3.2.1　第1课时　双曲线及其标准方程（一） 2026-2027学年高二数学上学期数学人教A版选择性必修 第一册

该高中数学课件聚焦双曲线的定义、标准方程及a,b,c关系，通过拉链实验情境导入，类比椭圆引导学生抽象曲线上点的几何条件，构建从具体操作到抽象概念的学习支架，衔接旧知与新知。 其亮点在于以情境导入发展直观想象，类比椭圆定义培养数学抽象，典型例题通过定位定量方法强化逻辑推理。自我诊断和分层训练帮助学生巩固，教师可利用资料提升教学效率，助力学生理解数学本质。

3.2.1　 双曲线及其标准方程 新课程标准解读 核心素养 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世 界和解决实际问题中的作用 数学抽象 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程 数学抽象、 直观想象 目录 数学·选择性必修第一册 第1课时　 双曲线及其标准方程（一） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点 F1， F2上，把笔尖放在拉链的拉手 M 处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线就是双曲线的其中一支. 目录 数学·选择性必修第一册 【问题】　类比椭圆，你认为该情境中的曲线上的点应满足怎样的几 何条件？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 目录 数学·选择性必修第一册 知识点一　双曲线的定义 1. 定义：一般地，我们把平面内与两个定点 F1， F2的距离的 ⁠ 等于非零常数（ ｜ F1 F2｜）的点的轨迹叫 做双曲线. 2. 符号表示：｜｜ MF1｜－｜ MF2｜｜＝2 a （常数）且0＜2 a ＜｜ F1 F2｜. 3. 焦点：两个定点 ⁠. 4. 焦距： 的距离，表示为｜ F1 F2｜. 差 的绝对值　 小于　 F1， F2　 两焦点间　 目录 数学·选择性必修第一册 提醒　（1）若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉，则点 M 的轨迹为双曲线的一支，具体是哪一支，取决于｜ MF1｜与｜ MF2｜的大小；（2）双曲线定义中的常数必须要大于0且小于｜ F1 F2｜. 目录 数学·选择性必修第一册 知识点二　双曲线的标准方程 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 标准方程 ⁠ （ a ＞0， b ＞0） ⁠ （ a ＞0， b ＞0） 图形 － ＝1　 － ＝1　 目录 数学·选择性必修第一册 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 焦点坐标 F1（－ c ，0）， F2 ⁠ F1 ， F2 （0， c ） a ， b ， c 的关系 c2＝ ⁠ （ c ，0）　 （0，－ c ）　 a2＋ b2　 目录 数学·选择性必修第一册 【想一想】 1. 如何从双曲线的标准方程判断焦点位置？ 提示：“焦点跟着正项走”，若 x2项的系数为正，则焦点在 x 轴 上；若 y2项的系数为正，那么焦点在 y 轴上. 2. 双曲线中 a ， b ， c 的关系与椭圆中 a ， b ， c 的关系有何不同？ 提示：双曲线中， b2＝ c2－ a2，即 c2＝ a2＋ b2，其中 c ＞ a ， c ＞ b ， a 与 b 的大小关系不确定；而在椭圆中， b2＝ a2－ c2，即 a2＝ b2 ＋ c2，其中 a ＞ b ＞0， a ＞ c ， c 与 b 的大小关系不确定. 目录 数学·选择性必修第一册 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）平面内到两定点的距离的差等于常数（小于两定点间距离） 的点的轨迹是双曲线. （　×　） （2）平面内到点 F1（0，4）， F2（0，－4）的距离之差等于8的点 的轨迹是双曲线. （　×　） （3）双曲线标准方程中， a ， b 的大小关系是 a ＞ b . （　×　） × × × 目录 数学·选择性必修第一册 2. 双曲线 － ＝1的焦距为（　　） 解析： 　由题意知， a2＝10， b2＝2，∴ c2＝ a2＋ b2＝12，即 c ＝2 ，焦距2 c ＝4 . 3. 已知双曲线中 a ＝5， c ＝7，则该双曲线的标准方程为（　　） 解析： 　 b2＝ c2－ a2＝72－52＝24，故选C. 目录 数学·选择性必修第一册 4. 已知双曲线 － ＝1的左、右焦点分别为 F1， F2，若双曲线上的 点 P 到点 F1的距离为12，则点 P 到点 F2的距离为 ⁠. 解析：当点 P 在双曲线左支上时，｜ PF2｜－｜ PF1｜＝10，则｜ PF2｜＝22；当点 P 在双曲线右支上时，｜ PF1｜－｜ PF2｜＝10， 则｜ PF2｜＝2. 22或2　 目录 数学·选择性必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 双曲线标准方程的认识 【例1】　已知 － ＝－1，当 k 为何值时： （1）方程表示双曲线？ 解： 原方程可变形为 － ＝1. 要使方程表示双曲线，必须满足（｜ k ｜－3）（1－ k ）＞0. 即解得 k ＜－3或1＜ k ＜3. 目录 数学·选择性必修第一册 （2）方程表示焦点在 x 轴上的双曲线？ 解： 若方程表示焦点在 x 轴上的双曲线， 则解得1＜ k ＜3. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 方程表示双曲线的条件 （1）对于方程 ＋ ＝1，当 mn ＜0时表示双曲线，进一步，当 m ＞ 0， n ＜0时表示焦点在 x 轴上的双曲线；当 m ＜0， n ＞0时表示 焦点在 y 轴上的双曲线； （2）对于方程 － ＝1，当 mn ＞0时表示双曲线，且当 m ＞0， n ＞0时表示焦点在 x 轴上的双曲线；当 m ＜0， n ＜0时表示焦点 在 y 轴上的双曲线. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 1. 命题 p ：“3＜ m ＜5”是命题 q ：“曲线 ＋ ＝1表示双曲 线”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 解析： 　若曲线 ＋ ＝1表示双曲线，则（ m －3）（ m － 6）＜0，解得3＜ m ＜6.因为3＜ m ＜5是3＜ m ＜6的充分不必要条 件，所以命题 p 是命题 q 的充分不必要条件. 目录 数学·选择性必修第一册 2. （2025高二上·武强期中） 设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ） 解析：因为方程表示焦点在轴上的双曲线，由题意，可得，解得. A．B． C．D． 目录 数学·选择性必修第一册 题型二 求双曲线的标准方程 【例2】　分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（－5，0），（5，0），双曲线上的点 与两焦点的距离之差的绝对值等于8； 解： 由双曲线的定义知，2 a ＝8，所以 a ＝4， 又知焦点在 x 轴上，且 c ＝5， 所以 b2＝ c2－ a2＝25－16＝9， 所以双曲线的标准方程为 － ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册 （2）以椭圆 ＋ ＝1长轴的端点为焦点，且经过点（3， ）； 解： 由题意得，双曲线的焦点在 x 轴上，且 c ＝2 . 设双曲线的标准方程为 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）， 则有 a2＋ b2＝ c2＝8， － ＝1，解得 a2＝3， b2＝5. 故所求双曲线的标准方程为 － ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册 （3）过点 P ， Q 且焦点在坐标轴上. 解： 设双曲线的方程为 Ax2＋ By2＝1， AB ＜0. 因为点 P ， Q 在双曲线上，所以 解得 所以双曲线的标准方程为 － ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 求双曲线标准方程的两个关注点 提醒　若焦点的位置不明确，应注意分类讨论.也可以设双曲线方程为 mx2＋ ny2＝1的形式，注意标明条件 mn ＜0. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 1. 若双曲线中 a ＋ c ＝9， b ＝3，则双曲线的标准方程为 ⁠ ⁠. 解析：因为 a2＋ b2＝ c2， b ＝3， a ＋ c ＝9，解得 c ＝5， a ＝4，当 焦点在 x 轴上时，则双曲线的标准方程为 － ＝1.当焦点在 y 轴 上时，则双曲线的标准方程为 － ＝1. － ＝1 或 － ＝1　 目录 数学·选择性必修第一册 2. （2024·常州质检）若圆 x2＋ y2－4 x －9＝0与 y 轴的两个交点 A ， B 都在双曲线上，且 A ， B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此 双曲线的标准方程为 ⁠. － ＝1　 目录 数学·选择性必修第一册 解析：将 x ＝0代入 x2＋ y2－4 x －9＝0，得 y2＝9，即 y ＝±3.所 以点 A ， B 的坐标分别为（0，－3），（0，3）.因为 A ， B 两 点都在双曲线上，且将此双曲线的焦距三等分，所以双曲线焦 点在 y 轴上且－ ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册 题型三 双曲线定义的应用 【例3】　（1）设点 P 在双曲线 － ＝1上， F1， F2为双曲线的两 个焦点，且｜ PF1｜∶｜ PF2｜＝1∶3，则△ F1 PF2的周长等 于 ⁠； 解析： 由题意知｜ F1 F2｜＝2 ＝10，｜｜ PF2｜－ ｜ PF1｜｜＝6，又｜ PF1｜∶｜ PF2｜＝1∶3，∴｜ PF1｜＝3， ｜ PF2｜＝9，故△ F1 PF2的周长为3＋9＋10＝22. 22　 目录 数学·选择性必修第一册 （2）已知双曲线 x2－ y2＝1，点 F1， F2为其两个焦点，点 P 为双曲线 上一点，若 PF1⊥ PF2，则｜ PF1｜＋｜ PF2｜＝ ⁠. 解析： 不妨设点 P 在双曲线的右支上，因为 PF1⊥ PF2，所 以｜ F1 F2｜2＝｜ PF1｜2＋｜ PF2｜2＝（2 ）2＝8，又｜ PF1｜－｜ PF2｜＝2，所以（｜ PF1｜－｜ PF2｜）2＝4，可得 2｜ PF1｜·｜ PF2｜＝4，则（｜ PF1｜＋｜ PF2｜）2＝｜ PF1｜2 ＋｜ PF2｜2＋2｜ PF1｜·｜ PF2｜＝12，所以｜ PF1｜＋｜ PF2｜ ＝2 . 2 　 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 双曲线的定义的应用 （2）在解与焦点三角形（△ PF1 F2）有关的问题时，一般地，可由双 曲线的定义，得｜ PF1｜，｜ PF2｜的关系式，或利用正弦定 理、余弦定理，得｜ PF1｜，｜ PF2｜的关系式，从而求出｜ PF1｜，｜ PF2｜.但是，一般我们不直接求解出｜ PF1｜，｜ PF2｜，而是根据需要，把｜ PF1｜＋｜ PF2｜，｜ PF1｜－｜ PF2｜，｜ PF1｜·｜ PF2｜看作一个整体来处理. （1）已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离， 进而根据定义求该点到另一焦点的距离； 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 　（2024·南阳月考）若点 P 是双曲线 － ＝1上的一点，且∠ F1 PF2＝60°，则△ F1 PF2的面积为 ⁠. 16 　 解析：由 － ＝1，得 a ＝3， b ＝4， c ＝5.由双曲线的定义和余弦 定理得｜ PF1｜－｜ PF2｜＝±6，｜ F1 F2｜2＝｜ PF1｜2＋｜ PF2｜2－ 2｜ PF1｜｜ PF2｜ cos 60°，∴102＝（｜ PF1｜－｜ PF2｜）2＋｜ PF1｜·｜ PF2｜，∴｜ PF1｜·｜ PF2｜＝64，∴ ＝ ｜ PF1｜·｜ PF2｜· sin ∠ F1 PF2＝ ×64× ＝16 . 目录 数学·选择性必修第一册 1. 已知 M （－2，0）， N （2，0），｜ PM ｜－｜ PN ｜＝4，则动点 P 的轨迹是（　　） A. 双曲线 B. 双曲线左支 C. 一条射线 D. 双曲线右支 解析： 　因为｜ PM ｜－｜ PN ｜＝4＝｜ MN ｜，所以动点 P 的轨 迹是一条射线.故选C. 目录 数学·选择性必修第一册 2. 方程 － ＝1表示双曲线，则 m 的取值范围是（　　） A. －2＜ m ＜2 B. m ＞0 C. m ≥0 D. ｜ m ｜≥2 解析： 　∵已知方程表示双曲线，∴（2＋ m ）（2－ m ）＞0. ∴－2＜ m ＜2. 目录 数学·选择性必修第一册 3. 若双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）满足 ＝ ，且与椭圆 ＋ ＝1有公共焦点，则双曲线 C 的方程为（　　） 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　由题意可得椭圆的焦点坐标为（－3，0），（3，0）， 则在双曲线 C 中，有所以双曲线 C 的方程为 － ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册 4. 已知双曲线的中心在原点，两个焦点 F1， F2的坐标分别为（ ， 0）和（－ ，0），点 P 在双曲线上，且 PF1⊥ PF2，△ PF1 F2的面 积为1，求双曲线的标准方程. 解：由⇒（｜ PF1｜－｜ PF2｜） 2＝16，即2 a ＝4，解得 a ＝2，又 c ＝ ，所以 b ＝1，故双曲线的 标准方程为 － y2＝1. 目录 数学·选择性必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 若双曲线方程为 x2－2 y2＝1，则它的右焦点坐标为（　　） 解析： 　将双曲线方程化为标准方程为 x2－ ＝1，∴ a2＝1， b2 ＝ ，∴ c2＝ a2＋ b2＝ ，∴ c ＝ ，故右焦点坐标为（ ，0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 2. （2024·温州月考） P 是双曲线 x2－ y2＝16左支上一点， F1， F2分别 是左、右焦点，则｜ PF1｜－｜ PF2｜＝（　　） A. 4 B. －4 C. 8 D. －8 解析： 　因为双曲线方程为 x2－ y2＝16，化为标准方程得 － ＝1，即 a ＝4，∴｜｜ PF1｜－｜ PF2｜｜＝2 a ＝8，而点 P 在双曲 线左支上，于是｜ PF1｜＜｜ PF2｜，∴｜ PF1｜－｜ PF2｜＝－8. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 3. 以 F1（－ ，0）， F2（ ，0）为焦点且过点 P （2，1）的双曲 线方程是（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　由题意得双曲线的焦点在 x 轴上且 c ＝ .设双曲线 的标准方程为 － ＝1（ a ＞0， b ＞0），则有 a2＋ b2＝ c2＝ 3， － ＝1，解得 a2＝2， b2＝1，故所求双曲线的方程为 － y2＝1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 4. 已知有相同焦点 F1， F2的椭圆 ＋ y2＝1（ m ＞1）和双曲线 － y2 ＝1（ n ＞0）， P 是它们的一个交点，则△ F1 PF2的形状是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上均有可能 解析： 　因为｜ PF1｜＋｜ PF2｜＝2 ，｜ PF1｜－｜ PF2｜＝ ±2 ，又 m －1＝ n ＋1，所以｜ PF1｜2＋｜ PF2｜2＝2（ m ＋ n ） ＝4（ m －1）＝｜ F1 F2｜2，所以△ F1 PF2是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 5. （多选）（2024·泉州月考）若方程 ＋ ＝1所表示的曲线为 C ，则下面四个选项中正确的是（　　） A. 若1＜ t ＜3，则曲线 C 为椭圆 B. 若曲线 C 为椭圆，且长轴在 y 轴上，则2＜ t ＜3 C. 若曲线 C 为双曲线，则 t ＜1或 t ＞3 D. 曲线 C 可能是圆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　若方程 ＋ ＝1表示椭圆，则解 得1＜ t ＜3且 t ≠2，故A错误；若曲线 C 为椭圆，且长轴在 y 轴上， 则解得2＜ t ＜3，故B正确；若曲线 C 为双曲线，则 （3－ t ）（ t －1）＜0，解得 t ＜1或 t ＞3，故C正确；若曲线 C 是 圆，则解得 t ＝2，故D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 6. （多选）过点（1，1），且 ＝ 的双曲线的标准方程可以是 （　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　由于 ＝ ，∴ b2＝2 a2.当焦点在 x 轴上时，设双曲线 方程为 － ＝1，代入（1，1）点，得 a2＝ － y2＝1.同理求得焦点在 y 轴上时，双曲线 方程为 － x2＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 7. 已知双曲线方程为2 x2－ y2＝ k （ k ≠0），焦距为6，则 k ＝ ⁠ ⁠. 解析：若焦点在 x 轴上，则方程可化为 － ＝1，所以 ＋ k ＝ 32，即 k ＝6.若焦点在 y 轴上，则方程可化为 － ＝1，所以－ k ＋（－ ）＝32，即 k ＝－6. 6或－ 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册   x2－ ＝1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：设双曲线的标准方程为 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）.由题意 得 B （2，0）， C （2，3），∴∴双 曲线的标准方程为 x2－ ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 9. （2024·湛江月考）已知 F1， F2分别为双曲线 C ： x2－ y2＝1的左、 右焦点，点 P 在 C 上，∠ F1 PF2＝60°，则｜ PF1｜·｜ PF2｜ ＝ ⁠. 解析：设｜ PF1｜＝ m ，｜ PF2｜＝ n ，则 ∴∴ mn ＝4，即｜ PF1｜·｜ PF2｜＝4. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 10. 求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在 y 轴上，焦距为10，且经过点（0，4）； 解：∵双曲线焦点在 y 轴上， ∴设双曲线的标准方程为 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）， 由其焦距为10，得2 c ＝10， c ＝5， 又该双曲线过点（0，4），则 a ＝4， ∴ b2＝ c2－ a2＝25－16＝9， ∴双曲线的标准方程为 － ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2） a ＝4，经过点 A （1，－ ）. 解： 当焦点在 x 轴上时，设所求标准方程为 － ＝1 （ b ＞0），把点 A 的坐标代入，得 b2＝－ × ＜0，不符 合题意； 当焦点在 y 轴上时，设所求标准方程为 － ＝1（ b ＞ 0），把点 A 的坐标代入，得 b2＝9.故所求双曲线的标准方程 为 － ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 11. 双曲线 － ＝1上的点 P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个 焦点的距离为（　　） A. 1或21 B. 14或36 C. 2 D. 21 解析： 　设双曲线的左、右焦点分别为 F1， F2，不妨设｜ PF1｜ ＝11，根据双曲线的定义知｜｜ PF1｜－｜ PF2｜｜＝2 a ＝10， ∴｜ PF2｜＝1或｜ PF2｜＝21.而1＜ c － a ＝7－5＝2，∴舍去｜ PF2｜＝1，∴点 P 到另一个焦点的距离为21. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 12. 已知双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的焦点分别为 F1（－ 5，0）， F2（5，0）， P 为双曲线 C 上一点， PF1⊥ PF2，tan∠ PF1 F2＝ ，则双曲线 C 的标准方程为（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　∵ F1（－5，0）， F2（5，0），∴ c ＝5，｜ F1 F2｜＝ 10.∵ PF1⊥ PF2，tan∠ PF1 F2＝ ，∴ cos ∠ PF1 F2＝ ＝ ，∴｜ PF1｜＝8，｜ PF2｜＝6.由双曲线的定义可知，｜ PF1｜－｜ PF2｜＝2＝2 a ，∴ a ＝1，∴ b2＝ c2－ a2＝25－1＝ 24.∴双曲线 C 的标准方程为 x2－ ＝1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 13. （多选）设θ∈ ∪ ，则关于 x ， y 的方程 ＋ ＝1所表示的曲线可能是（　　） A. 焦点在 y 轴上的双曲线 B. 焦点在 x 轴上的双曲线 C. 焦点在 y 轴上的椭圆 D. 焦点在 x 轴上的椭圆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　当θ∈ 时， sin θ＜0， cos θ＞0，此时方程表 示焦点在 y 轴上的双曲线，A正确.当θ∈ 时， sin θ＞0， cos θ＜0，此时方程表示的曲线是焦点在 x 轴上的双曲线，B正确. 故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 14. 已知双曲线 － ＝1的左、右焦点分别为 F1， F2. （1）若点 M 在双曲线上，且 · ＝0，求 M 点到 x 轴的 距离； 解： 如图所示，不妨设 M 在双曲线 的右支上， M 点到 x 轴的距离为 h ， ∵ · ＝0，∴ MF1⊥ MF2， 设｜ MF1｜＝ m ，｜ MF2｜＝ n ， 由双曲线定义，知 m － n ＝2 a ＝8， ① 又 m2＋ n2＝（2 c ）2＝80， ② 由①②得 m · n ＝8，∴ mn ＝4＝ ｜ F1 F2｜· h ， ∴ h ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）若双曲线 C 与已知双曲线有相同焦点，且过点（3 ， 2），求双曲线 C 的方程. 解： 设所求双曲线 C 的方程为 － ＝1（－4＜λ ＜16），由于双曲线 C 过点（3 ，2）， ∴ － ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14（舍去）， ∴所求双曲线 C 的方程为 － ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 15. 已知双曲线 C 的焦点为 F1（－2，0）， F2（2，0），点 A 在 C 上，且关于原点 O 的对称点为 B ，｜ AB ｜＝｜ F1 F2｜，四边形 AF1 BF2的面积为6，则双曲线 C 的标准方程为（　　） C. x2－ y2＝2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　因为原点 O 分别为｜ AB ｜和｜ F1 F2｜的中点，所以四 边形 AF1 BF2为平行四边形.又｜ AB ｜＝｜ F1 F2｜，所以四边形 AF1 BF2为矩形.由四边形 AF1 BF2的面积为6，得｜ AF1｜｜ AF2｜＝ 6，再结合｜ AF1｜2＋｜ AF2｜2＝｜ F1 F2｜2＝16及双曲线的定 义，得｜｜ AF1｜－｜ AF2｜｜＝2 a ，即4 a2＝｜ AF1｜2＋｜ AF2｜ 2－2｜ AF1｜｜ AF2｜＝16－12＝4，即 a2＝1，所以 b2＝ c2－ a2＝ 3，故双曲线 C 的标准方程为 x2－ ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 16. （2024·苏州质检）已知双曲线过点（3，－2）且与椭圆4 x2＋9 y2 ＝36有相同的焦点. （1）求双曲线的标准方程； 解： 椭圆方程可化为 ＋ ＝1，焦点在 x 轴上，且 c ＝ ＝ － ＝1（ a ＞0， b＞0）， 则有 所以双曲线的标准方程为 － ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）若点 M 在双曲线上， F1， F2分别为左、右焦点，且｜ MF1｜ ＋｜ MF2｜＝6 ，试判断△ MF1 F2的形状. 解： 不妨设 M 点在右支上，则有｜ MF1｜－｜ MF2｜ ＝2 ，又｜ MF1｜＋｜ MF2｜＝6 ， 故解得｜ MF1｜＝4 ，｜ MF2｜＝2 ， 又｜ F1 F2｜＝2 ，因此在△ MF1 F2中，边 MF1最长， 而 cos ∠ MF2 F1＝ ＜0， 所以∠ MF2 F1为钝角.故△ MF1 F2为钝角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 谢 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