3.1.2.1 椭圆的简单几何性质 2026-2027学年高二上学期数学选修一例题精讲及课时精练

该高中数学椭圆单元复习讲义通过表格系统对比焦点在x轴与y轴上椭圆的标准方程、焦点、范围等几何性质，梳理椭圆几何意义、焦点三角形性质及应用等核心知识点，构建清晰的知识脉络，突出离心率、有界性等重难点的内在联系。 讲义亮点在于按题型分类设计练习，如焦点三角形问题结合椭圆定义与余弦定理培养逻辑推理能力，离心率求解通过方程法强化数学思维。基础题与综合题分层设置，帮助不同学生掌握方法，教师可据此实施精准教学，支持学生自主复习提升。

3.1.2.1 椭圆的简单几何性质及应用 题型一 椭圆的简单几何性质 3 题型二 由几何性质求标准方程 4 题型三 椭圆的焦点三角形问题 6 题型四 椭圆有界性的有关应用 7 题型五 求椭圆的离心率及取值范围 8 课时精练 10 【基础回顾】 ( 1 / 13 ) 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 椭圆的简单几何性质 焦点在 轴上 焦点在 轴上 图形 标准方程 焦点 焦距 范围 对称性 关于 轴、原点对称 轴长 长轴长 ; 短轴长 长轴长 ; 短轴长 顶点 离心率 离心率越接近 1 , 则椭圆越扁 离心率越接近 0 , 则椭圆越圆 通径 通径的定义过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小 最短的焦点弦 知识点 2: 椭圆方程 的几何意义 椭圆标准方程中 三个量的大小与坐标系无关是由椭圆本身的形状大小所确定的 分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长 均为正数且三个量的大小关系为 且 . 可借助下图帮助记忆 恰构成一个直角三角形的三条边其中 是斜边 为两条直角边 由图知 . 和 有关的椭圆问题常与焦点三角形 有关这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理 或勾股定理、三角形面积公式 相结合的方法进行计算与解题将有关线段 有关角 ) 结合起来 建立 之间的关系 知识点3: 椭圆的焦点三角形 定义 椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为 “焦点三角形” 一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式建立 , 之间的关系采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题 性质 1: 周长 . 性质 2: 当 时 最大 证明 ①, 在 中由余弦定理得 把①代入可得 ②, 因为 , 当且仅当 时等号成立, 所以 , 取最小值时 取最大值 故由以上可得当 时, 最大 性质 3: 证明: 由②可得 ③. ,把③代入面积公式 即 ,故 . 知识点 4: 几何意义的拓展 1. 椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点即椭圆上的点到椭圆中心的距离的最小值为短半轴长 ，到中心距离最大的点是长轴的两个端点 即椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值是长半轴长 . 2. 椭圆上到焦点距离最大的点称为 “远日点”和最小的点称为 “近日点” 是长轴的两个端点最大距离为 最小距离为 . 题型一 椭圆的简单几何性质 1．已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，其中的长半轴长为3，为上一点，点为中点，若的周长为4，则的焦距为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．将椭圆的长轴分成6等份，过每个分点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于五点，是椭圆的右焦点．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．已知正方形的四个顶点都在椭圆上，边AD与BC均与x轴垂直，且分别经过椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的离心率为，则其长轴长为（    ） A． B．2 C． D．4 5．已知椭圆 的左焦点与上顶点都在函数的图象上， 则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距，点A，B在椭圆上且满足．若，则椭圆的长轴长为（   ） A． B． C．2 D．4 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆的上半部分有一点，若以原点为圆心，半焦距为半径的圆过线段的中点，则直线的斜率为（   ） A．1 B． C． D．2 8．（多选）关于椭圆，下列选项正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的一个顶点为 C．椭圆的焦距为 D．椭圆的离心率为 9．（多选）已知椭圆过点，C的左、右焦点分别为，，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆C的焦距为8 B． C．椭圆C的离心率为 D．椭圆C的上顶点到左顶点的距离为4 10．（多选）已知曲线，则（    ） A．当时，是焦距为的椭圆 B．当是焦点在轴上的椭圆时， C．若曲线为椭圆，的取值范围是 D．若椭圆的离心率为时， 题型二 由几何性质求标准方程 1．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的方程为，且离心率为，则下列选项中不满足条件的为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆经过点，离心率为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 5．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若，椭圆的离心率为，则椭圆的焦距为（   ） A．1 B．2 C． D． 6．已知椭圆：（）的离心率为，且点为椭圆的一个焦点，则椭圆与直线在第一象限的交点为（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角为的平面所截，截面是一个椭圆，则下列结论错误的是（    ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的方程可以为 D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 8．（多选）已知椭圆的焦距为8，离心率，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为上的动点，轴，垂足为，为的中点，为上顶点，则（   ） A．椭圆的焦距为 B．的最小值为 C．（为原点）是定值 D．的最大值为 10．（多选）已知椭圆C：（）的离心率为，若点P在椭圆C上，点、分别是椭圆C的左、右焦点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．满足是直角三角形的点P有4个 题型三 椭圆的焦点三角形问题 （1）焦点三角形的周长问题 （2）焦点三角形的夹角问题 （3 ）公式法求焦点三角形的面积 （4 ）已知焦点三角形顶角求面积 若椭圆中焦点三角形的顶角 则面积 结论适用于选择或填空题 【例题精讲】 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作直线交椭圆于，两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 2．已知是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1，则点的纵坐标为（    ） A．1 B． C． D． 3．已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点， ，若的面积为，则的短轴长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点．若，则点的横坐标为（　　） A． B． C．4 D．9 6．已知椭圆方程为，P为椭圆上一点，若，为的内切圆，则（    ） A． B． C． D． 7．设，为椭圆的两焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知椭圆的长轴长为4，短轴长为2，，分别是C的左、右焦点，过点的直线与C交于A，B两点（异于C的左、右顶点），则（   ） A．C的方程为 B．的周长为8 C．的最大值为6 D．当A为C的上顶点时， 9．（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（    ） A．的周长为 B．存在点，使得 C．若，则的面积为 D．使得为等腰三角形的点共有4个 10．（多选）已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（   ） A．的周长为8 B．若，则的面积为 C．椭圆上存在两个点，使得 D．的最小值为1 题型四 椭圆有界性的有关应用 1．椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（    ） A． B． C． D． 2．若点是椭圆的某条弦的中点，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 3．已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．已知点，点P为圆上任意一点，线段AP的垂直平分线与CP相交于点Q，则面积的最大值为（    ） A． B． C．8 D． 6．设椭圆的右焦点为，过原点的动直线与椭圆交于、两点，那么的周长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知圆，，圆内有一个定点，动圆过点，且与圆内切.圆心形成的轨迹为，下列说法正确的是（   ） A．的轨迹方程是 B．直线与无公共点 C．点是直线与所产生的相交弦中点，则的方程是 D．是上一个动点，则的最大值为6 8．（多选）设椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于A，B两点，则（    ） A．椭圆的短轴长为 B．的周长为12 C．的最小值为 D．椭圆上不存在点P，使得 9．（多选）已知为坐标原点，点的轨迹与轴的交点分别为，当点与，均不重合时，点到点和到定直线距离的平方和为4，则下列说法正确的是（   ） A．点的轨迹方程为 B．的最大值为 C．当点与P，Q均不重合时，直线MP，MQ的斜率之积为定值-2 D．是点的轨迹上的两点，，若斜率互为相反数，则的斜率为 10．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 题型五 求椭圆的离心率及取值范围 求椭圆离心率及范围的两种方法: 直接法:若已知 可直接利用 求解. 若已知 或 可借助于 求出 或 再代入公式 求解 方程法若 的值不可求，则可根据条件建立 的关系式， 借助于 转化为关于 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以 的最高次幂，得到关于 的方程或不等式，即可求得 的值或范围. 【例题精讲】 1．已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为,则其离心率为（   ） A． B． C． D． 2．已知分别是椭圆的左､右焦点，是上的一个点，且的周长为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点.设抛物线与在第一象限的交点为，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，设为的内切圆圆心，若的面积为，且，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左、右焦点分别为分别为椭圆的左、右顶点，直线过与椭圆交于两点（不同于点），的周长为，直线与的斜率分别为，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．已知点在椭圆的内部，为的左焦点，为上的动点，若的最大值大于，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B为椭圆上关于原点对称的两点，A点在第一象限，若，，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）椭圆：的左、右焦点分别为，，点为上的任意一点，则（   ） A．椭圆的长轴长为3 B．椭圆的离心率为 C．的最大值为5 D．存在点，使得 9．（多选）已知，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，是椭圆上的动点，轴，垂足为，且点为的中点，则（   ） A． B．椭圆的离心率为 C．的最小值为 D．面积的最大值为 10．（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（    ） A．离心率的取值范围为 B．当离心率为时，的最大值为3 C．存在点，使得 D．当离心率不小于时，的最小值为 课时精练 一、单选题 1．椭圆C:的一个焦点F坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A．或 B．或2 C． D． 3．设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率，且过点，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 5．已知椭圆的左、右焦点为，，离心率为，点在椭圆E上，P是椭圆E上的动点，以为直径作圆N，直线ON与圆N交于点Q（点Q不在椭圆内部），则（   ） A．1 B． C．2 D．3 6．记椭圆的上顶点为A，右焦点为F，则以A为圆心，为半径的圆与E的交点个数为（    ）． A．0 B．2 C．3 D．4 7．如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则（    ）    A．40 B．28 C．35 D．30 8．已知，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于A，B两点，且，若，椭圆C的离心率为，则（   ） A． B． C．2 D．3 二、多选题 9．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为．点为上的动点，且的取值范围为，则（   ） A． B．的周长为8 C．存在点，使得 D．当时，的内心坐标为 10．（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的离心率为 B．内切圆半径的最大值为 C．椭圆C内接矩形面积的最大值为 D．若，则的最小值是1 11．（多选）定义曲线为椭圆的“倒椭圆”.已知椭圆的方程为，其倒椭圆的方程为，O为坐标原点，P为曲线上任意一点，则（   ） A．椭圆的离心率 B．的最小值为4 C．过点P作x轴与y轴的垂线，垂足分别为，则直线一定与椭圆相切 D．椭圆上至少存在四条切线与曲线没有公共点 三、填空题 12．已知点在椭圆上，的焦距为4，则的离心率为______． 13．已知是椭圆的左、右焦点，是双曲线的右顶点，过的直线交椭圆于M，N两点，且的周长为20，则椭圆的离心率为______. 14．已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且，则的离心率的取值范围为______． 四、解答题 15．已知椭圆经过点，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为k的直线l与椭圆交于，两点，点不在直线l上，直线，分别交直线于点，.试探究：四边形DMEN是否为平行四边形?证明你的结论. 16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆的上顶点为A，右顶点为B，离心率为，的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点的直线l交椭圆于C，D两点． （ⅰ）若的面积等于的面积的，求直线l的方程． （ⅱ）过点D作x轴的垂线，交直线BC于点E，若M为DE的中点，则M，A，B三点是否共线？若共线，请证明你的结论；若不共线，请说明理由． 17．已知椭圆的离心率为，的右顶点与上顶点之间的距离为6. (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线分别交于点和，且线段和的中点分别为． （i）若直线的斜率大于1，且的面积为，求直线的方程； （ii）若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 18．已知点 ，过点斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点（A在的左侧），且为线段中点. (1)求椭圆的离心率； (2)记原点为，椭圆的左、右顶点记为，直线与交于点，记 的面积为，四边形面积为. （i）证明： ； （ii）求的取值范围. 19．已知椭圆的离心率为，点在C上. (1)求C的方程； (2)过点P作两条互相垂直的直线，分别交C于A，B两点（A，B均不与P重合）. （ⅰ）证明：直线AB恒过定点； （ⅱ）求面积的最大值. $ 3.1.2.1 椭圆的简单几何性质及应用 题型一 椭圆的简单几何性质 3 题型二 由几何性质求标准方程 8 题型三 椭圆的焦点三角形问题 13 题型四 椭圆有界性的有关应用 19 题型五 求椭圆的离心率及取值范围 25 课时精练 31 【基础回顾】 ( 1 / 13 ) 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 椭圆的简单几何性质 焦点在 轴上 焦点在 轴上 图形 标准方程 焦点 焦距 范围 对称性 关于 轴、原点对称 轴长 长轴长 ; 短轴长 长轴长 ; 短轴长 顶点 离心率 离心率越接近 1 , 则椭圆越扁 离心率越接近 0 , 则椭圆越圆 通径 通径的定义过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小 最短的焦点弦 知识点 2: 椭圆方程 的几何意义 椭圆标准方程中 三个量的大小与坐标系无关是由椭圆本身的形状大小所确定的 分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长 均为正数且三个量的大小关系为 且 . 可借助下图帮助记忆 恰构成一个直角三角形的三条边其中 是斜边 为两条直角边 由图知 . 和 有关的椭圆问题常与焦点三角形 有关这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理 或勾股定理、三角形面积公式 相结合的方法进行计算与解题将有关线段 有关角 ) 结合起来 建立 之间的关系 知识点3: 椭圆的焦点三角形 定义 椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为 “焦点三角形” 一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式建立 , 之间的关系采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题 性质 1: 周长 . 性质 2: 当 时 最大 证明 ①, 在 中由余弦定理得 把①代入可得 ②, 因为 , 当且仅当 时等号成立, 所以 , 取最小值时 取最大值 故由以上可得当 时, 最大 性质 3: 证明: 由②可得 ③. ,把③代入面积公式 即 ,故 . 知识点 4: 几何意义的拓展 1. 椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点即椭圆上的点到椭圆中心的距离的最小值为短半轴长 ，到中心距离最大的点是长轴的两个端点 即椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值是长半轴长 . 2. 椭圆上到焦点距离最大的点称为 “远日点”和最小的点称为 “近日点” 是长轴的两个端点最大距离为 最小距离为 . 题型一 椭圆的简单几何性质 1．已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，其中的长半轴长为3，为上一点，点为中点，若的周长为4，则的焦距为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】结合椭圆的定义确定的周长为，进而可求解. 【详解】 设椭圆的长半轴为，半焦距为，由题意得， 设椭圆左焦点为​，原点是的中点， 因为是中点，是中点，所以是 的中位线， 得： ， ， ， 所以的周长为 由椭圆定义， ， 故的周长为 ，得，椭圆的焦距为. 2．将椭圆的长轴分成6等份，过每个分点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于五点，是椭圆的右焦点．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的对称性转化焦半径之和，结合已知条件构造关系，进而求出椭圆的离心率． 【详解】椭圆的长轴为，分成6等份时5个分点的横坐标依次是： ， 对应点和，和关于轴对称， 右焦点，左焦点， 由椭圆定义可知， 由对称性可得， ， 已知， ，故， ，故， ． 3．已知正方形的四个顶点都在椭圆上，边AD与BC均与x轴垂直，且分别经过椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的几何特征及离心率公式计算求解. 【详解】不妨设正方形的边长为2， 设椭圆的两个焦点为，可知椭圆的右焦点为， 且椭圆经过点，所以， 解得（小于半焦距c的根舍去）， 因此椭圆的离心率． 4．已知椭圆的离心率为，则其长轴长为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】椭圆的标准形式为，则，即， 离心率，即，解得， ， ，故长轴长为． 5．已知椭圆 的左焦点与上顶点都在函数的图象上， 则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，，得到，得到长轴长 【详解】椭圆的上顶点为，代入，可得， 左焦点为，代入，可得，解得， 故，故，故长轴长为. 故选：A 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距，点A，B在椭圆上且满足．若，则椭圆的长轴长为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】设，，根据，列式，联立即可求解. 【详解】根据，设，， 则，， 因为，所以， 在中，因为，所以， 即，① 在中，， 即，② 联立①②解得，， 所以椭圆的长轴长为. 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆的上半部分有一点，若以原点为圆心，半焦距为半径的圆过线段的中点，则直线的斜率为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】结合图形可以发现，利用焦半径及三角形中位线定理，得出，再应用斜率公式计算求解. 【详解】由题知，椭圆，焦点在轴上，， 设线段的中点为. 由题意知. 因为OM是的中位线，所以． 因为，所以，所以点的坐标为，且， 所以直线的斜率. 故选：C. 8．（多选）关于椭圆，下列选项正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的一个顶点为 C．椭圆的焦距为 D．椭圆的离心率为 【答案】BD 【分析】根据椭圆的方程可得a，b的值，即可判断A、B的正误，根据a，b，c的关系，可得c值，即可判断C、D的正误. 【详解】由椭圆的方程可得，所以， 所以椭圆的长轴长为，故A错误； 短轴端点为，则一个顶点为，故B正确； 因为，所以椭圆的焦距为，故C错误； 离心率为，故D正确. 故选：BD 9．（多选）已知椭圆过点，C的左、右焦点分别为，，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆C的焦距为8 B． C．椭圆C的离心率为 D．椭圆C的上顶点到左顶点的距离为4 【答案】BD 【分析】根据题意，求得椭圆的方程为，结合椭圆的几何性质，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由椭圆过点， 可得，整理得，解得或 因为，所以，所以椭圆的方程为. 对于A，由，所以椭圆的焦距，所以A错误； 对于B，由椭圆的焦点为，且， 可得， 所以，所以B正确； 对于C，由，可得椭圆的离心率为，所以C错误； 对于D，由椭圆，可得上顶点为，左顶点为， 所以上顶点到左顶点的距离为，所以D正确. 10．（多选）已知曲线，则（    ） A．当时，是焦距为的椭圆 B．当是焦点在轴上的椭圆时， C．若曲线为椭圆，的取值范围是 D．若椭圆的离心率为时， 【答案】AB 【分析】当时，求出椭圆的焦距，可判断A选项；根据方程所表示的曲线的形状求出的取值范围，可判断BC选项； 对椭圆焦点位置进行分类讨论，根据椭圆的离心率公式可得出关于的等式，求出的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，曲线的标准方程为，则，， 所以，此时椭圆是焦距为的椭圆，A对； 对于B选项，若是焦点在轴上的椭圆，则，解得，B对； 对于C选项，若曲线为椭圆，则，解得或，C错； 对于D选项，若椭圆的焦点在轴上时，，则，， 所以，解得，符合题意， 若椭圆的焦点在轴上，则，解得， 则，，所以，解得， 综上所述，若椭圆的离心率为时，或，D错. 故选：AB. 题型二 由几何性质求标准方程 1．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆化为标准方程，故焦点为，由题意可得，解方程即可得解. 【详解】由化简可得， 焦点为在轴上， 同时又过点，设， 有，解得， 故选：C 2．已知椭圆的方程为，且离心率为，则下列选项中不满足条件的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合椭圆离心率的定义，求出m，n的关系判断作答. 【详解】椭圆的方程为，则该椭圆的长短半轴长分别为， 离心率，解得， 对于A，，A符合； 对于B，，B符合； 对于C，，C不符合； 对于D，，D符合. 故选：C 3．已知椭圆经过点，离心率为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入点的坐标可得，利用离心率的公式可得，从而可得答案. 【详解】因为椭圆经过点，所以，即； 离心率，所以，所以方程为. 故选：D 4．已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义表示出焦点三角形的周长，求出的值，结合离心率求出的值，即得椭圆方程. 【详解】 如图依题意，的周长为， 解得． 设椭圆的半焦距为，因为椭圆的离心率为，所以，解得． 所以． 故椭圆的标准方程为． 故选：D. 5．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若，椭圆的离心率为，则椭圆的焦距为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义、离心率等知识列方程，求得，进而求得椭圆的焦距. 【详解】依题意，解得， 所以焦距. 故选：B 6．已知椭圆：（）的离心率为，且点为椭圆的一个焦点，则椭圆与直线在第一象限的交点为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的离心率以及焦点坐标与的关系确定椭圆方程，即可求交点坐标. 【详解】由题可得，，解得， 所以椭圆方程为， 联立，可得，解得， 所以椭圆与直线在第一象限的交点为， 故选:D. 7．如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角为的平面所截，截面是一个椭圆，则下列结论错误的是（    ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的方程可以为 D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 【答案】B 【分析】结合图象根据椭圆的长轴，短轴的几何意义求椭圆的，由此判断各选项. 【详解】设椭圆的长半轴长为，椭圆的长半轴长为，半焦距为， 由图象可得， ∴ ， 又，， ∴  ， ∴ 椭圆的长轴长为4，A对， 椭圆的离心率为，B错， 圆的方程可以为，C对， 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，D对， 故选：B. 8．（多选）已知椭圆的焦距为8，离心率，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意可得到、的值，计算可得的值，分析焦点的位置，可得椭圆的标准方程. 【详解】由题意有，则， 离心率， ， ， . 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为. 故选：AB． 9．（多选）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为上的动点，轴，垂足为，为的中点，为上顶点，则（   ） A．椭圆的焦距为 B．的最小值为 C．（为原点）是定值 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】由离心率求出，再由求出可判断A；利用椭圆的定义、基本不等式可判断B；设，根据中点坐标公式、在上可判断C；求出利用配方法可判断D． 【详解】对于A，由题意，，解得， ，则焦距，A错误； 对于B， ， 当且仅当时，等号成立，B正确； 对于C，设，易知，为上的动点， 则，即，C正确； 对于D， ，即，D错误． 故选：BC. 10．（多选）已知椭圆C：（）的离心率为，若点P在椭圆C上，点、分别是椭圆C的左、右焦点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．满足是直角三角形的点P有4个 【答案】BC 【分析】对于A，结合离心率求出a即可；对于B，直接根据椭圆定义即可求得；对于C，结合椭圆性质求出、的值，再结合余弦定理求出即可；对于D，将问题转化为以为直径的圆与椭圆C的交点问题，以及、的问题即可． 【详解】对于A，因为，则，又，，则， 解得，，故A错误； 对于B，由椭圆的定义可得，故B正确； 对于C，因为①，又②，由①②可得，， 在中，由余弦定理可得，故C正确； 对于D，因为，，则，所以以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆有4个交点， 所以椭圆上有4个点，使，如图所示， 又当即，或即时，满足条件的点P各有2个， 所以满足是直角三角形的点P有8个，故D错误． 题型三 椭圆的焦点三角形问题 （1）焦点三角形的周长问题 （2）焦点三角形的夹角问题 （3 ）公式法求焦点三角形的面积 （4 ）已知焦点三角形顶角求面积 若椭圆中焦点三角形的顶角 则面积 结论适用于选择或填空题 【例题精讲】 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作直线交椭圆于，两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义结合已知求解. 【详解】因为椭圆，所以，，， 因为左、右焦点分别为，，所以利用椭圆的定义可知， ，， 的周长为， 故选：B． 2．已知是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1，则点的纵坐标为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】直接运用三角形面积公式进行求解即可. 【详解】， 所以，设点的纵坐标为， 因为以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1， 所以. 故选：B 3．已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义可得，，可得为直角三角形，进而可得解. 【详解】由，得，， 即，， 又， 则，， 所以为直角三角形，， 所以， 故选：B. 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点， ，若的面积为，则的短轴长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义，余弦定理以及面积公式即可求解. 【详解】由椭圆的定义知，所以， 又，即， 两式相减，得，因为的面积为， 即，所以，解得，所以短轴长为6． 故选:D． 5．已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点．若，则点的横坐标为（　　） A． B． C．4 D．9 【答案】B 【分析】设P的坐标，根据平面向量的坐标表示可得，联立椭圆方程求出x即可. 【详解】由，得， 设， 即，则，解得. 故选：B. 6．已知椭圆方程为，P为椭圆上一点，若，为的内切圆，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆定义及圆切线性质，结合直角三角形求内切圆半径. 【详解】 由椭圆定义及圆切线性质知：. 故选：B 7．设，为椭圆的两焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可得轴，从而可得，再利用椭圆的定义可得，即求. 【详解】因为线段的中点在y轴上， 所以轴，， ， 所以． 故选：C 8．（多选）已知椭圆的长轴长为4，短轴长为2，，分别是C的左、右焦点，过点的直线与C交于A，B两点（异于C的左、右顶点），则（   ） A．C的方程为 B．的周长为8 C．的最大值为6 D．当A为C的上顶点时， 【答案】ABD 【分析】对A，根据椭圆长轴和短轴的定义即可得到椭圆方程，对B，根据椭圆定义即可判断；对C，根据基本不等式即可判断；对D利用椭圆定义和余弦定理即可得到弦长. 【详解】对A，由题知，，即，，所以的方程为，A正确； 对B，的周长为，B正确； 对C，由题知，所以（当且仅当时取等号），C错误； 对D，当为椭圆的上顶点时，2，设，则， ，则，则， 在中，由余弦定理，得，解得， 所以，D正确． 故选：ABD．    9．（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（    ） A．的周长为 B．存在点，使得 C．若，则的面积为 D．使得为等腰三角形的点共有4个 【答案】AB 【分析】根据焦点三角形的周长为判断A；考虑为短轴顶点时，焦点三角形的形状判断B；结合椭圆定义和余弦定理，计算焦点三角形的面积可判断C；分情况讨论，找出使为等腰三角形的所有点可判断D． 【详解】对于A，由题意，， 的周长为 ，故A正确； 对于B，当点位于椭圆的上顶点或下顶点时，， 则为直角，故B正确； 对于C，当时，如图，中， 由余弦定理得， 即①， 又，即②， 联立①②可得， 所以，故C错误； 对于D，由椭圆的性质可知，即. 若是以为顶点的等腰三角形，点位于椭圆的上顶点或下顶点，满足条件的点有2个； 若是以为顶点的等腰三角形，则，则满足条件的点有2个； 同理，若是以为顶点的等腰三角形，满足条件的点有2个； 故使得为等腰三角形的点共6个，故D错误． 故选：AB． 10．（多选）已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（   ） A．的周长为8 B．若，则的面积为 C．椭圆上存在两个点，使得 D．的最小值为1 【答案】BD 【分析】先求出，根据椭圆的定义即可判断A；利用余弦定理结合椭圆的定义及三角形的面积公式即可判断B；求出的最大值即可判断C；根据椭圆的定义结合基本不等式中“1”的整体代换即可判断D. 【详解】椭圆C：的长短半轴长分别为，半焦距， 由点P是椭圆上的一个动点，得， 对于A，的周长为，A错误； 对于B，在中，，由余弦定理得， ，则，， 因此的面积为，B正确； 对于C，当点位于椭圆的上下顶点时，最大，此时， 即为等边三角形，的最大值为，因此椭圆C上不存在点，使得，C错误； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BD 题型四 椭圆有界性的有关应用 1．椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将方程化为标准方程，然后根据椭圆的性质分析判断 【详解】由，得， 所以椭圆的标准方程为，则， 因为点在椭圆上， 所以． 故选：C 2．若点是椭圆的某条弦的中点，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，转化为点在椭圆的内部，列出不等式，求得的取值范围，结合选项，即可求解. 【详解】由点是椭圆的某条弦的中点， 则点在椭圆的内部，所以，解得或. 故选：A. 3．已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，利用椭圆的焦半径公式求出的取值范围，再结合圆的几何性质可求得的取值范围. 【详解】在椭圆中，，，则，即， 设点，则，且，可得， 所以， 所以， 当且仅当为椭圆的左端点，且为射线与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， ， 当且仅当为椭圆的右端点，且为线段与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， 综上所述，的取值范围是. 故选：A. 4．已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，其中，可得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】对于椭圆， 则，，， 所以、， 设点，其中，且，故， 所以，， 故， 故当时，取最小值. 故选：A. 5．已知点，点P为圆上任意一点，线段AP的垂直平分线与CP相交于点Q，则面积的最大值为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】B 【分析】根据已知得Q点轨迹是椭圆，结合面积为及椭圆的性质求面积的最大值. 【详解】如图，Q是线段AP的垂直平分线上的点，则， 则， 所以Q点轨迹是以，为焦点的椭圆， 设其标准方程为，其中，则，标准方程为， 面积为，显然，当时，最大， 则面积的最大值为. 故选：B 6．设椭圆的右焦点为，过原点的动直线与椭圆交于、两点，那么的周长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的对称性、椭圆的定义可得，结合的范围求的周长的取值范围. 【详解】在椭圆中，，，， 的周长， 又因为、两点为过原点的动直线与椭圆的交点， 所以、两点关于原点对称，椭圆的左焦点为， 易知为的中点，所以，四边形为平行四边形， 所以，，所以， 又因为、、三点不共线， 不妨设点，则，其中，且，可得， 所以，， 所以的周长的取值范围为， 故选：A. 7．已知圆，，圆内有一个定点，动圆过点，且与圆内切.圆心形成的轨迹为，下列说法正确的是（   ） A．的轨迹方程是 B．直线与无公共点 C．点是直线与所产生的相交弦中点，则的方程是 D．是上一个动点，则的最大值为6 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出轨迹方程判断A；确定直线所过定点判断B；由给定点与方程表示直线的关系判断C；利用数量积的坐标表示，结合椭圆范围求解判断D. 【详解】圆的圆心，半径， 对于A，设，依题意，，即， 因此轨迹是以为左右焦点，长轴长为4的椭圆，方程为，A错误； 对于B，直线过椭圆的焦点，与必有公共点，B错误； 对于C，依题意，点在直线上，而点不在直线上， 因此直线的方程不是，C错误； 对于D，设，则，， 因此，当且仅当时取等号，D正确. 故选：D 8．（多选）设椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于A，B两点，则（    ） A．椭圆的短轴长为 B．的周长为12 C．的最小值为 D．椭圆上不存在点P，使得 【答案】BCD 【分析】由椭圆方程可得，根据椭圆性质判断ABC；对于D：可知当点P为短轴顶点时，取到最大值，结合余弦定理分析判断. 【详解】由椭圆方程可知：，，， 对于选项A：椭圆的短轴长为，故A错误； 对于选项B：的周长为，故B正确； 对于选项C：的最小值为，故C正确； 对于选项D：当点P为短轴顶点时，取到最大值， 此时，，可得， 则为锐角，所以椭圆上不存在点P，使得，故D正确. 故选：BCD. 9．（多选）已知为坐标原点，点的轨迹与轴的交点分别为，当点与，均不重合时，点到点和到定直线距离的平方和为4，则下列说法正确的是（   ） A．点的轨迹方程为 B．的最大值为 C．当点与P，Q均不重合时，直线MP，MQ的斜率之积为定值-2 D．是点的轨迹上的两点，，若斜率互为相反数，则的斜率为 【答案】ABD 【分析】根据题意，得到，可判定A正确；根据椭圆的几何性质，可判定B正确；设，利用斜率公式，可得判定C错误；设，联立方程组,求得和，结合斜率公式，可判定D正确. 【详解】对于A，因为点到点和到定直线距离的平方和为， 可得，整理得，所以A正确； 对于B，根据椭圆的几何性质，可得的最大值为，所以B正确； 对于C，当点与均不重合时，设，可得， 则，所以C错误； 对于D，设AB方程为，即， 联立方程组，整理得， 则，可得， 用替换表达式中的可得， 所以， 所以 ，所以D正确. 故选：ABD. 10．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】BCD 【分析】利用椭圆的定义可判断A选项；分析可知当点为短轴顶点时，的面积最大，求其最大值，可判断B选项；利用平面向量数量积的坐标运算并结合椭圆的范围可判断C选项；求得，利用椭圆的定义结合二次函数的基本性质可判断D选项. 【详解】由可得，，，. 对于A选项，的周长为，A错； 对于B选项，设，，则， 所以当点为短轴顶点时，的面积最大，最大面积为，B对； 对于C选项，设，，、， 则，，则. 因为，所以，所以， 又，所以， 所以的取值范围为，C对； 对于D选项，由可得，， 由C知， ， 所以， 当时，有最大值， 当或时，的值为， 但是且，所以的取值范围为，D对. 故选：BCD. 题型五 求椭圆的离心率及取值范围 求椭圆离心率及范围的两种方法: 直接法:若已知 可直接利用 求解. 若已知 或 可借助于 求出 或 再代入公式 求解 方程法若 的值不可求，则可根据条件建立 的关系式， 借助于 转化为关于 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以 的最高次幂，得到关于 的方程或不等式，即可求得 的值或范围. 【例题精讲】 1．已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为,则其离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆方程和短轴的长度，得出、的具体值,进而求出离心率. 【详解】由椭圆方程可知,所以,又短轴长,所以, 所以离心率. 故选:A 2．已知分别是椭圆的左､右焦点，是上的一个点，且的周长为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义，结合焦距和周长，即可得离心率. 【详解】设的焦距为，由题意得的周长为， 化简得：， 所以得的离心率为. 故选：C 3．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点.设抛物线与在第一象限的交点为，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图象，利用抛物线性质以及椭圆的性质结合已知条件建立等式得出的关系，根据椭圆离心率公式求解即可. 【详解】作抛物线的准线，则过椭圆的左焦点，过作交于， 因为椭圆与抛物线有共同的焦点，所以，设， 因为，， 所以，， 又因为，所以， 在直角三角形中，， 所以，解得，所以. 4．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，设为的内切圆圆心，若的面积为，且，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合余弦定理和三角形面积公式得到椭圆焦点三角形的面积公式，根据已知条件即可得，再利用得到内切圆半径，最后利用三角形面积也等于半周长乘以内切圆半径得到关于的等式，求解即可得离心率. 【详解】设， 根据椭圆定义有，在中，由余弦定理可得 ， 即，整理得， 又的面积，由 可得，结合已知条件有，所以， 点为内切圆圆心，所以是的角平分线，设内切圆半径为， 作，垂足为，则， 同时由等面积法可知， 整理得，进而得到， 故的离心率为. 5．已知椭圆的左、右焦点分别为分别为椭圆的左、右顶点，直线过与椭圆交于两点（不同于点），的周长为，直线与的斜率分别为，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 的周长为， 则，.设点 ， 整理得.又，解得， 椭圆的离心率. 6．已知点在椭圆的内部，为的左焦点，为上的动点，若的最大值大于，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设的右焦点为，因为点在的内部，所以． 由椭圆的定义知，所以， 则， 则的最大值为，所以， 又，所以，此时满足， 所以的离心率． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B为椭圆上关于原点对称的两点，A点在第一象限，若，，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知四边形为矩形，根据勾股定理及椭圆的定义可得，结合已知条件列不等式组，进而解得答案. 【详解】因为点A，B为椭圆上关于原点对称的两点，A点在第一象限， 则O为的中点，结合，所以四边形为矩形， 所以，而， 则，整理得， 所以，结合A在第一象限，可知， 所以， 由椭圆的对称性可知，由可得， 即，所以，整理得， 所以，即椭圆C的离心率的取值范围为. 8．（多选）椭圆：的左、右焦点分别为，，点为上的任意一点，则（   ） A．椭圆的长轴长为3 B．椭圆的离心率为 C．的最大值为5 D．存在点，使得 【答案】BC 【分析】根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长、半焦距，再逐项判断得解. 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆的长轴长为6，A错误； 对于B，椭圆的离心率为，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，以线段为直径的圆在椭圆内，因此不存在点，使得，D错误. 故选：BC. 9．（多选）已知，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，是椭圆上的动点，轴，垂足为，且点为的中点，则（   ） A． B．椭圆的离心率为 C．的最小值为 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】由椭圆过求出椭圆的方程，从而得到的值，根据椭圆的定义判断A；求出离心率判断B；求得点的轨迹方程，由定点到圆上的点的距离求出的最小值，判断C；当时，的面积最大，由此求出最大值，判断D. 【详解】点在椭圆上，，解得. 椭圆的标准方程为． 设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则. ，即，，，故A，B正确． 对于C，设点，则． 将点的坐标代入椭圆方程，得，即. 点的轨迹方程为， 的最小值为点到圆心的距离减去半径， ，故C错误． 对于D，由C可知，，，则当时，的面积最大，为，故D正确． 10．（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（    ） A．离心率的取值范围为 B．当离心率为时，的最大值为3 C．存在点，使得 D．当离心率不小于时，的最小值为 【答案】ABD 【分析】由点在椭圆内部求得的范围，结合离心率的意义求解判断AB；由椭圆半焦距与的大小判断C；利用椭圆定义及均值不等式求出最小值判断D. 【详解】由椭圆的长轴长为4，得，由点在内部，得，又，则， 对于A，由，得，则离心率，A正确； 对于B，由，得椭圆的半焦距，由， 得，因此的最大值为，B正确； 对于C，由，得，而，则， 以原点为圆心，为半径的圆在椭圆内，因此不存在使得，C错误； 对于D，由椭圆的离心率不小于，得，则， 于是，， 因此 ，当且仅当时取等号，符合题意，D正确. 课时精练 ( 1 / 46 ) 学科网（北京）股份有限公司 一、单选题 1．椭圆C:的一个焦点F坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆方程为，可得，，且； ； 又， . ，焦点在轴上，可得焦点坐标为； 椭圆的一个焦点F坐标为. 2．已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A．或 B．或2 C． D． 【答案】A 【分析】将椭圆化为标准方程，进而分类讨论椭圆焦点位置，再结合离心率求解． 【详解】原方程整理得 ， 且， 当焦点在轴上，则，，满足，即. 由离心率，得，解得，符合条件. 当焦点在轴上，则，，满足，即. 同理，解得，符合条件. 3．设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆离心率为，得，即，又因为，所以， 又点为椭圆短轴顶点，则，解得，所以， 即椭圆的方程为. 4．已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率，且过点，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】先求，进而利用椭圆的定义即可求解. 【详解】由，所以，所以， 所以椭圆的方程为：，又过点， 所以，解得，即， 所以， 又， 所以的周长为：. 5．已知椭圆的左、右焦点为，，离心率为，点在椭圆E上，P是椭圆E上的动点，以为直径作圆N，直线ON与圆N交于点Q（点Q不在椭圆内部），则（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】通过离心率和已知点求出椭圆方程，再利用中位线定理与椭圆的定义确定点的轨迹，最后通过向量点积公式结合轨迹方程快速计算结果． 【详解】由题意，椭圆离心率，故， 又，得． 将点代入椭圆方程， 椭圆方程为，焦点，． 由中位线定理，，又， ，故点在圆上． 设，则． 6．记椭圆的上顶点为A，右焦点为F，则以A为圆心，为半径的圆与E的交点个数为（    ）． A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出圆的方程，再与椭圆方程联立，转化为求出直线与椭圆交点个数即可. 【详解】椭圆的上顶点，右焦点，， 因此以A为圆心，为半径的圆方程为， 由消去得，而，解得， 直线与椭圆交于两点，所以所求交点个数为2. 7．如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则（    ）    A．40 B．28 C．35 D．30 【答案】C 【分析】由椭圆的对称性结合椭圆定义即可分析求解. 【详解】    由题可得，为椭圆上顶点， 则根据椭圆的对称性知，，，， ∴. 故选：C 8．已知，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于A，B两点，且，若，椭圆C的离心率为，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】由椭圆定义结合勾股定理求解. 【详解】由，可知，即， ，， 因为，所以，， 设，则，由椭圆定义可得，， 在中，，所以， 即，化简得，即， 所以，， 在中，，可得， 即，解得. 二、多选题 9．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为．点为上的动点，且的取值范围为，则（   ） A． B．的周长为8 C．存在点，使得 D．当时，的内心坐标为 【答案】AD 【分析】先根据椭圆上动点到焦点距离范围求出，进而得到，离心率和椭圆方程，再分别对各选项依据椭圆性质、均值不等式、勾股定理及内切圆半径公式等进行判断. 【详解】根据椭圆性质，椭圆上动点到左焦点的距离范围为， 又因为，所以，解得， 所以，离心率，椭圆方程为， 在A选项中，，A正确， 在B选项中，的周长为，B错误， 在C选项中，若，设，则， 整理可得，由均值不等式，相互矛盾， 所以不存在这样的点，C错误， 在D选项中，将代入椭圆可得， 即，因为， ，所以是直角三角形， 直角在，内切圆半径， 内心坐标为，D正确. 10．（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的离心率为 B．内切圆半径的最大值为 C．椭圆C内接矩形面积的最大值为 D．若，则的最小值是1 【答案】ABD 【分析】对A，直接利用离心率公式即可判断；对B，写出半径表达式即可判断；对C，利用基本不等式即可判断；对D，利用椭圆定义结合三点共线即可判断. 【详解】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，记内切圆半径为，由，得， 则，所以当时，，故B正确； 对于C选项，不妨取P为第一象限点，设，则由，得， 当且仅当时取等，所以，故C错误； 对于D选项，，当为线段与椭圆的交点时，等号成立，故D正确． 11．（多选）定义曲线为椭圆的“倒椭圆”.已知椭圆的方程为，其倒椭圆的方程为，O为坐标原点，P为曲线上任意一点，则（   ） A．椭圆的离心率 B．的最小值为4 C．过点P作x轴与y轴的垂线，垂足分别为，则直线一定与椭圆相切 D．椭圆上至少存在四条切线与曲线没有公共点 【答案】ACD 【分析】A由离心率的定义计算；B设，结合基本不等式求解；C求出直线方程，与椭圆联立，计算即可；D求出倒椭圆中变量的范围，说明、与其无交点即可. 【详解】，则椭圆的离心率，故A正确； 设，则，即， 故， 等号成立时， 故的最小值为，故B错误； ，则， 与联立得，， 则， 则直线AB一定与椭圆相切，故C正确； 由，，得， 直线、是椭圆的切线，且其与倒椭圆无交点， 故椭圆上至少存在四条切线与曲线没有公共点，故D正确. 三、填空题 12．已知点在椭圆上，的焦距为4，则的离心率为______． 【答案】/ 【详解】设的半焦距为，由焦距为4，得，， 所以， 将代入椭圆方程，得，解得， 故，得，离心率. 13．已知是椭圆的左、右焦点，是双曲线的右顶点，过的直线交椭圆于M，N两点，且的周长为20，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【分析】根据椭圆的定义和性质，结合的周长得出a，再应用离心率公式计算求解． 【详解】由椭圆的定义 则，， 则的周长为，即得， 且是双曲线的右顶点，所以，即得， 所以椭圆的离心率为. 14．已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且，则的离心率的取值范围为______． 【答案】 【分析】由，得，结合基本不等式和椭圆的性质有，可求离心率的取值范围. 【详解】由，得， 由椭圆的定义得，又，所以， 设，则有，， 点在椭圆上，有，所以， 则时，有最大值， 时，有最小值， 所以有， 由，有，所以， 由，有， 可得，解得（舍去）或， 因为，综上可知的离心率的取值范围为． 四、解答题 15．已知椭圆经过点，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为k的直线l与椭圆交于，两点，点不在直线l上，直线，分别交直线于点，.试探究：四边形DMEN是否为平行四边形?证明你的结论. 【答案】(1)； (2)四边形DMEN是平行四边形，证明见解析. 【分析】（1）由椭圆过点，离心率为，，联立方程可求解，，得到椭圆标准方程； （2）由直线过，斜率为，得到直线的方程，与椭圆联立方程，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理得到两点横坐标的和与积的关系式；求出直线，的直线方程，令，分别得到的纵坐标表达式，根据中点与中点重合，得到四边形是平行四边形. 【详解】（1）椭圆经过点，离心率为 ， ，解得，. 椭圆的方程为. （2）四边形是平行四边形，理由如下： 依题意，可设直线的方程为，，，如图所示. 联立，消去，整理得； 由韦达定理得， ，，则直线的直线方程为； 当时，，得； 同理可求得. 同时，. ， ； ，； ，，即对角线，的中点重合； 四边形的对角线平分，即四边形是平行四边形. 综上，四边形是平行四边形. 16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆的上顶点为A，右顶点为B，离心率为，的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点的直线l交椭圆于C，D两点． （ⅰ）若的面积等于的面积的，求直线l的方程． （ⅱ）过点D作x轴的垂线，交直线BC于点E，若M为DE的中点，则M，A，B三点是否共线？若共线，请证明你的结论；若不共线，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）或；（ⅱ）M，A，B三点共线,证明见解析 【分析】（1）利用离心率和三角形面积建立方程，求解椭圆参数； （2）（i）面积比转化为线段比，用向量关系表示坐标，联立椭圆方程求解；（ii）设直线方程，联立椭圆，利用中点坐标和直线方程验证共线. 【详解】（1）由，得，代入，得，即. 的顶点坐标：，，， ，即. 将 代入上式： 解得：，故，， 所以椭圆方程为. （2）（ⅰ）因为，，与共顶点，底边在直线上， 所以， 因为共线，则，设，则. 设直线，代入椭圆方程，整理得： 将，代入韦达定理消元，化简得二次方程 ， 解得：或. 所以直线方程为：或. （ⅱ）在直线上， 证明：直线的方程：过、，斜率为， 方程为：，作轴垂线， 交于.为中点，故： 、所在直线方程为： 验证在直线上，即证： ， 即： 代入 ， ， 左边= 化简可得左边， 右边 化简可得右边，所以，左边右边，等式成立.即 . 这说明 满足直线的方程，因此在直线上，即三点共线 因此，三点共线. 17．已知椭圆的离心率为，的右顶点与上顶点之间的距离为6. (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线分别交于点和，且线段和的中点分别为． （i）若直线的斜率大于1，且的面积为，求直线的方程； （ii）若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据椭圆离心率以及顶点列方程求解即可. （2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，得到的横坐标，同理得到横坐标，进而得到，再根据三角形面积公式求解即可. （ii）法一：设，，，，利用以及，化简得到，，再分别讨论直线的斜率是否存在，得到直线GH过定点，再根据直角三角形求解即可. 法二：设，，，，联立椭圆方程得到直线PQ的斜率，根据直线垂直，化简得到，再与直线的方程对比得到直线GH过定点，再根据直角三角形求解即可. 【详解】（1）由题意可知， 解得，，所以C的方程为． （2）（ⅰ）设直线PQ的方程为，， 联立，可得， 可得点G的横坐标为， 所以， 同理可得， 因为的面积为，所以，即， 整理得，即， 解得，因为， 所以，代入可得G，H的横坐标均为， 所以直线GH的方程为．    （ⅱ）法一：设，，，， 由，可得， 因为的中点为，所以，， 所以， 因为，所以， 所以， （当斜率不存在或中点为A时也满足上式） 同理可得， 所以点G，H在曲线上， 因为，所以，即， 可得①， 当直线GH的斜率不存在时，设GH的方程为， 联立，可得， 所以，， 代入①式可得，即，解得或， 若，则直线GH的方程为，所以直线GH过，不符合题意，舍去， 若，则直线GH的方程为； 当直线GH的斜率存在时，设GH的方程为， 联立，可得， 所以，， 由①式可得， 代入整理得， 即，可得或， 若，则直线GH的方程为， 所以直线GH过，不符合题意，舍去， 若，则直线GH的方程为，所以直线GH过． 综上可知，直线GH过定点． 取AK的中点， 在中，， 所以存在定点，使得为定值． 法二：设，，，， 当直线，斜率都存在时，由，可得， 因为PQ的中点为G，所以，，可得， 所以直线PQ的斜率为， 因为，所以， 即，（当中点为A时也满足上式） 同理可得， 两式相减得， 当直线PQ或MN斜率不存在时，也满足上式， 又直线GH的方程为， 即，所以直线GH过定点． 取的中点， 在中，， 所以存在定点，使得为定值．    18．已知点 ，过点斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点（A在的左侧），且为线段中点. (1)求椭圆的离心率； (2)记原点为，椭圆的左、右顶点记为，直线与交于点，记 的面积为，四边形面积为. （i）证明： ； （ii）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）利用点差法可求椭圆的离心率； （2）（i）记与的交点为．根据不同三角形的面积关系转化为可证；（ii）记直线与轴交点为，联立直线方程和椭圆方程后结合韦达定理可用表示面积之比，结合单调性可求面积之比的取值范围. 【详解】（1）设，则，， 故， 而为的中点，故，故， 而直线的斜率为，故，故， 故，故即离心率为. （2）（i）证明：记与的交点为． , 化简可得：得证． （ii）由椭圆方程知， 由（1）可知，椭圆方程为，直线方程为， 联立方程，可得， 解得，则的取值范围为， , 记直线与轴交点为，则， , 则， 得到关于单调递减． 由于，故，即． 19．已知椭圆的离心率为，点在C上. (1)求C的方程； (2)过点P作两条互相垂直的直线，分别交C于A，B两点（A，B均不与P重合）. （ⅰ）证明：直线AB恒过定点； （ⅱ）求面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）利用短轴长以及离心率计算可得椭圆C的标准方程； （2）（i）设PA的方程为并与椭圆联立解得两点坐标，得出直线AB的方程化简可得结论；（ii）求得线段的长度表示出面积再由基本不等式计算可得结果. 【详解】（1）依题意，点在椭圆上， 故，解得. 又离心率，则，即，解得， 故C的方程为 （2）（ⅰ）证明：依题意，直线PA，PB的斜率必存在且不为0， 设直线PA的方程为，则直线PB的方程为， 联立，得，解得，， 代入直线方程得； 同理，用替换k可得，， 所以， 所以直线AB的方程为， 令，得，故直线AB恒过定点. （ⅱ）由（ⅰ）可知，， 同理可得， 故， 令，则，当且仅当时，等号成立， 则； 当（即）时，， 故面积的最大值为. $