3.2.1 双曲线及其标准方程讲义 2026-2027学年高二上学期数学选修一例题精讲及课时精练

该高中数学讲义通过“基础回顾-题型突破-课时精练”递进结构系统构建双曲线知识体系，运用表格对比不同焦点位置的标准方程、图形及a,b,c关系，清晰呈现定义、方程推导与应用的内在逻辑脉络。 讲义亮点在于分层题型设计，从定义辨析（如“到两定点距离之差为定值的点的轨迹”）到距离最值转化（如“|PA|+|PF|最小值”），结合四步求方程法培养数学思维，助力学生夯实基础与提升综合应用能力，为教师精准教学提供有效支持。

3.2.1 双曲线及其标准方程 题型一 双曲线的定义与方程 4 题型二 求双曲线的标准方程 7 题型三 双曲线中距离的最值转化 12 题型四 与双曲线有关的轨迹问题 18 课时精练 23 【基础回顾】 ( 1 / 35 ) 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 双曲线的定义 （1）双曲线定义：在平面内与两个定点 、 的距离之差的绝对值等于非 零常数 （小于 ） 的点的轨迹叫作双曲线。 这两个定点叫双曲线的焦点， 两焦点间的距离叫作双曲线的焦距， 焦距的一半叫作半焦距。 （2）双曲线定义的集合语言表示： 注意： （1）双曲线的定义中，常数 应当满足的约束条件： ，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； （2）若去掉定义中的“绝对值”，常数 满足约束条件： ,则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点 的一支; 若 ,则轨迹仅表示双曲线中靠焦点 的一支； （3）若常数 满足约束条件： ，则轨迹是以 、 为端点的两条射线 （包括端点）； （4）若常数 满足约束条件： ，则动点轨迹不存在； （5）若常数 ，则动点轨迹为线段 的垂直平分线。 知识点 2: 双曲线标准方程的推导 （1）建立适当的直角坐标系 以经过点 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴建立直角坐标系 . （2）根据定义建立等式关系 设 为双曲线上任意一点，双曲线焦距是 ，那么 的坐标分别是 . 由定义可知， 双曲线就是集合： （3）化简方程 将这个方程移项，两边平方得： 化简得： 两边再平方，整理得： （以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导） 由双曲线定义， 即 ，所以 . 设 ，代入上式得： 即 ，其中 . 知识点 3: 双曲线的标准方程对比 定义 图形 标准方程 焦点 的关系 知识点 4: 双曲线的标准方程的理解 （1）对于方程 ，当 时表示双曲线； 当 时表示焦点在 轴上的双曲线； 当 时表示焦点在 轴上的双曲线。 （2）对于方程 ，当 时表示双曲线； 当 时表示焦点在 轴上的双曲线； 当 时表示焦点在 轴上的双曲线。 注意：（1）判断焦点位置的方法是：看 、 的系数，如果 项的系数是正的，那么焦点在 轴上; 如果 项的系数是正的，那么焦点在 轴上。 （2）对于双曲线， 不一定大于 ，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上。 知识点 5: 求双曲线标准方程的方法 （1）定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能。 （2）设方程：根据焦点位置，设方程为 或 ，焦点不定时,可设为 . （3）寻关系：根据已知关系列出 的方程组。 （4）得方程：解方程组，将 代入所设方程即得所求。 注意: 与双曲线 共焦点的双曲线的方程可设为 题型一 双曲线的定义与方程 1．已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得动点所在轨迹为焦点在y轴上双曲线的下支，据此可得答案. 【详解】由题可得动点所在轨迹为焦点在y轴上双曲线的下支，其中实轴长为， 焦距长为，则虚轴长为：，则轨迹方程为： 2．到两定点的距离之差为定值的点的轨迹一定不是（   ） A．一条直线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．双曲线 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义，对定值进行讨论，即可判断选项. 【详解】设两定点分别为和，设， 当时为双曲线的一支， 当时为一条射线， 当时，为的垂直平分线，一条直线， 无论为何值，都不会是双曲线. 3．双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】根据焦距及双曲线的关系，结合双曲线定义，即可求得答案. 【详解】由题意知，，所以. 在双曲线中，有，所以，又，所以. 由双曲线定义知，，即，所以或. 又，即，所以. 综上，. 4．已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义及双曲线上的点到焦点的距离的范围求解. 【详解】因为双曲线方程为，所以， 所以，所以， 由双曲线的定义可得，即， 可得或， 又当点在双曲线左支上时，， 当点在双曲线右支上时，， 所以或. 故选：C 5．设，是平面内两个定点，动点P满足，则P点的轨迹方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义可知，点P的轨迹是以，为焦点的双曲线， 因为，，所以， 所以其轨迹方程为. 故选：B 6．已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的定义即可得出答案. 【详解】∵，动点满足， ∴动点的轨迹为双曲线且为右支，，，， ∴的轨迹的方程为， 故选：D. 7．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且满足，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以， 由于双曲线的焦点在轴上， 所以双曲线的标准方程是. 故选：D 8．（多选）已知两点，若直线上存在点，使得，则称该直线为“点定差线”，下列直线中，是“点定差直线”的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据双曲线定义得到的轨迹方程为，，联立四个选项中的直线，求出交点横坐标，从而判断出答案. 【详解】则由题意得， 故点的轨迹为以为焦点，长轴长为2的双曲线的右支， 故，， 故点满足的轨迹方程为，， A选项，联立与，解得，负值舍去，满足要求，A正确； B选项，联立与，解得，负值舍去，满足要求，B正确； C选项，联立与，解得，不符合要求，C错误； D选项，联立与，解得，负值舍去，D正确. 故选：ABD 9．（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为两条射线 【答案】AD 【分析】利用椭圆、双曲线、圆的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，，则点的轨迹为以为焦点的椭圆，A正确； 对于B，，则点的轨迹是以为焦点双曲线的右支，B错误； 对于C，由，得，则点的轨迹是以为直径的圆，C错误； 对于D，，则点的轨迹是以为端点，且不过的两条射线，D正确. 故选：AD 10．（多选）已知，满足条件的动点的轨迹是双曲线的一支．则下列数据中，可以是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，结合双曲线的定义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由双曲线的焦点坐标，可得， 要使得满足条件的动点的轨迹是双曲线的一支， 则满足，解得且， 结合选项，选项B、C符合题意. 故选：BC. 题型二 求双曲线的标准方程 1．已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程和几何性质求解即得. 【详解】因为双曲线的焦点为和，虚半轴长为， 所以设双曲线方程为：，其中， 因为，所以， 所以双曲线方程为：. 2．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【详解】由题意知，椭圆的标准方程为，可得椭圆的焦点在轴上，且， 所以. 因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以双曲线的焦点在轴上， 所以双曲线方程可化为，且， 所以，解得. 3．已知双曲线的两个焦点是双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，得到，结合双曲线定义即可求解. 【详解】设，， 则由已知得， 又， 所以，又因为，所以， 所以双曲线的标准方程为. 故选：C. 4．双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．为直角三角形且其内切圆半径为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到，结合双曲线定义得到，，再根据内切圆半径和三角形面积公式得到，，求出双曲线的方程. 【详解】在中，直线的斜率为2，故⊥， 则，故， 又，所以，， 由勾股定理得，所以． 又内切圆半径为， 由三角形等面积法可得， 解得，故，，故双曲线的方程为. 故选：A． 5．中心在原点，顶点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可求出直线与轴的交点，得到双曲线的焦点，再根据条件双曲线为等轴双曲线即可得出结论． 【详解】因为双曲线的中心在原点，顶点在轴上，所以双曲线的焦点在轴上， 又因为双曲线的一个焦点在直线上，令，得， 所以，又，所以等轴双曲线的方程为. 故选：D. 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P为双曲线上在第一象限的点，若直线的倾斜角为30°，且与圆相交所得的弦长，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接OA，OB，过O作的垂线，垂足为D，结合几何关系可得，，由勾股定理可得，化简即可求解. 【详解】如图，连接OA，OB，过O作的垂线，垂足为D， 则D为AB的中点，直线的倾斜角为30°，故，，， 所以，即，解得，故双曲线方程为． 故选：C 7．已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义以及勾股定理，联立方程即可求解. 【详解】由题意设双曲线方程为， 由题意可知， 由于，，故，解得， 故， 故双曲线方程为， 故选：D 8．双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线右支上，直线的斜率为3，若是直角三角形，且面积为6，则双曲线的方程为__________. 【答案】 【分析】由题意得，，根据三角函数的定义，可得、表达式，根据的面积，可得c值，根据双曲线的定义，可得a值，根据a，b，c的关系，可得，即可得答案. 【详解】因为点在双曲线右支上，直线的斜率为3，且是直角三角形， 所以，且，则， 设焦距为2c，即， 所以， 因为的面积为6，所以， 解得， 由双曲线的定义得，则， 所以， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 9．已知双曲线的渐近线方程为，其右焦点坐标为，则双曲线的标准方程为____________. 【答案】 【分析】根据题目条件求出代入即可求出标准方程. 【详解】 ，代入由右焦点得，， 代入，故， 故双曲线的标准方程为. 故答案为： 10．双曲线（，）的左、右焦点分别为、.点P在双曲线右支上，直线的斜率为3.若是直角三角形，且面积为3，则双曲线的方程为_________. 【答案】 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合双曲线的定义再求出即可得解. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，， 设，，则， 由，解得， 因为，所以，求得，即， 由，解得， 由正弦定理可得：， 则由，得， 由，得， 则， 所以，， 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 题型三 双曲线中距离的最值转化 1．记双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断出点在右支的右侧，根据双曲线定义以及三点共线可求出的最小值. 【详解】记的左焦点为，显然， 而，于是点在右支的右侧，如下图：    则. 当且仅当三点共线时，等号成立. 故选：B. 2．已知双曲线与椭圆的焦点重合，其离心率是椭圆离心率的8倍，设，分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【分析】先由椭圆方程求出其焦点坐标及离心率，再根据双曲线的性质，以及与椭圆的关系求出，根据双曲线的定义可得，将其代入，结合对勾函数单调性即可求解.. 【详解】因为椭圆的焦点为，离心率为， 所以双曲线的焦半距为2， 由题意可知双曲线离心率为， 所以可知双曲线，解得. 因为为双曲线右支上任意一点， 所以，即， 又因为， 所以， 令， 得，由对勾函数单调性可知其中单调递增， 当时，取到最小值，即， 所以的最小值为． 3．已知是双曲线的左焦点，点是双曲线的右支上的动点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义对所求代数式进行变形，结合两点间距离公式即可求出最小值. 【详解】由题意知，双曲线，，，左焦点，右焦点. 由双曲线的定义可知，双曲线右支上点满足，即， 所以，当、、共线时，等号成立. ， 故的最小值为. 故选：B. 4．记点，，，，第三象限内一点P满足与的斜率之积为3，则周长的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据直线斜率之积确定点的轨迹方程，然后结合双曲线的定义计算即可. 【详解】设，由条件得，得， 可知其轨迹为双曲线第三象限的一部分，易知B为该双曲线的右焦点，左焦点为， 由定义与位置知，于是， 当且仅当F，P，D三点共线时等号成立，于是的周长． 5．已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设双曲线右焦点为，利用双曲线的定义，将的最大值问题转化为的最小值问题，从而借助平面中三角形两边之差小于第三边的几何性质求解即可． 【详解】设双曲线的右焦点为，则，， 而（渐近线斜率）， 故直线与双曲线的右支交于两个不同的点， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以， 当共线且A在之间时等号成立． 所以的最大值为， 故选：C 6．已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解. 【详解】由圆可化为， 则，半径为1， 因为是的下焦点，则， 由双曲线定义可得， 所以， 当且仅当四点共线时，取得最小值， 即的最小值是. 故选：B. 7．过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【分析】根据双曲线定义可得，结合圆的切线性质可得，结合图形，即得答案. 【详解】如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，， 连接，，，，则， 因为，， 所以 ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故选：B. 8．（多选）分别为椭圆和双曲线上的点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用椭圆的定义将椭圆上动点到同侧焦点的距离转化为到异侧焦点的距离，结合三角形两边之差小于第三边的性质构造不等关系；同时利用双曲线定义区分左右支，将双曲线上动点到焦点的距离进行转化，并运用三角形两边之和大于第三边的性质推导出最值. 【详解】由椭圆可得：，，左右焦点为、， 由椭圆的定义：对椭圆上任意点，，得， 因此：， 由三角形不等式：， 又，则， 故，故A错误，B正确； 由双曲线可得：，，焦点同样为、， 由双曲线的定义：若在右支：，得， 因此：， 由三角形不等式：，得， 若在左支：，得， 因此， 综上，总有，故C正确，D错误. 9．（多选）若双曲线的左，右焦点分别为，过的右支上一点作圆的切线，切点为，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的面积为9 B．若为圆上的一动点，则的最小值为3 C．四边形面积的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】由焦点三角形面积公式可得A错误；由双曲线的定义可得B正确；当点位于右顶点时可得C正确；由向量的数量积和基本不等式可得D错误. 【详解】圆的圆心为，半径为1，双曲线的焦点， 对于A，由双曲线焦点三角形的面积公式可得，故A错误； 对于B，由双曲线的定义可得，当三点共线时取等号，故B正确； 对于C，，所以当最小时，四边形的面积最小， 由双曲线的性质可得当点位于右顶点时，最小， 所以，所以四边形面积的最小值为，故C正确； 对于D， ，当时取等号，但，所以取不到等号，故D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题D选项的关键是利用三角函数的定义表示，再结合基本不等式和双曲线的性质求解. 10．（多选）已知点为双曲线右支上一点，、分别为圆：、：上的动点，则的值可能为（    ） A．2 B．6 C．9 D．12 【答案】BC 【分析】先由已知条件可知双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用平面几何知识把转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离，结合双曲线的定义可求出的范围，从而可得答案 【详解】由双曲线的方程可得，焦点为， 圆：的圆心为，半径为2， 圆：的圆心为，半径为1， 所以，， 所以, ， 所以， 故选：BC 题型四 与双曲线有关的轨迹问题 1．已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，即可求解方程. 【详解】因为， 所以点是以点为焦点的双曲线的右支，所以，，， 所以点的轨迹方程是，. 故选：C 2．动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆与圆的位置关系及双曲线的定义写出动圆圆心的轨迹方程. 【详解】由题设，圆的半径为，则， 所以，点的轨迹是以，为焦点， 所以，的双曲线的左支， 又，则，故， 动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C 3．已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质，可得，结合双曲线的定义，可得a，c的值，根据a，b，c的关系，即可求得答案. 【详解】因为圆心，，所以， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以， 所以， 所以Q点轨迹为双曲线，且， 所以，则点的轨迹方程为.    故选：B 4．设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据题意结合斜率公式运算求解即可. 【详解】设， 则，整理可得， 所以点的轨迹方程是. 故选：B. 5．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆上恰有三个点到直线的距离为，得到圆心到直线的距离恰好为，求得，设，得到，代入方程，即可得到点的轨迹方程. 【详解】由圆，可得标准方程为， 所以圆心，半径为， 若圆上恰有三个点到直线的距离为， 则满足圆心到直线的距离恰好为，即，即， 设，则， 代入，可得， 整理得，即点的轨迹方程为. 故选：A. 6．已知、，是圆（为坐标原点）上任意一点，是圆外一点，若，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对点的位置进行分类讨论，推导出，可知点的轨迹为双曲线，求出、的值，即可得出点的轨迹方程. 【详解】如下图所示：    当点在轴右侧时，连接，延长交直线于点， 因为，，故为线段的中点， 所以为等腰三角形，所以， 又因为为的中点，所以， 此时； 当点在轴左侧时，同理可得， 所以， 故点的轨迹是以点、为焦点，且实轴长为的双曲线， 由题意可得，则，，所以， 因此点的轨迹方程为. 故选：A. 7．在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对点的位置进行分类讨论，当点在轴右侧时，延长交于点，分析可知，且为的中点，再利用双曲线的定义可得结果. 【详解】易知点不在轴上，由知动点在单位圆上， 设点在轴右侧，如图，延长交于点． 因为点在的平分线上，且， 所以为等腰三角形，则，且为的中点，所以， 因此． 同理，当点在轴左侧时，． 故点在以、为焦点的双曲线上， 则该双曲线实轴长为，焦距，虚轴长为， 所以双曲线方程为． 8．（多选）已知动点与点都不重合，且直线PA，PB的斜率之积为定值．则（    ） A．点可能恒在某个圆上 B．点可能恒在焦点在轴上的某个双曲线上 C．点可能恒在焦点在轴上的某个椭圆上 D．点可能恒在某条直线上 【答案】AC 【分析】由题意整理方程，根据圆、椭圆以及双曲线的标准方程，根据斜率的取值情况，逐项检验，可得答案. 【详解】设，由PA，PB的斜率之积为定值，得，即． 对于A，当时，方程化为，此时点在圆上，故A正确； 对于C，当且时，方程可化为，表示椭圆，当时，点在焦点在轴上的椭圆上，故C正确； 对于B，D，当时，方程可化为，点在焦点在轴上的双曲线上，故B，D错误． 故选：AC. 9．（多选）已知的两个顶点，的坐标分别为，，，所在直线的斜率之积是，下列说法正确的是（    ） A．若，则顶点的轨迹是圆（除去与轴的交点） B．若，则顶点的轨迹是圆（除去与轴的交点） C．若，则顶点的轨迹是椭圆（除去与轴的交点） D．若，则顶点的轨迹是双曲线（除去与轴的交点） 【答案】BD 【分析】设出点的坐标，根据直线的斜率与直线的斜率之积为，可得出含有参数的点轨迹方程，然后对进行讨论，分析轨迹方程表示哪种曲线，最后确定正确选项. 【详解】设点，因为，所在直线的斜率之积是， 所以（），整理可得（）. 分析A，当时，方程为，则顶点的轨迹是双曲线（除去与轴的交点），故A错误； 分析B，当时，方程为，则顶点C的轨迹是圆（除去与x轴的交点），故B正确； 分析C，当且时，顶点C的轨迹是椭圆（除去与x轴的交点）；故C错误； 分析D，当时，顶点C的轨迹是双曲线（除去与x轴的交点），故D正确； 故选：BD． 10．（多选）双曲线的左、右焦点分别是，是双曲线第一象限上的一点（不包括轴上的点），且，的角平分线交x轴于点，下列说法正确的有（    ） A．G的轨迹是双曲线的一部分 B．的最小值是1 C．取值范围是 D． 【答案】ACD 【分析】利用相关点法可明确G的轨迹，利用G的轨迹可知的长度的范围，利用内角平分线定理与双曲线定义可得取值范围，利用内角平分线定理与焦半径公式可得. 【详解】设，又，，，即，又是双曲线上一点， ∴，即，故A正确； ∵G的轨迹是双曲线的一部分，实半轴长为，∴，故B错误； 根据内角平分线定理可知，， 又，∴，故C正确； 同样利用内角平分线定理与焦半径公式，由可知，， ∴，故D正确. 故选：ACD. 课时精练 一、单选题 1．已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（    ） A．椭圆 B．线段 C．双曲线的一支 D．一条射线 【答案】C 【分析】根据双曲线的概念，判断结果； 【详解】因为，则动点轨迹为双曲线的右支. 故选：C. 2．已知分别是双曲线的左､右焦点，是上一点，且，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由题意得，得. 故选：D 3．已知是双曲线 上的动点，则到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得，即； 再由双曲线定义可得到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为. 故选：B 4．已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由双曲线的定义即可求解. 【详解】因为为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点， 所以，故， 由于， 所以. 故选：B 5．若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【分析】首先求得焦半径的最小值，然后结合双曲线定义以及充要条件的定义即可得解. 【详解】， 当点在左支时，的最小值为， 当点在右支时，的最小值为， 因为，则点在双曲线的左支上， 由双曲线的定义，解得； 当，点在左支时，；在右支时，；推不出； 故为充分不必要条件， 故选：D. 6．已知双曲线的两个焦点分别为，，为坐标原点，若为上异于顶点的任意一点，则与的周长之差为（　　） A．8 B．16 C．或8 D．或16 【答案】D 【分析】将双曲线转化成标准方程，得到，根据双曲线的定义得出结论. 【详解】的方程可化为，所以， 易知与周长差的绝对值为， 故与的周长之差为或16. 故选：D. 7．已知、为直线上的两个定点，，为上的动点．在平面直角坐标系中，、，以为圆心，为半径作圆；以为圆心，为半径作圆，则两圆公共点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，分析可知，点不在线段（不包括端点）上，对点的位置关系进行分类讨论，结合双曲线的定义可求得动点的轨迹方程. 【详解】如下图所示： 设圆、圆的半径分别为、，则，， 设两圆的一个公共点为，由题意可知，点不能与点或点重合， 若点在线段（不包括端点）上运动时，则， 事实上，，此时点不存在； 当点在以点为端点以的方向为方向的射线上时， 此时，； 当点在以点为端点且以的方向为方向的射线上时， 此时，. 综上，， 所以，动点的轨迹是以点、为焦点的双曲线， 设该双曲线的标准方程为，焦距为， 则，可得， 因此，两圆公共点的轨迹方程为. 故选：A. 8．如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（    ）    A．射线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 【答案】C 【分析】连接、，由题意可得，所以，根据双曲线的定义，即可得答案. 【详解】连接、，如图所示：    因为为的垂直平分线，所以， 所以为定值， 又因为点在圆外，所以， 根据双曲线定义，点的轨迹是以、为焦点，为实轴长的双曲线. 故选：C. 二、多选题 9．（多选）满足下列条件的点P的轨迹一定在双曲线上的有（　　） A．A（2，0），B（－2，3），|PA－PB|＝5 B．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝2 C．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝1 D．A（2，0），B（－2，3），PA－PB＝2 【答案】BCD 【详解】 解析：因为|PA－PB|＝5＝AB，所以点P的轨迹是两条射线，故A不正确；设P（x，y）（x≠±2），因为kPA·kPB＝·＝2，化简得y2＝2（x2－4），即－＝1，此时P的轨迹在双曲线上，故B正确；设P（x，y）（x≠±2），因为kPA·kPB＝·＝1，化简得y2＝x2－4，即x2－y2＝4，此时P的轨迹在双曲线上，故C正确；因为PA－PB＝2＜5＝AB，此时P的轨迹在双曲线上，故D正确． 10．（多选）过椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为，若直线的斜率之积为（为常数），则点的轨迹可能是（    ） A．两条直线 B．圆的一部分 C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分 【答案】BCD 【分析】设出切线方程且斜率为，联立椭圆化简使判别式等于零得到关于等式，根据判别式及二次方程和韦达定理可得的范围及，根据的不同取值分别判断关于方程所对应的轨迹即可. 【详解】解：依题意可知直线和直线的斜率存在， 设过的椭圆的切线方程为， 联立化简可得： ， 取， 即， 且有，且上式两根分别为， 则上式的判别式， 整理得，符合题意，所以， ①若，则， 即点的轨迹是直线（两条）的一部分； ②若，则，即点的轨迹是直线（两条）的一部分； 若且，整理可得， ③当时，12， 轨迹方程可化为，即点的轨迹是圆的一部分； ④当或时，，且， 由于，且，所以点的轨迹是椭圆的一部分； ⑤当时，，表示焦点在轴上的双曲线， 由于，所以点的轨迹是双曲线的一部分. 故选：BCD 【点睛】思路点睛：该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于难题，关于求轨迹方程的思路有： (1)已知轨迹，建立合适的轨迹方程，用待定系数求解； (2)未知轨迹，求哪点轨迹设哪点坐标为，根据题意建立关于的等式即可； (3)轨迹不好判断，等式关系不好找时，找要求的轨迹点与题中的定点或定直线之间的定量关系，根据转化找出轨迹特点，建立轨迹方程，用待定系数求解. 11．（多选）已知A，B两点的坐标分别是，，直线AP、BP相交于点P，且两直线的斜率之积为m，则下列结论正确的是（    ） A．当时，点P的轨迹为圆 B．当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆（除去与x轴的交点） C．当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的抛物线 D．当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除去与x轴的交点） 【答案】ABD 【解析】设出P点的坐标，根据直线AP的斜率与直线BP的斜率之积为，可得出含有参数的点P轨迹方程，然后对进行讨论，分析轨迹方程表示哪种曲线，最后确定正确选项. 【详解】设点P的坐标为，直线AP，BP的斜率为， 由已知得， 化简得点P的轨迹方程为， 分析A，当时，方程为，故A正确； 分析B，当，方程为，表示焦点在轴上的椭圆，故B正确； 分析C，当，方程为，不表示抛物线，故C错误； 分析D，，方程为，表示焦点在轴上的双曲线，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】曲线的轨迹方程解题步骤为： ①设动点坐标 ②根据题意建立与的关系式 ③化简整理与的关系式，得出轨迹方程. 三、填空题 12．已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为______. 【答案】 【分析】设，根据斜率得到，化简即可. 【详解】设，由题意可知，， 整理可得动点的轨迹方程为. 故答案为：. 13．已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为__________. 【答案】34 【详解】由题知，由双曲线的定义，知， 故的周长为. 14．已知双曲线的方程为，如图所示，点，是圆上的点，点为其圆心，点在双曲线的右支上，则的最小值为______ 【答案】. 【分析】设点的坐标为，得到点是双曲线的焦点，根据题意和双曲线的定义，化简得到，结合圆的方程，得到，进而求得的最小值. 【详解】由双曲线，可得，则， 如图所示，设点的坐标为，则点是双曲线的焦点， 根据双曲线的定义，可得， 所以， 又由是圆上的点，圆的圆心为，半径为， 所以，所以， 当点在线段上时，取得等号，即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，过点，离心率； (2)，经过点，焦点在轴上的双曲线； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）确定曲线类型，再设出标准方程，借助离心率及所过点列出方程组求解. （2）根据给定条件，设出双曲线方程，代入求出虚半轴长平方即可. 【详解】（1）依题意，所求方程的曲线是椭圆，设方程为， 由离心率，得，则， 由椭圆过点，得，联立解得， 所以所求曲线的标准方程为. （2）依题意，设双曲线方程为，而， 双曲线过点，则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 16．已知，为椭圆的左，右顶点，为上的一点，为双曲线上的一点（，两点不同于，两点），设直线，，，的斜率分别为，，，，且.设为坐标原点，证明：，，三点共线. 【答案】证明见解析 【分析】设出点的坐标，表示四个斜率，结合斜率和为0可证三点共线. 【详解】设，，则，， 因为，可知：， ，， 因为，可知：， 则，， 由可知：，即， 所以：，因此，，，三点共线. 17．已知双曲线：的右顶点为A.请从条件①、②、③中选择两个条件作为已知，使得C存在且唯一. 条件①：的离心率为2； 条件②：的渐近线方程为； 条件③：的右焦点与点A的距离为1. (1)求的方程； (2)若过点的直线交C的右支于点M，且的面积为3，求的方程. 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分. 【答案】(1)选择条件①和③和选择条件②和③时，的方程，选择条件①和②时，C存在且不唯一 (2)或 【分析】（1）选择条件①和③：根据双曲线的离心率公式和两点间距离公式进行求解即可； 选择条件②和③：根据双曲线的渐近线方程和两点间距离公式进行求解即可； 选择条件①和②：根据双曲线的离心率公式和双曲线的渐近线方程进行求解判断即可. （2）方法一：根据三角形面积公式，结合点到直线距离公式进行求解即可； 方法二：设出直线方程与双曲线联立，利用三角形面积公式，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】（1）选择条件①和③： 因为C的离心率为2，点A到C的右焦点的距离为1，所以 解得 又因为，所以， 所以C的方程为. 选择条件②和③： 因为C的渐近线方程为，点A到C的右焦点的距离为1， 所以由 可得 所以C的方程为. 选择条件①和②： 因为的离心率为2， 所以， 所以的渐近线方程为， 由①能推出②，所以C存在但是不唯一，不符合题意； 综上所述：选择条件①和③和选择条件②和③时，的方程，选择条件①和②时，C存在且不唯一. （2）由（1）知，点A坐标为， 又由可得直线的方程为，且. 设点M到直线的距离为d， 因为面积为3，所以，所以. 设过点M且与直线平行的直线为n：. 则n与直线的距离为，故， 解得或， 所以直线n方程为或， 直线与直线关于原点中心对称， 与双曲线左支有两个交点，不合题意，舍去. 由得或 故点M坐标为或， 当M坐标为时，点，所以直线的方程为， 当M坐标为时，点，直线的方程为， 所以直线的方程为或. （方法二）由（1）知，点A坐标为，且点在C上. 当直线斜率不存在时，，面积为3，直线的方程为，符合题意. 当直线斜率存在时，设其方程为. 由得， 设， 则，， 故， 又因为A到直线的距离， 故面积为. 所以，解得，或， 因为该双曲线的渐近线方程为， 所以，， 因此此时直线不与双曲线的右支相交， 因为， 所以此时直线与双曲线的右支相交， 故直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 18．已知双曲线的右焦点为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)过的两条直线分别交的右支于A，B两点和C，D两点，且，证明：直线与直线的斜率之和是定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用代入法，结合焦点的定义进行求解即可； （2）设直线方程为，联立双曲线方程得到韦达定理式，利用弦长公式得，同理计算出，再计算出其乘积，同理再计算得，最后代入计算即可证明. 根据两点间距离公式，结合一元二次方程根的判别式、根与系数关系进行运算证明即可. 【详解】（1）因为双曲线的右焦点为，且经过点， 所以，因此双曲线的方程为； （2）由题意可知直线都存在斜率且不为零，且不相等， 设直线的斜率为，方程为，与双曲线方程联立，得 ，不等于0. 所以有， 设， ，解得， 同理， 所以 ， 设直线的斜率为， 同理可得：， 因为， 所以， 因为，所以， 因此直线与直线的斜率之和是定值. 19．已知，直线，相交于点，且它们的斜率之积是4． (1)求点的轨迹的方程． (2)过点能否作一条直线与轨迹交于，两点，且是线段的中点？若能，求出直线的方程；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）设点，由两直线斜率之积化简求解方程； （2）假设存在符合题设的直线，由点差法求出直线斜率，验证可知直线不存在. 【详解】（1）设点， 则直线的斜率，直线的斜率， 由题意知，即，化简整理得， 所以点的轨迹的方程为． （2）假设存在符合题设的直线，设， 则，两式相减整理得． 又因为为线段的中点，所以，， 所以直线的斜率． 由点斜式方程可知，直线的方程为，即． 由消去，整理得，（*） 判别式， 所以方程（*）无解，故直线与轨迹无交点，因此假设不成立， 故不存在过点的直线，使得与交于，两点，且是线段的中点． ( 2 / 35 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1 双曲线及其标准方程 题型一 双曲线的定义与方程 4 题型二 求双曲线的标准方程 5 题型三 双曲线中距离的最值转化 6 题型四 与双曲线有关的轨迹问题 7 课时精练 8 【基础回顾】 ( 1 / 11 ) 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 双曲线的定义 （1）双曲线定义：在平面内与两个定点 、 的距离之差的绝对值等于非 零常数 （小于 ） 的点的轨迹叫作双曲线。 这两个定点叫双曲线的焦点， 两焦点间的距离叫作双曲线的焦距， 焦距的一半叫作半焦距。 （2）双曲线定义的集合语言表示： 注意： （1）双曲线的定义中，常数 应当满足的约束条件： ，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； （2）若去掉定义中的“绝对值”，常数 满足约束条件： ,则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点 的一支; 若 ,则轨迹仅表示双曲线中靠焦点 的一支； （3）若常数 满足约束条件： ，则轨迹是以 、 为端点的两条射线 （包括端点）； （4）若常数 满足约束条件： ，则动点轨迹不存在； （5）若常数 ，则动点轨迹为线段 的垂直平分线。 知识点 2: 双曲线标准方程的推导 （1）建立适当的直角坐标系 以经过点 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴建立直角坐标系 . （2）根据定义建立等式关系 设 为双曲线上任意一点，双曲线焦距是 ，那么 的坐标分别是 . 由定义可知， 双曲线就是集合： （3）化简方程 将这个方程移项，两边平方得： 化简得： 两边再平方，整理得： （以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导） 由双曲线定义， 即 ，所以 . 设 ，代入上式得： 即 ，其中 . 知识点 3: 双曲线的标准方程对比 定义 图形 标准方程 焦点 的关系 知识点 4: 双曲线的标准方程的理解 （1）对于方程 ，当 时表示双曲线； 当 时表示焦点在 轴上的双曲线； 当 时表示焦点在 轴上的双曲线。 （2）对于方程 ，当 时表示双曲线； 当 时表示焦点在 轴上的双曲线； 当 时表示焦点在 轴上的双曲线。 注意：（1）判断焦点位置的方法是：看 、 的系数，如果 项的系数是正的，那么焦点在 轴上; 如果 项的系数是正的，那么焦点在 轴上。 （2）对于双曲线， 不一定大于 ，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上。 知识点 5: 求双曲线标准方程的方法 （1）定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能。 （2）设方程：根据焦点位置，设方程为 或 ，焦点不定时,可设为 . （3）寻关系：根据已知关系列出 的方程组。 （4）得方程：解方程组，将 代入所设方程即得所求。 注意: 与双曲线 共焦点的双曲线的方程可设为 题型一 双曲线的定义与方程 1．已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．到两定点的距离之差为定值的点的轨迹一定不是（   ） A．一条直线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．双曲线 3．双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 4．已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 5．设，是平面内两个定点，动点P满足，则P点的轨迹方程是（    ）． A． B． C． D． 6．已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且满足，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知两点，若直线上存在点，使得，则称该直线为“点定差线”，下列直线中，是“点定差直线”的有（    ） A． B． C． D． 9．（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为两条射线 10．（多选）已知，满足条件的动点的轨迹是双曲线的一支．则下列数据中，可以是（　　） A． B．2 C． D． 题型二 求双曲线的标准方程 1．已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．6 3．已知双曲线的两个焦点是双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 4．双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．为直角三角形且其内切圆半径为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．中心在原点，顶点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（ ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P为双曲线上在第一象限的点，若直线的倾斜角为30°，且与圆相交所得的弦长，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 8．双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线右支上，直线的斜率为3，若是直角三角形，且面积为6，则双曲线的方程为__________. 9．已知双曲线的渐近线方程为，其右焦点坐标为，则双曲线的标准方程为____________. 10．双曲线（，）的左、右焦点分别为、.点P在双曲线右支上，直线的斜率为3.若是直角三角形，且面积为3，则双曲线的方程为_________. 题型三 双曲线中距离的最值转化 1．记双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 2．已知双曲线与椭圆的焦点重合，其离心率是椭圆离心率的8倍，设，分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．3 3．已知是双曲线的左焦点，点是双曲线的右支上的动点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．记点，，，，第三象限内一点P满足与的斜率之积为3，则周长的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 5．已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 7．过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 8．（多选）分别为椭圆和双曲线上的点，，则（   ） A． B． C． D． 9．（多选）若双曲线的左，右焦点分别为，过的右支上一点作圆的切线，切点为，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的面积为9 B．若为圆上的一动点，则的最小值为3 C．四边形面积的最小值为 D．的最小值为 10．（多选）已知点为双曲线右支上一点，、分别为圆：、：上的动点，则的值可能为（    ） A．2 B．6 C．9 D．12 题型四 与双曲线有关的轨迹问题 1．已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 5．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 6．已知、，是圆（为坐标原点）上任意一点，是圆外一点，若，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 8．（多选）已知动点与点都不重合，且直线PA，PB的斜率之积为定值．则（    ） A．点可能恒在某个圆上 B．点可能恒在焦点在轴上的某个双曲线上 C．点可能恒在焦点在轴上的某个椭圆上 D．点可能恒在某条直线上 9．（多选）已知的两个顶点，的坐标分别为，，，所在直线的斜率之积是，下列说法正确的是（    ） A．若，则顶点的轨迹是圆（除去与轴的交点） B．若，则顶点的轨迹是圆（除去与轴的交点） C．若，则顶点的轨迹是椭圆（除去与轴的交点） D．若，则顶点的轨迹是双曲线（除去与轴的交点） 10．（多选）双曲线的左、右焦点分别是，是双曲线第一象限上的一点（不包括轴上的点），且，的角平分线交x轴于点，下列说法正确的有（    ） A．G的轨迹是双曲线的一部分 B．的最小值是1 C．取值范围是 D． 课时精练 一、单选题 1．已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（    ） A．椭圆 B．线段 C．双曲线的一支 D．一条射线 2．已知分别是双曲线的左､右焦点，是上一点，且，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．已知是双曲线 上的动点，则到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为（    ） A． B． C． D． 4．已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 6．已知双曲线的两个焦点分别为，，为坐标原点，若为上异于顶点的任意一点，则与的周长之差为（　　） A．8 B．16 C．或8 D．或16 7．已知、为直线上的两个定点，，为上的动点．在平面直角坐标系中，、，以为圆心，为半径作圆；以为圆心，为半径作圆，则两圆公共点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（    ）    A．射线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 二、多选题 9．（多选）满足下列条件的点P的轨迹一定在双曲线上的有（　　） A．A（2，0），B（－2，3），|PA－PB|＝5 B．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝2 C．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝1 D．A（2，0），B（－2，3），PA－PB＝2 10．（多选）过椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为，若直线的斜率之积为（为常数），则点的轨迹可能是（    ） A．两条直线 B．圆的一部分 C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分 11．（多选）已知A，B两点的坐标分别是，，直线AP、BP相交于点P，且两直线的斜率之积为m，则下列结论正确的是（    ） A．当时，点P的轨迹为圆 B．当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆（除去与x轴的交点） C．当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的抛物线 D．当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除去与x轴的交点） 三、填空题 12．已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为______. 13．已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为__________. 14．已知双曲线的方程为，如图所示，点，是圆上的点，点为其圆心，点在双曲线的右支上，则的最小值为______ 四、解答题 15．求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，过点，离心率； (2)，经过点，焦点在轴上的双曲线； 16．已知，为椭圆的左，右顶点，为上的一点，为双曲线上的一点（，两点不同于，两点），设直线，，，的斜率分别为，，，，且.设为坐标原点，证明：，，三点共线. 17．已知双曲线：的右顶点为A.请从条件①、②、③中选择两个条件作为已知，使得C存在且唯一. 条件①：的离心率为2； 条件②：的渐近线方程为； 条件③：的右焦点与点A的距离为1. (1)求的方程； (2)若过点的直线交C的右支于点M，且的面积为3，求的方程. 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分. 18．已知双曲线的右焦点为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)过的两条直线分别交的右支于A，B两点和C，D两点，且，证明：直线与直线的斜率之和是定值. 19．已知，直线，相交于点，且它们的斜率之积是4． (1)求点的轨迹的方程． (2)过点能否作一条直线与轨迹交于，两点，且是线段的中点？若能，求出直线的方程；若不能，说明理由． $