4 直线与圆锥曲线的位置关系 讲义-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

4 直线与圆锥曲线的位置关系 考点一 直线与圆锥曲线的交点 【例1.1】为何值时，直线和曲线有两个公共点?有一个公共点?没有公共点? 【例1.2】直线与椭圆的位置关系为(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 典例： 1．已知直线，椭圆.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)相交； (2)相切； (3)相离？ 2．已知以，为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 变式训练1： 1．直线与椭圆恒有两个公共点，则m的取值范围为(　　) A． B． C． D． 2．已知直线y＝kx－k－1与曲线C：x2＋2y2＝m(m>0)恒有公共点，则m的取值范围是(　　) A．[3，＋∞) B．(－∞，3] C．(3，＋∞) D．(－∞，3) 3.直线y＝x＋m与椭圆有两个不同的交点，则m的范围是(　　) A．－5＜m＜5 B．m＜－，或m＞ C．m＜ D．－＜m＜ 4.如果过点的直线与椭圆+y2=1有公共点,那么直线的斜率的取值范围是(　　) A． B． C． D． 5．已知椭圆与直线有公共点，则实数的取值范围是____________. 6．当取何值时，直线与椭圆相切、相交、相离． 7．设直线与椭圆的方程分别为与，问为何值时， (1)直线与椭圆有一个公共点；(2)直线与椭圆有两个公共点；(3)直线与椭圆没有公共点． 【例2.1】已知双曲线x2－＝1，问当直线l的斜率k为何值时，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点． 典例： 1．若直线l过点，且与双曲线有且只有一个公共点，则满足条件的直线有__________条． 2、已知直线与双曲线，试讨论实数的取值范围,使直线与双曲线. (1)只有一个公共点; (2)有两个公共点; (3)交于两支各一点; (4)与左支交于两个点。 变式训练2： 1．若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 2．直线:与双曲线：的右支交于不同的两点，则斜率的取值范围是( ) A． B． C． D． 3．直线l：kx－y－2k＝0与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则实数k的值为（ ） A．－1或1 B．－1 C．1 D．1，－1，0 4．过双曲线2x2－y2＝2的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l的条数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知双曲线的左焦点为，过的直线交双曲线左支于、B两点，则l斜率的取值范围为( ) A． B． C． D． 6．已知双曲线的离心率等于，直线与双曲线的左右两支各有一个交点，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 7．若直线过点与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 8．直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是(　　) A． B． C． D． 9．（多选）与直线仅有一个公共点的曲线是 A． B． C． D． 10．若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点二 直线与圆锥曲线的综合问题1 【例1.1】 (1)已知椭圆E：，的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为，则E的方程为__________. (2)直线y＝x＋1与椭圆mx2＋ny2＝1(m>n>0)相交于A，B两点，若弦AB的中点的横坐标等于，则椭圆的离心率等于_________. 变式训练1： 1．如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是________ 2．已知椭圆方程为+y2=1,则过点且被P平分的弦所在直线的方程为________. 3．过点M(－2,0)的直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P1，P2两点，线段P1P2中点为P，设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2(O为原点)，则k1·k2的值为________. 4．斜率为的直线l被椭圆截得的弦恰被点平分，则的离心率是______． 5．已知椭圆：()的右焦点为，过点的直线交椭圆交于，两点，若的中点，且直线的倾斜角为，则此椭圆的方程为( ) A． B． C． D． 6.椭圆的一条弦被点平分，则此弦所在的直线方程是( ) A． B． C． D． 7．椭圆中以点M(1，2)为中点的弦所在直线斜率为( ) A． B． C． D． 8．斜率为的直线l被椭圆截得的弦恰被点平分，则的离心率是______． 9．椭圆与直线交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为(　　 ) A. B. C. D. 10．已知直线与椭圆交于两点，弦的中点为，则直线的方程为 . 11．椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，则 ． 12．（多选）设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A、B两点，M为线段AB的中点．下列结论中正确的是（    ） A．直线AB与OM垂直 B．若点M坐标为，则直线方程为 C．若直线方程为，则点M坐标为 D．若直线方程为，则 【例2.1】(1)已知双曲线：，斜率为2的直线与双曲线相交于点、，且弦中点坐标为，则双曲线的离心率为( ) A．2 B． C． D．3 (2)直线经过且与双曲线交于，两点，如果点是线段的中点，那么直线的方程为( ) A． B． C． D．不存在 (3)已知双曲线与不过原点且不平行于坐标轴的直线相交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则 A． B． C． D． 变式训练2： 1．已知倾斜角为的直线与双曲线C：(，)相交于A，B两点，是弦的中点，则双曲线的离心率为( ) A． B． C． D． 2．点 平分双曲线 的一条弦，则这条弦所在直线的方程是__________． 3．已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，中点横坐标为，则此双曲线的方程是______. 4．点是曲线C：的弦的中点.则直线的方程为( ) A． B． C． D． 5．已知椭圆，倾斜角为的直线l与椭圆分别相交于A.B两点，点P为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OP的斜率为( ) A． B． C． D． 6．已知直线:与双曲线:(，)交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为( ) A． B．2 C． D． 7．直线恒过定点，若点是双曲线的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为( ) A． B． C． D． 8．过点作一直线与双曲线相交于、两点，若为中点，则( ) A． B． C． D． 9．已知分别为双曲线实轴的左右两个端点，过双曲线的左焦点作直线交双曲线于两点(点异于)，则直线的斜率之比( ) A． B． C． D． 10．已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且为线段的中点，则直线的方程为 . 考点三直线与圆锥曲线的综合问题2 【例1.1】已知椭圆及直线： (1)当直线与该椭圆有公共点时，求实数的取值范围；(2)当时，求直线被椭圆截得的弦长 【例1.2】已知抛物线：的焦点为椭圆：的一个焦点，且的短轴长为4. (1)求的方程； (2)过点且倾斜角为的直线与交于，两点，线段AB的中垂线与轴交于点，求的面积. 典例： 1．已知椭圆过点，短轴上一个端点到右焦点的距离为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设过定点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，若坐标原点O在以线段AB为直径的圆外，求直线l的斜率k的取值范围． 2．设椭圆：，为左、右焦点，为短轴端点，且，离心率为,为坐标原点． （1）求椭圆的方程， （2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点,,且满足？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由． 3．（2024 新高考一卷）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 变式训练1： 1．通过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（    ） A． B．3 C． D．6 2．直线与椭圆的公共点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 3．已知椭圆C：的焦距为，短半轴的长为2，过点P(－2,1)且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点． (1)求椭圆C的方程；(2)求弦AB的长． 4．斜率为的直线与椭圆相交于两点，则的最大值为__________. 5．椭圆被直线截得的弦长为________. 6．已知椭圆及直线． (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦长及此时直线的方程． 7.点是椭圆一点，为椭圆的一个焦点，的最小值为，最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)直线被椭圆截得的弦长为，求的值 8.在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上短轴长为2，离心率为，过左顶点的直线与椭圆交于另一点. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的倾斜角. 9．已知椭圆. (1)求椭圆C的离心率e； (2)若，斜率为的直线与椭圆交于、两点，且，求的面积. 10．已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 11．已知椭圆经过点 (1)求的方程和离心率； (2)若过点且斜率为1的直线与的另一个交点为，求的面积． 12．已知焦点在x轴上的椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆C经过点，过点的直线l交椭圆C于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程与离心率； (2)当直线l的倾斜角是时，求的面积． 13．已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作斜率为1的直线交椭圆于两点，为的右焦点，求的面积 14．过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，与椭圆相交于、两点. (1)求弦长；(2)求的面积. 15．已知椭圆的短轴长为2，且过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 16．已知点在椭圆上，与椭圆的上，下顶点的连线的斜率之积为． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线与椭圆相交于、两点，且的面积为（为坐标原点），求椭圆的标准方程 【例2.1】过双曲线的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点． (1)求|AB|；(2)求△AOB的面积． 变式训练2： 1．求双曲线被直线截得的弦长 . 2．已知双曲线C：的离心率为，点是双曲线的一个顶点． (1)求双曲线的方程； (2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求. 3．已知曲线及直线． (1)若与左支交于两个不同的交点，求实数的取值范围； (2)若与交于两点，是坐标原点，且的面积为，求实数的值． 4．已知双曲线的实轴长为，一个焦点的坐标为. (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为2的直线交双曲线交于两点，且，求直线的方程. 5．过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于A、B两点， (1)求双曲线的离心率和渐近线；(2)求|AB|. 6．已知双曲线C：的一条渐近线方程为，点是双曲线的一个顶点. (1)求双曲线的方程； (2)经过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，且与双曲线交于A，B两点求AB的长. 7．已知双曲线C的离心率为，且过点，过双曲线C的右焦点，做倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，为左焦点. (1)求双曲线的标准方程；(2)求的面积. 8.双曲线的左、右焦点分别为，过右焦点且倾斜角为的直线交双曲线于，两点. (1)求弦长； (2)若点是双曲线左支上的点，且，求点到轴的距离. 9．已知双曲线的焦距为，离心率为． (1)求C的方程； (2)若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积． 10．已知双曲线的中心为坐标原点，且焦点在轴上，点在双曲线上，其一条渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的面积． 考点四 与抛物线相关的定点定值问题 【例1】已知抛物线：，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于，两点，且线段的中点的纵坐标为4. (1)求抛物线的标准方程； (2)若不过原点且斜率存在的直线与抛物线相交于、两点，且.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标. 变式训练： 1．如图，已知点F为抛物线C：()的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，. (1)求抛物线C的方程. (2)试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 2．已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆的右焦点重合,直线过点F交抛物线于A、B两点. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线交y轴于点M,且,m、n是实数,对于直线,m+n是否为定值? 若是,求出m+n的值；否则,说明理由. 3．已知是抛物线：的焦点，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的标准方程； (2)若、是抛物线上的两个动点，且，为坐标原点，求证：直线过定点. 4．已知点F是拋物线C:y2=2px(p>0)的焦点,点M(x0,1)在C上,且|MF|=. (1)求p的值; (2)若直线l经过点Q(3,-1)且与C交于A,B(异于M)两点,证明:直线AM与直线BM的斜率之积为常数. 5．在直角坐标系中，曲线C：y=与直线交与M,N两点， (Ⅰ)当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程； (Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由. 6.已知抛物线的顶点在原点,焦点在坐标轴上，点为抛物线上一点. (1)求的方程； (2)若点在上，过作的两弦与，若，求证:直线过定点. 7．已知抛物线C；过点． 求抛物线C的方程； 过点的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点均与点A不重合，设直线AM，AN的斜率分别为，，求证：为定值． 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 4 直线与圆锥曲线的位置关系 考点一 直线与圆锥曲线的交点 【例1.1】为何值时，直线和曲线有两个公共点?有一个公共点?没有公共点? 【答案】见解析 【解析】由，得，即 当，即时，直线和曲线有两个公共点； 当，即时，直线和曲线有一个公共点； 当，即时，直线和曲线没有公共点． 注意：等价于. 【例1.2】直线与椭圆的位置关系为(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 【答案】B 【解析】由题意，直线，可得直线恒过点， 又由，所以点在椭圆的内部， 所以直线与椭圆相交于不同的两点，故选B． 典例： 1．已知直线，椭圆.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)相交； (2)相切； (3)相离？ 【答案】(1) (2) (3)或. 【详解】（1）联立，得， ， 当直线与椭圆相交，即，则，解得：； （2）当直线与椭圆相切，即，则，解得：； （3）当直线与椭圆相离，即，则，解得：或. 2．已知以，为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设椭圆长轴长为（且，则椭圆方程为． 由 ，可得， 因为直线与椭圆只有一个交点，则， 即． 解得或或，又由，所以，所以长轴长．故选：． 变式训练1： 1．直线与椭圆恒有两个公共点，则m的取值范围为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知直线y＝kx＋1与椭圆联立方程组可化为(m+5k2)x2+10kx+5-5m=0， 要使得直线与椭圆恒有两个公共点， 则△=100k2-4(m+5k2)(5-5m)=20[m2-(1-5k2)m]＞0，m＞0，m≠5． ∴m＞1-5k2，m＞0，m≠5，又k∈R，∴m＞1，且m≠5． ∴m的取值范围为(1，5)∪(5，+∞)故选C 2．已知直线y＝kx－k－1与曲线C：x2＋2y2＝m(m>0)恒有公共点，则m的取值范围是(　　) A．[3，＋∞) B．(－∞，3] C．(3，＋∞) D．(－∞，3) 【答案】A 【解析】∵直线方程为∴直线恒过定点 ∵曲线的方程为∴曲线表示椭圆 ∵直线与曲线：恒有公共点 ∴点在椭圆内或椭圆上，即.∴ 故选A. 3.直线y＝x＋m与椭圆有两个不同的交点，则m的范围是(　　) A．－5＜m＜5 B．m＜－，或m＞ C．m＜ D．－＜m＜ 【答案】D 【解析】由，得5x2+8mx+4m2﹣4=0， 结合题意△=64m2﹣20(4m2﹣4)＞0， 解得：－＜m＜，故选：D． 4.如果过点的直线与椭圆+y2=1有公共点,那么直线的斜率的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设过点M(-2，0)的直线l的方程为y=k(x+2)， 联立 ，得(2k2+1)x2+8k2x+8k2-2=0，∵过点M(-2，0)的直线l与椭圆有公共点， ∴△=64k4-4(2k2+1)(8k2-2)≥0，整理，得k2≤ 解得 ∴直线l的斜率k的取值范围是 故选：D 5．已知椭圆与直线有公共点，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【解析】由，得．因为直线与椭圆有公共点，所以，即，解得． 6．当取何值时，直线与椭圆相切、相交、相离． 【答案】详见解析 【解析】将代入中，化简得，其判别式.当，即时，直线和椭圆相交，当，即时，直线和椭圆相切.当，即或时，直线和椭圆相离. 7．设直线与椭圆的方程分别为与，问为何值时， (1)直线与椭圆有一个公共点；(2)直线与椭圆有两个公共点；(3)直线与椭圆没有公共点． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）由直线方程得，代入椭圆方程后整理得． 上述方程的判别式． 由此可知： 当时，，直线与椭圆只有一个公共点． （2）当时，，直线与椭圆有两个公共点． （3）当或时，，直线与椭圆无公共点．    【例2.1】已知双曲线x2－＝1，问当直线l的斜率k为何值时，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点． 解：①当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝1与双曲线相切，符合题意． ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)＋1， 代入双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0. 当4－k2＝0，即k＝±2时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线l与双曲线只有一个公共点．当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝. 综上可知，当k＝或k＝±2或直线l的斜率不存在时，过点P的直线l与双曲线都只有一个公共点． 典例： 1．若直线l过点，且与双曲线有且只有一个公共点，则满足条件的直线有__________条． 【答案】4 【详解】当直线l的斜率不存在时，直线为，与曲线有且只有一个公共点． 当直线l的斜率存在时，可设直线为，代入曲线方程整理得，若，则，此时有两条分别平行于双曲线的两条渐近线的直线，与曲线有且只有一个公共点； 当时，则由，得，此时有一条直线与曲线相切，有且只有一个公共点．综上，这样的直线共有4条． 故答案为：4 2、已知直线与双曲线，试讨论实数的取值范围,使直线与双曲线. (1)只有一个公共点; (2)有两个公共点; (3)交于两支各一点; (4)与左支交于两个点。 解： 变式训练2： 1．若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】把y＝kx＋2代入x2－y2＝6，得x2－(kx＋2)2＝6， 化简得(1－k2)x2－4kx－10＝0，由题意知 即解得＜k＜－1. 答案：D. 2．直线:与双曲线：的右支交于不同的两点，则斜率的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由 可得， ，因为直线与双曲线交于不同的两点，所以， 解得 ，所以斜率的取值范围是，故选C. 3．直线l：kx－y－2k＝0与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则实数k的值为（ ） A．－1或1 B．－1 C．1 D．1，－1，0 【答案】A 【解析】因为直线l：kx－y－2k＝0过定点(2,0),而直线l：kx－y－2k＝0与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，所以直线l：kx－y－2k＝0与双曲线渐近线平行，即实数k的值为－1或1，选A. 4．过双曲线2x2－y2＝2的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l的条数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】设， 当直线与轴垂直时，，满足题意 当直线与轴不垂直时，设直线：， 联立直线与双曲线方程得：，整理得：， 所以， ，又 =，解得：， 综上：满足这样的直线l的条数为3条 5．已知双曲线的左焦点为，过的直线交双曲线左支于、B两点，则l斜率的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】双曲线的渐近线为，当直线与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点.当直线斜率大于零时，要与双曲线左支交于两点，则需直线斜率；当直线斜率小于零时，要与双曲线左支交于两点，则需斜率.故选B. 6．已知双曲线的离心率等于，直线与双曲线的左右两支各有一个交点，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】双曲线的离心率等于, ,可得 , 双曲线, 直线与双曲线联立可得, 直线与双曲线的左右两支各有一个交点, ,, 即的取值范围是，故选B. 7．若直线过点与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解析】当直线斜率存在时，设直线L：y=k(x-3)，代入双曲线方程化简得(4-9k2)x2+54k2x-81k2-36=0 要使L与双曲线只有一个公共点，需上述方程只有一根或两实根相等， ∴4-9k2=0，或△=0(不成立)，解得k=± 当直线斜率不存在时，直线为x=3，此时与双曲线也只有一个公共点， 故这样的直线有3条， 故选C 8．直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由双曲线与直线联立可 ，因为直线 与双曲线交于不同的两点，所以 可得 ，斜率的取值范围是，故选C. 9．（多选）与直线仅有一个公共点的曲线是 A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】A．圆心到直线的距离，所以直线和圆相切，所以仅有一个公共点，符合； B．因为，所以，所以，所以直线与椭圆有两个交点，不符； C．因为的渐近线方程为，所以平行于渐近线且不与渐近线重合， 所以与双曲线仅有一个公共点，符合； D．因为，所以，所以，所以直线与抛物线有两个交点，不符. 故选：AC. 10．若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由消去得，， 设直线与双曲线右支交于不同的两点， 依题意，，解得， 所以k的取值范围是.故选：D 考点二 直线与圆锥曲线的综合问题1 【例1.1】 (1)已知椭圆E：，的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为，则E的方程为__________. (2)直线y＝x＋1与椭圆mx2＋ny2＝1(m>n>0)相交于A，B两点，若弦AB的中点的横坐标等于，则椭圆的离心率等于_________. 【答案】(1) (2) 【解析】(1)已知，设，，则①，②， 已知AB的中点坐标为，， ①－②得， ∴， ∵，∴，即， 又，∴，，即E的方程为. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，x0＝－，代入y＝x＋1得y0＝. 所以m x12＋n y12＝1，(1)m x22＋n y22＝1，(2) 由(1)-(2)得：， ，∴， ∴e2，∴e＝.故答案为：. 变式训练1： 1．如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是________ 【答案】 y=-0.5x+4 【解析】设弦为，且，代入椭圆方程得，两式作差并化简得，即弦的斜率为，由点斜式得，化简得. 2．已知椭圆方程为+y2=1,则过点且被P平分的弦所在直线的方程为________. 【答案】 【解析】设这条弦与椭圆交于点， 由中点坐标公式知,把代入, 作差整理得， 这条弦所在的直线方程为，即，故答案为. 3．过点M(－2,0)的直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P1，P2两点，线段P1P2中点为P，设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2(O为原点)，则k1·k2的值为________. 【答案】－ 【解析】设直线的方程为：，由，整理得 ：，所以，， 所以，所以 ，，所以 4．斜率为的直线l被椭圆截得的弦恰被点平分，则的离心率是______． 【答案】. 【解析】设直线l与椭圆的交点为 因为弦恰被点 平分，所以 由，两式相减可得： 化简可得：，因为直线l的斜率为，所以 即所以离心率 故答案为 5．已知椭圆：()的右焦点为，过点的直线交椭圆交于，两点，若的中点，且直线的倾斜角为，则此椭圆的方程为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，∴，令，，则， ∴，，∴，.故选A. 6.椭圆的一条弦被点平分，则此弦所在的直线方程是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设过点A的直线与椭圆相交于两点，E(x1，y1)，F(x2，y2)， 则有①，②， ①﹣②式可得： 又点A为弦EF的中点，且A(4，2)，∴x1+x2=8，y1+y2=4， ∴(x1﹣x2)﹣(y1﹣y2)=0 即得kEF= ∴过点A且被该点平分的弦所在直线的方程是y﹣2=﹣(x﹣4)，即x+2y﹣8=0．故选：D． 7．椭圆中以点M(1，2)为中点的弦所在直线斜率为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设弦的两端点为，，代入椭圆得， 两式相减得， 即， 即，即， 即，∴弦所在的直线的斜率为，故选A. 8．斜率为的直线l被椭圆截得的弦恰被点平分，则的离心率是______． 【答案】. 【解析】设直线l与椭圆的交点为 因为弦恰被点 平分，所以 由，两式相减可得： 化简可得：，因为直线l的斜率为，所以 即所以离心率 故答案为 9．椭圆与直线交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为(　　 ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】把y＝1﹣x代入椭圆ax2+by2＝1得ax2+b(1﹣x)2＝1， 整理得(a+b)x2﹣2bx+b﹣1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2，y1+y2＝2， ∴线段AB的中点坐标为( ，)， ∴过原点与线段AB中点的直线的斜率k．∴．故选：A． 10．已知直线与椭圆交于两点，弦的中点为，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】设点，点为弦的中点，有， 将两点代入椭圆方程，得， 两式作差得，整理得 得直线的斜率为，直线的方程为，即. 经检验符合题意.A 故答案为：. 11．椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，则 ． 【答案】6 【详解】联立可得． 设弦的两个端点为，，则由根与系数的关系可得，， 由中点坐标公式可得，，解得. 故答案为：6． 12．（多选）设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A、B两点，M为线段AB的中点．下列结论中正确的是（    ） A．直线AB与OM垂直 B．若点M坐标为，则直线方程为 C．若直线方程为，则点M坐标为 D．若直线方程为，则 【答案】BD 【详解】由题意可知：， 对于选项A：设， 则，且， 因为A、B两点在椭圆上，则，相减可得， 整理可得，即， 所以直线AB与OM不相互垂直，故 A错误； 对于选项B：因为， 若点M坐标为，则，可得， 所以直线方程为，即，故B正确； 对于选项C：若直线方程为，点，则， 可得，所以C错误； 对于选项D：若直线方程为， 联立方程，消去y整理得：，解得， 所以，故D正确； 故选：BD． 【例2.1】(1)已知双曲线：，斜率为2的直线与双曲线相交于点、，且弦中点坐标为，则双曲线的离心率为( ) A．2 B． C． D．3 (2)直线经过且与双曲线交于，两点，如果点是线段的中点，那么直线的方程为( ) A． B． C． D．不存在 (3)已知双曲线与不过原点且不平行于坐标轴的直线相交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则 A． B． C． D． 【答案】(1)B(2)A(3)A 【解析】(1)设、，则，， 所以，所以， 又弦中点坐标为，所以，，又， 所以，即，所以双曲线的离心率. 故选：B. (2)当斜率不存在时，显然不符合题意； 当斜率存在时，设，， 因为点是线段的中点，所以，， 代入双曲线方程得，两式相减得， 则，又直线过点P，所以直线方程为， 联立，得到，经检验，方程有解， 所以直线满足题意.故选：A (3)设直线l的方程为，代入双曲线方程 得到，得到 设，则 则，故，故选A． 变式训练2： 1．已知倾斜角为的直线与双曲线C：(，)相交于A，B两点，是弦的中点，则双曲线的离心率为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为倾斜角为的直线与双曲线C：(，)相交于A，B两点， 所以直线的斜率，设， 则① ② 由①②得 则 因为是弦的中点， 因为直线的斜率为1 即 所以 ，则，故选：D 2．点 平分双曲线 的一条弦，则这条弦所在直线的方程是__________． 【答案】 【解析】设弦的两端点分别为的中点是 把代入双曲线 得 ， ∴ ∴这条弦所在的直线方程是 故答案为． 3．已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，中点横坐标为，则此双曲线的方程是______. 【答案】 【解析】设点、， 由题意可得，，， 直线的斜率为， 则，两式相减得， 所以， 由于双曲线的一个焦点为，则，，， 因此，该双曲线的标准方程为. 故答案为：. 4．点是曲线C：的弦的中点.则直线的方程为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 点是曲线：的弦的中点， . 把的坐标代入曲线的方程，可得 ，两式相减得，， 即， ， 即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 故选：. 5．已知椭圆，倾斜角为的直线l与椭圆分别相交于A.B两点，点P为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OP的斜率为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设， 则， 整理得， 又因为，则， 所以， 又因为点P为线段AB的中点， 则， 所以，即， 所以， 即直线OP的斜率为， 故选：B. 6．已知直线:与双曲线:(，)交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为( ) A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】设，因为是弦的中点，根据中点坐标公式得. 直线:的斜率为，故. 因为两点在双曲线上，所以， 两式相减并化简得， 所以，所以. 故选：D 7．直线恒过定点，若点是双曲线的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，得， 所以定点为， 设这条弦与双曲线的两交点分别为， 则有， 两式相减得， 得， 为弦的中点，所以弦的斜率存在， 弦所在直线斜率， 利用点斜式可得弦所在的直线方程为 在双曲线内部且斜率不等于(渐近线斜率)， 所求的直线与双曲线有两个交点. 故选：D. 8．过点作一直线与双曲线相交于、两点，若为中点，则( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知直线AB不与y轴平行，设其方程为y﹣2＝k(x﹣4) 代入双曲线C：，整理得(1﹣2k2)x2+8k(2k﹣1)x﹣32k2+32k﹣10＝0 设此方程两实根为，，则 又P(4，2)为AB的中点，所以8，解得k＝1 当k＝1时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的△＞0， 所求直线AB的方程为y﹣2＝x﹣4化成一般式为x﹣y﹣2＝0．＝8，＝10 |AB|||•4．故选D． 9．已知分别为双曲线实轴的左右两个端点，过双曲线的左焦点作直线交双曲线于两点(点异于)，则直线的斜率之比( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知得双曲线，，． 故，，． 设直线，且，，，． 由消去整理得， ， 两式相比得①， ②， 将①代入②得：上式． 故．故选：B． 10．已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且为线段的中点，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】设，则两式相减得， 即，所以 因为为线段的中点， 所以， 所以，即 由点斜式方程可得直线的方程为：， 即，经检验适合题意. 故答案为： 考点三直线与圆锥曲线的综合问题2 【例1.1】已知椭圆及直线： (1)当直线与该椭圆有公共点时，求实数的取值范围；(2)当时，求直线被椭圆截得的弦长 【答案】(1)；(2). 【解析】(1)由消去，并整理得……① ∵直线与椭圆有公共点 ∴，可解得： 故所求实数的取值范围为 (2)设直线与椭圆的交点为， 由①得： ， 当时，直线被椭圆截得的弦长为 注意：弦长公式：. 【例1.2】已知抛物线：的焦点为椭圆：的一个焦点，且的短轴长为4. (1)求的方程； (2)过点且倾斜角为的直线与交于，两点，线段AB的中垂线与轴交于点，求的面积. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）由抛物线：的焦点，所以，即， 又的短轴长为，所以，则，故； （2）依题意有，联立，整理得，    设，，显然，则，， 所以， 设线段的中点为，则，， 故线段的中垂线为，令有，故， 所以到直线的距离为， 所以的面积. 典例： 1．已知椭圆过点，短轴上一个端点到右焦点的距离为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设过定点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，若坐标原点O在以线段AB为直径的圆外，求直线l的斜率k的取值范围． 【答案】(1)； (2)，，． 【详解】（1）由短轴一个端点到右焦点的距离为2，可得， 椭圆过点，可得，解得， ∴椭圆的方程为. （2）显然不满足题意，可设的方程为， 设，，，， 联立，可得， 由，得，，． 坐标原点在以线段为直径的圆外，即为， 即，， 即， 可得．又，即为，解得，，． 2．设椭圆：，为左、右焦点，为短轴端点，且，离心率为,为坐标原点． （1）求椭圆的方程， （2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点,,且满足？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】（1））∵椭圆C：1（a＞b＞0），由题意可得， •2c•b＝4，e，且a2＝b2+c2；联立解得，； 故椭圆C的方程为1； （2）假设存在圆心在原点的圆x2+y2＝r2， 使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N， ∵||＝||，∴•0； 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y＝kx+m， 解方程组得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8＝0， 则△＝（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）＝8（8k2﹣m2+4）＞0； 即8k2﹣m2+4＞0； ∴x1+x2，x1x2； y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2； 要使•0，故x1x2+y1y2＝0；即0；所以3m2﹣8k2﹣8＝0， 所以3m2﹣8≥0且8k2﹣m2+4＞0；解得m或m； 因为直线y＝kx+m为圆心在原点的圆的一条切线， 所以圆的半径为r，r2；故r； 即所求圆的方程为x2+y2；此时圆的切线y＝kx+m都满足m或m； 而当切线的斜率不存在时切线为x＝±与椭圆1的两个交点为（，±），（，±）；满足•0， 综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2满足条件． 3．（2024 新高考一卷）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【答案】(1) (2)直线的方程为或. 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2）方法一：以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程；方法二：同法一得到点到直线的距离，再设，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点到直线的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线斜率不存在的情况，再设直线，联立椭圆方程，得到点坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线斜率不存在的情况，再设，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅垂高乘表达面积即可. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以. （2）法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解得或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 变式训练1： 1．通过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【详解】由题设，不妨设过焦点且垂直于x轴的直线， 代入椭圆方程得，可得，故被椭圆截得的弦长等于.故选：B 2．直线与椭圆的公共点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【答案】C 【详解】由消去y并整理得，显然， 所以直线与椭圆相交，有2个公共点.故选：C 3．已知椭圆C：的焦距为，短半轴的长为2，过点P(－2,1)且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点． (1)求椭圆C的方程；(2)求弦AB的长． 【答案】(1)；(2). 【解析】(1)已知椭圆焦距为，短半轴的长为2，即2c=4，b=2， 结合a2=b2+c2，解得a= ，b=2，c=2 故C：. (2)已知直线l过点P(－2,1)且斜率为1，故直线方程为y-1=x+2，整理得y=x+3， 直线方程与椭圆方程联立 得. 设，． ∴∴ 4．斜率为的直线与椭圆相交于两点，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】斜率是1的直线L:y=x+b代入,化简得， 设,则，且，解得. ， ∴b=0时,|AB|的最大值为，故答案为:. 5．椭圆被直线截得的弦长为________. 【答案】 【解析】由 消去y并化简得 设直线与椭圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),则 所以弦长. 故填. 6．已知椭圆及直线． (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦长及此时直线的方程． 【答案】(1)；(2)直线被椭圆截得的最长弦长为；此时 【解析】(1)将直线方程与椭圆方程联立得： 即： 直线和椭圆有公共点 ，解得： (2)由(1)可知，直线与圆相交时，，即 设直线与椭圆交于， 则， 当时，，则 直线被椭圆截得的最长弦长为；此时 7.点是椭圆一点，为椭圆的一个焦点，的最小值为，最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)直线被椭圆截得的弦长为，求的值 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)由点是椭圆一点，为椭圆的一个焦点，的最小值为，最大值为． 可得，解得，进而， 所以椭圆方程为：. (2)设直线与曲线的交点分别为 联立得, ,即 又， ，化简， 整理得，∴，符合题意.综上，. 8.在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上短轴长为2，离心率为，过左顶点的直线与椭圆交于另一点. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的倾斜角. 【答案】(1)；(2)或. 【解析】(1)由题意的，则得到椭圆方程为. (2)由题意直线的斜率存在，因为左顶点为， 设直线的方程为，代入椭圆方程，得到 ， 因为一个根为，则另外一个根为， 则， 化简，即，，则倾斜角或. 9．已知椭圆. (1)求椭圆C的离心率e； (2)若，斜率为的直线与椭圆交于、两点，且，求的面积. 【答案】(1) ；(2). 【解析】(1)椭圆，椭圆长半轴长为，短半轴长为， ； (2)设斜率为的直线的方程为，且、， ，椭圆的方程为， 由，.消去得，又有. ，解得：满足，直线的方程为. 故到直线的距离，. 10．已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 10．D 【详解】如图： 由题，不妨设，直线斜率存在， 设直线方程， 联立， ， ， 解得， 故， 故选：D. 11．已知椭圆经过点 (1)求的方程和离心率； (2)若过点且斜率为1的直线与的另一个交点为，求的面积． 11．(1)， (2) 【分析】（1）将点代入得到关于的方程组，解出即可得的方程，再求离心率即可； （2）易得直线方程为，求出交点坐标，再求面积即可. 【详解】（1）由题意得解得 所以的方程为． 的离心率为． （2）由题意知直线的方程为， 联立得得或所以 观察可知是等腰三角形，且与轴平行， 所以． 12．已知焦点在x轴上的椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆C经过点，过点的直线l交椭圆C于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程与离心率； (2)当直线l的倾斜角是时，求的面积． 12．(1)，； (2). 【详解】（1）设椭圆的标准方程为：， 依题意，，解得， 所以椭圆的标准方程为：，离心率. （2）依题意，直线的方程为，设， 由消去得，，， 所以的面积. 13．已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作斜率为1的直线交椭圆于两点，为的右焦点，求的面积 13．(1) (2) 【详解】（1）由题意可得：，，又， 解得，．故椭圆的方程为； （2）左焦点，右焦点，设，， 因直线的方程为：， 联立，消去整理得，解得或， 时，；当时，， 所以的面积. 14．过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，与椭圆相交于、两点. (1)求弦长；(2)求的面积. 14．(1) (2) 【详解】（1）在椭圆中，，，所以，，则点， 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，其方程为， 联立消去可得， ，设点、， 由韦达定理可得，， 由弦长公式可得. （2）原点到直线的距离为， 故的面积为. 15．已知椭圆的短轴长为2，且过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 16．(1) (2) 【详解】（1）由椭圆的简单几何性质，可知，得， 将点代入，得， 所以椭圆C的标准方程为. （2）由已知可得椭圆的右焦点为，直线l的方程为， 联立椭圆方程，得，， 设，，所以，， 则， 点到直线的距离， 故. 16．已知点在椭圆上，与椭圆的上，下顶点的连线的斜率之积为． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线与椭圆相交于、两点，且的面积为（为坐标原点），求椭圆的标准方程 16．(1) (2)． 【详解】（1）因椭圆上、下顶点的坐标分别为、， 依题意，整理得（*）， 因点在椭圆上，则，即， 代入（*），化简得： ，又，所以， 则椭圆的离心率； （2）    如图，设、，由（1）已得， 则由，消去并整理得， 此时，解得， 由韦达定理得，， 所以， 又原点到直线的距离， 所以的面积，解得， 故椭圆的方程为． 【例2.1】过双曲线的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点． (1)求|AB|；(2)求△AOB的面积． 【答案】(1)；(2). 【解析】(1)由双曲线的方程得，∴，F1(－3，0)，F2(3，0)． 直线AB的方程为． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得5x2＋6x－27＝0. ∴，. ∴ (2)直线AB的方程变形为. ∴原点O到直线AB的距离为. ∴. 注意：弦长公式：. 变式训练2： 1．求双曲线被直线截得的弦长 . 【答案】 【解析】由，得，即． (*) 设方程(*)的解为，，则有，， 故． 2．已知双曲线C：的离心率为，点是双曲线的一个顶点． (1)求双曲线的方程； (2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求. 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)因为双曲线C：的离心率为，点是双曲线的一个顶点，所以解得，所以双曲线的方程为 (2)双曲线的右焦点为 所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为． 联立得. 设，则. 所以. 3．已知曲线及直线． (1)若与左支交于两个不同的交点，求实数的取值范围； (2)若与交于两点，是坐标原点，且的面积为，求实数的值． 【答案】(1)；(2)或 【解析】(1)由消去，得． ∵与左支交于两个不同的交点 ∴且 ∴的取值范围为 (2)设，由(1)得． 又过点，∴． ∴，即． ∴或． 4．已知双曲线的实轴长为，一个焦点的坐标为. (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为2的直线交双曲线交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)或. 【解析】(1)根据待定系数法求双曲线方程，知道，；(2)设直线方程，与双曲线方程联立，得到韦达定理，根据弦长公式，求出直线方程. 试题解析：(1)由，得，又， ∴， ∴双曲线的方程为. (2)设直线的方程为，， 由，得， ∴，得， ∴弦长，解得， ∴直线的方程为或. 5．过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于A、B两点， (1)求双曲线的离心率和渐近线；(2)求|AB|. 【答案】(1)，(2)|AB=8| 【解析】(1)因为双曲线方程为,所以,则, 所以,渐近线方程为 (2)由(1),右焦点为,则设直线为, 代入双曲线中,化简可得, 所以,, 所以 6．已知双曲线C：的一条渐近线方程为，点是双曲线的一个顶点. (1)求双曲线的方程； (2)经过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，且与双曲线交于A，B两点求AB的长. 【答案】(1)(2) 【解析】(1)因为双曲线C的一条渐近线方程为，所以，即. 又点是双曲线的一个顶点，∴，得， ∴双曲线的方程为 (2)由(1)知，双曲线的右焦点为， ∴经过双曲线的右焦点且倾斜角为30°的直线l的方程为， 联立直线与双曲线方程，消y得， 设，，则，， 所以. 7．已知双曲线C的离心率为，且过点，过双曲线C的右焦点，做倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，为左焦点. (1)求双曲线的标准方程；(2)求的面积. 【答案】(1)；(2). 【解析】(1)过点，所以，，所以，又，所以， 所以双曲线的方程为. (2)结合题意可得直线AB的方程为， 设，，联立方程，消去y，得. ∴，，∴， 直线AB的方程变形为. ∴原点O到直线AB的距离为，∴. 8.双曲线的左、右焦点分别为，过右焦点且倾斜角为的直线交双曲线于，两点. (1)求弦长； (2)若点是双曲线左支上的点，且，求点到轴的距离. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）双曲线的左、右焦点分别为，所以， 过右焦点且倾斜角为的直线方程为：， 设，， 联立方程与，可得：， 所以，， 所以. （2）点是双曲线左支上的点，所以 设，， 由双曲线定义可知，所以，由， 所以，所以，可得， 所以由余弦定理得， 所以，设点到轴的距离为，所以， 所以，解得， 所以点到轴的距离为. 9．已知双曲线的焦距为，离心率为． (1)求C的方程； (2)若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积． 9．(1)； (2). 【详解】（1）依题意，双曲线的半焦距，由离心率，解得，， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知双曲线的左顶点，点到直线的距离， 由消去得，解得，， 则，所以的面积. 10．已知双曲线的中心为坐标原点，且焦点在轴上，点在双曲线上，其一条渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的面积． 10．(1)； (2). 【详解】（1）已知双曲线的中心为坐标原点，且焦点在轴上，故其标准方程为， 又其渐近线方程为，即①， 又点在双曲线上，代入得②， 联立①②，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）直线过点且倾斜角为，故其方程为， 将其代入双曲线方程，联立得，化简得， 解得和，代入直线，求得和， 即直线与双曲线的交点， 所以. 考点四 与抛物线相关的定点定值问题 【例1】已知抛物线：，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于，两点，且线段的中点的纵坐标为4. (1)求抛物线的标准方程； (2)若不过原点且斜率存在的直线与抛物线相交于、两点，且.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)；(2). 【解析】(1)设，两点的坐标分别为，， 则，，两式相减得. 即， 又线段的中点的纵坐标为4，直线的斜率为1，∴，∴. 即抛物线的标准方程为. (2)设直线：与抛物线：交于点，， 则， ，∴， ∴，， 由得，即，， 直线为，∴过定点. 变式训练： 1．如图，已知点F为抛物线C：()的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，. (1)求抛物线C的方程. (2)试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)(2)存在唯一的点，使直线PM，PN关于x轴对称 【解析】(1)当直线l的倾斜角为45°，则的斜率为1， ，的方程为. 由得. 设，，则， ∴，， ∴抛物线C的方程为. (2)假设满足条件的点P存在，设，由(1)知， ①当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为()， 由得， ， ，. ∵直线PM，PN关于x轴对称， ∴，，. ∴， ∴时，此时. ②当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性， 易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可. 综上，存在唯一的点，使直线PM，PN关于x轴对称. 2．已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆的右焦点重合,直线过点F交抛物线于A、B两点. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线交y轴于点M,且,m、n是实数,对于直线,m+n是否为定值? 若是,求出m+n的值；否则,说明理由. 【答案】(1)；(2)－1 【解析】(1)∵椭圆的右焦点 ∴抛物线C的方程为 (2)由已知得直线l的斜率一定存在，所以设l：与y轴交于，设直线l交抛物线于 由， ∴∴， 又由 即m=,同理， 所以，对任意的直线l，m+ n为定值-1. 3．已知是抛物线：的焦点，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的标准方程； (2)若、是抛物线上的两个动点，且，为坐标原点，求证：直线过定点. 【答案】(1);(2)证明见解析 【解析】(1)由题意得,,解得, 因为点在抛物线上,则,解得, 又,所以,即拋物线的标准方程为. (2)设,, 因为,所以,即得, 因为点、在抛物线上,所以,, 代入得,因为,则, 设直线的方程为,联立,得, 则,所以, 所以直线的方程为，过定点. 4．已知点F是拋物线C:y2=2px(p>0)的焦点,点M(x0,1)在C上,且|MF|=. (1)求p的值; (2)若直线l经过点Q(3,-1)且与C交于A,B(异于M)两点,证明:直线AM与直线BM的斜率之积为常数. 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)由抛物线定义知|MF|=x0+,则x0+=x0,解得x0=2p, 又点M(x0,1)在C上,所以2px0=1,解得x0=1,p=. (2)由(1)得M(1,1),C:y2=x. 当直线l经过点Q(3,-1)且垂直于x轴时,不妨设A(3,),B(3,-), 则直线AM的斜率kAM=,直线BM的斜率kBM=,所以kAM·kBM=-×=-. 当直线l不垂直于x轴时,设A(x1,y1),B(x2,y2), 则直线AM的斜率kAM===,同理直线BM的斜率kBM=,∴kAM·kBM=·=. 设直线l的斜率为k(显然k≠0且k≠-1),则直线l的方程为y+1=k(x-3). 联立消去x,得ky2-y-3k-1=0, 所以y1+y2=,y1y2=-=-3-,故kAM·kBM===-. 综上,直线AM与直线BM的斜率之积为-. 5．在直角坐标系中，曲线C：y=与直线交与M,N两点， (Ⅰ)当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程； (Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由. 【答案】(Ⅰ)或(Ⅱ)存在 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题设可得，，或，. ∵，故在=处的导数值为，C在处的切线方程为 ，即. 故在=-处的导数值为-，C在处的切线方程为 ，即. 故所求切线方程为或. (Ⅱ)存在符合题意的点，证明如下： 设P(0，b)为复合题意得点，，，直线PM，PN的斜率分别为. 将代入C得方程整理得. ∴. ∴==. 当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN，所以符合题意. 6.已知抛物线的顶点在原点,焦点在坐标轴上，点为抛物线上一点. (1)求的方程； (2)若点在上，过作的两弦与，若，求证:直线过定点. 【答案】(1)或； (2)证明见解析． 【解析】(1)当焦点在轴时，设的方程为，代人点得，即.当焦点在轴时，设的方程为，代人点得，即， 综上可知：的方程为或. (2)因为点在上，所以曲线的方程为. 设点， 直线，显然存在，联立方程有：., 即即. 直线即直线过定点. 7．已知抛物线C；过点． 求抛物线C的方程； 过点的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点均与点A不重合，设直线AM，AN的斜率分别为，，求证：为定值． 【答案】(1)．(2)见解析． 【解析】(1)由题意得，所以抛物线方程为． (2)设，，直线MN的方程为， 代入抛物线方程得． 所以，，． 所以, 所以，是定值． 58 学科网（北京）股份有限公司 $