3.2.1 双曲线及其标准方程（第1课时）课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线定义、标准方程及应用，通过课前自学的表格对比和“入木三分”问题辨析定义关键条件，衔接椭圆知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于深度辨析定义中常数与焦距关系等关键要素培养数学抽象，题型分层设计提升数学运算，探究总结焦点三角形面积公式强化逻辑推理。例3结合余弦定理与定义求面积，学生深化理解，教师教学更系统高效。

课前自学 内容导航 课时学案 课后巩固 Content Navigation 01 02 03 3.2　双曲线 3.2.1　双曲线及其标准方程 (第1课时) 素养目标 1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(数学抽象、直观想象)2.掌握双曲线的标准方程及其求法．(数学运算)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(逻辑推理、数学运算) 课前自学 4 要点1　双曲线的定义 文字语言 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹 符号语言 ||PF1|－|PF2||＝常数(常数＜|F1F2|) 焦点 定点F1，F2 焦距 ______________的距离 两焦点间 第页 要点2　双曲线的标准方程 (－c，0) (0，－c) a2＋b2 第页 1．双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ 答：当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． 第页 2．双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？ 答：以双曲线焦点在x轴上为例，设M为双曲线上任意一点，若M点在双曲线的右支上，F1，F2分别为左、右焦点，则|MF1|＞|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(0＜2a＜|F1F2|)；若M在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a，因此若没有绝对值，动点轨迹为双曲线的一支． 3．确定双曲线的标准方程需要知道哪些量？ 答：a，b的值及焦点所在的位置． 返 回 课时学案 9 例 1 题型一　 求双曲线的标准方程 【思路分析】　(1)结合a的值设出标准方程的两种形式，将点A的坐标代入求解． 第页 10 第页 【思路分析】　(2)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x轴上，且c2＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解． 第页 【思路分析】　(3)双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解． 第页 探究1 1.求双曲线标准方程的步骤 (1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式． (2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解． 第页 第页 第页 第页 (3)焦点为(0，－6)，(0，6)，且过点A(－5，6)． 第页 第页 例 2 √ 题型二　 双曲线标准方程的理解 【解析】　∵方程表示双曲线，∴(2＋m)(2－m)＞0. ∴(m＋2)(m－2)＜0.∴－2＜m＜2.故选A. 第页 20 探究2 第页 充分不必要 第页 例 3 题型三　 双曲线的焦点三角形问题 第页 23 探究3 第页 12 返 回 课后巩固 26 1．动点P到点M(1，0)，N(－1，0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是(　　) A．双曲线　　　　　　　 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 √ 解析　由|MN|＝2知点P的轨迹是两条射线． 第页 解析　由双曲线定义知||PF1|－|PF2||＝10，即|12－|PF2||＝10.解得|PF2|＝2或|PF2|＝22，经检验均符合题意． √ 第页 √ 第页 第页 5．已知双曲线x2－y2＝1，F1，F2分别为其左、右焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________． 返 回 请做：课时作业（三十三） 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0) eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0) 焦点 F1___________，F2(c，0) F1______________，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝______________ 　根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)a＝4，经过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(4\r(10),3)))； 【解析】　(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－eq \f(16,15)×eq \f(160,9)<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,b2)＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1. (2)与双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点，且经过点(3eq \r(2)，2)； 【解析】　(2)∵焦点相同， ∴设所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)， ∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.① ∵双曲线经过点(3eq \r(2)，2)，∴eq \f(18,a2)－eq \f(4,b2)＝1.② 由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,8)＝1. 【解析】　(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0. ∵点P，Q在双曲线上， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9A＋\f(225,16)B＝1，,\f(256,9)A＋25B＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝－\f(1,16)，,B＝\f(1,9).)) ∴双曲线的标准方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1. (3)过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，5))且焦点在坐标轴上． 2．双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程． (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为Ax2＋By2＝1，AB<0的形式(注意标明条件AB<0)． 【解析】　(1)依题意，得双曲线的焦点在x轴上，且a＝eq \r(3)，c＝2eq \r(2)，所以b2＝c2－a2＝5. 所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,5)＝1. 思考题1　根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)以椭圆eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,5)＝1的焦点为顶点，顶点为焦点； 【解析】　(2)因为焦点在x轴上，且c＝eq \r(6)， 所以设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,6－a2)＝1，0＜a2＜6. 又因为双曲线过点(－5，2)，所以eq \f(25,a2)－eq \f(4,6－a2)＝1， 解得a2＝5或a2＝30(舍去)． 所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,5)－y2＝1. (2)焦距为2eq \r(6)，经过点(－5，2)，且焦点在x轴上； 【解析】　(3)方法一：由已知得c＝6，且焦点在y轴上．因为点A(－5，6)在双曲线上，所以2a＝|eq \r(（－5－0）2＋（6＋6）2)－eq \r(（－5－0）2＋（6－6）2)|＝|13－5|＝8，则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20. 所以所求双曲线的标准方程是eq \f(y2,16)－eq \f(x2,20)＝1. 方法二：因为焦点在y轴上，所以双曲线方程可以设为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)． 由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝36，,\f(36,a2)－\f(25,b2)＝1，)) 解得a2＝16，b2＝20(a2＝81，b2＝－45舍去)． 所以所求的双曲线的标准方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,20)＝1. 　若方程eq \f(x2,2＋m)－eq \f(y2,2－m)＝1表示双曲线，则m满足(　　) A．－2＜m＜2　　　　　 B．m＞0 C．m≥0 D．|m|≥2 方程表示双曲线的条件 (1)对于方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1，当mn<0时，表示双曲线，当m>0，n<0时，表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时，表示焦点在y轴上的双曲线． (2)对于方程eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1，当mn>0时，表示双曲线，且当m>0，n>0时，表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时，表示焦点在y轴上的双曲线． 【解析】　当k＞9时，9－k＜0，k－4＞0，方程表示双曲线． 当方程eq \f(x2,9－k)＋eq \f(y2,k－4)＝1表示双曲线时，(9－k)(k－4)＜0，解得k＞9或k＜4， 所以“k＞9”是“方程eq \f(x2,9－k)＋eq \f(y2,k－4)＝1表示双曲线”的充分不必要条件． 思考题2　“k＞9”是“方程eq \f(x2,9－k)＋eq \f(y2,k－4)＝1表示双曲线”的__________条件． 【解析】　由题知||PF1|－|PF2||＝2a，在△F1PF2中，由余弦定理得cos 60°＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq \f(（|PF1|－|PF2|）2＋2|PF1||PF2|－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)，所以|PF1|·|PF2|＝4(c2－a2)＝4b2.所以S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin 60°＝2b2·eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)b2＝12eq \r(3)，即b2＝12.由c＝2a，c2＝a2＋b2，得a2＝4.所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1. 　已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，半焦距c＝2a，F1，F2分别为左、右焦点，P为双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，S△F1PF2＝12eq \r(3)，求双曲线的标准方程． (1)利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题时，一定要注意与三角形知识(如余弦定理、勾股定理等)相结合，同时，要注意整体运算思想的应用． (2)双曲线的焦点三角形中，∠F1PF2＝θ(F1，F2为焦点)，则焦点三角形的面积S＝eq \f(b2,tan \f(θ,2)). 【解析】　依题意得|F1F2|＝2eq \r(1＋12)＝2eq \r(13)，∵|PF1|∶|PF2|＝3∶2，且|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即∠F1PF2＝90°，故△PF1F2的面积为eq \f(1,2)×6×4＝12. 思考题3　设P为双曲线x2－eq \f(y2,12)＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为________． 2．双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离是12，则P到F2的距离是(　　) A．17 B．7 C．7或17 D．2或22 3．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点是(0，3)，则k的值是(　　) A．－1 B．1 C．－eq \f(\r(65),3) D.eq \f(\r(65),3) 解析　由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x轴上，所以设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．根据题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝1，,\f(4,a2)－\f(45,4b2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,4)，,b2＝\f(3,4)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝16，,b2＝－15))(不符合题意，舍去)，所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,\f(1,4))－eq \f(y2,\f(3,4))＝1. 4．与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1有相同的焦点，且过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3\r(5),2)))的双曲线的标准 方程为________________． eq \f(x2,\f(1,4))－eq \f(y2,\f(3,4))＝1 解析　不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1⊥PF2，所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝(2eq \r(2))2，又|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，可得2|PF1|·|PF2|＝4，则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(3). 2eq \r(3) $