2.3-2.4直线与圆、圆与圆的位置关系 讲义-2026-2027学年高二上学期 数学 北师大版 选择性必修第一册

2.3-2.4 直线与圆、圆与圆的位置关系BS 目录 考点一 直线与圆的位置的关系 2 考点二 与切线相关 6 考点三 与弦长相关 10 考点四 圆与圆的位置关系 14 考点一 判断直线与圆的位置关系 【例1】若直线与圆相切，则( ) A． B． C． D． 【例2】已知直线，圆，其中若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（      ）. A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【例3】圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．9 【例4】已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 典例： 1．已知直线，圆，当圆心到直线的距离最小时，圆的周长为（    ） A． B． C． D． 2．已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为 A． B． C． D． 4．已知点，若直线上存在点M，使则实数k的取值范围是______. 5．若曲线：与曲线：有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 A．(，) B．(，0)∪(0，) C．[，] D．(，)∪(，+) 变式训练： 1．直线与圆x2+y2＝1的位置关系为( ) A．相切 B．相离 C．直线过圆心 D．相交但直线不过圆心 2．若直线与圆相切，则直线l与圆的位置关系是( ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 3．若直线与圆相切，则( ) A．1 B． C．或3 D．或1 4.已知圆，直线与圆恰有一个公共点，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 5．直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 6． “点在圆内”是“直线与圆相离”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7.若圆上恰有三点到直线的距离为2，则的值为（　　） A． B． C． D．2 8．(多选)由点发出的光线射到轴上，被轴反射，若反射光线所在直线与圆相切，则光线所在的直线方程为( ) A． B． C． D． 9.（多选）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．圆与轴相切 C．若与圆有交点，则的最大值为0 D．若平分圆的周长，则 10.已知是圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 11.若直线与曲线相交，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12、 考点二 与切线相关 【例1】过点作圆的切线，则切线方程为（  ） A． B． C． D．或 【例2】过点作圆的切线，则切线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【例3】已知直线是圆的一条对称轴，过点向圆作切线，切点为，则（  ） A． B． C． D． 【例4】 已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 典例： 1．过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　　) A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0 2．过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（多选）由点发出的光线射到轴上，被轴反射，若反射光线所在直线与圆相切，则光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2023 新高考一卷）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 5．已知直线：上存在点A，使得过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N，且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知圆，过圆上一点P作圆O的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 7．过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 变式训练： 1．过点作圆的切线，则切线的方程为（  ） A． B． C． D． 2. 已知直线经过点，且与圆相切，则的方程为（   ） A． B． C． D． 3.过圆C：上的点作圆C切线l，则l的倾斜角为 . 4．已知圆和点，则过点的圆的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 5．（多选）下列直线中，与圆相切的有（    ） A． B． C． D． 6．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．已知圆心为的圆与直线相切，则该圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 8．过点引圆切线，则切线长是 . 9．直线平分圆的周长，过点作圆的一条切线，切点为，则（  ） A．5 B． C．3 D． 10．经过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（  ） A．2 B． C．1 D． 11、过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m间的距离为(　　) A．4 B．2 C． D． 12.设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 ． 13.已知圆：，直线上点，过点作圆的两条切线，（其中，为切点），则四边形面积的最小值为 . 14．已知圆：，为直线：上的一点，过点作圆的切线，切点分别为，，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 15．已知平面上有两点，和直线. (1)求过点的圆的切线的方程； (2)动点在直线上运动，求的最小值. 16．已知圆：，直线：与轴交于点，过上一点作圆C的切线，切点为，若，则实数的取值范围是______________． 考点三 与弦长相关 【例1】直线被圆截得的弦长为( ) A．1 B． C． D． 【例2】已知圆，过点的直线交圆于，两点，且，则直线的方程为 . 【例3】当圆截直线所得的弦长最短时，实数（    ） A． B． C． D．1 例4、已知P（1，2）点为圆（x+1）2+y2=9的弦AB的中点，则直线AB的方程为 A．x–y–3=0 B．x+y+3=0 C．x+y–3=0 D．x–y+3=0 典例： 1．（2025 天津高考），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 2．已知点M为圆与y轴负半轴的交点，直线与圆O交于A，B两点，则面积的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D． 3．已知点，过点引直线l与曲线相交于A，B两点，当的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（   ） A． B． C． D． 4．（2024年甲卷）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．（多选）已知直线与圆交于点，点中点为，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为4 C．为定值 D．存在定点，使得为定值 6．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．若实数满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D．1 变式训练： 1.已知圆过两点，且圆心在直线上。 （1）求圆的方程； （2）试判断直线：与圆是否相交，如果相交，求直线被圆截得的弦长。 2．直线l：截圆所得的弦长等于（      ） A． B． C． D． 3．斜率为1的直线l被圆x2+y2＝4x截得的弦长为4，则l的方程为( ) A．y＝x﹣3 B．y＝x+3 C．y＝x﹣2 D．y＝x+2 4.若圆心坐标为的圆被直线截得的弦长为，则这个圆的方程是( ) A． B． C． D． 5.圆心为的圆，在直线x﹣y﹣1＝0上截得的弦长为，那么，这个圆的方程为( ) A． B． C． D． 6.若圆C的圆心为，且被x轴截得弦长为4，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 7、已知直线与圆交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 8．已知圆，直线，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为( ) A．2 B．4 C．6 D．8 9、已知圆，在所有过点的弦中，最短的弦的长度为( ) A． B． C． D． 10．已知圆：，则过点的最短弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 11.已知直线与圆交于两点，则线段的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．点在圆：上，，，则最小时，（    ） A． B． C． D． 13．（多选）已知直线过定点，且与圆相交于两点，则（    ） A．点的坐标为 B．的最小值是 C．的最大值是0 D． 考点四 圆与圆的位置关系 【例1】已知圆与圆，则两圆的位置关系为( ) A．内切 B．外切 C．相交 D．外离 【例2】已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于 【例3】圆与圆的公共弦长为( ) A． B． C． D． 【例4】两圆与的公切线条数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 典例： 1．已知两圆和恰有三条公切线，若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为 A．7 B．6 C．5 D．4 3．已知点，若圆上存在点，使得为坐标原点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为 若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 5．若圆与圆（）的公共弦的长为，则______. 6．（2023年新高考一卷）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 7．已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 8．圆心在直线上，且过两圆，交点的圆的标准方程为_____________. 变式训练： 1．圆x2+y2-2x-3=0与圆x2+y2-4x+2y+3=0的位置关系是(　　) A．相离 B．内含 C．相切 D．相交 2．圆与圆的位置关系为( ) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 3．两圆外切，则正实数r的值是（    ） A． B． C． D．5 4.已知圆，圆，则圆的位置关系为（    ） A．内含 B．外切 C．相交 D．外离 5.若圆与圆外切，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6.已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 7.（多选）已知圆，圆，则下列结论正确的是（    ） A．若和外离，则或 B．若和外切，则 C．当时，有且仅有一条直线与和均相切 D．当时，和内含 8、圆与圆外切，则实数 . 9．若圆与圆外切，则( ) A．9 B．19 C．21 D．﹣11 10．圆与圆的公共弦所在的方程为( ) A．x+2y=0 B．x－2y=0 C．y－2x=0 D．y+2x=0 11．已知圆与圆，求两圆的公共弦所在的直线方程（    ） A． B． C． D． 12．圆与圆的公共弦长为________． 13. ⊙C1：(x－1)2＋y2＝4与⊙C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9相交弦所在直线为l，则l被⊙O：x2＋y2＝4截得弦长为( ) A． B．4 C． D． 14．已知圆的半径为3，圆的半径为7，若两圆相交，则两圆的圆心距可能是（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 15、（多选）已知圆O1的方程为x2＋y2＝1，圆O2的方程为(x＋a)2＋y2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的取值可以是（    ） A．－1 B．－3 C．1 D．3 16.（多选）点在圆：上，点在圆：上，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为 17.（多选）已知，则下述正确的是（    ） A．圆C的半径 B．点在圆C的内部 C．圆C与圆 的公共弦所在直线方程为 D．圆与圆C相交 18.（多选）已知圆与圆相交于两点．若，则实数的值可以是（    ） A．10 B．2 C． D． 19．（多选）已知圆和圆，则（    ） A．两圆的公共弦所在的直线方程为 B．圆上到直线的距离为1的点恰有2个 C．圆的内部与圆的内部的公共部分的周长为 D．若点在圆上，点在圆上，则的最大值为6 20、两圆与的公切线条数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 21．已知圆 圆则两圆的公切线条数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 22．已知两圆，，当圆与圆有且仅有两条公切线时，则的取值范围 . 23．若圆与圆恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点的是（    ） A． B． C． D． 24．已知圆和，则圆与圆的所有公切线中斜率的最大值为 . 25．已知圆与圆有3条公切线，则的最大值为 . 26．已知圆C的圆心为，且与直线相切． (1)求圆C的方程；(2)求圆C与圆的公共弦的长． 27．已知，，圆上存在点P，使得，则a的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 28.已知圆C：与曲线有交点，则a的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 29．若圆与圆外切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的切线与圆相切于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 31.（多选）已知圆，圆，则下列选项正确的是（    ） A．直线的方程为 B．圆和圆共有4条公切线 C．若P，Q分别是圆和圆上的动点，则的最大值为10 D．经过点，的所有圆中面积最小的圆的面积为 32．古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为 . 33.已知圆，点是圆上一点，点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为 (1)求过点的圆的切线方程； (2)以为圆心的圆交圆于两点，问直线是否恒过一定点？若过定点求出定点坐标． 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3-2.4 直线与圆、圆与圆的位置关系BS 目录 考点一 直线与圆的位置的关系 2 考点二 与切线相关 11 考点三 与弦长相关 23 考点四 圆与圆的位置关系 36 考点一 判断直线与圆的位置关系 【例1】若直线与圆相切，则( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题得圆的圆心坐标为(0,0)，所以.故选C 【例2】已知直线，圆，其中若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（      ）. A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】A 【详解】因为点在圆外，所以可得， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交． 故选：A． 【例3】圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．9 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的最大值为. 故选：C. 【例4】已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 典例： 1．已知直线，圆，当圆心到直线的距离最小时，圆的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆化为， 所以，故到的距离， 当且仅当，即时等号成立， 故此时圆的半径为，则圆的周长为. 故选：A. 2．已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设，又，得， 即点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆， 又过定点，又，所以在圆外， 设点到直线的距离为，点在圆上，直线恒过点， 点到直线的距离的最大值，等于圆心到直线的距离与半径之和的最大值， 圆心到直线的距离的最大值为， 所以点到直线的距离的最大值为. 故选：C. 3．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】为单位圆上一点，而直线过点， 所以的最大值为，选C. 4．已知点，若直线上存在点M，使则实数k的取值范围是______. 【答案】或 【详解】设点，由，则， 整理得，即点M在以原点为圆心，以2为半径的圆上， 若直线上存在点M，使，则直线与圆有交点， 故圆心到直线的距离小于等于半径；即， 解得：或， 故答案为：或 5．若曲线：与曲线：有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 A．(，) B．(，0)∪(0，) C．[，] D．(，)∪(，+) 【答案】B 【详解】由题易知表示的圆，圆心为，半径为； 表示和两条直线， 易知过定点， 在平面直角坐标系中画出图像如图： ∵直线与相交于和两个点， ∴与圆相交即可． 当与圆相切时，圆心到直线的距离， ∴，， 而时，直线为，不合题； ∴， ∴选择． 变式训练： 1．直线与圆x2+y2＝1的位置关系为( ) A．相切 B．相离 C．直线过圆心 D．相交但直线不过圆心 【答案】D 【解析】圆x2+y2＝1的圆心坐标为，半径为1， 因为圆心到直线y＝x﹣1的距离为：， 所以直线y＝x﹣1与圆x2+y2＝1相交， 因为，所以直线y＝x﹣1与圆x2+y2＝1的位置关系为相交但直线不过圆心. 故选：D 2．若直线与圆相切，则直线l与圆的位置关系是( ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【解析】圆的方程可化为，故圆心为，半径.由于直线：和圆相切，所以，结合解得，所以直线的方程为，即.圆的圆心为，半径为，到直线的距离为，所以直线与圆相交.故选：A 3．若直线与圆相切，则( ) A．1 B． C．或3 D．或1 【答案】D 【解析】由题意，圆心坐标为，半径为，因为直线与圆相切， 所以，圆心到直线的距离等于半径，所以，解得或．故选：D． 4.已知圆，直线与圆恰有一个公共点，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【详解】直线与圆恰有一个公共点， 直线与圆相切， 法一，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离，解得. 法二，由直线过定点， 设直线，定点为， 由在圆上，直线与圆相切， 故点即为切点，故直线，即斜率. 故选：B. 5．直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【详解】直线恒过定点，将定点代入圆的方程， 发现，则定点在圆内部， 所以直线与圆必相交. 故选:B. 6． “点在圆内”是“直线与圆相离”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若点在圆内，则 则圆心到直线的距离 则直线与圆相离 反之直线与圆相离，则圆心到直线的距离，即，则点在圆内 所以“点在圆内”是“直线与圆相离”的充分必要条件 故选：C 7.若圆上恰有三点到直线的距离为2，则的值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】由得，所以圆心，半径， 因为圆上恰有三点到直线的距离为2， 所以圆心到直线的距离为1， 即，解得， 故选：C． 8．(多选)由点发出的光线射到轴上，被轴反射，若反射光线所在直线与圆相切，则光线所在的直线方程为( ) A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】已知圆的标准方程是， 它关于轴的对称圆的方程是， 设光线所在直线的方程是(其中斜率待定) 由题设知对称圆的圆心到这条直线的距离等于1， 即．整理得：， 解得：，或． 故所求的直线方程是，或， 即，或．故选：BC． 9.（多选）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．圆与轴相切 C．若与圆有交点，则的最大值为0 D．若平分圆的周长，则 【答案】AB 【详解】对于选项A，直线的方程可化为，由， 解得，所以直线过定点，故选项A正确， 对于选项B，圆的方程可化为，所以圆心为，半径为，故选项B正确， 对于选项C，当直线与圆有交点时，直线的斜率存在，不妨设直线方程为，即， 由，整理得到，得到， 又，所以，解得，故选项C错误， 对于选项D，若平分圆的周长，将圆心的坐标代入直线的方程，解得此时，故选项D错误， 故选：AB. 10.已知是圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，变形可得， 则的几何意义为直线的斜率， 圆化为， 所以圆的圆心为，半径为. 因为是圆上任意一点， 所以圆与直线有公共点，即圆的圆心到直线的距离不大于圆的半径， 所以，解得， 即的最大为. 故选:D. 11.若直线与曲线相交，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】曲线是圆的上半部分，当直线与曲线相切时，由2，得或（舍去）．结合图象可知，又， 所以． 故选：C. 12、 考点二 与切线相关 【例1】过点作圆的切线，则切线方程为（  ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】点在圆上，设直线方程即可求解。 【例2】过点作圆的切线，则切线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】点在圆外，作图求解。 【例3】已知直线是圆的一条对称轴，过点向圆作切线，切点为，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【例4】 已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】连接，则， 而的最小值为点C到直线l的距离， 所以. 故选：A. 典例： 1．过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　　) A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0 【答案】B 【详解】依题意，点在圆上，且为切点，因为圆心与切点连线的斜率为，所以切线的斜率，故圆的切线方程为，即，故选B. 2．过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】由圆心为，半径为2，斜率存在时，设切线为， 则，可得，所以，即； 斜率不存在时，，显然与圆相切， 综上，切线方程为或． 故选：D． 3．（多选）由点发出的光线射到轴上，被轴反射，若反射光线所在直线与圆相切，则光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】解：已知圆的标准方程是， 它关于轴的对称圆的方程是， 设光线所在直线的方程是（其中斜率待定） 由题设知对称圆的圆心到这条直线的距离等于1， 即．整理得：，解得：，或． 故所求的直线方程是，或， 即，或．故选：BC． 4．（2023 新高考一卷）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B.      5．已知直线：上存在点A，使得过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N，且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 圆心，半径， 过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N， 连接，如图， 由知，，又，所以， 由题意，只需直线上存在与圆心距离为的点即可， 即圆心到直线的距离，解得，故选：C 6．已知圆，过圆上一点P作圆O的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】如图，， 因为当三点共线时，， 此时， 所以四边形面积的最小值为. 故选：B 7．过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求出以、为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦的方程． 【详解】圆的圆心为，半径为1， 以、为直径的圆的方程为， 因为过点圆的两条切线切点分别为A，B， 所以，是两圆的公共弦， 将两圆的方程相减可得公共弦的方程， 故选：A． 变式训练： 1．过点作圆的切线，则切线的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 2. 已知直线经过点，且与圆相切，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 3.过圆C：上的点作圆C切线l，则l的倾斜角为 . 【答案】150° 【详解】由题意得，直线与直线l垂直， 因为，故l的斜率为， 故l的倾斜角为150° 故答案为：150° 4．已知圆和点，则过点的圆的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 5．（多选）下列直线中，与圆相切的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】圆的圆心为，半径． 对于选项A，圆心到直线的距离．所以直线与圆相交； 对于选项B，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切； 对于选项C，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切； 对于选项D，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离． 故选：BC. 6．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 7．已知圆心为的圆与直线相切，则该圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为圆心为的圆与直线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以该圆的标准方程是． 故选：A 8．过点引圆切线，则切线长是 . 【答案】3 【详解】把圆的方程化为标准方程得：， 得到圆心坐标为，圆的半径，， 切线长是，故答案为：3 9．直线平分圆的周长，过点作圆的一条切线，切点为，则（  ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 10．经过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（  ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 11、过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m间的距离为(　　) A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】设 因此，因此直线l与m间的距离为，选A. 12.设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 ． 【答案】 【详解】， 圆心，半径． 设切点为， 由题意可知，点到圆的切线长最小时，， 圆心到直线的距离， 切线长的最小值为：． 故答案为：． 13.已知圆：，直线上点，过点作圆的两条切线，（其中，为切点），则四边形面积的最小值为 . 【答案】 【详解】 四边形的面积, 当与直线垂直时，此时取最小值，故最小值为， 又半径，所以，则四边形面积的最小值为. 故答案为： 14．已知圆：，为直线：上的一点，过点作圆的切线，切点分别为，，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由圆的知识可知，，，，四点共圆，且， 所以， 又，当时，此时取得最小值， 此时直线的方程为，即， ，解得，即. 所以的中点为， 所以以为直径的圆的方程为， 又圆：，即， 两圆的方程相减可得：，即直线的方程为． 故选：D 15．已知平面上有两点，和直线. (1)求过点的圆的切线的方程； (2)动点在直线上运动，求的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）方法一：过点且斜率不存在的直线为， 圆的圆心到直线的距离， 即直线与圆相切，故满足题意； 当过点且斜率存在的直线为， 若直线与圆相切， 则，解得，此时满足题意的直线为， 综上所述，所求切线的方程为或. 方法二：所求切线经过点，设其方程为. 则该直线到点的距离为，即. 所以，此即，得. 故或，从而所求切线的方程为或. （2）方法一：如图所示： 设点关于直线的对称点，显然， 则，解得，所以的坐标为， 设与直线交于点， 则，等号成立当且仅当重合， 所以的最小值为. 方法二：设，则，从而. 故 . 从而 . 当，时，有，. 所以的最小值是. 16．已知圆：，直线：与轴交于点，过上一点作圆C的切线，切点为，若，则实数的取值范围是______________． 【答案】 【详解】求出P点的轨迹，得出为圆，即直线与圆相交即可得出结果。 考点三 与弦长相关 【例1】直线被圆截得的弦长为( ) A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】圆心到直线的距离为，所求弦长为．故选：C． 【例2】已知圆，过点的直线交圆于，两点，且，则直线的方程为 . 【答案】或 【详解】当直线的斜率不存在时，设的方程为， 由，可得，或， 所以，符合题意； 当直线的斜率存在时，设的方程为， 因为，所以圆心到直线的距离， 由，得， 所以直线的方程为， 则直线的方程为或. 故答案为：或. 【例3】当圆截直线所得的弦长最短时，实数（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】将直线的方程变形为，由，可得， 所以，直线经过定点， 圆的标准方程为，圆心为， 因为，即点在圆内， 故当时，圆心到直线的距离取最大值，此时，直线截圆所得弦长最短， ，直线的斜率为，所以，，解得． 故选：B． 例4、已知P（1，2）点为圆（x+1）2+y2=9的弦AB的中点，则直线AB的方程为 A．x–y–3=0 B．x+y+3=0 C．x+y–3=0 D．x–y+3=0 【答案】C 【详解】圆（x+1）2+y2=9的圆心坐标为C（–1，0），又P（1，2），∴， 则直线AB的斜率为–1，又∵直线AB过点P， ∴以P为中点的弦AB所在直线方程为y–2=–1（x–1），即x+y–3=0．故选C． 典例： 1．（2025 天津高考），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 【答案】2 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 2．已知点M为圆与y轴负半轴的交点，直线与圆O交于A，B两点，则面积的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】注意到直线过点C，将直线方程与联立， 可得，其判别式为， 设，则.又，， 则 ， 当且仅当时取等号. 故选：B 3．已知点，过点引直线l与曲线相交于A，B两点，当的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】曲线，得，则， 所以曲线表示圆心为，半径为的半圆（x轴及以上部分）． 由于， 故当时的面积取得最大值， 此时圆心到直线l：的距离为， 即，如图，只有才可能满足题意，得． 故选：D. 4．（2024年甲卷）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 5．已知直线与圆交于点，点中点为，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为4 C．为定值 D．存在定点，使得为定值 【答案】ACD 【详解】直线，即， 故直线过定点,且圆的圆心为，半径为2, ，故在圆内， 对于A，当和直线垂直时，圆心到直线的距离最大，距离， 此时最小，，故A正确； 对于B，当时，为圆的直径，此时直线过圆心， 方程无解，故直线不可能过圆心，故B错误； 对于C，设，则， 当直线斜率不存在时，，联立圆得，， 此时 当直线斜率存在时，设直线，联立圆， 得，即， ， ，, , 带入得：， 故为定值，故C正确； 对于D，中点为，故,且在上， 所以,故是直角三角形， 当为中点时，为定值，故D正确. 故选：ACD 6．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意得：为恒过定点的直线， 由曲线，可得， 所以曲线表示圆心为，半径为1的上半圆，如图所示，    当直线与圆相切时，有，解得：（舍去）或，把代入，得， 的取值范围是,．故选：D. 7．若实数满足，则的最大值为 A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】由题意知点在半圆上，设过点(-1,0)的直线，当直线与半圆相切时，即时，. 故选B. 变式训练： 1.已知圆过两点，且圆心在直线上。 （1）求圆的方程； （2）试判断直线：与圆是否相交，如果相交，求直线被圆截得的弦长。 【答案】（1） （2） 2．直线l：截圆所得的弦长等于（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 所以所求弦长为.故选：C 3．斜率为1的直线l被圆x2+y2＝4x截得的弦长为4，则l的方程为( ) A．y＝x﹣3 B．y＝x+3 C．y＝x﹣2 D．y＝x+2 【答案】C 【解析】由题设知圆心的坐标为(2，0)，半径r＝2，又弦长为4＝2r，所以直线l过圆心(2，0)，且斜率为1，∴直线l的方程为y＝x﹣2.故选：C. 4.若圆心坐标为的圆被直线截得的弦长为，则这个圆的方程是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得这个设圆的方程为: ，圆心到弦的距离为. 因为圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理. 所以.所以圆的方程为：故选：C 5.圆心为的圆，在直线x﹣y﹣1＝0上截得的弦长为，那么，这个圆的方程为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆心到直线x﹣y﹣1＝0的距离弦长为，设圆半径为r， 则故r=2则圆的标准方程为故选：A 6.若圆C的圆心为，且被x轴截得弦长为4，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】    如图，过点作于，依题意，,因,故， 从而，圆的半径为：, 故所求圆的方程为：，即. 故选：A. 7、已知直线与圆交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心， 所以圆心到直线的距离为，则， 而，所以，解得：. 故选：A. 8．已知圆，直线，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为( ) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】圆的圆心坐标为，半径为5， 由直线，得， 联立，解得，∴直线l过定点， 点在圆内部，则当直线l与线段PC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小， 此时， ∴直线l被圆C截得的弦长的最小值为． 故选：B． 9、已知圆，在所有过点的弦中，最短的弦的长度为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径为 由于，，所以在圆内. 在所有过点的弦中，最短的弦是垂直于的弦， ， 所以最短弦长为.故选：B/ 10．已知圆：，则过点的最短弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】     由于，故点在圆内， 化为标准方程：. 如图，设，垂足为，设直线和圆的交点是， 根据垂径定理，， 为使得最小，必须最大，显然， 重合的时候取得等号，此时，由于， 所以直线的斜率为，故直线的方程为， 即.故选：C 11.已知直线与圆交于两点，则线段的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆可得圆心，半径， 因为直线，恒过直线和的交点， 即，解得：，，即直线恒过定点， 因为，所以定点在圆内， 设圆心到直线的距离为，则弦长， 当时，弦长最大，这时过的最长弦长为圆的直径， 当最大时，这时， 所以弦长的最小值为， 所以弦长的范围为， 故选：B. 12．点在圆：上，，，则最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图所示，由题意圆：的圆心，半径， 当直线与圆相切时，即为切点时，最小， 此时与轴平行，，.故选：C 13．（多选）已知直线过定点，且与圆相交于两点，则（    ） A．点的坐标为 B．的最小值是 C．的最大值是0 D． 【答案】ACD 【详解】根据题意，圆的圆心为，半径． 对于A，直线，可化为， 所以直线经过点，斜率为， 因此直线过定点，A项正确； 对于B，当时，直线到圆心的距离达到最大值， 此时，可知的最小值是，故B项不正确；    对于C，，由于的最小值是，此时取最大值，故最大值为0，故C项正确； 对于D，设的中点为，连接，则， 可得 ，故D项正确． 故选：ACD． 考点四 圆与圆的位置关系 【例1】已知圆与圆，则两圆的位置关系为( ) A．内切 B．外切 C．相交 D．外离 【答案】B 【解析】因为圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为，因此圆心距为， 所以两圆外切.故选：B. 【例2】已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于 【答案】或 【详解】圆：圆心为，半径为1， 圆：，圆心为，半径为； 又因为圆与圆有且仅有一个公共点，所以两圆相切， 又由两圆的圆心距，则有或， 解得或． 故答案为：或. 【例3】圆与圆的公共弦长为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在直线的方程为2x＋y－15＝0，圆x2＋y2＝50的圆心(0，0)到2x＋y－15＝0的距离，因此，公共弦长为.选C 【例4】两圆与的公切线条数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径为 圆的圆心为，半径为 两圆心的距离为. 所以两圆相交，则其公切线有2条.故选：B 典例： 1．已知两圆和恰有三条公切线，若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可得，两圆的标准方程为和， 圆心为和，半径分别为2，1，若两圆恰有三条公切线， 则等价为两圆外切，则满足圆心距， 即则， 则 ,当且仅当，即，取等号. 故选：B 2．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为 A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【详解】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B. 3．已知点，若圆上存在点，使得为坐标原点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点，又，由， 所以，化简得， 所以点在以为圆心，半径为的圆上， 又点在圆上， 所以圆与圆有公共点， 所以，即， 所以，即， 又，，所以的解集为， 由，所以，故选：B. 4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为 若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】圆的标准方程为，半径， 当圆心到直线的距离时，满足题意，圆心在直线上的射影点即满足题意， 故有，解得，即的最大值为， 故选：D. 5．若圆与圆（）的公共弦的长为，则______. 【答案】 【详解】已知两个圆的方程分别为与， 将两个圆作差可得相交弦的直线方程为， 所以可得：圆心到直线的距离， 由此可得：，又，解得：. 故答案为： 6．（2023年新高考一卷）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 【答案】或或 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 7．已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 其圆心为，半径为， 因为，即圆心在圆外，故圆内切于圆， 故， 易知公切线与直线垂直，且，故公切线的斜率为， 设公切线的方程为，即， 所以，解得，所以两圆公切线方程为. 故选：D. 8．圆心在直线上，且过两圆，交点的圆的标准方程为_____________. 【答案】 【详解】由解得交点坐标分别为， 设圆心坐标为，半径为，则， 解得， 所以该圆的标准方程为， 故答案为： 变式训练： 1．圆x2+y2-2x-3=0与圆x2+y2-4x+2y+3=0的位置关系是(　　) A．相离 B．内含 C．相切 D．相交 【答案】D 【解析】由于圆x2+y2﹣2x﹣3＝0的圆心为(1，0)，半径等于2， 而圆x2+y2﹣4x+2y+3＝0即(x﹣2)2+(y+1)2＝2，表示以(2，﹣1)为圆心，半径等于的圆． 由于两个圆的圆心距为：，2，故两个圆相交，故选D． 2．圆与圆的位置关系为( ) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】B 【解析】两圆的圆心距为，半径分别为，，所以两圆相交 ．故选B． 3．两圆外切，则正实数r的值是（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆外切，则两圆心距离等于两圆的半径之和，即，解得。 4.已知圆，圆，则圆的位置关系为（    ） A．内含 B．外切 C．相交 D．外离 【答案】C 【详解】圆，化为，圆心为，半径为； 圆，化为，圆心为，半径为． 则两圆心距离为， 因为，所以圆与圆相交． 故选：C． 5.若圆与圆外切，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由圆与圆知， 圆心分别为，半径为1，， 因为两圆外切， 所以，解得. 故选：C 6.已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【详解】由圆的面积被直线平分， 得圆的圆心在直线上，即，解得， 因此圆的圆心，半径， 而圆的圆心，半径， 显然，所以圆与圆外切. 故选：D 7.（多选）已知圆，圆，则下列结论正确的是（    ） A．若和外离，则或 B．若和外切，则 C．当时，有且仅有一条直线与和均相切 D．当时，和内含 【答案】ABC 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以， 若和外离，则，解得或，故A正确； 若和外切，则，解得，故B正确； 当时，，则和内切，故仅有一条公切线，故C正确； 当时，，则和相交，故D错误. 故选：ABC． 8、圆与圆外切，则实数 . 【答案】±4 【详解】两圆的圆心为，，半径为1和4， 因为两圆外切，则，解得. 故答案为：±4 9．若圆与圆外切，则( ) A．9 B．19 C．21 D．﹣11 【答案】A 【解析】由题意可知圆的圆心为，半径为，圆的半径为，半径为，则 ，解得.故选：A. 10．圆与圆的公共弦所在的方程为( ) A．x+2y=0 B．x－2y=0 C．y－2x=0 D．y+2x=0 【答案】A 【解析】设两圆交点， 圆①，圆②， ①②得： 因为，， 即A，B点在直线上， 而过A，B点的直线有且只有一条， 所以公共弦所在的方程为，故选：A 11．已知圆与圆，求两圆的公共弦所在的直线方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将两个圆的方程相减，得3x－4y＋6＝0.故选：D. 12．圆与圆的公共弦长为________． 【答案】 【解析】两圆方程相减得，即， 原点到此直线距离为，圆半径为， 所以所求公共弦长为．故答案为：． 13. ⊙C1：(x－1)2＋y2＝4与⊙C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9相交弦所在直线为l，则l被⊙O：x2＋y2＝4截得弦长为( ) A． B．4 C． D． 【答案】D 【解析】由⊙C1与⊙C2的方程相减得l：2x－3y＋2＝0. 圆心O(0，0)到l的距离，⊙O的半径R＝2，∴截得弦长为.故选：D 14．已知圆的半径为3，圆的半径为7，若两圆相交，则两圆的圆心距可能是（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 【答案】C 【详解】因为两圆相交，所以两圆的圆心距即，仅有C满足，故选：C 15、（多选）已知圆O1的方程为x2＋y2＝1，圆O2的方程为(x＋a)2＋y2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的取值可以是（    ） A．－1 B．－3 C．1 D．3 【答案】ABCD 【详解】由题意得两圆的圆心距d＝|a|＝2＋1＝3或d＝|a|＝2－1＝1， 解得a＝3或a＝－3或a＝1或a＝－1，所以a的所有取值构成的集合是{1，－1，3，－3}． 故选：ABCD 16.（多选）点在圆：上，点在圆：上，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为 【答案】BC 【详解】对于A、B选项：由题意得：，半径为1， ：，，半径为1， 圆心距为，又点在圆上，点在圆上， ，，故A错误，B正确； 对于C选项：两个圆心所在直线斜率为，C正确； 对于D选项：圆心距，所以无公共弦，D错误； 故选：BC． 17.（多选）已知，则下述正确的是（    ） A．圆C的半径 B．点在圆C的内部 C．圆C与圆 的公共弦所在直线方程为 D．圆与圆C相交 【答案】ACD 【详解】对于A，圆的标准方程为，所以半径，故A正确； 对于B，将点代入圆的标准方程中得， 所以点在圆的外部，故B错误； 对于C，由两圆方程相减得， 则公共弦所在直线方程为，故C正确； 对于D，圆的圆心为，半径为，所以两圆与的圆心距为，小于两圆半径之和且大于两圆半径只差，即，故两圆相交，故D正确. 故选：ACD. 18.（多选）已知圆与圆相交于两点．若，则实数的值可以是（    ） A．10 B．2 C． D． 【答案】BD 【详解】由题意可得弦所在的直线方程为， 因为圆，圆心， 圆，圆心， 设圆心与圆心到直线的距离分别为， 因为，即， 所以，又， 即，化简可得， 即，解得或. 故选：BD 19．（多选）已知圆和圆，则（    ） A．两圆的公共弦所在的直线方程为 B．圆上到直线的距离为1的点恰有2个 C．圆的内部与圆的内部的公共部分的周长为 D．若点在圆上，点在圆上，则的最大值为6 【答案】AD 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 可得，即，可知两圆相交. 对于选项A：两圆的公共弦所在的直线方程为：，即，故A正确； 对于选项B：因为圆心到直线的距离， 且圆半径为2，可知圆与直线相交，而垂直且到距离为， 由知轴与圆相切，故是圆被所截劣弧上唯一到距离为1的点； 过作直线的平行线，则和轴是平面上到距离为1的所有点的集合， 而和圆相交于点和点；如下图示， 所以共3点符合题意，故B错误； 对于选项C：直线与轴交于点，交两圆于S，T， 在中，则，可得，即， 可得弓形TOS的周长为，故所求公共部分周长为，故C错误； 对于选项D：由圆的性质可知：当M，N和两圆圆心共线，且在两圆心的两侧时，最大， 所以最大值为圆心距和两个半径的和，故D正确． 故选：AD． 20、两圆与的公切线条数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由题意，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为； 所以，且，所以， 所以两圆外切，此时两圆有且仅有3条公切线．故选:C． 21．已知圆 圆则两圆的公切线条数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】圆标准方程为， 则已知两圆圆心分别为，半径分别为， 圆心距为， 因此两圆外切，它们有三条公切线， 故选：B． 22．已知两圆，，当圆与圆有且仅有两条公切线时，则的取值范围 . 【答案】 【详解】若圆与圆有且仅有两条公切线时，则两圆相交， 圆心，半径R＝1，圆，半径r，则， 若两圆相交，则满足，即, 得，故答案为： 23．若圆与圆恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 若圆与圆恰有一条公切线，则两圆内切， 所以，即，所以点的轨迹为圆， 对于A，圆心到直线的距离为，则该直线过点，故A不符合； 对于B，圆心到直线的距离为，则该直线过点，故B不符合； 对于C，圆心到直线的距离为，则该直线过点，故C不符合； 对于D，圆心到直线的距离为，则该直线不过点，故D符合； 故选：D. 24．已知圆和，则圆与圆的所有公切线中斜率的最大值为 . 【答案】 【详解】的圆心和半径分别为，的圆心和半径分别为， 由于，因此两圆外切，有3条公切线， 作出两圆的位置关系图如下： 由图可知：外公切线一条平行于轴，斜率为0，一条斜率为负， 而内公切线的斜率为正，故斜率最大， 由于,故内公切线的斜率为, 故答案为： 25．已知圆与圆有3条公切线，则的最大值为 . 【答案】 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 圆，可得圆心，半径为， 因为有3条公切线，则两圆外切，则， 即 根据基本不等式可得，解得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为. 故答案为：. 26．已知圆C的圆心为，且与直线相切． (1)求圆C的方程；(2)求圆C与圆的公共弦的长． 【答案】(1) (2) （2）将两圆方程相减，求出两圆的公共弦方程，根据弦长、弦心距以及圆的半径之间的关系即可求得答案. 【详解】（1）由题意得圆C的半径为， 故圆C的方程为； （2）圆和的圆心距为， 而，即两圆相交， 将和相减得， 圆的圆心到的距离为， 故两圆的公共弦长为. 27．已知，，圆上存在点P，使得，则a的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【详解】设，，，若， 则， 即，即点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆， 由条件可知，圆与圆有交点， 则，解得：， 所以的最大值为. 故选：B 28.已知圆C：与曲线有交点，则a的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由，整理得到， 圆C可化为标准方程C：， 由题意可得圆与圆C：有交点， 又因为的圆心为，半径为，圆C的圆心为，半径为， 所以， 解得，所以a得最小值为1． 故选：A． 29．若圆与圆外切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】两圆的方程分别为和，故外切条件等价于和之间的距离为，即. 记，，则点在轨迹上，所求的即为的取值范围. 由于，故， 且 ， 同时，上面的上界和下界分别在和时取到. 而是在一个连续的圆弧上，故上的值都可以取到，所以取值范围是. 故选：D. 30．已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的切线与圆相切于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为的圆心为， 圆的圆心为， 因为直线为圆的切线，所以，， 又因为，所以， 可得，又， 所以，且平分， 所以， 则， 则最小值即的最小值， 即圆心到的距离， 所以， 所以的最小值为， 故选：B. 31.（多选）已知圆，圆，则下列选项正确的是（    ） A．直线的方程为 B．圆和圆共有4条公切线 C．若P，Q分别是圆和圆上的动点，则的最大值为10 D．经过点，的所有圆中面积最小的圆的面积为 【答案】ACD 【详解】由题意得，圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 对于A，直线的方程为，即，所以A正确； 对于B，因为且，可得， 所以圆与圆外切，所以两圆的公切线共有3条，所以B错误； 对于C，因为，所以的最大值为，所以C正确； 对于D，当为圆的直径时，该圆在经过点，的所有圆中面积最小， 此时圆的面积为，所以D正确． 故选：ACD. 32．古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为 . 【答案】2 【详解】由题意设， 易知，即可得， 整理得点的轨迹方程为， 其轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， 而圆的圆心坐标为，半径为1， 可得两圆的圆心距为2，大于，小于， 则动点的轨迹与圆的位置关系是相交. 故公切线的条数为2. 故答案为：2 33.已知圆，点是圆上一点，点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为 (1)求过点的圆的切线方程； (2)以为圆心的圆交圆于两点，问直线是否恒过一定点？若过定点求出定点坐标． 【答案】(1). (2)直线是否恒过定点，定点坐标为. 【详解】（1）由圆的方程可得圆心的坐标为，则 ，即，即过点的圆的切线方程为，即. （2）设，则过两点且以为圆心的圆的方程为，又圆， 两式作差可得：， 此方程变形可得 ，令 ，可得， 即直线恒过定点. 50 学科网（北京）股份有限公司 $