3.2.2双曲线的简单几何性质 课时练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本练习聚焦双曲线几何性质，通过基础巩固、性质应用、综合探究三层设计，实现从概念理解到运算推理再到综合应用的知识进阶，培养数学推理能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-6题）|标准方程、实虚轴、离心率基本计算|单选形式直接考查定义与公式，如第1题虚轴长与实轴长关系| |中档层（7-12题）|离心率范围、渐近线性质、焦点坐标|多选（8题）结合参数变化考查不变量，填空（10题）强化焦点与渐近线距离计算| |提升层（13-16题）|焦点三角形、直线与双曲线位置关系|解答题（14题）探究焦点距离与离心率范围，综合题（16题）结合内心性质深化逻辑推理|

3.2 练习3　双曲线的简单几何性质 1. 已知双曲线＝1(m＞0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为( 　) A. ＝1 B. ＝1 C. x2＝1 D. ＝1 2. 已知双曲线y2＝1(a＞0)的离心率是，则a等于( 　) A. B. 4 C. 2 D. 3. 点(3，0)到双曲线＝1的一条渐近线的距离为 ( 　) A. B. C. D. 4. 双曲线＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( 　) A. 2 B. C. D. 5. 若双曲线＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( 　) A. B. C. D. 6. (2024·全国甲卷节选)已知双曲线的两个焦点分别为(0，－4)，(0，4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为( 　) A. 4 B. 3 C. 2 D. 7. (2024·深圳中学高二期中)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)，点B的坐标为(0，b)，若C上的任意一点P都满足|PB|≥b，则C的离心率的取值范围是( 　) A. B. C. (1，] D. [，＋∞) 8. (多选)已知双曲线＝sin2θ(θ≠kπ，k∈Z)，则不因θ改变而变化的是( 　) A. 焦距 B. 离心率 C. 顶点坐标 D. 渐近线方程 9. (多选)已知双曲线＝1的上、下焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，则下列结论中，正确的是( 　) A. 双曲线的离心率为2 B. 双曲线的渐近线方程为y＝±x C. 若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为9 D. 点P到两条渐近线的距离的乘积为 10. 已知双曲线C：＝1，则C的右焦点的坐标为 ，C的焦点到其渐近线的距离是 .  11. 已知双曲线＝1的离心率e∈(1，2)，则m的取值范围是 .  12. 焦点为(0，6)，且与双曲线y2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是 .  13. (2024·苏州中学检测)设双曲线＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a，0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率. 14. 已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上(点P不在x轴上)，且|PF1|＝5|PF2|. (1)用a表示|PF1|，|PF2|； (2)若∠F1PF2是钝角，求双曲线离心率e的取值范围. 15. 已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，点A在C的左支上，AF1⊥x轴，点A，B关于原点对称，四边形AF1BF2的面积为48，则|F1F2|等于( 　) A. 8 B. 4 C. 8 D. 4 16. (多选)已知F1，F2分别为双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，且|F1F2|＝，P为双曲线右支上一点，I为△PF1F2的内心，若λ，则下列结论中，正确的是( 　) A. 当PF2⊥x轴时，∠PF1F2＝30° B. 双曲线的离心率e＝ C. λ＝ D. 点I的横坐标为定值a 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 练习3　双曲线的简单几何性质 1. 已知双曲线＝1(m＞0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为(　D　) A. ＝1 B. ＝1 C. x2＝1 D. ＝1 【解析】 由题意，得2，解得m＝2，∴双曲线的标准方程为＝1. 2. 已知双曲线y2＝1(a＞0)的离心率是，则a等于(　D　) A. B. 4 C. 2 D. 【解析】 ∵双曲线的离心率e＝，c＝，∴，解得a＝. 3. 点(3，0)到双曲线＝1的一条渐近线的距离为 (　A　) A. B. C. D. 【解析】 由题意可知，双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，结合对称性，不妨考虑点(3，0)到直线3x＋4y＝0的距离，则所求距离为. 4. 双曲线＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为(　C　) A. 2 B. C. D. 【解析】 由渐近线互相垂直可知·＝－1，即a2＝b2，即c2＝2a2，即c＝a，∴e＝. 5. 若双曲线＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　D　) A. B. C. D. 【解析】 由题意知，则e2＝1，∴e＝. 6. (2024·全国甲卷节选)已知双曲线的两个焦点分别为(0，－4)，(0，4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　C　) A. 4 B. 3 C. 2 D. 【解析】 由题意，设F1(0，－4)，F2(0，4)，P(－6，4)，则|F1F2|＝2c＝8，|PF1|＝＝10，|PF2|＝＝6，则2a＝|PF1|－|PF2|＝10－6＝4，∴e＝＝2. 7. (2024·深圳中学高二期中)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)，点B的坐标为(0，b)，若C上的任意一点P都满足|PB|≥b，则C的离心率的取值范围是(　A　) A. B. C. (1，] D. [，＋∞) 【解析】 设P(x，y)，则由|PB|≥b得≥b，整理得x2＋y2－2by≥0(*)，由＝1得x2＝a2，代入不等式(*)中，化简得y2－2by＋a2≥0恒成立，则Δ＝4b2≤0，即b4≤a2c2，即b2≤ac，即c2－a2≤ac，可得e2－e－1≤0，解得≤e≤，又e＞1，∴1＜e≤. 8. (多选)已知双曲线＝sin2θ(θ≠kπ，k∈Z)，则不因θ改变而变化的是(　BD　) A. 焦距 B. 离心率 C. 顶点坐标 D. 渐近线方程 【解析】 双曲线＝sin2θ(θ≠kπ，k∈Z)，可化为＝1，∴a2＝4sin2θ，b2＝2sin2θ，c2＝6sin2θ，e2＝1，渐近线y＝±x＝±x，故离心率和渐近线方程不变. 9. (多选)已知双曲线＝1的上、下焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，则下列结论中，正确的是(　BD　) A. 双曲线的离心率为2 B. 双曲线的渐近线方程为y＝±x C. 若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为9 D. 点P到两条渐近线的距离的乘积为 【解析】 由双曲线的方程得a＝3，b＝4，c＝＝5，则F1(0，5)，F2(0，－5).双曲线的离心率e＝，A错误；双曲线的渐近线方程是y＝±x，B正确；若PF1⊥PF2，不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n，m＞n，则∴mn＝32，∴mn＝16，C错误；设P(x，y)，则＝1，即16y2－9x2＝144，∵渐近线方程为3x±4y＝0，∴点P到两条渐近线的距离的乘积为，D正确. 10. 已知双曲线C：＝1，则C的右焦点的坐标为　(3，0)　，C的焦点到其渐近线的距离是 　.  【解析】 由双曲线C的方程知，a＝，b＝，则c＝＝3，∴双曲线C的右焦点的坐标为(3，0)；双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，∴双曲线C的焦点到其渐近线的距离为. 11. 已知双曲线＝1的离心率e∈(1，2)，则m的取值范围是　(－12，0)　.  【解析】 显然m＜0，∴a2＝4，b2＝－m，c2＝a2＋b2＝4－m，∵e∈(1，2)，∴e2∈(1，4)，∴∈(1，4)，∴m∈(－12，0). 12. 焦点为(0，6)，且与双曲线y2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是 ＝1　.  【解析】 由y2＝1，得双曲线的渐近线为y＝±x.设双曲线方程为y2＝λ(λ＜0)，∴＝1，∴－λ－2λ＝36，∴λ＝－12，故双曲线方程为＝1. 13. (2024·苏州中学检测)设双曲线＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a，0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率. 解： 直线l的方程为＝1，即bx＋ay－ab＝0，于是有c，∴ab＝c2，两边平方，得a2b2＝c4.又b2＝c2－a2，∴16a2(c2－a2)＝3c4， 两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，解得e2＝4，或e2＝.又b＞a，∴e2＝＝1＞2，则e＝2，∴双曲线的离心率为2. 14. 已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上(点P不在x轴上)，且|PF1|＝5|PF2|. (1)用a表示|PF1|，|PF2|； (2)若∠F1PF2是钝角，求双曲线离心率e的取值范围. 解： (1)∵点P在双曲线的右支上，∴|PF1|－|PF2|＝2a， 又|PF1|＝5|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a. (2)在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝e2.∵－1＜cos∠F1PF2＜0，∴－1＜e2＜0，∴＜e＜. 15. 已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，点A在C的左支上，AF1⊥x轴，点A，B关于原点对称，四边形AF1BF2的面积为48，则|F1F2|等于(　A　) A. 8 B. 4 C. 8 D. 4 【解析】 设|F1F2|＝2c，由于双曲线的离心率为e＝＝2，∴c＝2a，则b＝a，∴双曲线C的方程为＝1，即3x2－y2＝3a2.将x＝－c即x＝－2a代入双曲线C的方程可得y＝±3a，∴|AF1|＝3a，如图所示，由于A，B关于原点对称，F1，F2关于原点对称，则四边形AF1BF2是平行四边形，四边形AF1BF2的面积S＝3a×4a＝12a2＝48，解得a＝2，∴|F1F2|＝2c＝4a＝8. 16. (多选)已知F1，F2分别为双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，且|F1F2|＝，P为双曲线右支上一点，I为△PF1F2的内心，若λ，则下列结论中，正确的是(　BCD　) A. 当PF2⊥x轴时，∠PF1F2＝30° B. 双曲线的离心率e＝ C. λ＝ D. 点I的横坐标为定值a 【解析】 当PF2⊥x轴时，|PF2|＝|F1F2|，此时tan∠PF1F2＝，A错误；∵|F1F2|＝，∴2c＝，整理得e2－e－1＝0，又e＞1，∴e＝，B正确；设△PF1F2的内切圆半径为r，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，|PF1|·r，|PF2|·r，·2cr＝cr，∵λ，∴|PF1|·r＝|PF2|·r＋λcr，故λ＝，C正确；设△PF1F2的内切圆与PF1，PF2，F1F2的切点分别为M，N，T，则|PM|＝|PN|，|F1M|＝|F1T|，|F2N|＝|F2T|，由|PF1|－|PF2|＝|F1M|－|F2N|＝|F1T|－|F2T|＝2a，|F1F2|＝|F1T|＋|F2T|＝2c，可得|F2T|＝c－a，∴T的坐标为(a，0)，即点I的横坐标为定值a，D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $