3.1.1 椭圆及其标准方程（第2课时）课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆焦点三角形问题、定义法与相关点法求轨迹方程，通过例题导入，结合椭圆定义、正余弦定理，承接上节课标准方程，以探究总结的公式和方法步骤为学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点是题型分层递进，例题解析注重思维过程，探究环节提炼规律（如焦点三角形面积公式、相关点法步骤）。通过动圆圆心轨迹、重心轨迹等实例，培养数学眼光（发现数量关系）、数学思维（推理运算）、数学语言（方程表达），助力学生掌握解题方法，教师教学更高效有序。

内容导航 课时学案 课后巩固 Content Navigation 01 02 3.1.1　椭圆及其标准方程 (第2课时) 课时学案 3 例 1 题型一　 焦点三角形问题 第页 4 (2)求|PF1|·|PF2|； 第页 (3)求△F1PF2的面积． 第页 探究1 第页 48 【解析】　由勾股定理，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝100①. 而|PF1|＋|PF2|＝2a＝14， 所以(|PF1|＋|PF2|)2＝196②. 结合①②，得|PF1|·|PF2|＝48. 第页 120° 第页 例 2　一动圆与定圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与定圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程． 题型二　 定义法求轨迹方程 第页 10 探究2 若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义法直接求解动点的轨迹并写出其方程，若已知条件中没有直角坐标系，需先建立平面直角坐标系后求解． 第页 思考题2　(1)已知B，C是平面内的两个定点，|BC|＝8，且平面内△ABC的周长等于18，则这个三角形的顶点A的轨迹方程为____________ ___________________． 第页 (2)设圆Q：(x－1)2＋y2＝81，A是圆内一点，坐标为(－1，0)，P是圆Q上任意一点，线段AP的垂直平分线和半径QP相交于点M，求M的轨迹方程． 第页 例 3 题型三　 相关点法(代入法)求轨迹方程 第页 14 第页 探究3 相关点法(代入法)求轨迹方程的一般步骤 (1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0)． (2)找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0. (3)将x0，y0代入其所在的曲线方程． (4)化简方程即可得所求方程． 第页 返 回 课后巩固 18 √ 第页 √ 第页 4 第页 4．一动圆过定点A(2，0)，且与定圆B：x2＋4x＋y2－32＝0内切，则 动圆圆心M的轨迹方程为____________． 返 回 请做：课时作业（三十） 教师备用资料 【解析】　(1)△F1PF2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝2eq \r(5)＋2. 　P为椭圆eq \f(y2,5)＋eq \f(x2,4)＝1上的一点，F1，F2为焦点，且∠F1PF2＝30°. (1)求△F1PF2的周长； 【解析】　(2)由余弦定理，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 30°＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－eq \r(3)|PF1|·|PF2|＝4， 即(|PF1|＋|PF2|)2－(2＋eq \r(3))|PF1|·|PF2|＝4， 即20－(2＋eq \r(3))|PF1|·|PF2|＝4. 所以|PF1|·|PF2|＝16(2－eq \r(3))． 【解析】　(3)S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin 30°＝eq \f(1,4)|PF1|·|PF2|＝4(2－eq \r(3))． (1)椭圆中的焦点三角形问题经常利用椭圆的定义结合正、余弦定理及勾股定理等来解决，在解题时，若出现|PF1|＋|PF2|的形式，经常用到配方、解方程等方法，把|PF1|·|PF2|看作一个整体． (2)焦点三角形的常用公式： ①焦点三角形的周长l＝2a＋2c. ②在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ(其中∠F1PF2＝θ)． ③焦点三角形的面积S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin θ＝b2tan eq \f(θ,2).(∠F1PF2＝θ，选择题、填空题可直接应用此公式求解) 思考题1　(1)已知椭圆eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1上一点P与两焦点F1，F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________． 【解析】　∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2a－4＝6－4＝2.∵|F1F2|＝2c＝2eq \r(7)，∴点P不在x轴上，∴在△F1PF2中，利用余弦定理可得， cos∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝－eq \f(1,2)， ∴∠F1PF2的大小为120°. (2)椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,2)＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2的大小为________． 【解析】　两定圆的圆心和半径分别为O1(－3，0)，r1＝1，O2(3，0)，r2＝9，设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，连接MO1，MO2，则由题设条件，可得圆M外切于圆O1，内切于圆O2，则|MO1|＝1＋R，|MO2|＝9－R. ∴|MO1|＋|MO2|＝10>|O1O2|＝6. 由椭圆的定义知，M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16. 故动圆圆心的轨迹方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1. 【解析】　以eq \o(BC,\s\up18(→))的方向为x轴正方向，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，设A(x，y)． 由|BC|＝8，可知B(－4，0)，C(4，0)．又因为|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，所以|AB|＋|AC|＝10>|BC|＝8. 从而点A在以B，C为焦点的椭圆上，且2a＝10，2c＝8，因此a＝5，c＝4.从而b2＝a2－c2＝25－16＝9. 因此点A在椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上，因为是三角形，所以A，B，C三点不共线，因此点A的轨迹方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1(y≠0)． eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1(y≠0) 【解析】　如图，连接MA，由题意知|MA|＝|MP|. ∵|QM|＋|MP|＝9， ∴|MA|＋|MQ|＝9>|AQ|＝2. ∴M的轨迹是以A，Q为焦点，长轴长为9的椭圆，∴a＝eq \f(9,2)，c＝1，所以b2＝a2－c2＝eq \f(77,4). ∴所求轨迹方程为eq \f(4x2,81)＋eq \f(4y2,77)＝1. 【解析】　设点P(x1，y1)，M(x，y)， 由椭圆方程知a＝3，b＝1， ∴c＝eq \r(9－1)＝2eq \r(2)， 则F1(－2eq \r(2)，0)，F2(2eq \r(2)，0)． 　椭圆eq \f(x2,9)＋y2＝1上有一动点P，点F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，求△PF1F2的重心M的轨迹方程． ∵△PF1F2存在，∴y1≠0.由三角形重心坐标公式有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋（－2\r(2)）＋2\r(2),3)，,y＝\f(y1＋0＋0,3)，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝3x，,y1＝3y.)) ∵y1≠0，∴y≠0. ∵点P在椭圆上，∴2,1)eq \f(x,9) ＋yeq \o\al(2,1)＝1， ∴eq \f(（3x）2,9)＋(3y)2＝1(y≠0)，即△PF1F2的重心M的轨迹方程为x2＋eq \f(y2,\f(1,9))＝1(y≠0)． eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1(y≠0) 思考题3　如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的射影，M是线段PD上一点，且|MD|＝eq \f(4,5)|PD|.当点P在圆上运动时，动点M的轨迹方程是____________________． 解析　由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝2eq \r(7)，∴(|PF1|＋|PF2|)2＝64，∵|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|2＋|PF2|2＝40，易知点P不在x轴上，则在△F1PF2中，cos ∠F1PF2＝eq \f(40－28,2×12)＝eq \f(1,2)，∵0°＜∠F1PF2＜180°，∴∠F1PF2＝60°.故选A. 1．P是椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为(　　) A．60°　　　 B．30°°　　　 C．120°°　　　 D．150° 解析　由方程左边式子的几何意义及椭圆定义可知，方程表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，且c＝4，a＝5，所以b2＝a2－c2＝9，故化简结果为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1. 2．化简方程eq \r(（x－4）2＋y2)＋eq \r(（x＋4）2＋y2)＝10的结果是(　　) A.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,5)＝1 C.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1 D.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,25)＝1 解析　由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝eq \r(5).因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×4×2＝4. 3．设F1，F2是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积＝________． 解析　将定圆B的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，∴圆心坐标为B(－2，0)，半径为6，设动圆圆心M的坐标为(x，y)，由于动圆与圆B内切，设切点为C.连接BC，AM，易知点M在BC上 ， 则|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6，∴|BM|＋|MC|＝6.又|MC|＝|AM|， ∴|BM|＋|AM|＝6>|BA|＝4， 根据椭圆的定义知，动圆圆心M的轨迹是以点B(－2，0)和点A(2，0)为焦点的椭圆．∴a＝3，c＝2，b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(5)， ∴所求圆心M的轨迹方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1. eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1 $