3.3.2 抛物线的简单几何性质讲义 2026-2027学年高二上学期数学选修一例题精讲及课时精练

该高中数学讲义通过知识框架图系统梳理抛物线的几何性质，结合对比表格呈现四种标准方程的焦点、准线及焦半径公式，按“定义理解-性质推导-综合应用”的逻辑递进，清晰展现直线与抛物线位置关系、弦长公式等核心知识点的内在联系。 讲义亮点在于分层递进的题型设计，从基础几何性质判断（如“求抛物线上动点到定点距离最小值”）到综合参数范围问题（如“抛物线与圆的位置关系求参数”），融入点差法、焦半径公式等解题技巧，培养学生数学思维的推理能力与数学语言的模型观念。课时精练包含选择、填空及解答题，基础题巩固方法，综合题提升应用意识，助力学生自主复习时精准突破，也为教师实施分层教学提供清晰依据。

3.3.2 抛物线的简单几何性质 题型一 抛物线的简单几何性质 3 题型二 直线与抛物线位置关系的判断 9 题型三 抛物线的弦、弦中点问题 14 题型四 抛物线的参数范围与最值问题 21 课时精练 27 【基础回顾】 ( 1 / 42 ) 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 四种抛物线的几何性质 知识点 2: 焦半径与焦点弦公式 设抛物线上一点 的坐标为 ，焦点弦端点 ，焦点为 . 注意：在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式。 知识点 3: 直线与抛物线的位置关系 以抛物线 与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率 不存在，设直线方程为 ， 若 ，直线与抛物线有两个交点； 若 ，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若 ，直线与抛物线没有交点。 （2）直线的斜率 存在。 设直线 ，抛物线 , 直线与抛物线的交点的个数等于方程组 ，的解的个数,即二次方程 （或 ） 解的个数。 ① 若 ， 则当 时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当 时，直线与抛物线相切，有一个公共点； 当 时，直线与抛物线相离，无公共点。 ②若 ，则直线 与抛物线 相交，有一个公共点。 知识点 4: 直线与抛物线相交弦长问题 （1）弦长公式： 设 为 的弦， , 或 为直线 的斜率，且 ) （2）点差法：设 为抛物线 的弦， ， ， 弦 的中点为 . ① 设抛物线 的弦为 ，弦 的中点为 ，则 ② 设抛物线 的弦为 ，弦 的中点为 ，则 ③ 设抛物线 的弦为 ，弦 的中点为 ，则 ④ 设抛物线 的弦为 ，弦 的中点为 ，则 证明： 设抛物线 的弦为 , 弦 的中点为 ，则有 ，两式相减，得 ，即 . 代入上式整理，得 . 题型一 抛物线的简单几何性质 1．已知点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】依题意可得，从而转化为关于的二次函数，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为点为抛物线上一动点， 所以，即, 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，此时，. 故选：B 2．设抛物线C的焦点为F，点E是C的准线与C的对称轴的交点，点P在C上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设，根据图形分别表示出和即可得解. 【详解】由于抛物线的对称性，不妨设抛物线为，则其焦点为， 点是的准线与的对称轴的交点，其坐标为， 点在上，设为，若，则， 且，则. 故选：B. 3．已知抛物线与圆有且仅有一个公共点，则实数（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】根据圆和抛物线的对称性可知公共点为原点，利用抛物线焦半径公式求解即可. 【详解】由题意得圆，则圆心，半径为，其中为的焦点. 设与圆的公共点为，则.由题知上满足条件的点有且只有一个， 由抛物线C和圆F均关于x轴对称，故两曲线公共点在x轴上，即为原点， 则与原点重合，所以，即，解得. 4．已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】设，根据题意可求，设，则，进而可得，再结合双勾函数单调性即可求解. 【详解】如图，设，设，则， 所以， 又MP，MQ均与圆C相切，所以， 则 ， 所以 ， 又在单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 5．在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设点，其中，利用平面内两点间的距离公式并结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】不妨设点，其中， 则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：A. 6．过抛物线C：的焦点F的直线l交C于P，Q两点，则当取最小值时，直线l的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用抛物线的定义易得，结合基本不等式求取最小值时对应P，Q坐标，利用P，Q坐标求直线l的斜率，即可求解. 【详解】设直线l的倾斜角为，不妨设P在Q的上方， 过两点作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为， 结合抛物线的定义知，， 得，， 则，则 ， 当且仅当，即时等号成立， 设，，则，设l：， 联立，得，则， 故，，解得，， 此时l的斜率为， 结合抛物线的对称性可知，当P在Q的下方时，l的斜率为， 所以直线l的斜率为. 故选：D. 7．抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线.过抛物线上的一点（异于原点）作的切线，过作的平行线交（为的焦点）于点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法1：由光学性质可知，即，结合由三角不等式可得答案；方法2：设，求出直线、的方程，联立方程可求得点坐标，再求可得答案. 【详解】方法1：如图，由光学性质可知：入射光线，反射光线轴，所以， 又，所以，因为轴，， 则有，所以，即， 由三角不等式可得， 即；    方法2：设，，易求得， 所以，，联立方程可求得， 所以， 即. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：在方法2中，解题的关键点是求出直线、的方程，联立方程可求得点坐标. 8．已知抛物线的焦点为，为上的两个动点，且，，当的周长最大时，抛物线的标准方程为______． 【答案】 【分析】利用余弦定理、基本不等式可得，进而有时，的周长最大，结合抛物线对称性，设 ，应用抛物线的定义及点在抛物线上求参数，即可得答案. 【详解】设，，    在中，，由余弦定理得， 所以， 所以，所以，当且仅当时取等号， 即时，的周长最大， 此时不妨设点 ，所以，化简，解得（舍去）， 故抛物线的标准方程为． 故答案为： 9．已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】由圆的方程求出圆心的坐标和半径，由切线性质可得，由此可得，，设，根据两点距离公式结合二次函数性质求的最小值，由此可得结论. 【详解】圆的圆心的坐标为，半径为， 因为，为圆的切线，切点分别为， 所以，，，， 所以， 所以，， 设，则， 当时，，此时最大， 又，函数在上单调递增， 所以当时，即时，最大， 此时最大，最小， 则． 故答案为：． 10．已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为______． 【答案】 【分析】抛物线和其上的等边三角形都关于轴对称，不妨取在第一象限，根据对称性求出点坐标，代入抛物线方程中可得答案． 【详解】抛物线和其上的等边三角形都关于轴对称，则两点关于轴对称， 轴是等边三角形边的垂直平分线，不妨取在第一象限， 如图，由，，得， 将代入抛物线方程中得， 所以，抛物线方程为． 故答案为：. 题型二 直线与抛物线位置关系的判断 1．过点且与抛物线有且只有1个公共点的直线条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】通过作图，可见直线与抛物线有且只有1个公共点的直线有两类：一类与抛物线对称轴平行，一类与抛物线相切，统计即得. 【详解】 如图，设过点的直线为，则当与轴平行时，与抛物线有一个公共点； 当直线和抛物线相切（有两条切线）时，直线与抛物线也只有一个公共点. 由画图可知，过点与抛物线有且只有1个公共点的直线有3条. 故选:D. 2．设O为坐标原点，直线与抛物线C: 交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出两点坐标，根据垂直得到方程，求出，得到答案. 【详解】令中得，解得，    不妨设， 因为OD⊥OE，所以，解得， 故C的标准方程为. 故选：B 3．已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案. 【详解】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点， 所以D选项正确. 故选：D 4．与直线平行的抛物线的切线方程为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为与直线平行的抛物线的切线斜率为2，即，得到点的坐标，从而得到方程为，选A 5．已知抛物线与斜率为的直线恰有一个公共点，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设过点的直线方程为，与联立，根据判别式得到方程，求出，从而求出点的横坐标，代入直线方程，求出点的纵坐标. 【详解】设过点的直线方程为，与联立得 ， 由，解得， 故，所以，解得， 将代入中得，. 故选：B 6．过抛物线：的焦点作直线与相交于两点，过两点分别作的切线，两切线相交于点，则点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由抛物线方程求导得切线斜率，写出两点处的切线方程；再利用两切线交点的坐标，推导出直线的方程；最后将焦点代入直线的方程，即可直接求出点的纵坐标． 【详解】设，，， 由，得，则， 所以抛物线在点处的切线方程为， 又，化简得， 同理得抛物线在点处的切线方程为， 又两切线相交于点，所以， 即点都在直线上，即直线的方程为， 因为点在直线上，代入得． 7．已知O为坐标原点，过焦点的直线与抛物线交于两点，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】显然直线不垂直于轴，设其方程为，， 由消去得，则， 因此，而， 所以. 8．已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是____________． 【答案】4 【分析】判断直线与抛物线是相离的位置关系，根据抛物线的定义将P到的距离转化为P到抛物线焦点的距离加，再结合几何关系即可求出最小值． 【详解】如图： 由，得， ∵，∴方程无解，即抛物线和直线没有交点， 由抛物线知其焦点为，准线为， 过P作的垂线，垂足为B，与准线交于C， 则根据抛物线的定义可知，当三点共线时，等号成立， 当FA⊥时，取最小值， 到直线的距离， 故点到直线和的距离之和的最小值是， 故答案为：4． 9．点在抛物线上，且，过点作该抛物线的切线．点为该抛物线的焦点，过点作切线的垂线，垂足为，若，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】设点，则，求出切线的方程，求出、，根据题意得出可求出的值，即可求出点的坐标. 【详解】对于抛物线，，则，所以，故点， 设点，则，由图可知直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为， 联立可得， 则，可得， 即，即，解得， 所以直线的方程为，整理得， 所以， 又因为，且，故， 所以，即，可得， 因为，故，则，即点的坐标为. 故答案为：. 10．已知为坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，若，则__________． 【答案】/ 【分析】设直线方程为，与抛物线方程联立并结合韦达定理求得的表达式，根据题意解出p的值即可． 【详解】由题意知，直线AB斜率一定不为零，故设过点的直线方程为， 交点，，联立直线与抛物线方程可得， 整理得，由韦达定理得， ， 而， 所以，解得． 题型三 抛物线的弦、弦中点问题 1: 抛物线的弦长问题 2：弦中点与点差法 【例题精讲】 1．已知抛物线的焦点为，第一象限内的两点在抛物线上，且满足，，若线段中点的纵坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线定义，将焦半径差转化为两点纵坐标差；结合中点纵坐标解出．再通过点在抛物线上，用纵坐标表示横坐标，得到两点横坐标之差．最后代入两点间距离公式，建立关于的方程求解． 【详解】 由抛物线定义可得的准线为， 则，， 由，得， 又中点纵坐标为，即，得， 联立，解得， 又因为在第一象限且在抛物线上， 所以，，得， 由两点距离公式，得， 代入，得 ． 2．设抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点，若中点的纵坐标为2，，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】设过点的直线方程,并且联立抛物线，利用韦达定理和中点坐标公式可得的关系式，再结合弦长即可求出的值. 【详解】设过焦点 的直线为 ，联立抛物线 得 ， 设，由韦达定理得： ， 所以中点纵坐标为 ，即 ； 、两点代入直线可得，， 则两式相加可得， 所以弦长， 所以； 又因为，即，代入可得， 化简为 ，解得 . 3．过抛物线上一点作其准线的垂线，垂足为，的焦点为，，且的面积为，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】由抛物线的定义可得，取线段的中点，连接， 则， 因为，所以， 因为的面积为，所以， 所以 4．已知抛物线（）与双曲线的渐近线的交点分别为O，A，B，其中O为坐标原点，若的面积为16，P为C与E在第一象限内的一个公共点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知的渐近线为， 联立，可得，或， 不妨设，， 又的面积为16，则，解得， 联立整理得， 解得或（舍去）， 所以，， 所以. 5．已知为坐标原点，过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由焦点坐标可求出抛物线方程，也可得到直线方程，联立曲线，可得与交点纵坐标有关韦达定理；借助韦达定理计算可得，即可得，即可得A；计算可得B；借助弦长公式计算可得C；借助抛物线定义及韦达定理计算可得D. 【详解】因为抛物线的焦点坐标为，所以，解得，抛物线方程为； ，联立，则，恒成立， 设、，则，， 对A：由 ， 故，故A错误； 对B：， 故，故B错误； 对C： ，故C错误； 对D：，， 则 ，故D正确. 6．设O为坐标原点，F为抛物线的焦点，过F作x轴的垂线交C于两点，点M在C上（异于点），且M在x轴上的正投影为N，则四边形的面积（   ） A．与成正比 B．与成正比 C．与成正比 D．与成正比 【答案】B 【分析】根据已知求得，结合确定、，即可得. 【详解】由题意，代入，则，故， 所以，而， 由，则，A错，B对， 由，则，C、D错. 7．已知抛物线，过C的焦点的直线交C于A，B两点，交圆于M，N两点，其中A，M位于第一象限，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据抛物线的几何性质，结合已知条件求出，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理求出，利用基本不等式求的最小值． 【详解】已知抛物线，过C的焦点的直线交C于A，B两点， 则，由焦半径公式得：， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， ， 设直线的方程为，联立抛物线方程得， 化简得， 由韦达定理得， 则 ，当且仅当时取等号， 故的最小值为3．    8．（多选）设抛物线的焦点为，准线为.过的直线交于两点，过，作的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B．的最小值为2 C．若为的中点，则 D．点到上点的距离的最小值为3 【答案】AC 【详解】对于A，因为抛物线的焦点为，准线为， 所以，由抛物线的定义可知：，故A正确； 对于B，设直线的方程为， 联立，设， 所以， 由抛物线的定义可知： ， 当时，的最小值为4，故B错误； 对于C，若为的中点，,, 因为所以，所以， 又因为 所以，故C正确； 对于D，设上任意一点为，则该点到的距离为： ， 当时，，故D错误. 9．（多选）设抛物线C：的焦点为F，过F的直线与C交于A，B两点，若弦AB的中点为，则（    ） A．F的坐标为 B．直线AB的斜率为 C．点P到准线的距离为4 D． 【答案】ACD 【详解】对于A，由题可知，所以F的坐标为，故A正确； 对于B，设直线的方程为，联立， 化简得，设， 则，所以， 所以直线的方程为，即，所以直线AB的斜率为，故B错误； 对于C，由B选项可知，，所以， 又抛物线的准线方程为，所以点P到准线的距离为，故C正确； 对于D，, 所以，故D正确. 10．（多选）抛物线:的焦点为，坐标原点为，，为抛物线上的两个动点，且满足，设，到轴的距离分别为，，则以下说法正确的有（   ） A．直线过点 B． C．的最小值为2 D．当取最小值时， 【答案】ACD 【详解】对于A，，且，三点共线，即直线过点，故A正确； 对于B，设直线与轴正半轴的夹角为. 由抛物线，得； 由抛物线的定义得，，，解得，； ，故B错误； 对于C，过点，分别作，，分别交准线于点、，交轴于点、. 则，，； 由B得； ； ，； ，当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，由C知取最小值时，； 由A知三点共线，； ； 又，，; ，故D正确. 题型四 抛物线的参数范围与最值问题 1．已知为抛物线上一个动点，直线：，：，则到直线、的距离之和的最小值为（ ） . A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知直线：为抛物线准线，那么根据抛物线性质得到到的距离就是到焦点F(1,0)距离,过焦点F（1，0）作的垂线交抛物线于P（该点即为要求的点），垂足为点D，则就是到直线、的距离之和的最小值. 故选A. 2．已知抛物线与直线，点为抛物线上一动点，则当点到直线的距离最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，其中，利用点到直线的距离公式结合二次函数的基本性质可求出点到直线距离的最小值，求出对应的值，即可得出点的坐标. 【详解】不妨设点，其中， 则点到直线的距离为， 故当时，取最小值，此时点的坐标为. 故选：C. 3．已知点P是抛物线上一点，则点P到直线的距离的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据点P在抛物线上，设，结合点到直线的距离公式与二次函数的性质即可求解. 【详解】∵点P在抛物线上，∴设， ∴点到直线的距离， 当且仅当，即时取等号. 点P到直线的距离的最小值为. 故选：A. 4．已知直线和直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】抛物线的焦点，直线为抛物线的准线， 则抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值， 如下图，，当共线且时最小， 即距离和的最小值为F到直线的距离， 故选：A 5．已知，F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，当取最小值时，点P的坐标为（    ） A．（0，0） B．（2，2） C．（2，0） D．（－2，－2） 【答案】B 【分析】可设到准线的垂足为，易知三点共线时距离最小，进而得解. 【详解】设到准线的垂足为，由第一定义可知，，当三点共线时距离最小，此时，将代入抛物线方程得，故. 故选：B 6．过抛物线上一点P作圆的切线，切点为，则当四边形的面积最小时，P点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点在抛物线上设出P点的坐标，求出点P到圆心的距离，对函数求导得出最小值，即四边形的面积最小值，进而可得此时的P点的坐标． 【详解】由题意可设，当四边形的面积最小时，点P到圆心的距离最小，即，可令，则，则时，，此时取得最小值，四边形的面积为，所以 故选：C 7．如图，已知抛物线的焦点和圆的圆心重合，过圆心的直线与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由为抛物线过焦点的弦，得到，再由，利用“1”的代换变形结合基本不等式求解. 【详解】因为抛物线的焦点和圆的圆心重合， 所以焦点坐标为： ， 所以抛物线方程为，准线方程为， 因为为抛物线过焦点的弦，设的直线方程为：， 与联立得：, 设， 则， 由抛物线定义得：， 所以， ， ， ， ． 当且仅当，即取等号， 所以的最小值为 故选：B 8．（多选）已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，点在圆上，则（   ） A．若点的坐标为，则面积的最大值为 B．最小值为5 C．当与圆相切时，则面积的最小值为 D．若过、的直线与圆相切，交抛物线于、两点，则 【答案】ACD 【分析】A直线，利用面积公式计算即可；B分别求、的最小值；C将问题转化为求的最小值，再利用两点间距离公式求解；D设直线的方程，利用相切求出，再利用抛物线的定义求出弦长. 【详解】因为，所以，， 故当点位于圆与轴的交点时，底边上的高最大，最大为， 故面积的最大值为，故A正确； 当点位于原点时，最小，最小值为；当时，最小，最小值为， 故的最小值为，故B错误； 因为与圆相切，所以， 设，则， 则当时，取最小值， 故面积的最小值为，故C正确； 由题意可知，直线的斜率存在且不为，设直线， 因为直线与圆相切，所以，得， 联立，得， 设，则， 则， 则，故D正确. 故选：ACD 9．（多选）已知为坐标原点，抛物线的焦点为 是抛物线上的两点，则（    ） A．若，则过焦点的弦长为8 B．焦点到准线的距离为8 C．若，则的最小值为8 D．若，则直线过定点 【答案】ACD 【分析】对于A，利用焦半径公式计算易得；对于B，由焦准距定义可得；对于C，设过点且与准线垂直的直线交准线于点，利用抛物线定义转化焦半径，结合图形推得当且仅当点三点共线时，取得最小值，计算即得；对于D，设直线的方程为，代入抛物线方程，求得韦达定理后，利用确定的值后即得结论. 【详解】 如图，分别过点作准线的垂线，垂足分别为. 对于A，因弦经过抛物线的焦点，故 ，故A正确； 对于B，焦点到准线的距离为，故B错误； 对于C，设过点且与准线垂直的直线交准线于点，则， 由上图知，当且仅当三点共线时，最小， 此时最小值为，故C正确； 对于D，如上图，设直线的方程为，代入，可得：， 则，， 由可得， 解得或，当时，直线的方程为经过原点，不合题意，舍去； 当时，直线的方程为，显然经过点定点，故D正确. 故选：ACD. 10．（多选）已知抛物线C:的准线与圆:相切，为上的动点，为圆上的动点，过作的垂线，垂足为，的焦点为，则下列结论正确的是（   ） A． B．当为正三角形时，直线与圆相离 C．的最小值为 D．有且仅有一个点，使得 【答案】AC 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离即可求解；B选项，由正三角形求得直线方程即可判断；C选项，结合抛物线定义可得三点共线时，可求最小值即可；D选项，直接设点坐标进行求解即可得. 【详解】A选项，抛物线的准线为，设准线与x轴交点为D， 圆的圆心到直线的距离显然是， 因为准线和圆相切，所以，A选项正确； B选项，因为为正三角形时， 所以， 又,在直角三角形中，， 所以, 所以此时直线方程为：， 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，故B错误； C选项，， 当且仅当（P在F，M之间）三点共线时，等号成立， C选项正确； D选项， 设，由可得，又， 又，根据两点间的距离公式，， 整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项错误. 故选：AC. 课时精练 一、单选题 1．直线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【分析】直线过定点，在抛物线内部，即可得出结论． 【详解】直线过定点， ∵， ∴在抛物线内部， ∴直线与抛物线相交， 故选：A． 2．已知抛物线在处的切线与圆交于A、B两点，则的面积为（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】用方程组法求得切线方程，然后求出圆心到切线的距离，并利用勾股定理求得弦长，再计算三角形面积． 【详解】在抛物线中，时，，即切点为， 设切线方程为， 由得， ，解得， 所以切线方程为，即， 由题意圆心为，半径为， 圆心到切线的距离为， 所以， ．    3．已知是抛物线上一点，点，在轴上，的内切圆的方程为 ，则面积的最小值为（   ） A．42 B．56 C．72 D．88 【答案】C 【分析】设、、，结合内切圆性质与点到直线距离公式计算可得与、有关等式，即可得、是关于的方程的两根，借助韦达定理计算可表示出，则可借助表示出面积，再利用换元法与基本不等式计算即可得解. 【详解】设、、， 则，即， ，即， 由圆心为，半径为， 则到直线、距离都为， 即有，， 整理得，， 即、是关于的方程的两根， 故，， 由的内切圆的方程为， 可得，即， 则， 则， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立，故面积的最小值为. 4．已知抛物线的焦点为，准线为.点在上，过点作的垂线，垂足为.为坐标原点，若四边形OFMN为等腰梯形，面积为，则的值是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】先根据抛物线方程写出焦点、准线，设点及其垂足的坐标，再由等腰梯形两腰相等，列距离公式求出的横坐标，接着代入抛物线方程得的纵坐标与的关系；最后用梯形面积公式列方程，结合已知面积求解的值即可. 【详解】因为抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 设 ，则垂足 ， 由四边形 为等腰梯形，得 ，且 ， 所以，解得 ， 将 代入抛物线方程 ，得： 等腰梯形面积： 因为 ，，，代入得： ， ， ， 又因为 ，所以 . 5．设抛物线的焦点为F，不经过F的直线与E交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的坐标为，且与的面积之比是，则为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】作出图形，结合图形得出求出的值，即可求出的值. 【详解】由题知点在抛物线上，故，即. 所以抛物线的方程为，焦点为，准线方程为， 如图，，， 所以， 又由点知，故， 所以. 6．若直线与抛物线交于，两点，为抛物线的焦点，则（    ） A． B．8 C．10 D． 【答案】C 【分析】联立直线与抛物线方程，根据抛物线的定义结合韦达定理即可求得结果. 【详解】由题意可知，抛物线的准线为，设， 则根据抛物线的定义可知. 因为直线与抛物线交于，两点， 所以联立方程可得，化简得. 根据韦达定理得，所以. 7．已知为抛物线上的任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，设，圆心坐标为，由题设可得，，然后通过求最大值可得答案. 【详解】如图，设，圆心坐标为.因均相切于圆， 则，，又，则. 从而.， 则，当且仅当时取等号. 由图可得为锐角，正弦函数在单调递增， 则.即的最大值为. 故选：C 8．在平面直角坐标系中，已知两点，点在直线上，若为抛物线上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：设点，利用点到直线的距离求出进而求最小值即可；方法二：：设直线与直线平行，且与抛物线相切，求出直线方程，利用平行线的距离公式求解即可. 【详解】方法一：因为直线的斜率，所以直线的方程为，即， 易知抛物线与直线没有交点， 设点，则点到直线的距离， 所以当时，取得最小值，. 方法二：设直线与直线平行，，且与抛物线相切， 联立得，令解得， 则与的切点为，则.    故选：C 二、多选题 9．（多选）已知为坐标原点，是抛物线的焦点，点，在上且位于轴的两侧，，则（   ） A． B．直线经过点 C． D．与面积之和的最小值是3 【答案】ABD 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及计算判断A，B；利用向量模的坐标表示出模长，再结合韦达定理代换，最后用基本不等式求解最值判断C，利用三角形面积公式建立关系，借助基本不等式求解判断D即可. 【详解】对于A，显然直线不垂直于y轴，设直线方程为，    由，消去得， 得到，，得， 而，，可得， 由，得，解得或， 而，即，因此，，故A正确； 对于B，此时直线恒过点，故B正确； 对于C，由模长公式得， 同理可得， 则 ， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时，得到， 可得，故C错误， 对于D，不妨设，而， 则 ， 当且仅当时取等号，故D正确. 10．（多选）已知直线与抛物线交于，两点，是抛物线的焦点，则下列判断一定正确的是（    ） A．若，则 B． C．过点作直线的垂线，垂足为点，为原点，则，，三点共线 D．直线，（为坐标原点）的斜率之积为 【答案】AC 【分析】联立方程组并结合韦达定理得到，，，利用焦点弦公式判断A，利用焦半径公式判断B，分别求出对应直线的斜率，再判断C，D即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 设，，联立，得， 由韦达定理得，，， 选项A，当时，，联立得，， ．故A正确， 选项B，由题意得． ，故B错误， 选项C，由题意知，则，， ，，则，，三点共线．故C正确， 选项D，由题意得，得到．故D错误. 11．（多选）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若直线的斜率为，则的面积为 【答案】ACD 【分析】根据抛物线基本性质(焦点坐标、焦半径公式)、焦点弦性质(倒数和公式)、直线与抛物线交点计算及三角形面积公式展开，逐一验证选项。 【详解】焦点，可得，计算可得，选项A正确； 若，由焦半径公式，可得，代入得，故选项B错误； 根据倒数和公式可得，若，可得，选项C正确； 直线的方程，联立，可得， 则 ，点到直线的距离为， 所以的面积为，选项D正确. 三、填空题 12．已知抛物线的焦点为，第一象限内的两点在抛物线上，且满足，若线段中点的纵坐标为，则___________． 【答案】 【分析】利用抛物线定义，将焦半径差转化为两点纵坐标差；结合中点纵坐标解出。再通过点在抛物线上，用纵坐标表示横坐标，得到两点横坐标之差。最后代入两点间距离公式，建立关于的方程求解. 【详解】由抛物线定义可得的准线为， 则，，由， 得：， 又中点纵坐标为，即，得， 联立，解得， 又因为在第一象限且在抛物线上， 所以：，， 得，由两点距离公式， 代入： . 13．过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在x轴下方），则______． 【答案】 【分析】根据抛物线的性质，结合已知条件列出直线方程，联立直线与抛物线方程求出交点横坐标，再利用焦半径公式求解． 【详解】 抛物线的焦点，直线斜率， 直线方程为， 联立直线与抛物线方程得，展开整理得， 解得或， 已知点A在x轴下方，故， 由焦半径公式可得，， ． 故答案为：． 14．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据抛物线定义，可得，，再结合直线与曲线相交的弦长公式，可得，比值即可. 【详解】由直线与抛物线交于，，设，，直线的斜率为， 由抛物线定义，可得，， 又弦长， 所以. 故答案为： 四、解答题 15．已知抛物线的顶点为原点，焦点到直线的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点． ①证明：直线的方程为；      ②求面积的最小值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由焦点，得抛物线的方程为；再根据焦点到直线的距离，求出，即可得到抛物线的方程； （2）①，设切点的坐标，根据抛物线方程求导得到切线斜率，得出过的切线方程；因为两条切线都过点，所以将坐标代入两个切线方程，得到坐标满足的共同关系式，即可推导出直线的方程； ②，先联立直线与抛物线的方程，用韦达定理得到两根之和与两根之积，再用弦长公式计算的长度；然后求点到直线的距离，将面积表示为关于的函数，再求该函数的最小值. 【详解】（1）由抛物线的顶点为原点，焦点为，得抛物线的方程为； 到直线的距离为，，解得； 抛物线的方程为. （2）①设切点，且，. 由得，则； 过点的切线方程为，即； 切线过点， ，整理得. 同理，可求得. ，两点都满足方程； 由两点确定一条直线可得，直线的方程为. ②联立直线与抛物线的方程，整理得； Δ，由韦达定理得 ； . 点到直线的距离; 的面积. ，当即时，取得最小值，即； 面积的最小值为. 16．已知点在抛物线上． (1)求抛物线C的方程； (2)设直线与抛物线C相交于M，N两点， （ⅰ）若，求实数k的值； （ⅱ）O为坐标原点，求外接圆圆心的轨迹方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）将点代入抛物线方程即可求解； （2）（ⅰ）联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及弦长公式列方程求解即可； （ⅱ）结合（ⅰ）可得，进而得到外接圆圆心为的中点，设的中点为，进而结合中点坐标公式求解即可. 【详解】（1）将点代入，得，即， 则抛物线C的方程为. （2）（ⅰ）设， 联立，得， 则， 且， 则， 则，解得. （ⅱ）由（1）知，，， 则 ， 所以，即为直角三角形，则外接圆圆心为的中点， 设的中点为， 则， 消去，得，则外接圆圆心的轨迹方程为． 17．已知抛物线：，过点的直线与交于不同的两点，.当直线的倾斜角为时，. (1)求的方程； (2)若过点且倾斜角为的直线与交于两点，（与，两点不重合），与点形成，求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求直线的方程，再与抛物线联立组成方程组，利用韦达定理及两点距离公式，求弦的长即可； （2）先求直线方程，再与抛物线联立，利用韦达定理及三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：设， 若直线的倾斜角为，则直线的方程为， 联立得， 则， 且， 所以 . 因为，所以， 故的方程为； （2）解：直线过点，倾斜角为，则直线方程为， 联立抛物线得：， 设，，由韦达定理得：， ， ， 点到直线的距离， ． 18．已知抛物线的焦点为，以为圆心，以1为半径作圆，过点的直线与交于，两点，与圆交于，两点，其中，在第二象限. (1)若，求的斜率； (2)证明：为定值； (3)为坐标原点，若点，分别在直线，上，求的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）联立直线与抛物线方程求出韦达定理，代入焦点弦长公式即可求解； （2）利用焦半径公式来表示和计算即可求证； （3）由直线AO和BO的直线方程求出 ，再结合（1）中韦达定理求出，接着令进行换元得到关于k的表达式，利用一元二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）设，. 显然直线不与轴垂直，故设直线， 由得，，则，. ， 解得. （2）由抛物线的定义可知，， ， 即为定值. （3）由题意知点、在直线上. 由上面的过程可知. ，的方程为，由得. 同理的方程为，由得. ， 设，，则， ， ∴当，即，也即时，取得最小值为. 19．已知抛物线的准线与圆相切． (1)求C的方程； (2)求C上的点与直线上点的距离的最小值； (3)过点且倾斜角为的直线与C交于A，B两点，点，记直线，的斜率分别为，，是否存在常数a，使得为常数？若存在，求出a及的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，常数， 为常数1 【分析】（1）写出抛物线的准线，利用直线与圆相切求出即可； （2）设C上一点，求该点到直线l距离的最小值即可； （3）写出直线的方程，与联立，由韦达定理得，，，化简 ，列出使得为常数的方程组求解即可. 【详解】（1）抛物线的准线为， 因为C的准线与圆相切， 所以圆心到准线的距离等于半径，故，则， 所以C的方程为． （2）C上的点与直线上点的距离的最小值即为C上的点到直线距离的最小值， 在C上任取一点，则． 该点到直线l的距离 当时，d取得最小值，最小值为， 所以C上的点与直线l上点的距离的最小值为． （3）设，，由题意得直线的方程为， 即，与联立，得， 则，得，，， 则 ， 若为常数，则，解得，此时， 所以存在常数，使得为常数1． $ 3.3.2 抛物线的简单几何性质 题型一 抛物线的简单几何性质 3 题型二 直线与抛物线位置关系的判断 4 题型三 抛物线的弦、弦中点问题 5 题型四 抛物线的参数范围与最值问题 6 课时精练 8 【基础回顾】 ( 1 / 10 ) 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 四种抛物线的几何性质 知识点 2: 焦半径与焦点弦公式 设抛物线上一点 的坐标为 ，焦点弦端点 ，焦点为 . 注意：在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式。 知识点 3: 直线与抛物线的位置关系 以抛物线 与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率 不存在，设直线方程为 ， 若 ，直线与抛物线有两个交点； 若 ，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若 ，直线与抛物线没有交点。 （2）直线的斜率 存在。 设直线 ，抛物线 , 直线与抛物线的交点的个数等于方程组 ，的解的个数,即二次方程 （或 ） 解的个数。 ① 若 ， 则当 时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当 时，直线与抛物线相切，有一个公共点； 当 时，直线与抛物线相离，无公共点。 ②若 ，则直线 与抛物线 相交，有一个公共点。 知识点 4: 直线与抛物线相交弦长问题 （1）弦长公式： 设 为 的弦， , 或 为直线 的斜率，且 ) （2）点差法：设 为抛物线 的弦， ， ， 弦 的中点为 . ① 设抛物线 的弦为 ，弦 的中点为 ，则 ② 设抛物线 的弦为 ，弦 的中点为 ，则 ③ 设抛物线 的弦为 ，弦 的中点为 ，则 ④ 设抛物线 的弦为 ，弦 的中点为 ，则 证明： 设抛物线 的弦为 , 弦 的中点为 ，则有 ，两式相减，得 ，即 . 代入上式整理，得 . 题型一 抛物线的简单几何性质 1．已知点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 2．设抛物线C的焦点为F，点E是C的准线与C的对称轴的交点，点P在C上，若，则（   ） A． B． C． D． 3．已知抛物线与圆有且仅有一个公共点，则实数（    ） A． B．0 C． D．1 4．已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 5．在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．过抛物线C：的焦点F的直线l交C于P，Q两点，则当取最小值时，直线l的斜率为（   ） A． B． C． D． 7．抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线.过抛物线上的一点（异于原点）作的切线，过作的平行线交（为的焦点）于点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知抛物线的焦点为，为上的两个动点，且，，当的周长最大时，抛物线的标准方程为______． 9．已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为___________． 10．已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为______． 题型二 直线与抛物线位置关系的判断 1．过点且与抛物线有且只有1个公共点的直线条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．设O为坐标原点，直线与抛物线C: 交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的标准方程为（　　） A． B． C． D． 3．已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 4．与直线平行的抛物线的切线方程为 A． B． C． D． 5．已知抛物线与斜率为的直线恰有一个公共点，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 6．过抛物线：的焦点作直线与相交于两点，过两点分别作的切线，两切线相交于点，则点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 7．已知O为坐标原点，过焦点的直线与抛物线交于两点，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 8．已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是____________． 9．点在抛物线上，且，过点作该抛物线的切线．点为该抛物线的焦点，过点作切线的垂线，垂足为，若，则点的坐标为______． 10．已知为坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，若，则__________． 题型三 抛物线的弦、弦中点问题 1: 抛物线的弦长问题 2：弦中点与点差法 【例题精讲】 1．已知抛物线的焦点为，第一象限内的两点在抛物线上，且满足，，若线段中点的纵坐标为，则（    ） A． B． C． D． 2．设抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点，若中点的纵坐标为2，，则（    ） A． B．2 C． D．1 3．过抛物线上一点作其准线的垂线，垂足为，的焦点为，，且的面积为，则（   ） A． B． C． D．3 4．已知抛物线（）与双曲线的渐近线的交点分别为O，A，B，其中O为坐标原点，若的面积为16，P为C与E在第一象限内的一个公共点，则（   ） A． B． C． D． 5．已知为坐标原点，过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，则（   ） A． B． C． D． 6．设O为坐标原点，F为抛物线的焦点，过F作x轴的垂线交C于两点，点M在C上（异于点），且M在x轴上的正投影为N，则四边形的面积（   ） A．与成正比 B．与成正比 C．与成正比 D．与成正比 7．已知抛物线，过C的焦点的直线交C于A，B两点，交圆于M，N两点，其中A，M位于第一象限，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（多选）设抛物线的焦点为，准线为.过的直线交于两点，过，作的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B．的最小值为2 C．若为的中点，则 D．点到上点的距离的最小值为3 9．（多选）设抛物线C：的焦点为F，过F的直线与C交于A，B两点，若弦AB的中点为，则（    ） A．F的坐标为 B．直线AB的斜率为 C．点P到准线的距离为4 D． 10．（多选）抛物线:的焦点为，坐标原点为，，为抛物线上的两个动点，且满足，设，到轴的距离分别为，，则以下说法正确的有（   ） A．直线过点 B． C．的最小值为2 D．当取最小值时， 题型四 抛物线的参数范围与最值问题 1．已知为抛物线上一个动点，直线：，：，则到直线、的距离之和的最小值为（ ） . A． B． C． D． 2．已知抛物线与直线，点为抛物线上一动点，则当点到直线的距离最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知点P是抛物线上一点，则点P到直线的距离的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 4．已知直线和直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（   ） A．2 B．3 C． D． 5．已知，F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，当取最小值时，点P的坐标为（    ） A．（0，0） B．（2，2） C．（2，0） D．（－2，－2） 6．过抛物线上一点P作圆的切线，切点为，则当四边形的面积最小时，P点的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知抛物线的焦点和圆的圆心重合，过圆心的直线与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，点在圆上，则（   ） A．若点的坐标为，则面积的最大值为 B．最小值为5 C．当与圆相切时，则面积的最小值为 D．若过、的直线与圆相切，交抛物线于、两点，则 9．（多选）已知为坐标原点，抛物线的焦点为 是抛物线上的两点，则（    ） A．若，则过焦点的弦长为8 B．焦点到准线的距离为8 C．若，则的最小值为8 D．若，则直线过定点 10．（多选）已知抛物线C:的准线与圆:相切，为上的动点，为圆上的动点，过作的垂线，垂足为，的焦点为，则下列结论正确的是（   ） A． B．当为正三角形时，直线与圆相离 C．的最小值为 D．有且仅有一个点，使得 课时精练 ( 2 / 10 ) 学科网（北京）股份有限公司 一、单选题 1．直线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 2．已知抛物线在处的切线与圆交于A、B两点，则的面积为（    ） A．3 B．5 C． D． 3．已知是抛物线上一点，点，在轴上，的内切圆的方程为 ，则面积的最小值为（   ） A．42 B．56 C．72 D．88 4．已知抛物线的焦点为，准线为.点在上，过点作的垂线，垂足为.为坐标原点，若四边形OFMN为等腰梯形，面积为，则的值是（   ） A． B．2 C． D．4 5．设抛物线的焦点为F，不经过F的直线与E交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的坐标为，且与的面积之比是，则为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．若直线与抛物线交于，两点，为抛物线的焦点，则（    ） A． B．8 C．10 D． 7．已知为抛物线上的任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，已知两点，点在直线上，若为抛物线上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）已知为坐标原点，是抛物线的焦点，点，在上且位于轴的两侧，，则（   ） A． B．直线经过点 C． D．与面积之和的最小值是3 10．（多选）已知直线与抛物线交于，两点，是抛物线的焦点，则下列判断一定正确的是（    ） A．若，则 B． C．过点作直线的垂线，垂足为点，为原点，则，，三点共线 D．直线，（为坐标原点）的斜率之积为 11．（多选）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若直线的斜率为，则的面积为 三、填空题 12．已知抛物线的焦点为，第一象限内的两点在抛物线上，且满足，若线段中点的纵坐标为，则___________． 13．过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在x轴下方），则______． 14．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为_________． 四、解答题 15．已知抛物线的顶点为原点，焦点到直线的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点． ①证明：直线的方程为；      ②求面积的最小值. 16．已知点在抛物线上． (1)求抛物线C的方程； (2)设直线与抛物线C相交于M，N两点， （ⅰ）若，求实数k的值； （ⅱ）O为坐标原点，求外接圆圆心的轨迹方程． 17．已知抛物线：，过点的直线与交于不同的两点，.当直线的倾斜角为时，. (1)求的方程； (2)若过点且倾斜角为的直线与交于两点，（与，两点不重合），与点形成，求 18．已知抛物线的焦点为，以为圆心，以1为半径作圆，过点的直线与交于，两点，与圆交于，两点，其中，在第二象限. (1)若，求的斜率； (2)证明：为定值； (3)为坐标原点，若点，分别在直线，上，求的最小值. 19．已知抛物线的准线与圆相切． (1)求C的方程； (2)求C上的点与直线上点的距离的最小值； (3)过点且倾斜角为的直线与C交于A，B两点，点，记直线，的斜率分别为，，是否存在常数a，使得为常数？若存在，求出a及的值；若不存在，请说明理由． $