3.1.1 椭圆及其标准方程讲义 2026-2027学年高二上学期数学选修一例题精讲及课时精练

该高中数学椭圆单元复习讲义以“定义-方程-应用”为主线构建知识体系，通过表格对比焦点在x轴、y轴的椭圆标准方程，系统梳理定义、推导过程、a,b,c关系及求方程方法，清晰呈现重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，如“椭圆中距离的最值转化”题型，结合椭圆定义与圆的性质培养数学思维，通过定义法、待定系数法等指导提升推理能力。课时精练涵盖选择、填空、解答题，助力学生自主复习，教师可据此实施精准教学。

3.1.1 椭圆及其标准方程 题型一 椭圆的定义与方程 2 题型二 求椭圆的标准方程 4 题型三 椭圆中距离的最值转化 5 题型四 与椭圆有关的轨迹问题 6 课时精练 7 【基础回顾】 ( 1 / 9 ) 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 椭圆的定义 （1）椭圆定义:平面内与两个定点 、 的距离之和等于常数（大于 ） 的点的轨迹叫作椭圆. 这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距， 焦距的一半叫作半焦距。 （2）椭圆定义的集合语言表示： 注意事项: 定义中条件 不能少,这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的. 否则: ① 当 时,其轨迹为线段 ; ②当 时，其轨迹不存在。 知识点 2: 椭圆标准方程的推导 （1）怎样建立适当的直角坐标系？ 以经过点 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴建立直角坐标系 ,如图。 （2）椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？ 设点 是椭圆上任一点,椭圆的焦距为 . 焦点 的坐标分别是 , 又设 与 的距离的和等于常数 . 由椭圆的定义,椭圆就是集合 因为 所以 即 两边平方得 整理得 ,再平方并整理得 .两边同除以 得 考虑 ，应有 ，故设 ,就有 知识点 3: 椭圆的标准方程对比 定义 图形 标准方程 （焦点在 轴） （焦点在 轴） 焦点 的关系 知识点 4: 求椭圆的标准方程 （1）定义法：根据椭圆定义，确定 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程。 （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在 轴还是 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出 的方程组，解出 ，从而求得标准方程。 注意： ①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为 . 因为它包括焦点在 轴上或焦点在 轴上的两类情况， 所以可以避免分类讨论。 ② 与椭圆 共焦点的椭圆可设为 知识点 5: 求动点轨迹方程常见的方法 （1）定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹（如椭圆、圆等）的定义， 则可用定义法求解。 （2）直接法：将动点满足的几何条件或等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程。 （3）相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨迹方程。 当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时， 一般利用相关点方法求解。 题型一 椭圆的定义与方程 对椭圆定义的三点说明： （1）椭圆是在平面内定义的，所以 “平面内” 这一条件不能忽视。 （2）定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量。 （3）常数 必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件。 【例题精讲】 1．已知分别是椭圆的左、右焦点，是该椭圆上一点，则（   ） A． B． C．2 D．4 2．椭圆C：的两个焦点为，，椭圆上有一点，则的周长为（   ） A． B． C． D． 3．已知点P在以F1，F2分别为左、右焦点的椭圆上，若，则（   ） A．3 B．13 C．5 D．7 4．已知平面内两个定点之间的距离是6，动点到这两个定点的距离之和是8，那么动点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 5．设 是椭圆 上的动点，则 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（   ） A．4 B．6 C． D． 6．两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 7．已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知点，动点满足，且动点的轨迹是椭圆，则点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 9．（多选）设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（    ） A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线 10．（多选）已知椭圆上有个不同的点为其右焦点，若是公差的等差数列，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 题型二 求椭圆的标准方程 对于方程 表示椭圆的充要条件为： ；当 时，方程表示焦点在 轴上的椭圆； 当 时，方程表示焦点在 轴上的椭圆。 特别地，当 时，方程表示圆心在原点的圆。 （1）定义法：根据椭圆定义，确定 ， 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程。 （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在 轴还是 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出 的方程组，解出 ，从而求得标准方程。 注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为 . 因为它包括焦点在 轴上或焦点在 轴上的两类情况， 所以可以避免分类讨论。 ②与椭圆 共焦点的椭圆可设为 【例题精讲】 1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则（    ） A． B． C．或 D．或 2．已知椭圆，则其焦距为（   ） A．2 B．4 C． D． 3．方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的一个焦点为，则（   ） A． B．3 C． D．6 5．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆：的左、右顶点分别为，点在上，且，，，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，，为轴上关于原点对称的两点，且，动点满足，当轴时，，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 8．（多选）已知椭圆的焦距为2，则的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（多选）已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为10，短半轴长为4，则椭圆的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 10．（多选）方程表示焦点在轴上的椭圆，则m的可能取值可以为（    ） A．4 B．14 C．24 D．26 题型三 椭圆中距离的最值转化 【例题精讲】 1．设椭圆的左､右焦点分别为，且点在椭圆上，则的最大值为（    ） A．4 B．9 C．16 D．25 2．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，点在圆上，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．已知为椭圆的上焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．记，点在椭圆上，点在圆上，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知点P是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（   ） A．4 B． C． D．8 8．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．若的面积为1，则是直角三角形 D．点到直线的距离的最大值为 9．（多选）设椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为2，短轴长为，A是椭圆E上且位于第一象限内的一点，过点A且与椭圆E相切的直线分别交y轴、x轴于B，C两点，设O为坐标原点，则（    ） A．E的长轴长为4 B．设点，则的最小值为 C．的面积不小于 D． 10．（多选）椭圆的左、右焦点为，，P为上的动点，下列说法正确的是（    ） A．的周长为12 B．存在点，使 C．的最大值为12 D．到的距离的最大值为4 题型四 与椭圆有关的轨迹问题 求动点轨迹方程常见的方法 （1）定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹（如椭圆、圆等）的定义， 则可用定义法求解。 （2）直接法：将动点满足的几何条件或等量关系直接坐标化， 列出等式后化简， 得出动点的轨迹方程。 （3）相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨迹方程。 当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时， 一般利用相关点方法求解。 【例题精讲】 1．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 2．已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知，点，以为直径的圆与相切，则动点的轨迹是（   ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 5．若动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知动点满足，则点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 8．已知点是圆上的动点，作轴于点，则线段的中点的轨迹方程为_______. 9．如图，已知，，.动点P到A点的距离为6，线段的垂直平分线交直线于点M，当点P在运动时，记点M的轨迹为，则的方程为_____，的取值范围为_____. 10．动圆与圆外切同时与内切，则的面积最大值为________． 课时精练 一、单选题 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，若是椭圆上一点，则（　　） A． B．6 C． D．3 2．椭圆上一点到的左､右焦点的距离之和为（    ） A．25 B．50 C．10 D．20 3．已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．方程的化简结果是（    ） A． B． C． D． 5．已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．与圆外切，同时与圆内切的圆的圆心在（　　） A．椭圆上 B．双曲线的一支上 C．抛物线上 D．圆上 7．已知是椭圆上的动点，过作轴的垂线，垂足为，若动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 8．设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（   ） A．9 B．11 C．13 D．16 二、多选题 9．（多选）若椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则Γ的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）已知圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，圆心的轨迹记为曲线，为坐标原点，则（    ） A．曲线的方程为 B． C．存在点使得 D．的最大值为 11．（多选）已知是圆：上一动点，是平面上一定点，线段的垂直平分线和直线相交于点. 当点在圆上运动时，下列判断正确的是（   ） A．点的轨迹不可能是圆 B．点的轨迹可能是一个定点 C．若点坐标为，则点的轨迹方程为 D．若点坐标为，当是直角三角形时，可能是 三、填空题 12．已知周长为，，则顶点的轨迹方程为__________. 13．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为__________________ 14．已知点在椭圆上，的左焦点为，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的值为_______. 四、解答题 15．已知定点，点到点的距离，即，且线段的垂直平分线与线段交于点，动点的轨迹为． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若斜率存在的直线过点且与轨迹交于两点，与的平分线交于点，且点到直线的距离为，求直线的方程． 16．已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点 在椭圆上，满足. (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为1的直线与椭圆交于、两点，点为坐标原点，若，求的面积. 17．椭圆的左，右焦点分别为，过外的点且斜率为的直线交于A，B两点．当过时，的周长为8，． (1)求的方程； (2)为坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为．证明：成等差数列． 18．的顶点，，且的周长为6，记点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点的动直线与交于点，证明：恒为钝角． 19．已知椭圆的离心率为为坐标原点，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4. (1)求椭圆的方程. (2)设椭圆的左､右顶点分别为，过右焦点且斜率存在且不为0的直线交椭圆于，两点，直线与直线相交于点. （i）当斜率为1时，求四边形的面积. （ii）求证：点在定直线上. $ 3.1.1 椭圆及其标准方程 题型一 椭圆的定义与方程 2 题型二 求椭圆的标准方程 6 题型三 椭圆中距离的最值转化 9 题型四 与椭圆有关的轨迹问题 15 课时精练 21 【基础回顾】 ( 1 / 33 ) 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 椭圆的定义 （1）椭圆定义:平面内与两个定点 、 的距离之和等于常数（大于 ） 的点的轨迹叫作椭圆. 这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距， 焦距的一半叫作半焦距。 （2）椭圆定义的集合语言表示： 注意事项: 定义中条件 不能少,这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的. 否则: ① 当 时,其轨迹为线段 ; ②当 时，其轨迹不存在。 知识点 2: 椭圆标准方程的推导 （1）怎样建立适当的直角坐标系？ 以经过点 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴建立直角坐标系 ,如图。 （2）椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？ 设点 是椭圆上任一点,椭圆的焦距为 . 焦点 的坐标分别是 , 又设 与 的距离的和等于常数 . 由椭圆的定义,椭圆就是集合 因为 所以 即 两边平方得 整理得 ,再平方并整理得 .两边同除以 得 考虑 ，应有 ，故设 ,就有 知识点 3: 椭圆的标准方程对比 定义 图形 标准方程 （焦点在 轴） （焦点在 轴） 焦点 的关系 知识点 4: 求椭圆的标准方程 （1）定义法：根据椭圆定义，确定 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程。 （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在 轴还是 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出 的方程组，解出 ，从而求得标准方程。 注意： ①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为 . 因为它包括焦点在 轴上或焦点在 轴上的两类情况， 所以可以避免分类讨论。 ② 与椭圆 共焦点的椭圆可设为 知识点 5: 求动点轨迹方程常见的方法 （1）定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹（如椭圆、圆等）的定义， 则可用定义法求解。 （2）直接法：将动点满足的几何条件或等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程。 （3）相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨迹方程。 当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时， 一般利用相关点方法求解。 题型一 椭圆的定义与方程 对椭圆定义的三点说明： （1）椭圆是在平面内定义的，所以 “平面内” 这一条件不能忽视。 （2）定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量。 （3）常数 必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件。 【例题精讲】 1．已知分别是椭圆的左、右焦点，是该椭圆上一点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】由椭圆定义进行求解. 【详解】显然，，由椭圆定义可得 故选：B 2．椭圆C：的两个焦点为，，椭圆上有一点，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义计算周长后判断选项即可. 【详解】因为椭圆C：， 所以，， 所以， 故的周长为． 故选：C 3．已知点P在以F1，F2分别为左、右焦点的椭圆上，若，则（   ） A．3 B．13 C．5 D．7 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】因为椭圆C的方程为，所以，由椭圆的定义可得，且，所以. 故选：D. 4．已知平面内两个定点之间的距离是6，动点到这两个定点的距离之和是8，那么动点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义判断即可. 【详解】因为，是两个定点，，而， 所以由椭圆的定义得，动点P的轨迹是椭圆. 故选：B. 5．设 是椭圆 上的动点，则 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，再根据椭圆的定义求解. 【详解】椭圆 ，其中， 是椭圆 上的动点， 根据椭圆的定义可得 到该椭圆的两个焦点的距离之和为. 故选：B. 6．两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆定义可求，由焦点坐标可求，根据关系可得方程. 【详解】因为两个焦点的坐标分别是，，所以椭圆的焦点在横轴上，并且， 所以由椭圆的定义可得：，即，所以由，，的关系解得， 所以椭圆方程是． 故选：B． 7．已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的概念，求出椭圆标准方程即可. 【详解】由题意可知，所以动点的轨迹是椭圆，且，则， 所以椭圆标准方程为. 故选：A. 8．（多选）已知点，动点满足，且动点的轨迹是椭圆，则点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由椭圆定义可知，则点在以圆心为半径的圆内，即可判断各选项. 【详解】由已知可得， 即点在以圆心以为半径的圆内，且点，不重合， 即点在圆内， 由，在圆内， 在圆上，在圆外， 可知AC选项正确； 故选：AC. 9．（多选）设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（    ） A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线 【答案】BC 【分析】根据椭圆的定义求解. 【详解】由题意知，定点，，可得， 因为，可得， 当且仅当，即时取得等号， 当时，可得的，此时点的轨迹是线段； 当时，可得，此时点的轨迹是椭圆. 故选：BC. 10．（多选）已知椭圆上有个不同的点为其右焦点，若是公差的等差数列，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用椭圆上点到焦点距离的最值，由等差数列通项公式计算可得结果. 【详解】根据可知， 利用椭圆性质可得的最大值为，最小值为， 因此可得，因为，可得，即； 所以的可能取值为，. 故选：AB 题型二 求椭圆的标准方程 对于方程 表示椭圆的充要条件为： ；当 时，方程表示焦点在 轴上的椭圆； 当 时，方程表示焦点在 轴上的椭圆。 特别地，当 时，方程表示圆心在原点的圆。 （1）定义法：根据椭圆定义，确定 ， 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程。 （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在 轴还是 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出 的方程组，解出 ，从而求得标准方程。 注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为 . 因为它包括焦点在 轴上或焦点在 轴上的两类情况， 所以可以避免分类讨论。 ②与椭圆 共焦点的椭圆可设为 【例题精讲】 1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】①当椭圆的焦点在轴上时，，解得； ②当椭圆的焦点在轴上时，，解得， 所以或. 2．已知椭圆，则其焦距为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】由可得椭圆焦点在轴上，且， 则，则其焦距为. 3．方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆焦点所在的轴联立不等式，即可求解. 【详解】由题意得，解得. 4．已知椭圆的一个焦点为，则（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】根据椭圆的焦点在轴上，依次确定和，再利用椭圆中，解出，即可得解. 【详解】根据已知条件，椭圆的焦点在轴上，则，，由得，所以. 故选：B. 5．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题意只需与同正且即可. 【详解】因为焦点在轴上的椭圆，所以有. 6．已知椭圆：的左、右顶点分别为，点在上，且，，，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以点在轴左侧，如图，作轴，垂足为． 由，得， 所以，即， 则 ，， 所以，即， 则． 7．在平面直角坐标系中，，为轴上关于原点对称的两点，且，动点满足，当轴时，，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义判断轨迹为椭圆，由求得，由求得，即可得到椭圆方程. 【详解】由题意得，， 则点的轨迹为以为焦点的椭圆，所以，即. 因为为轴上关于原点对称的两点，所以椭圆的焦点在轴上， 设其方程为，，则， 将代入方程得， 因为，所以，解得，故椭圆方程为. 故选：A. 8．（多选）已知椭圆的焦距为2，则的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【分析】根据给定条件，按焦点位置分类列式求解. 【详解】椭圆的焦距为2，当焦点在轴上时，，解得； 当焦点在轴上时，，解得，所以或. 故选：AB 9．（多选）已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为10，短半轴长为4，则椭圆的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】求出，得到椭圆方程. 【详解】由题意，，故， 椭圆的标准方程可能为或． 故选：AC． 10．（多选）方程表示焦点在轴上的椭圆，则m的可能取值可以为（    ） A．4 B．14 C．24 D．26 【答案】BC 【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆， ，解得，故BC符合题意． 题型三 椭圆中距离的最值转化 【例题精讲】 1．设椭圆的左､右焦点分别为，且点在椭圆上，则的最大值为（    ） A．4 B．9 C．16 D．25 【答案】C 【详解】由椭圆的定义可得， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为16. 2．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，点在圆上，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据椭圆定义，，则当三点共线时，取得最小值. 【详解】根据题意，，且点为椭圆右焦点， 根据椭圆定义，， 即如图，当三点共线时，取得最小值. 3．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先根据椭圆的定义得到、的关系，再利用三角形三边关系，进而求出结果. 【分析】对于椭圆，，，则， 设是椭圆的右焦点，则、. 根据椭圆的定义得，所以. 所以. 因为，所以的最大值为， 当且仅当为直线与椭圆在轴下方的交点时，等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 4．已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆定义可得，可得出，结合圆的几何性质可求得的最小值. 【详解】对于椭圆，，，则，故、， 圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由椭圆定义可得， 所以 ， 当且仅当点、分别为线段与椭圆、圆的交点时，上述两个等号同时成立， 故的最小值为. 故选：A. 5．已知为椭圆的上焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆的上、下焦点分别为，由椭圆的定义，求得，根据题意，转化为，结合圆的性质，得到，进而求得的最大值，得到答案. 【详解】如图所示，由圆，可得圆心，半径为， 又由椭圆，设上焦点为，下焦点为，且， 根据椭圆的定义，可得，则， 所以， 要使得最大，则最小. 因为，当且仅当为线段与圆的交点时，等号成立， 所以， 当且仅当为线段与椭圆的交点时，等号成立， 所以，即的最大值为. 故选：D.    6．记，点在椭圆上，点在圆上，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】记，由椭圆第一定义得， 在中，有（当且仅当，，共线且在线段上时取等号）， 圆的圆心，半径，则, . 7．已知点P是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】注意到是椭圆的下焦点，则上焦点为，故，而的最大值为，由此求得的最大值. 【详解】由椭圆方程可知，， 故为椭圆的下焦点，则椭圆的上焦点为，如图，    根据椭圆的定义，有， 根据三角形两边的差小于第三边可知， 故的最大值为 . 故选：D 8．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．若的面积为1，则是直角三角形 D．点到直线的距离的最大值为 【答案】BCD 【详解】如图： 由已知可得，，. 因为，即，所以不可能成立，故A错误； 当点与的上（或下）顶点重合时，最大， 此时 ，所以， 所以，又，故B正确； 设，因为，所以，，故C正确； 设，，则点到直线的距离， 又因为 ，其中且，所以. 所以，故D正确. 9．（多选）设椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为2，短轴长为，A是椭圆E上且位于第一象限内的一点，过点A且与椭圆E相切的直线分别交y轴、x轴于B，C两点，设O为坐标原点，则（    ） A．E的长轴长为4 B．设点，则的最小值为 C．的面积不小于 D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，求出椭圆的方程，结合两点间距离公式求解判断AB；求出切线方程，结合三角形面积公式、三角恒等变换求解判断CD. 【详解】对于A，半焦距，短半轴长，则长半轴长，椭圆E的长轴长为4，A正确； 对于B，椭圆，设点，则， ，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，设切线的方程为，由，得， 则，即，，于是，即， 切线方程为，由点在切线上，得， 点，，又，因此，C正确； 对于D，设的倾斜角为，的倾斜角为，的倾斜角为， 由，，得， 要证，只要证明即可， 当时，，，， 因此，又， 则，即，由， 得，于是，；当时，轴， 点，直线方程为，，， ，则， 因此，D正确. 故选：ACD 10．（多选）椭圆的左、右焦点为，，P为上的动点，下列说法正确的是（    ） A．的周长为12 B．存在点，使 C．的最大值为12 D．到的距离的最大值为4 【答案】ACD 【分析】由椭圆方程得出基本参数，，，进而得到焦点及相关线段长，判断周长，分析最大值情况判断B选项，分析取值及相关距离情况判断C、D选项. 【详解】因为椭圆，得，，， 所以焦点，，满足， 所以， 在A选项中，的周长为，A正确， 在B选项中，在短轴端点时最大， 此时，为等边三角形， 最大角为，不存在满足条件的，B错误， 在C选项中，设，， 代入椭圆，得， 又，最大值为，代入得最大值为，C正确， 在D选项中，过作直线的垂线，垂足记为， 当与不重合时，为直角三角形，， 当与重合时，到距离等于，D正确. 题型四 与椭圆有关的轨迹问题 求动点轨迹方程常见的方法 （1）定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹（如椭圆、圆等）的定义， 则可用定义法求解。 （2）直接法：将动点满足的几何条件或等量关系直接坐标化， 列出等式后化简， 得出动点的轨迹方程。 （3）相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨迹方程。 当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时， 一般利用相关点方法求解。 【例题精讲】 1．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，由题意，因为是的中点，且轴，则有，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，因为是的中点，且轴，则有，如图： 又在圆上，将代入其中可得 ，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A. 2．已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，即，所以动点P的轨迹为椭圆，再设椭圆的标准方程，求出其中的参数即可得到动点P的轨迹方程． 【详解】如图，分别过点作直线l的垂线，垂足分别为， 则，，切点为， ∵，，∴O是AB中点， ∴是梯形的中位线， ∴， 又∵圆C的方程为，半径， ∴，∴，即， ∴动点P的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设该椭圆的方程为，则，， ∴，，， ∴动点P的轨迹方程为. 故选：D 3．如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义判断即可. 【详解】关系式表示点到两个定点和的距离之和，符合椭圆的定义. 则，，又，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 4．已知，点，以为直径的圆与相切，则动点的轨迹是（   ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【分析】根据圆与圆相切的条件及椭圆的定义判断可得. 【详解】如图：设M为的中点，则圆M与圆O只能内切，且圆O的半径为3， 所以，即，设，则， 故. 所以Q点在以为焦点，以长轴为6的椭圆上，故Q点的轨迹是一个椭圆. 故选：B 5．若动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将圆化为标准方程，再利用动圆与两圆的外切、内切关系，得到动圆圆心到两定圆心的距离和，结合椭圆定义求轨迹方程. 【详解】依题意得，圆，圆心，半径为； 圆，化为标准方程为，圆心，半径为； 设，动圆的半径为，因为动圆与圆外切，与圆内切， 因此，， 由此可得； 因此圆心的轨迹是以为焦点，长轴长，焦距的椭圆； 所以，椭圆的短半轴长， 因此动圆圆心的轨迹方程为. 故选：A. 6．已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线斜率的概念，列出方程，求出结果即可. 【详解】设点，则，且， 可得，化简得，即，且. 故选：D. 7．已知动点满足，则点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【分析】化简给定方程，再由方程特征确定轨迹. 【详解】由两边平方得， 整理得，即， 因此点的轨迹方程是，所以的轨迹为椭圆. 故选：B 8．已知点是圆上的动点，作轴于点，则线段的中点的轨迹方程为_______. 【答案】 【分析】分别设，建立相关点之间的关系，代入求解. 【详解】如图所示： 不妨设， 则满足； 易知， 又线段的中点为，可得； 即， 代入方程 可得，整理得. 故答案为：. 9．如图，已知，，.动点P到A点的距离为6，线段的垂直平分线交直线于点M，当点P在运动时，记点M的轨迹为，则的方程为_____，的取值范围为_____. 【答案】 【分析】根据椭圆的定义式判断点M的轨迹为椭圆，求出标准方程；，可得，，换元令，结合函数单调性求值域即可. 【详解】如图，连接， 因点是线段的中垂线上一点，故， 则，且，即， 可知点M的轨迹为以点A，B为两焦点的椭圆， 则，，即，，则， 所以轨迹的方程为； 因点M是椭圆上的一点，则 设， 则， ， 令，则， 因为在上单调递增，且在定义域内单调递增， 则在上单调递增，显然， 又因为在上单调递增，且， 可知在上单调递增， 则最小值为，最大值为， 所以的取值范围为. 故答案为：；. 10．动圆与圆外切同时与内切，则的面积最大值为________． 【答案】 【分析】设圆M的半径为r，求出圆的圆心和半径，根据题意，可得，，即可得，根据椭圆的定义，可得M的轨迹方程，分析可得当M为短轴端点时，的面积最大，计算即可得答案. 【详解】设圆M的半径为r，圆，圆心为，半径为2， 圆，圆心为，半径为10， 因为动圆与圆外切，所以， 因为动圆与圆内切，所以， 所以， 所以点M的轨迹是以为焦点的椭圆，且， 所以，则，则方程为， 当为短轴端点时，的面积最大， 且最大值. 故答案为： 课时精练 一、单选题 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，若是椭圆上一点，则（　　） A． B．6 C． D．3 【答案】A 【分析】根据椭圆定义进行求解. 【详解】由椭圆方程可知，由椭圆定义可知． 故选：A． 2．椭圆上一点到的左､右焦点的距离之和为（    ） A．25 B．50 C．10 D．20 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆可得，得， 所以到的左､右焦点的距离之和为. 故选：D 3．已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义直接求解即可. 【详解】因为平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，且， 所以动点P的轨迹方程为焦点位于轴的椭圆， 设椭圆方程为，焦距为， 则，解得，故动点P的轨迹方程为. 故选：B 4．方程的化简结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由表达式几何意义并利用椭圆定义可知满足椭圆的方程，即可得出结果. 【详解】根据题意可知，表达式可表示点到定点的距离之和为10， 且， 由椭圆定义可知点满足以为焦点，长轴长为10的椭圆方程， 所以可得. 故选：B 5．已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画图，分析出，确定圆心M的轨迹为椭圆，求出，得到轨迹方程. 【详解】如图，由题意得：，，其中， 所以， 由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，设， 则，解得：， 故动圆圆心M的轨迹方程为. 故选：D 6．与圆外切，同时与圆内切的圆的圆心在（　　） A．椭圆上 B．双曲线的一支上 C．抛物线上 D．圆上 【答案】A 【分析】根据圆与圆的位置关系可得，再根据椭圆的定义可得动圆圆心的轨迹. 【详解】设动圆的圆心为，半径为，圆，圆， 则，. 又，所以点在以为焦点的椭圆上． 故选：A． 7．已知是椭圆上的动点，过作轴的垂线，垂足为，若动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，则，根据求出代入椭圆方程可得答案. 【详解】设，，则， ， 因为，所以， 可得，所以有. 故选：B. 8．设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（   ） A．9 B．11 C．13 D．16 【答案】D 【分析】根据椭圆定义求解，再结合圆上一点到圆外一点的距离的最大值为该点到圆心距离加半径，最小值为该点到圆心距离减半径，分别分析和的最值范围，进而结合不等式性质求解即可. 【详解】如图，椭圆的两个焦点坐标为，为两个圆的圆心坐标，圆的半径为，圆的半径为，由椭圆的定义可得. 因为满足： ，即 ，即 所以两式相加得：， 代入，可得，即不可能为16. 二、多选题 9．（多选）若椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则Γ的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，则，， 且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则， 即，解得， ，故选项BD正确. 10．（多选）已知圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，圆心的轨迹记为曲线，为坐标原点，则（    ） A．曲线的方程为 B． C．存在点使得 D．的最大值为 【答案】BD 【分析】对于A由内切和外切求出，结合椭圆的定义可求；对于B利用椭圆的定义化简；对于C设，利用数量积的坐标运算求出，最后结合一元二次函数求最值；对于D利用余弦定理以及基本不等式求的最小值即可. 【详解】对于A，由题意得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为动圆与圆外切，与圆内切于点， 所以， 得， 故点的轨迹是以为焦点的椭圆的一部分， 其中，则，故椭圆方程为， 联立，得， 故曲线的方程为，故A错误； 对于B，因为，所以， 故B正确； 对于C， 设，且，则， 则， 则不存在点使得，故C错误； 对于D，设，则， 则在中利用余弦定理得 ， 由，得，等号成立时，此时点， 则， 因为，所以， 故的最大值为，故D正确. 故选：BD 11．（多选）已知是圆：上一动点，是平面上一定点，线段的垂直平分线和直线相交于点. 当点在圆上运动时，下列判断正确的是（   ） A．点的轨迹不可能是圆 B．点的轨迹可能是一个定点 C．若点坐标为，则点的轨迹方程为 D．若点坐标为，当是直角三角形时，可能是 【答案】BCD 【分析】当点与圆心重合或在圆上时，分析点的轨迹，即可判断选项A，B；根据圆心坐标及点坐标，结合椭圆定义及垂直平分线性质，即可得到点的轨迹方程，进而判断选项C；假设，即可求出点坐标，进而得到，即，满足条件，即可判断选项D. 【详解】圆的方程为，则圆心，半径. 因为点在线段的垂直平分线上，所以，因此 选项A：当点与圆心重合时，点轨迹为以圆心，以为半径的圆，故A错误； 选项B：当点在圆上时，线段为圆上的弦，则线段的垂直平分线经过圆心， 所以直线与直线的交点为圆心（即Q点），此时为定点，故B正确； 选项C：当点坐标为时，点在圆内，，， 因为点在线段的垂直平分线上，所以， ， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，即， 又，所以， 所以点的轨迹方程为，故C正确； 选项D：已知，，，点在上， 若，则，所以. 因为点在圆上，所以，解得， 所以或. 直线方程为，即轴，， 又点在直线上，所以，即是直角三角形，满足条件， 因此当，且或，且 时，，且为直角三角形，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．已知周长为，，则顶点的轨迹方程为__________. 【答案】 【详解】由，，得. 周长为，故. ，所以点轨迹为焦点在轴上的椭圆，除去与共线两点. 设椭圆方程. 椭圆焦点在轴，，， ，所以得椭圆方程：. 不在直线上，故. 顶点的轨迹方程为. 13．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为__________________ 【答案】 【分析】根据两圆相切的条件 ，利用椭圆的定义求轨迹方程． 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为，所以两圆相内切于点， 设动圆的圆心为，半径为，则， ， 因此点的轨迹方程是以为焦点，长轴长为10的椭圆（不含点）， 所以该动圆的圆心的轨迹方程为. 故答案为： 14．已知点在椭圆上，的左焦点为，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的值为_______. 【答案】 【分析】连接与椭圆的右焦点，与的中点，结合相似三角形与椭圆的定义求解即可. 【详解】由已知得：， 设椭圆的右焦点为，的中点为，连接和（如图所示）， 因为在以为圆心，为半径的圆上，所以， 又为的中点，为的中点，所以， 由椭圆的定义知：. 四、解答题 15．已知定点，点到点的距离，即，且线段的垂直平分线与线段交于点，动点的轨迹为． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若斜率存在的直线过点且与轨迹交于两点，与的平分线交于点，且点到直线的距离为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据题意，求得，结合椭圆的定义，即可求得动点的轨迹方程； （2）设直线，联立方程组，求得，由点到的距离均为，得到，结合三角形的面积，列出方程，求得的的值，即可求解. 【详解】（1）因为线段的垂直平分线与线段交于点，可得， 所以， 由椭圆的定义，动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆， 其中，可得，则， 所以动点的轨迹的方程为． （2）设，由直线的斜率存在，可设直线， 联立方程组，整理得， 因为直线过椭圆内的定点，则均能保证， 则， 又因为与的平分线交于点， 可得点到的距离均为， 所以的面积为， 所以，即， 因为， 可得，整理得， 即，解得， 所以直线的方程是或，即或． 综上可得，直线的方程是或． 16．已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点 在椭圆上，满足. (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为1的直线与椭圆交于、两点，点为坐标原点，若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意求出的值，结合的值，可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）设点、，将直线与椭圆联立，列出韦达定理，结合弦长公式可得出关于的方程，求出参数，再应用点线距离公式、三角形面积公式求的面积. 【详解】（1）由椭圆的定义可得，可得， 因为，所以，故， 因此椭圆的标准方程为. （2）设点、，且， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以 ，解得， 所以，则到直线的距离， 所以. 17．椭圆的左，右焦点分别为，过外的点且斜率为的直线交于A，B两点．当过时，的周长为8，． (1)求的方程； (2)为坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为．证明：成等差数列． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件结合椭圆的定义，可得a值，根据向量求夹角公式及条件，可得c值，根据的关系，可得，即可得答案. （2）设，可得的表达式，由题意得直线l的方程，与椭圆联立，根据韦达定理，可得表达式，根据斜率公式，可得表达式，化简整理，即可得证. 【详解】（1）由椭圆的定义得的周长为，解得， 设焦距为，则，所以， 则， 因为，所以，解得， 则，所以的方程为. （2）设，则， 由题意，得直线的方程为， 联立，得， 则， 所以 ， 即，则，所以成等差数列. 18．的顶点，，且的周长为6，记点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点的动直线与交于点，证明：恒为钝角． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用椭圆的定义可得答案； （2）设过的直线，与椭圆联立，利用韦达定理求得，计算，对斜率不存在情况验证亦成立，故恒为钝角． 【详解】（1）已知的周长为6，所以 ， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，（除去所在直线上的点，因为三点不共线才能构成三角形） 焦距，长轴长， 由， 故的方程为． （2）当直线的斜率不存在时，直线方程为， 代入椭圆：，此时、， 则； 当直线斜率存在时，设其斜率为， 则直线方程为：，代入椭圆，得， 整理得：， 设、，则， 所以， 代入得， ； 综上：，对任意动直线恒成立， 故恒为钝角． 19．已知椭圆的离心率为为坐标原点，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4. (1)求椭圆的方程. (2)设椭圆的左､右顶点分别为，过右焦点且斜率存在且不为0的直线交椭圆于，两点，直线与直线相交于点. （i）当斜率为1时，求四边形的面积. （ii）求证：点在定直线上. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用椭圆的定义求出，结合离心率求出，结合，进而求出椭圆的方程. （2）（i）先写出直线的方程，联立椭圆方程得到一元二次方程，利用韦达定理求出 ，后用“分割法”（将四边形拆分为两个三角形）计算面积.（ii）设直线的方程为，联立椭圆方程得到韦达定理的结果，写出和的直线方程，联立求出，证明，从而确定点在定直线上. 【详解】（1）由椭圆定义得，解得. 又因为离心率，所以， 则，因此椭圆标准方程为 （2）（i）由（1）得，当时，直线的方程为. 联立，得（或） 设，则， ， ∴四边形的面积； （ii）证明：设直线的方程为且斜率不为0，设， 由椭圆方程可知，联立，整理得， 由根与系数的关系得. 设直线的方程为，直线的方程为， 设，则， 将代入得. 同时将根与系数关系式代入上式，化简整理得. 因为直线的斜率不为不能同时为0，且若假设， 代入到，得；代入到，得， 将代入到中，整理得， 即矛盾，故假设不成立，即 故只能，即，因此点在定直线上. $