3.2.2.2 直线与双曲线的位置关系单元复习讲义 2026-2027学年高二上学期数学选修一例题精讲及课时精练

该高中数学讲义通过“基础回顾+题型分类”系统构建直线与双曲线位置关系的知识体系，用框架图梳理位置关系判断、弦长公式、通径、点差法等核心知识点，突出“一个公共点可能相交或相切”等重难点，呈现从基础到应用的内在逻辑。 讲义亮点在于分层递进的题型设计，如“中点弦与点差法”题型通过推导过程培养数学思维，“参数范围及最值”题型强化数学语言表达。课时精练涵盖选择、填空、解答题，基础题巩固方法，综合题提升能力，助力教师实施精准教学，学生自主复习高效。

3.2.2.2 直线与双曲线的位置关系 题型一 直线与双曲线的位置关系 2 题型二 直线与双曲线相交的弦长面积问题 8 题型三 双曲线的中点弦与点差法 15 题型四 双曲线的参数范围及最值 22 课时精练 29 【基础回顾】 知识点 1: 直线与双曲线位置关系的判断 将双曲线方程 与直线方程 联立消去 得到关于 的一元二次方程： （1）当 ，即 时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线 与双曲线只有一个交点； （ 2 ）当 ，即 时，设该一元二次方程的判别式为 ， 若 ，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若 ，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若 ，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切。 知识点 2: 弦长公式 若直线 与双曲线 交 两点，则 或 知识点 3: 双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段, 称为双曲线的通径. 通径长为 . 注意： 若焦点弦与双曲线的交点在同一支上，则最短弦长是通径长 ; 若焦点弦与双曲线的交点在两支上，则最短弦长是 . 知识点 4: 中点弦与点差法 点差法： 利用交点在曲线上， 坐标满足方程， 将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下： 直线 （不平行于 轴） 过双曲线 上两点 ，其中 中点为 ，则有 . 证明： 设 ，则有 , 上式减下式得 , , . 特殊的: 直线 (存在斜率) 过双曲线 上两点 ，线段 中点为 ，则有 . 题型一 直线与双曲线的位置关系 1: 求直线与双曲线的位置关系 2: 由直线与双曲线的位置求参数 [课时精练】 1．直线与双曲线交点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据已知直线和渐近线平行即可得答案. 【详解】由题知，双曲线的渐近线方程为， 所以直线与双曲线的一条渐近线平行， 由图可知，直线l与双曲线有且只有一个交点. 故选：B    2．与双曲线有两个交点的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线与直线的位置关系判断即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为：， 当直线与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点， 故选项C、D对应的直线与双曲线只有一个交点，因此C、D错误； 对于A，联立，可得：，无解，故A错误； 对于B，联立，可得：， ，故B正确； 故选：B. 3．若直线与双曲线有且只有一个公共点，那么双曲线的离心率为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【详解】由可得，故， 当，则，方程只有一个实数解，满足题设要求， 此时双曲线方程为，，； 当时，，此时， 此时双曲线方程为，，. 4．已知直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】直线方程代入双曲线方程应用韦达定理求解. 【详解】由得，由已知得，解得（舍去）. 5．过点作斜率为的直线与双曲线的右支相交于不同两点，则的值可以是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】设出直线，联立双曲线，由韦达定理和根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】过点作斜率为的直线方程为， 将与联立可得， 显然，， 解得， 设直线与双曲线右支相交的两点分别为， 则， 故，解得， 综上，，显然只有满足要求. 6．已知为双曲线：的左焦点，直线过点与的右支有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的性质，得到渐近线方程，据此可得直线的斜率的取值范围为，再得到直线的倾斜角的取值范围即可． 【详解】解：由题意得，双曲线的渐近线方程为， 又直线过点与的右支有公共点， 则直线的斜率的取值范围为， 所以其倾斜角的取值范围为. 7．已知双曲线，直线，若直线l与双曲线C有且仅有一个公共点，则a的取值有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】由直线整理得，则直线恒过定点，且斜率为， 又因为双曲线的渐近线斜率为， 所以当直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线仅有一个公共点，此时有， 当时，直线与双曲线渐近线平行，满足题意， 当时，直线与双曲线渐近线平行，满足题意， 再由直线与双曲线联立方程组， 整理得： ， 当（即不是平行渐近线的情况），由直线与双曲线相切可得，判别式， 即，解得， 综上，符合条件的共有3个, 故选：B. 8．（多选）已知双曲线，过点的直线与.交于两点，则（    ） A．的实轴长为2 B．的离心率为2 C．点到的两条渐近线的距离之积为3 D．点可能是线段的中点 【答案】BC 【分析】根据双曲线的定义、性质、直线与双曲线的关系逐项计算判断即可. 【详解】由题意知，所以的实轴长为，离心率，故A错误，B正确； 设，所以，所以点到的两条渐近线的距离之积为，故C正确； 显然直线的斜率存在，设直线的方程为，， 由得，即， 则，若点是线段的中点，则，则， 解得，此时，矛盾. 所以点不可能是线段的中点，故D错误. 9．（多选）已知双曲线的左､右焦点分别为，过且斜率为的直线与的右支交于点，则（    ） A．的离心率为 B． C．的最小值为-9 D．若以实轴为直径的圆与相切，则 【答案】BCD 【分析】对于A选项，通过离心率的定义求解即可；对于B选项，直线与双曲线联立，由韦达定理以及直线与双曲线交于右支求解即可；对于C选项，设，分别表达出，，再由在双曲线上求解即可；对于D选项，直线与圆相切，由点到直线的距离公式，求解，再由直线与双曲线联立，由余弦定理求解即可. 【详解】对于A选项，由双曲线方程为，可得，，所以，所以，，所以离心率为，故A错误； 对于B选项，，设直线：，直线与双曲线联立可得， ，， ，，，因为直线与双曲线右支交于一点， 所以，解得，故B正确； 对于C选项，设，，，所以， 由在双曲线上可得，代入可得，， 当时，取得最小值，可得，故C正确； 对于D选项，以实轴为直径的圆，圆心为原点，半径，直线与圆相切， 由点到直线的距离公式，，联立求解坐标， 将代入双曲线方程，可得，解得，， 所以，， ，，故D正确. 10．（多选）已知双曲线1的左顶点为，右焦点为，过点且斜率为的直线与双曲线的右支交于点，与直线交于点，下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率为2 B． C．若，则 D．若是线段的中点，则 【答案】ABD 【分析】由题意可得的值，可求得离心率判断A；设直线的方程为，与双曲线的方程联立，进而求得的坐标，结合BCD的条件计算可判断BCD. 【详解】由双曲线，可得，所以， 所以左顶点，右焦点，离心率，故A正确； 设直线的方程为，代入双曲线方程得， 整理得， 设，则，所以， 又点Q在双曲线的右支上，则，解得，故B正确； 若，所以，又， 所以， 又因为，所以 ， 解得，故C错误； 直线与直线交于点， 若是线段的中点，则由中点坐标公式得，解得， 故，解得，符合，故D正确. 故选：ABD. 题型二 直线与双曲线相交的弦长面积问题 1．已知双曲线，右焦点为，直线经过且与轴垂直．若与的两条渐近线分别交于，两点，则的面积为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】求得右焦点的坐标，渐近线方程，进而求得的坐标，可求的面积. 【详解】由双曲线，可得右焦点为，渐近线方程为， 因为直线经过且与轴垂直，所以直线的方程为， 所以直线与两渐近线的交点的坐标分别为， 所以，所以的面积为. 故选：C. 2．在双曲线的两支上各取一点，则的最小值为（    ） A．6 B．9 C．14 D．18 【答案】A 【分析】当为双曲线的两顶点时，取得最小,最小值等于双曲线的实轴长. 【详解】由得，即， 所以. 故选：A. 3．已知双曲线的左､右焦点为，虚轴的上､下端点为，则四边形的面积为（    ） A．24 B．12 C．8 D．4 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质结合菱形的面积公式求解即可 【详解】设虚半轴､半焦距分别为b，c，则， 所以四边形的面积为. 故选：B 4．已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点，且，这样的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】分在同一支上和在两支上两种情况讨论求解即可. 【详解】根据双曲线的性质，如果在同一支上，则的最小值为通径，即， 如果在两支上，则的最小值为实轴长，即． 因为，所以根据双曲线的性质，这样的直线有4条,如图. 故选：D．      5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出双曲线方程，然后求出直线的方程，联立直线方程与双曲线方程，求得，，再根据弦长公式计算即可求解. 【详解】由题意得，， 所以，，所以，，， 所以双曲线的方程为， 因为，直线过点且倾斜角为，则直线的斜率， 所以直线l的方程为， 与双曲线的方程联立，消去，整理得， 解得，， 所以． 故选：D． 6．已知为双曲线的左焦点，直线过点与双曲线交于两点，且最小值为，则双曲线离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别讨论经过焦点的直线与双曲线的交点在同一支上和 直线与双曲线的交点在两支上这两种情况,列出不等式,计算即可得到范围． 【详解】①当经过焦点的直线与双曲线的交点在同一支上,可得双曲线的通径最小, 设双曲线的左焦点为，过的直线与双曲线左支相交于， 当直线斜率不存在时，直线的方程为可得,即有 ， 当直线斜率存在时，设直线的方程为 联立，消去，得， ， 由，解得或， 所以 ， 所以当直线与轴垂直时，的长最小，即最小值为 ②当直线与双曲线的交点在两支上,可得当直线的斜率为0时, 最小为 由①②及题意可得,即为,即有,则离心率. 故选: . 7．已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于两点，分别过点作的垂线，垂足为.若四边形的面积为，则的实轴长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】根据对称性易得四边形是平行四边形，再根据其面积得出，进而计算点的坐标，将其代入双曲线方程中，并结合渐近线方程可求的实轴长. 【详解】记坐标原点为，不妨设在第一象限，显然的倾斜角为的倾斜角为， 故，而，由对称性易得四边形是平行四边形， 故其面积 ，可得，设，由的倾斜角为， 得，于是由，得， 又 ，则，解得，故的实轴长为. 故选：B. 8．（多选）已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线上一点，若，，，中有且仅有个点在双曲线上，则（    ） A．双曲线的渐近线斜率为 B． C．的面积为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】先由双曲线对称性和 “仅个点在曲线上”的条件，确定在曲线上，A不在，代入求得，得到双曲线方程及参数，，，再据此逐一验证选项：由渐近线公式判断A正确；计算，判断B错误；用坐标法或底高法计算​面积判断C正确；利用双曲线定义转化，结合三点共线求最值判断D正确． 【详解】双曲线关于原点中心对称，且关于轴，轴轴对称， 因为关于轴对称，关于轴对称，关于原点对称，而与三点既不关于原点中心对称，也不关于轴，轴轴对称， 所以在双曲线上，不在双曲线上， 因为在双曲线上，则， 化简得，解得，（舍去）， 所以双曲线的方程为，因此，，， 对于A，渐近线方程为，斜率为，A正确； 对于B，，，， ，， 所以，B错误； 对于C，，，， 的直线方程为，， 到的距离， 所以的面积，C正确； 对于D，要使得取最小值，则点在双曲线的右支上， 根据双曲线定义得，即， 所以， 当三点共线且在之间时，最小， ， 所以最小值为，D正确． 9．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为上一动点，过点作直线交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．的离心率为 B．的最小值为2 C．若，则的面积为6 D．若，则的倾斜角为或 【答案】AB 【分析】根据双曲线方程即可求解离心率判断A；根据双曲线的定义及二次函数即可判断B；根据余弦定理及三角形面积公式即可判断C；根据弦长公式即可判断D． 【详解】由题可知，，，所以， 所以双曲线的离心率为，所以A选项正确； 由双曲线定义可知，不妨设，则， 所以因为，所以B选项正确； 对于C，由余弦定理得，故， 所以，所以C选项不正确； 对于D,设，，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立的方程得， 则，， 所以， 解得或， 若的倾斜角为或，则,所以D选项不正确． 10．（多选）已知点，动点满足：，记点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（　　） A．曲线的方程为 B．曲线与直线没有公共点 C．点到点距离的最小值为 D．过点且倾斜角为的直线与交于两点，则的周长为 【答案】ABD 【分析】由双曲线的定义可判断A；由直线是曲线的渐近线可判断B；设，则，利用两点间的距离公式求得距离的最小值即可判断C；设直线方程并代入曲线的方程中，利用弦长公式求出，再由曲线的定义求解周长即可判断D. 【详解】对于A，由， 由双曲线的定义知，点的轨迹是以为左、右焦点的双曲线的右支， 且，则，，所以， 所以曲线C的方程为，故A正确； 对于B，因为是曲线的一条渐近线，与曲线无公共点，故B正确； 对于C，设，则， 点到点距离，当且仅当时取等号.所以，故不正确； 对于D，因为，所以直线为，设， 由，得， 则， 所以 ， 因为，， 所以， 所以的周长为.故D正确. 故选：ABD. 题型三 双曲线的中点弦与点差法 1．若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【详解】设弦端点，， 由，在双曲线上， 则， 两式做差可得， 即， 又弦被点平分， 则，代入上式可得， 则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D. 2．已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法，求，即可求双曲线的渐近线方程. 【详解】设，， 则，两式相减得， ，即，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C 3．斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法来求得正确答案. 【详解】设， 则， 两式相减并化简得， （负根舍去）. 故选：B 4．设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，利用中点弦问题求出直线斜率，并求出该直线方程，再与双曲线方程联立求出弦长. 【详解】设双曲线上的点，线段的中点为，则， 则，且， 两式相减，得，即， 则直线斜率，直线的方程为：， 由，消去，得，解得， . 故选：B 5．若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解． 【详解】 不存在以点为中点的弦，必须同时满足以下两个条件： 点在双曲线外部或其上（若点在双曲线内部，则过该点的弦必然存在）， 因此，解得； 设过点的弦的斜率为， 设弦与双曲线交于点，， 则，， 由点，在双曲线上，得， 两式作差得， 所以， 直线与双曲线有两个不同交点的充要条件是， 因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点， 则，也即， 所以，则． 6．已知直线l过双曲线C：的左焦点F，与C的左、右两支分别交于A、B两点，且P为线段中点，设O为坐标原点，若是以为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的方程求得左焦点，设，利用点差法，求得点的坐标满足；由是以为底边的等腰三角形，得，得到点的坐标满足，两式联立，求出中点坐标.由，即可求出直线的斜率. 【详解】由题可知，，则，则得. 设直线的方程为，依题意设， 则，， 由，两式相减整理得， 化简得，即（*）. 依题意，，即得（**）， 代入（*），可得，化简得. 解得（舍去），或，将其代入（**），解得. 所以. 故选：C. 7．（多选）设为双曲线上两点，下列四个点中，可以作为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设两点坐标，利用点差法获得直线的斜率与线段的中点横纵坐标间的关系，逐项判断即可. 【详解】设，记AB的中点为. 则，两式相减得，. 当直线的斜率不存在时，，线段中点在轴上，没有符合的选项； 当直线的斜率为零时，，线段中点在轴上，没有符合的选项； 当直线的斜率存在且不为零，即时，设斜率为. 所以，即，即. 对于A，若作为线段中点，则， 直线的方程为，即， 由，得. 因为， 所以方程组有两个解，直线与双曲线有两个交点， 即可以作为线段中点，所以A正确； 对于B，若作为线段中点，则， 直线的方程为，即， 由，得. 因为，所以方程组无解，直线与双曲线没有交点， 即不可以作为线段中点，所以B不正确； 对于C，若作为线段中点，则， 直线的方程为，即， 恰为双曲线的一条渐近线，所以与双曲线无交点， 即不可以作为线段中点，所以C不正确； 对于D，若作为线段中点，则， 直线的方程为，即， 由，得， 因为， 所以方程组有两个解，直线与双曲线有两个交点， 即可以作为线段中点，所以D正确. 故选：AD. 8．（多选）已知双曲线，其左、右焦点分别为，过的直线与双曲线右支交于P，Q两点，下列说法正确的是（   ） A．双曲线的离心率为2 B．存在点P，使的面积为6 C．点M为线段的中点，若，则 D．不存在过点的直线与双曲线交于A，B两点，使得点N为弦AB的中点 【答案】ABD 【分析】根据题意，求得，由离心率的定义，可判定A正确；由，令，求得，可判定B正确；根据，求得，利用双曲线的定义，求得的值，可判定C错误；结合“点差法”求得直线的方程为，联立方程组，由，可判定D正确. 【详解】由双曲线，可得，则，可得， 对于A，由，所以双曲线的离心率为，所以A正确； 对于B，由，则的面积为， 令，可得，即，所以，代入双曲线方程，可得， 所以双曲线上存在四个点，使得的面积为，所以B正确； 对于C，在中，为的中点，为的中点，所以， 因为，所以， 又由双曲线的定义，可得，可得， 解得或（舍去），因为，所以C错误； 对于D，假设存在过点的直线，使得点为弦的中点， 设，可得 又由 ，两式相减得， 即，即， 可得，即的斜率为，所以直线的方程为， 联立方程组，整理得，此时， 所以直线与双曲线没有公共点， 所以不存在过点的直线，使得点为弦的中点，所以D正确. 故选：ABD. 9．（多选）已知双曲线，则（　　） A．双曲线的实轴长为4 B．双曲线的焦点到渐近线的距离为1 C．若直线与没有公共点，则 D．存在过点的直线与相交于，且点为的中点 【答案】ABC 【分析】A由实轴的定义计算；B利用点到直线的距离公式计算；C联立方程组根据判断；D设直线方程，根据韦达定理计算. 【详解】由题意可知，，则， 则实轴长为，故A正确； 渐近线方程为，焦点为， 则焦点到渐近线的距离为， 由对称性可得双曲线的焦点到渐近线的距离为1，故B正确； 联立得， 因直线与没有公共点，则， 得，故C正确； 若存在过点的直线与相交于，且为的中点， 则该直线的斜率必然存在，故设直线方程为， 联立，得， 则由韦达定理可得，且，此方程无解， 故不存在过点的直线与相交于，且点为的中点，故D错误. 故选：ABC 题型四 双曲线的参数范围及最值 1．为双曲线上一点，，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】设点是双曲线上任意一点，得到，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设点是双曲线上任意一点，则，即， 则， 因为或，所以，当时，可得， 所以的最小值为. 故选：D. 2．已知是双曲线上不同的两点，其中B在E的右支上．直线l是E的斜率为正的渐近线，P是l上一点．已知，若轴，则的最小值为（   ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】由题意可取，则得B关于l的对称点，利用，可求最小值. 【详解】因为P是l上一点，若轴，注意到当右焦点三点共线时恰为2， 不妨设A在第一象限，则，直线， 取关于的对称点，则， 即的最小值为． 故选：D． 3．已知双曲线的左焦点为，左顶点为，为左准线上动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理表达出，结合不等式即可求解最值. 【详解】由题意可知： ，左准线方程为 ， 故设，则, 当在轴上，此时为0，时当不在轴时， 在中，由余弦定理得 ，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，由于,故最大为， 故选：B 4．在平面直角坐标系xOy中，M为双曲线右支上的一个动点，若点M到直线的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．2 【答案】B 【分析】先求出渐近线方程，利用平行线直接的距离公式即可求解. 【详解】由点M到直线的距离大于m恒成立，可得点M到直线的最近距离大于m.因为双曲线的渐近线为，则与的距离即为最近距离，则，即. 故选：B 5．已知双曲线 的一条渐近线方程为，双曲线的左焦点在直线 上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上异于B 点且位于第一象限的动点，直线 PA，PB的斜率分别为 则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据渐近线和焦点得到，计算得到，再根据对勾函数性质计算得到答案. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为，则， 双曲线的左焦点坐标为，且该点在直线上， 代入可得，解得，且， 故，所以，设， 则， 为双曲线右支上位于第一象限的动点，故，且， 当单调递减，故,即. 故选：C 6．已知为双曲线上经过原点的一动弦，为圆上一动点，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】根据题设画出双曲线和圆，数形结合得，并确定，，即可得最大值. 【详解】如下图示，，，， 所以，    由图知：，且可以同时取到， 所以的最大值为. 故选：D 7．已知双曲线和直线，是双曲线的左，右顶点，是双曲线上异于两点的任意一点，直线分别交直线于两点，设的外接圆面积分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的标准方程可知，设直线斜率为，用表示，因为的外接圆半径之比为，，结合不等式求最小值. 【详解】如图： 因为为双曲线上异于的两点， 所以，即. 根据双曲线的对称性，不妨设在第一象限，设直线：，() 令 ，得. 用代替，得直线：，令得， 所以. 设，的外接圆半径分别为，，则，， 所以 ，当且仅当 此时两个三角形外接圆得面积比：. 故选：B 8．（多选）已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C左支上任意一点，F是左焦点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值是 B．点F到C的一条渐近线的距离为2 C．若直线与双曲线C有交点，则 D．当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为 【答案】BD 【分析】由双曲线，求得，根据选项，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】解：由双曲线，可得，则， 对于A中，设点的坐标为， 其中，则， 所以， 根据二次函数的性质得，当时，，所以A不正确； 对于B中，由双曲线的其中一条渐近线方程为，即， 则焦点到的距离为，所以B正确； 对于C中，由双曲线的近线方程为， 要使得直线与双曲线C有交点，则，所以C不正确； 对于D中，设点的坐标为，则，可得， 又由，则， 所以D正确. 故选：BD. 9．（多选）记双曲线的左、右焦点分别为，右顶点为，以为圆心，为半径的圆与的右支交于两点，则下列说法正确的是（   ） A．若原点在圆上，则 B．若原点在圆上，则 C．若的左顶点在圆上，则 D．若的左顶点在圆上，则 【答案】ABD 【分析】对于A，可求出双曲线方程和圆的方程，判断出大小后再判断的大小，结合角的关系可判断正误，对于B，求出交点坐标后可判断其正误，对于C，D，也可先求出双曲线方程和圆的方程，求出交点坐标再计算长度和角的余弦值后可判断它们的正误. 【详解】 对于A，记的半焦距为，若原点在圆上，则， 由对称性，不妨设在第一象限，在第四象限，则， 而， 同理，而， 所以，而，所以， 于是，而， 于是，可得，故A正确； 对于B，此时圆，而， 联立得可得， 由，得， 而，故，故B正确； 对于C、D， ， 圆，联立得 消元后可得， 可得 ，所以， 又，所以由余弦定理得 ，故C错误，D正确． 10．（多选）已知双曲线经过点，且右焦点为，的虚轴为线段，为上任意一点，平面内一动点满足，则（    ） A．的渐近线方程为 B．动点的轨迹与无公共点 C．的最大值为6 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】求出双曲线方程及其渐近线方程判断A；求出点的轨迹方程，与双曲线方程联立由解的情况判断B；利用圆的性质，结合两点间距离公式求解判断CD. 【详解】设双曲线半焦距为，则，由双曲线经过点，得， 而，解得，因此双曲线的方程为， 对于A，双曲线的渐近线方程为，即，A正确； 对于B，由对称性不妨令，设，由， 得，整理得， 点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，由， 消去得，，因此动点的轨迹与无公共点，B正确； 对于C，点到圆心的距离，因此的最大值为，C错误； 对于D，设双曲线上任一点，则，到圆心的距离为： ， 当且仅当时取等号，因此的最小值为，D正确. 故选：ABD 课时精练 一、单选题 1．已知直线l： 和双曲线C：，若l与C的上支交于不同的两点，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据l与C的上支交于不同的两点，联立两个方程，根据判别式和韦达定理列不等式，即可求出t的取值范围 【详解】解：由题意 在直线l：和双曲线C：中， 若l与C的上支交于不同的两点 ∴即 ∴解得： ∴t的取值范围为 故选：D. 2．已知双曲线的离心率为且过点，直线与C的右支有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与双曲线方程，根据双曲线与双曲线右支有两个不同的交点，利用韦达定理列出不等式进行求解. 【详解】离心率为的双曲线是等轴双曲线， 所以可设双曲线的方程是， 将点的坐标代入得， 所以的方程是， 将代入上式并消去整理得 ， 则解得或. 故选:A. 3．已知双曲线的一条渐近线方程是分别为双曲线的左、右焦点，过点且垂直于轴的垂线在轴上方交双曲线于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的渐近线方程可得，再根据及M点坐标即可求出答案. 【详解】解：由题意得： 因为该双曲线的一条渐近线方程是，则， 又由，可得， 由过点且垂直于轴的垂线在轴上方交双曲线于点，可知M的横坐标为， 代入双曲线方程即可得：，， 又有，可知， 所以. 故选：D 4．已知双曲线的左，右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】联立方程求出点，写出向量坐标，结合数量积的坐标运算可得答案. 【详解】由题意， 联立，可得或， 因为点是直线与双曲线的右支交点，所以. ， 所以. 故选：C 5．直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点差法求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可. 【详解】设，， 因为线段的中点为，所以，， 所以，两式相减可得：， 即， 所以，即， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为：， 化简为：，经检验符合题意. 故选：A. 6．已知是双曲线的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求出两点坐标，得，焦点到渐近线的距离求出，由求出的值，再由求出的值，可求双曲线的离心率. 【详解】设，则， 过作与轴垂直的直线与双曲线交于两点，不妨设在第一象限，    由解得，所以． 由双曲线可得渐近线为， 由对称性可知，到任一渐近线的距离均相等，不妨求到渐近线的距离， 所以． 因为，所以，解得． 由，则，得，所以离心率为． 故选：． 7．过椭圆右焦点F的圆与圆外切，该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点，则长度最小值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】首先根据题意得到的轨迹为：以为焦点，的双曲线的右支，从而得到曲线 .再根据双曲线的性质求长度最小值即可. 【点睛】椭圆，，所以. 设以为直径的圆圆心为，如图所示： 因为圆与圆外切，所以， 因为，， 所以， 所以的轨迹为：以为焦点，的双曲线的右支. 即，曲线 . 所以为曲线上的一动点，则长度最小值为. 故选：C 8．如图，已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上，直线与轴交于点，点为双曲线左支上一动点，且，过作，垂足为，则的最大值为（    ）    A．40 B．50 C．55 D．60 【答案】A 【分析】由已知可得，将点代入双曲线方程得，进而可求，直线的方程为 .令，得， .连接，.由可得，所以 .又因为点为双曲线左支上一点，且，可知当时，取得最小值，即可求解的最大值. 【详解】由已知可得，将点代入双曲线方程得，解得， 所以，所以，直线的方程为 . 令，解得，所以，所以，所以. 连接，.因为，所以， 所以 . （另解  也可用极化恒等式来化简， ）. 又因为点为双曲线左支上一点，且，所以当时，取得最小值，所以的最大值为40. 故选：A. 二、多选题 9．（多选）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，其焦距为4，渐近线方程为，点在上，则（   ） A．的离心率为 B． C．与有交点 D．与无交点 【答案】ABD 【分析】对于A，由题可得，据此可判断选项正误；对于B，由A选项可得，然后由双曲线定义可判断选项正误；对于C，将与双曲线方程联立可判断选项正误；对于D，将与联立可判断选项正误． 【详解】对于A，记的半焦距为，则离心率，故A正确； 对于B，，，，，故B正确； 对于C，，：，代入得，无解，故C错误； 对于D，由，即，与联立，得，这与矛盾，即两曲线无交点，故D正确. 故选：ABD. 10．（多选）如图，是坐标原点，是双曲线右支上的一点，是双曲线的右焦点，延长，，分别交双曲线于，两点，已知，且，则（    ） A． B． C．双曲线的离心率为 D．双曲线的离心率为 【答案】AC 【分析】首先取双曲线的左焦点，连接，，，设，结合几何性质，以及双曲线的定义，求得，并结合比例关系，判断面积比值，即可判断选项AB；再在中结合勾股定理求双曲线的离心率，即可判断选项CD. 【详解】如图，设双曲线的左焦点为，连接，，． 由对称性和可知，四边形是矩形，则，． 设，则，，，． 在中，，解得或（舍去）， 所以，． 在中，，整理得， 故离心率为，故C正确，D不正确． 因为，，是的中点， 所以，，故A正确，B不正确． 故选：AC． 11．（多选）平面上，若一个动点到定点的距离与点到直线的距离之比为，则（    ） A．动点的轨迹方程为 B．若过点的直线与动点的轨迹只有一个交点，则直线的斜率范围为 C．若圆，则圆上的点与动点的距离最小值为 D．若点在动点的轨迹上，为线段的中点，则线段所在直线的方程为 【答案】AD 【分析】根据题意列出方程化简可判断A，由双曲线的性质可判断B，根据圆的几何性质转化为两点间的距离，利用二次函数求最值判断C，根据点差法求弦所在直线方程判断D. 【详解】对于，整理得到动点的轨迹方程为，故A正确； 对于B，若过点的直线与动点的轨迹只有一个交点，则直线与双曲线渐近线平行，故直线的斜率为，故B错误； 对于C，圆上的点与动点的距离最小值为圆心到双曲线上动点的距离最小值减去半径，即，当时，圆上的点与动点的距离最小值为，故C错误； 对于D，设在动点的轨迹上的两点，则，两式作差得，整理得，又因为线段的中点，所以，，所以线段所在直线的斜率为2，所以线段所在直线的方程为，即，故D正确. 故选：AD 三、填空题 12．设双曲线C：，若直线与双曲线C无公共点，则b的一个取值为______． 【答案】1（只要满足即可，答案不唯一） 【分析】根据题意可知，只需比较直线的斜率与渐近线的斜率即可. 【详解】双曲线C：的一条渐近线的斜率为， 若直线与双曲线C无公共点，只需. 故b的一个取值可以为，（只要满足即可，答案不唯一）. 13．设双曲线的动弦所在直线的斜率为中点为，则______． 【答案】 【分析】设，证明即可求解. 【详解】设， 已知，则， 两式相减得， 故，即， 即． 故答案为：. 14．已知点为双曲线上位于第二象限内的动点，是该双曲线的右顶点，，则面积的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据条件，找到临界值，即可求解. 【详解】由条件可知，，，即， 双曲线的过第二象限的渐近线的斜率，渐近线方程为，即， 此时渐近线与直线的距离， ，渐近线上的点与点、构成的三角形的面积为， 左顶点到直线的距离， 左顶点与点构成的三角形的面积为， 点是第二象限的点，所以面积的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 15．已知双曲线． (1)设点为左焦点，为双曲线右支上任一点，写出点坐标与直线斜率的取值范围； (2)过点作的切线， ①若切线斜率为，求实数与实数满足的关系式； ②若可以作两条这样的切线、，它们的斜率分别为、．若，求实数的取值范围及的取值范围． 【答案】(1)， (2)① ； ② 的取值范围；的取值范围 【分析】（1）根据的关系可求点的坐标，根据渐近线的性质可求出斜率的取值范围； （2）①根据直线与双曲线的位置关系即可求解； ②首先根据存在两条切线可求出的范围，然后根据韦达定理可得，最后根据的范围结合反比例函数的性质即可求出的范围. 【详解】（1）对于双曲线，可得， 则，即，因此左焦点， 双曲线渐近线斜率为，在右支上，当趋向无穷远时，直线斜率趋近，且永远取不到， 因此的取值范围是. （2）① 设切线方程为，即，代入双曲线方程， 整理得： ， 因为是切线，判别式，化简整理得： . ②存在两条斜率存在的切线，说明上述关于的方程有两个不相等的实根， 因此： ， 结合，解得或 ， 所以 的取值范围为 由韦达定理，， 当时，，得； 当时，，得， 因此的取值范围为. 16．已知双曲线（，）的右焦点为，一条渐近线的方程为. (1)求的方程. (2)过直线上一点作直线，与交于，两点. （i）证明：当时，必与原点重合； （ii）求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）1 【分析】（1）根据，，结合，可求的值，进而得到双曲线的标准方程. （2）（i）方法一：设，直线，将直线的方程与双曲线方程联立，根据为中点，可求的值. 方法二：涉及中点弦的问题，可用“点差法”证明. （ii）分直线斜率不存在和存在两种情况讨论.当直线斜率存在时，将直线的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理和弦长公式，表示出，结合二次函数的性质，求最小值即可. 【详解】（1）设E的半焦距为.由题知，， ，， ，， 的方程为. （2）（i）方法一：设，易知直线l的斜率一定存在，设.    由，得， 设，，则. ，，整理得， ，，，即点P与原点重合. 方法二：设，，. 由，，作差可得. ，，，， 又，. 由题意知，直线l的斜率一定存在，且斜率不能等于，即， ，，即点P与原点重合. （ii）设. 当l与x轴垂直时，，设点，则， ， 又点A在E上，，即，. 当的斜率存在时，由得， 设，，则， ，当时，等号成立. 综上，的最小值为1. 17．已知双曲线C：的焦距为8，点在双曲线C的一条渐近线上.过双曲线C的左焦点F作直线l交双曲线C的左支于A，B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点，直线交直线于点Q，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知条件，列方程求出，可得双曲线标准方程； （2）设直线的方程与双曲线联立方程组，设两点坐标，表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值. 【详解】（1）由题意知，则，所以， 因为点在双曲线的一条渐近线上， 所以点在双曲线的渐近线上，所以， 综上可得， 故双曲线的方程为. （2）由（1）知双曲线的左焦点为， 由题意设直线的方程为， 由直线，得， 设，则，又， 所以 ， 由，得，其中， 则，，，所以. 因为，所以， 所以 . 即为定值. 18．已知双曲线：（，）上有两点，. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点（异于点），证明：直线与的斜率之积为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由点，在双曲线上，列出方程组，联立求解，即可得到双曲线的方程； （2）设直线的方程为，与双曲线联立，结合韦达定理，代入直线与的斜率之积，化简即可证明. 【详解】（1）由题意，因为点，在双曲线：（，）上， 所以，解得， 故的方程为. （2）证明：由题意，易知的斜率不为0， 设的方程为，，， 与双曲线联立，即，化简可得， 则，，. 故直线与的斜率之积为 . 即直线与的斜率之积为定值. 19．已知双曲线的右焦点为为的两条渐近线，且的斜率为． (1)求的方程； (2)若点为上的动点，过点的直线与只有1个公共点，且与，分别交于点，． （i）求证：点为线段的中点； （ii）已知为坐标原点，的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析;（ii）是定值，定值为 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）（i）设出点的坐标及直线的方程，与双曲线的方程联立，利用根的判别式及韦达定理推理得证；（ii）由（i）求出及原点到直线的距离，进而求出三角形面积. 【详解】（1）由双曲线的右焦点为，得， 直线的方程为，由的斜率为，得，解得， 所以的方程为. （2）（i）设，由（1）知，即， 设，显然直线不垂直于轴，设其方程为， 由消去得， 由直线与只有1个公共点，得， 整理得，直线的方程为，即， 直线的方程分别为，由，得点， 同理，而， ，所以点为的中点. （ii）由（i）知，原点到直线的距离， 因此的面积， 所以的面积为定值. 试卷第1页，共3页 ( 28 / 42 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2 直线与双曲线的位置关系 【基础回顾】 1 题型一 直线与双曲线的位置关系 2 题型二 直线与双曲线相交的弦长面积问题 4 题型三 双曲线的中点弦与点差法 5 题型四 双曲线的参数范围及最值 6 课时精练 8 【基础回顾】 知识点 1: 直线与双曲线位置关系的判断 将双曲线方程 与直线方程 联立消去 得到关于 的一元二次方程： （1）当 ，即 时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线 与双曲线只有一个交点； （ 2 ）当 ，即 时，设该一元二次方程的判别式为 ， 若 ，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若 ，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若 ，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切。 知识点 2: 弦长公式 若直线 与双曲线 交 两点，则 或 知识点 3: 双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段, 称为双曲线的通径. 通径长为 . 注意： 若焦点弦与双曲线的交点在同一支上，则最短弦长是通径长 ; 若焦点弦与双曲线的交点在两支上，则最短弦长是 . 知识点 4: 中点弦与点差法 点差法： 利用交点在曲线上， 坐标满足方程， 将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下： 直线 （不平行于 轴） 过双曲线 上两点 ，其中 中点为 ，则有 . 证明： 设 ，则有 , 上式减下式得 , , . 特殊的: 直线 (存在斜率) 过双曲线 上两点 ，线段 中点为 ，则有 . 题型一 直线与双曲线的位置关系 1: 求直线与双曲线的位置关系 2: 由直线与双曲线的位置求参数 [课时精练】 1．直线与双曲线交点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．与双曲线有两个交点的直线方程是（   ） A． B． C． D． 3．若直线与双曲线有且只有一个公共点，那么双曲线的离心率为（   ） A． B．或 C．或 D． 4．已知直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，则（   ） A． B． C．2 D．4 5．过点作斜率为的直线与双曲线的右支相交于不同两点，则的值可以是（   ） A． B． C． D．2 6．已知为双曲线：的左焦点，直线过点与的右支有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知双曲线，直线，若直线l与双曲线C有且仅有一个公共点，则a的取值有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．（多选）已知双曲线，过点的直线与.交于两点，则（    ） A．的实轴长为2 B．的离心率为2 C．点到的两条渐近线的距离之积为3 D．点可能是线段的中点 9．（多选）已知双曲线的左､右焦点分别为，过且斜率为的直线与的右支交于点，则（    ） A．的离心率为 B． C．的最小值为-9 D．若以实轴为直径的圆与相切，则 10．（多选）已知双曲线1的左顶点为，右焦点为，过点且斜率为的直线与双曲线的右支交于点，与直线交于点，下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率为2 B． C．若，则 D．若是线段的中点，则 题型二 直线与双曲线相交的弦长面积问题 1．已知双曲线，右焦点为，直线经过且与轴垂直．若与的两条渐近线分别交于，两点，则的面积为（   ） A．2 B． C．4 D． 2．在双曲线的两支上各取一点，则的最小值为（    ） A．6 B．9 C．14 D．18 3．已知双曲线的左､右焦点为，虚轴的上､下端点为，则四边形的面积为（    ） A．24 B．12 C．8 D．4 4．已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点，且，这样的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 6．已知为双曲线的左焦点，直线过点与双曲线交于两点，且最小值为，则双曲线离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于两点，分别过点作的垂线，垂足为.若四边形的面积为，则的实轴长为（    ） A．2 B．4 C． D． 8．（多选）已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线上一点，若，，，中有且仅有个点在双曲线上，则（    ） A．双曲线的渐近线斜率为 B． C．的面积为 D．的最小值为 9．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为上一动点，过点作直线交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．的离心率为 B．的最小值为2 C．若，则的面积为6 D．若，则的倾斜角为或 10．（多选）已知点，动点满足：，记点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（　　） A．曲线的方程为 B．曲线与直线没有公共点 C．点到点距离的最小值为 D．过点且倾斜角为的直线与交于两点，则的周长为 题型三 双曲线的中点弦与点差法 1．若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（   ） A． B． C． D． 4．设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 5．若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知直线l过双曲线C：的左焦点F，与C的左、右两支分别交于A、B两点，且P为线段中点，设O为坐标原点，若是以为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）设为双曲线上两点，下列四个点中，可以作为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知双曲线，其左、右焦点分别为，过的直线与双曲线右支交于P，Q两点，下列说法正确的是（   ） A．双曲线的离心率为2 B．存在点P，使的面积为6 C．点M为线段的中点，若，则 D．不存在过点的直线与双曲线交于A，B两点，使得点N为弦AB的中点 9．（多选）已知双曲线，则（　　） A．双曲线的实轴长为4 B．双曲线的焦点到渐近线的距离为1 C．若直线与没有公共点，则 D．存在过点的直线与相交于，且点为的中点 题型四 双曲线的参数范围及最值 1．为双曲线上一点，，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 2．已知是双曲线上不同的两点，其中B在E的右支上．直线l是E的斜率为正的渐近线，P是l上一点．已知，若轴，则的最小值为（   ） A． B． C．6 D． 3．已知双曲线的左焦点为，左顶点为，为左准线上动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系xOy中，M为双曲线右支上的一个动点，若点M到直线的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．2 5．已知双曲线 的一条渐近线方程为，双曲线的左焦点在直线 上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上异于B 点且位于第一象限的动点，直线 PA，PB的斜率分别为 则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知为双曲线上经过原点的一动弦，为圆上一动点，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 7．已知双曲线和直线，是双曲线的左，右顶点，是双曲线上异于两点的任意一点，直线分别交直线于两点，设的外接圆面积分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C左支上任意一点，F是左焦点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值是 B．点F到C的一条渐近线的距离为2 C．若直线与双曲线C有交点，则 D．当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为 9．（多选）记双曲线的左、右焦点分别为，右顶点为，以为圆心，为半径的圆与的右支交于两点，则下列说法正确的是（   ） A．若原点在圆上，则 B．若原点在圆上，则 C．若的左顶点在圆上，则 D．若的左顶点在圆上，则 10．（多选）已知双曲线经过点，且右焦点为，的虚轴为线段，为上任意一点，平面内一动点满足，则（    ） A．的渐近线方程为 B．动点的轨迹与无公共点 C．的最大值为6 D．的最小值为 课时精练 一、单选题 1．已知直线l： 和双曲线C：，若l与C的上支交于不同的两点，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的离心率为且过点，直线与C的右支有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的一条渐近线方程是分别为双曲线的左、右焦点，过点且垂直于轴的垂线在轴上方交双曲线于点，则（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的左，右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点，则（    ） A．1 B．0 C． D． 5．直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知是双曲线的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 7．过椭圆右焦点F的圆与圆外切，该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点，则长度最小值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 8．如图，已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上，直线与轴交于点，点为双曲线左支上一动点，且，过作，垂足为，则的最大值为（    ）    A．40 B．50 C．55 D．60 二、多选题 9．（多选）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，其焦距为4，渐近线方程为，点在上，则（   ） A．的离心率为 B． C．与有交点 D．与无交点 10．（多选）如图，是坐标原点，是双曲线右支上的一点，是双曲线的右焦点，延长，，分别交双曲线于，两点，已知，且，则（    ） A． B． C．双曲线的离心率为 D．双曲线的离心率为 11．（多选）平面上，若一个动点到定点的距离与点到直线的距离之比为，则（    ） A．动点的轨迹方程为 B．若过点的直线与动点的轨迹只有一个交点，则直线的斜率范围为 C．若圆，则圆上的点与动点的距离最小值为 D．若点在动点的轨迹上，为线段的中点，则线段所在直线的方程为 三、填空题 12．设双曲线C：，若直线与双曲线C无公共点，则b的一个取值为______． 13．设双曲线的动弦所在直线的斜率为中点为，则______． 14．已知点为双曲线上位于第二象限内的动点，是该双曲线的右顶点，，则面积的取值范围为___________． 四、解答题 15．已知双曲线． (1)设点为左焦点，为双曲线右支上任一点，写出点坐标与直线斜率的取值范围； (2)过点作的切线， ①若切线斜率为，求实数与实数满足的关系式； ②若可以作两条这样的切线、，它们的斜率分别为、．若，求实数的取值范围及的取值范围． 16．已知双曲线（，）的右焦点为，一条渐近线的方程为. (1)求的方程. (2)过直线上一点作直线，与交于，两点. （i）证明：当时，必与原点重合； （ii）求的最小值. 17．已知双曲线C：的焦距为8，点在双曲线C的一条渐近线上.过双曲线C的左焦点F作直线l交双曲线C的左支于A，B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点，直线交直线于点Q，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 18．已知双曲线：（，）上有两点，. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点（异于点），证明：直线与的斜率之积为定值. 19．已知双曲线的右焦点为为的两条渐近线，且的斜率为． (1)求的方程； (2)若点为上的动点，过点的直线与只有1个公共点，且与，分别交于点，． （i）求证：点为线段的中点； （ii）已知为坐标原点，的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． 试卷第1页，共3页 ( 8 / 10 ) 学科网（北京）股份有限公司 $