0)，将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝eq \f(1,16)，故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－y2＝1. 求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)过点(2，0)，与双曲线eq \f(y2,64)－eq \f(x2,16)＝1的离心率相等； 【解析】　(2)设所求双曲线方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,3)＝λ(λ≠0且λ≠1)． 由点M(3，－2)在双曲线上得eq \f(4,4)－eq \f(9,3)＝λ，得λ＝－2. 故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,6)－eq \f(y2,8)＝1. (2)与双曲线eq \f(y2,4)－eq \f(x2,3)＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)； 【解析】　(3)方法一：由椭圆方程可得焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，即c＝3且焦点在x轴上． 设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)． 因为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,2)，所以a＝2，则b2＝c2－a2＝5，故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1. (3)与椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1有公共焦点，离心率为eq \f(3,2). 方法二：因为椭圆的焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为eq \f(x2,25－λ)－eq \f(y2,λ－16)＝1(16<λ<25)． 因为e＝eq \f(3,2)，所以eq \f(λ－16,25－λ)＝eq \f(9,4)－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1. 巧设双曲线方程的方法 (1)当双曲线的焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn>0)． (2)常见双曲线方程的设法： ①渐近线为y＝±eq \f(n,m)x的双曲线方程可设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0，m>0，n>0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A>0，B>0)． ②与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝λ(λ≠0)． ③与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)离心率相等的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ>0)或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝λ(λ>0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置． ④与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)共焦点的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2－λ)－eq \f(y2,λ－b2)＝1(b2<λ<a2)． 思考题3　求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)实轴长为8，离心率为eq \f(5,4)； 【解析】　(1)设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1，a>0，b>0.由题意知eq \f(c,a)＝eq \f(5,4)，2a＝8，且c2＝a2＋b2，∴a＝4，c＝5，b＝3.∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1或eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1. 【解析】　(2)由题意可设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，将点(1，2)的坐标代入方程解得λ＝－32. 因此所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,\f(32,9))－eq \f(x2,8)＝1. (3)双曲线的实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－eq \r(10))． 【解析】　(3)由2a＝2b，得a＝b. ∴e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(2)， ∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点P(4，－eq \r(10))， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x2－y2＝6. ∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,6)－eq \f(y2,6)＝1. 【解析】　方法一：若双曲线焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)． 由题意知eq \f(b,a)＝eq \f(3,4)，又∵c2＝a2＋b2， ∴e2＝eq \f(c2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)＝1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up18(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4))) eq \s\up18(2)，∴e＝eq \f(5,4). 若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)． 　(1)如果双曲线的渐近线方程是y＝±eq \f(3,4)x，求离心率． 由题意知eq \f(a,b)＝eq \f(3,4)， ∴e2＝eq \f(c2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)＝1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3))) eq \s\up18(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3))) eq \s\up18(2)，∴e＝eq \f(5,3). 综上知e＝eq \f(5,4)或e＝eq \f(5,3). 方法二：设具有渐近线y＝±eq \f(3,4)x的双曲线方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝λ(λ≠0)，即eq \f(x2,16λ)－eq \f(y2,9λ)＝1. 若λ>0，则焦点在x轴上， ∴a2＝16λ，b2＝9λ，c2＝a2＋b2＝25λ， ∴e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(25,16)，e＝eq \f(5,4). 若λ<0，则焦点在y轴上， ∴a2＝－9λ，b2＝－16λ，c2＝a2＋b2＝－25λ， ∴e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(－25λ,－9λ)＝eq \f(25,9)，∴e＝eq \f(5,3). ∴e＝eq \f(5,4)或e＝eq \f(5,3). 【解析】　设|F1F2|＝2c，连接F2P，由题意知△F1F2P是直角三角形，又因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝eq \r(3)c，|PF2|＝c，所以|PF1|－|PF2|＝eq \r(3)c－c＝2a，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)－1)＝eq \r(3)＋1. (2)双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与C在第一象限交于点P.若∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　) A.eq \r(3)＋1 B.eq \r(3) C.eq \f(\r(3)＋1,2) D．2eq \r(3)－1 (3)如图，F1，F2是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点B，A.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为(　　) A．4 B.eq \r(7) C.eq \f(2\r(3),3) D.eq \r(3) 【解析】　因为△ABF2为等边三角形， 所以|AB|＝|AF2|＝|BF2|，∠F1AF2＝60°. 由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a， 所以|BF1|＝2a， 又|BF2|－|BF1|＝2a， 所以|BF2|＝4a，所以|AF2|＝4a，|AF1|＝6a. 在△AF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|cos 60°， 即(2c)2＝(6a)2＋(4a)2－2×4a×6a×eq \f(1,2)， 整理得c2＝7a2，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(7).故选B. 求解双曲线离心率的一般方法 (1)由条件寻找a，c所满足的等式，常用的公式变形为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up18(2))＝eq \f(1,\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))\s\up18(2)))，其中a>0，b>0，c>0. (2)依据条件列出含a，c的齐次方程，利用e＝eq \f(c,a)转化为含e的方程，解方程即可，注意依据e>1对所得解进行取舍． 思考题4　(1)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,2)＝1(a＞eq \r(2))的两条渐近线的夹角为eq \f(π,3)，则双曲线的离心率为(　　) A.eq \f(2\r(3),3) B.eq \f(2\r(6),3) C.eq \r(3) D．2 【解析】　双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,2)＝1(a＞eq \r(2))的两条渐近线方程为y＝±eq \f(\r(2),a)x.由a＞eq \r(2)，得0＜eq \f(\r(2),a)＜1. ∴直线y＝eq \f(\r(2),a)x的倾斜角小于eq \f(π,4). ∴eq \f(\r(2),a)＝tan eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),3)，解得a＝eq \r(6). 又c2＝a2＋2＝8，∴c＝2eq \r(2)，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2\r(3),3). 【解析】　不妨设F为右焦点，B为虚轴上端点，则直线FB的斜率为－eq \f(b,c)，与其垂直的渐近线的斜率为eq \f(b,a)，所以有－eq \f(b2,ac)＝－1，即b2＝ac，所以c2－a2＝ac，两边同时除以a2可得e2－e－1＝0，解得e＝eq \f(1＋\r(5),2)(e＞1)． (2)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　) A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.eq \f(\r(3)＋1,2) D.eq \f(\r(5)＋1,2) (3)双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A，虚轴的一个端点为B，若△ABF为等腰三角形，则双曲线C的离心率是(　　) A.eq \r(3) B.eq \r(2) C.eq \r(2)或eq \r(3) D．1＋eq \r(3) 【解析】　由题意易知F(－c，0)，A(a，0)，设B(0，b)， 则|AF|2＝(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac，|AB|2＝a2＋b2，|BF|2＝b2＋c2， 由△ABF为等腰三角形，分析可得|AF|＝|BF|， 即a2＋c2＋2ac＝b2＋c2， 变形可得c2－2a2－2ac＝0， 两边同除以a2，则有e2－2e－2＝0，解得e＝1±eq \r(3)， 又双曲线中e>1，则e＝1＋eq \r(3). 1．双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的左焦点与右顶点之间的距离等于(　　) A．6　　　　　　　　　　 B．8 C．9 D．10 2．(2019·北京)已知双曲线eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的离心率是eq \r(5)，则a＝(　　) A.eq \r(6) B．4 C．2 D.eq \f(1,2) 解析　∵双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5)，c＝eq \r(a2＋1)，∴eq \f(\r(a2＋1),a)＝eq \r(5)，解得a＝eq \f(1,2).故选D. 解析　设C1，C2的半焦距分别为c1，c2，两方程均化为标准方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,9)＝1和eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1，这里有ceq \o\al(2,1)＝ceq \o\al(2,2)＝4＋9＝13，所以两双曲线有相同的焦距，而焦点一个在x轴上，另一个在y轴上，故A错误、B正确；又两双曲线的渐近线均为y＝±eq \f(2,3)x，故D正确；C1的离心率e1＝eq \f(\r(13),2)，C2的离心率e2＝eq \f(\r(13),3)，故C错误． 解析　由题意，设等轴双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，又双曲线的焦点在x轴上，则λ>0，双曲线方程可化为eq \f(x2,λ)－eq \f(y2,λ)＝1，由焦点为(－2，0)可知，λ＋λ＝4，则λ＝2，因此实半轴长为eq \r(λ)＝eq \r(2)，所以实轴长是2eq \r(2). 2eq \r(2) 解析　(1)若焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则eq \f(9,a2)－eq \f(2,b2)＝1.① 又由e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \f(\r(5),2)，得a2＝4b2.② 由①②得a2＝1，b2＝eq \f(1,4)， 5．(1)求过点(3，－eq \r(2))，离心率e＝eq \f(\r(5),2)的双曲线的标准方程； 故双曲线的标准方程为x2－eq \f(y2,\f(1,4))＝1. 若焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)． 同理可得b2＝－eq \f(17,2)，不合题意． 综上可知，所求双曲线的标准方程为x2－eq \f(y2,\f(1,4))＝1. 解析　(2)方法一：∵渐近线方程为3x±4y＝0，即y＝±eq \f(3,4)x，且焦点F1(－5，0)，F2(5，0)在x轴上， ∴eq \f(b,a)＝eq \f(3,4)，c＝5.设a＝4k，b＝3k，k≠0. 由a2＋b2＝c2，得16k2＋9k2＝25，即k2＝1. ∴a2＝16，b2＝9.∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1. 方法二：∵双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，且焦点在x轴上， ∴可设双曲线的方程为9x2－16y2＝λ(λ>0)． 即eq \f(x2,\f(λ,9))－eq \f(y2,\f(λ,16))＝1，∴a2＝eq \f(λ,9)，b2＝eq \f(λ,16)，c＝5. ∴eq \f(λ,9)＋eq \f(λ,16)＝25，解得λ＝144. 故双曲线的标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1. $