专题11 反比例函数的图象和性质11大重点题型培优拔尖训练2026-2027学年九年级数学上（人教版）

专题11 反比例函数的图象和性质11大重点题型培优拔尖训练 【题型 1 反比例函数图象的对称性】 1．（2026•盘州市模拟）如图，正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点P（4m，m）是正方形与反比例函数图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于32，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【分析】首先求出A（4m，m），然后由对称性得到（4m）2＝32，求出m2＝2，然后将P（4m，m）代入求解即可． 【解答】解：如图， 由条件可知A（4m，m）， ∵正方形和反比例函数图象都关于原点对称， ∴图中阴影部分的面积等于正方形AEOF的面积， ∴（4m）2＝32， ∴m2＝2， 将P（4m，m）代入得，， ∴k＝4m2＝8． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 2．（2025•莆田模拟）平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，规定其坐标“积和”运算为：P⊕Q＝x1y1+x2y2．若A，B，C，D四个点的“积和”运算满足：A⊕B＝B⊕C＝C⊕D＝D⊕B，则以A，B，C，D为顶点的四边形不可能是（　　） A．等腰梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 【分析】根据新运算得到x1y1＝x2y2＝x3y3＝x4y4，即可得到点A，B，C，D在同一反比例函数的图象上，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可判断以A，B，C，D为顶点的四边形不可能是菱形． 【解答】解：∵A⊕B＝B⊕C＝C⊕D＝D⊕B， ∴x1y1+x2y2＝x2y2+x3y3＝x3y3+x4y4＝x4y4+x2y2， ∴x1y1＝x2y2＝x3y3＝x4y4， ∴点A，B，C，D在同一反比例函数的图象上， ∴以A，B，C，D为顶点的四边形不可能是菱形， 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是确定点A，B，C，D在同一反比例函数的图象上． 3．（2024秋•大观区校级期中）已知直线y＝kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2﹣x2y1的值为（　　） A．﹣3 B．﹣6 C．0 D．3 【分析】由于正比例函数和反比例函数图象都是以原点为中心的中心对称图形，因此它们的交点A、B关于原点成中心对称，则有x2＝﹣x1，y2＝﹣y1．由A（x1，y1）在双曲线上可得x1•y1＝3，然后把x2＝﹣x1，y2＝﹣y1代入2x1y2﹣x2y1的就可解决问题． 【解答】解：∵直线y＝kx（k＞0）与双曲线都是以原点为中心的中心对称图形， ∴它们的交点A、B关于原点成中心对称， ∴x2＝﹣x1，y2＝﹣y1． ∵A（x1，y1）在双曲线上， ∴x1•y1＝3， ∴2x1y2﹣x2y1＝2x1•（﹣y1）﹣（﹣x1）•y1＝﹣x1•y1＝﹣3． 故选：A． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正比例函数及反比例函数图象的对称性等知识，得到A、B关于原点成中心对称是解决本题的关键． 【题型 2 反比例函数概念、性质的综合应用】 4．（2024秋•旌阳区校级期中）已知y与x成正比例，z与y成反比例，那么z与x之间的关系是（　　） A．成正比例 B．成反比例 C．有可能成正比例，也有可能成反比例 D．无法确定 【分析】此题可以根据正比例与反比例函数的定义确定z与x的函数关系． 【解答】解：因为y与x成正比例，所以y＝k1x， 又z与y成反比例，所以z． 所以z， 即z与x之间的关系是成反比例． 故选：B． 【点评】本题考查了正比例函数及反比例函数的定义，注意区分：正比例函数的一般形式是y＝kx（k≠0），反比例函数的一般形式是（k≠0）． 5．（1）已知函数y＝（m+1）是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是 　﹣2　 ． （2）已知点（1，a）在反比例函数y（k≠0）的图象上，其中a＝m2+2m+3（m为实数），则这个函数的图象在第 　一、三　 象限． 【分析】（1）根据反比例函数的定义可解决问题． （2）根据点（1，a）在反比例函数图象上以及a＝m2+2m+3，可用含m的代数式表示比例系数，再讨论其正负即可． 【解答】解：（1）由题知， 因为函数y＝（m+1）是反比例函数， 所以m+1≠0，且m2﹣5＝﹣1， 解得m＝±2． 又函数图象在第二、四象限内， 所以m+1＜0，即m＜﹣1． 所以m＝﹣2． 故答案为：﹣2． （2）因为点（1，a）在反比例函数y（k≠0）的图象上，且a＝m2+2m+3， 所以． 又m2+2m+3＝（m+1）2+2， 且（m+1）2+2≥2＞0， 所以这个函数的图象在第一、三象限． 故答案为：一、三． 【点评】本题考查反比例函数的定义及图象和性质，熟知反比例函数的定义和性质是解题的关键． 6．（2025•红花岗区模拟）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y的图象交于A（2，3），B两点． （1）求k与m的值； （2）若点C在y轴的正半轴上，且AC⊥BC，垂足为点C，求△ABC的面积． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得； （2）联立方程组可求点B坐标，由直角三角形的性质可求OB＝OA＝OC，由三角形的面积公式可求解 【解答】解：（1）∵正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y的图象交于A（2，3）， ∴3＝2k，3 ∴k，m＝6； （2）∵k，m＝6， ∴一次函数为yx，反比例函数解析式为y， 联立方程组可得：， 解得：或， ∴点B（﹣2，﹣3）， ∴AO＝BO， 又∵∠ACB＝90°， ∴CO＝AO＝BO， ∴点C（0，）， ∴△ABC的面积（2+2）＝2． 【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，直角三角形斜边中线的性质，三角形的面积公式，求得B、C点的坐标是本题的关键． 【题型 3 多种函数图象的共存问题】 7．（2025秋•嘉定区期中）函数y＝k1x和（k1k2＜0且k1＜k2）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先根据k1k2＜0且k1＜k2，可得k1＜0，k2＞0，再根据正比例函数的性质可得y＝k1x的图象在第二四象限，根据反比例函数的性质可得的图象在第一三象限，进而可选出答案． 【解答】解：∵k1k2＜0且k1＜k2， ∴k1＜0，k2＞0， ∴正比例函数y＝k1x的图象在第二四象限， 反比例函数的图象在第一三象限， 故选：C． 【点评】此题主要考查了正比例函数与反比例函数的性质，关键是熟练掌握两个函数的性质． 8．（2025秋•冷水滩区期中）已知k1＜0＜k2，则函数y＝k1x﹣3和y的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用反比例函数以及一次函数图象的性质分别分析得出答案． 【解答】解：∵k1＜0＜k2，函数y＝k1x﹣3和y在同一坐标系中， ∴反比例函数的图象分布在一三象限，一次函数图象经过二四象限，且过（0，﹣3）点， ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 【点评】此题主要考查了反比例函数图象以及一次函数图象，正确掌握各函数图象分布规律是解题关键． 9．（2025秋•兴庆区校级期末）二次函数y＝ax2+bx和反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别根据反比例函数确定b的符号，再由抛物线确定a、b的符号，如果一致则正确． 【解答】解：A、由反比例函数得：b＞0， ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∴抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴a、b异号， ∴b＜0， ∴选项A不正确； B、由反比例函数得：b＞0， ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∴抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴a、b异号， ∴b＞0， ∴选项B正确； C、由反比例函数得：b＞0， ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∴抛物线的对称轴在y轴左侧， ∴a、b同号， ∴b＜0， ∴选项C不正确； D、由反比例函数得：b＜0， ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∴抛物线的对称轴在y轴左侧， ∴a、b同号， ∴b＞0， ∴选项D不正确； 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数和二次函数图象的性质，明确反比例图象根据分支的位置确定比例系数的符号：①当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，②当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，反之也成立；并熟练掌握二次函数图象的性质． 10．（2026•南京三模）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+k与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案． 【解答】解：①当k＞0时， 一次函数y＝kx+k经过一、二、三象限， 反比例函数的的图象在一、三象限，故C选项的图象符合要求； ②当k＜0时， 一次函数y＝kx+k经过二、三、四象限， 反比例函数的的图象在二、四象限，没有符合条件的选项． 故选：C． 【点评】此题考查反比例函数的图象问题以及一次函数的图象，解答本题的关键要明确：反比例函数与一次函数的k值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关． 11．（2026•安徽模拟）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象如图，则一次函数y＝abx+k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数和二次函数的图象得到k＞0，ab＜0，然后判断一次函数的图象． 【解答】解：由图象可知k＞0， ∴一次函数y＝abx+k的图象与y轴交于正半轴， ∵二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象开口向下，顶点在第一象限， ∴a＜0，， ∴b＞0， ∴ab＜0， ∴一次函数y＝abx+k的图象y随x的增大而减小， ∴一次函数y＝abx+k的图象大致是： 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数的图象与系数的关系，熟练掌握以上知识点是关键． 12．（2026•市南区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax﹣2b（a≠0）与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的图象得出a＞0，b＞0，c＜0，结合一次函数关系式即可排除B，C，根据二次函数对称轴可得b＝2a，根据二次函数经过（﹣3，0）得出c＝﹣3a，假设一次函数与反比例函数的图象相交，则 ，进行判断即可得出答案． 【解答】解：根据二次函数图象得a＞0，b＞0，c＜0，根据一次函数关系式得出直线经过第一、三、四象限，排除 B，C； 根据对称轴是直线x＝﹣1，得，即b＝2a． 将（﹣3，0）代入二次函数关系式，得9a﹣3b+c＝0，即c＝﹣3a． 假设一次函数与反比例函数的图象相交，则 ， 整理得ax2﹣2bx﹣2c＝0，即ax2﹣4ax+6a＝0， 即 x2﹣4x+6＝0， 因为Δ＝16﹣24＜0，所以方程无实根， 即一次函数与反比例函数的图象无交点，故 A 符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，反比例函数以及一次函数的性质，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握以上知识点是关键． 【题型4 利用反比例函数与一次函数图象的交点解方程或不等式】 13．（2026•福田区二模）如图，直线y＝x﹣3与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B，将直线y＝x﹣3向上平移得到直线y＝k2x+b，直线y＝k2x+b与反比例函数的图象交于点C，与y轴交于点D．若，则b的值为　3　 ． 【分析】根据直线AB的解析式∠ABE＝45°，B（3，0），由AB即可求得AE＝BE＝1，求得A（4，1），利用待定系数法求得反比例函数为y，根据平移的性质以及，即可求得C（1，1+b），代入反比例函数解析式即可求得b的值． 【解答】解：作AE⊥x轴于E， ∵直线y＝x﹣3与x轴交于点B， ∴B（3，0）， 由直线y＝x﹣3可知∠ABE＝45°， ∴AE＝BE， ∵AB， ∴AE＝BE＝1， ∴A（4，1）， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴k1＝4×1＝4， ∴反比例函数为y， ∵将直线y＝x﹣3向上平移得到直线y＝k2x+b，， ∴线段AB相当于向左平移3单位，再向上平移b个单位得到CD， ∴C（1，b+1）， 把C点的坐标代入y，得b+1＝4， 解得b＝3， 故答案为：3． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，求得点C的坐标是解题的关键． 14．（2024•龙湖区校级一模）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与反比例函数y的图象有唯一公共点，若直线y＝﹣x+b与反比例函数y的图象有2个公共点，则b的取值范围是 b＜﹣2或b＞2　 ． 【分析】利用图象法结合对称性解决问题即可． 【解答】解：由题意，当b＞2时，直线y＝﹣x+b与反比例函数有两个交点， 根据对称性，b＜﹣2时，直线y＝﹣x+b与反比例函数也有两个交点， 故满足条件的b的值为b＜﹣2或b＞2， 故答案为：b＜﹣2或b＞2． 【点评】本题主要考查函数的交点问题，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型． 15．（2026春•宜阳县期末）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（﹣1，n），B（3，﹣2）两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出时，x的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）数形结合，直接写出不等式解集即可． 【解答】解：（1）∵点B（3，﹣2）在反比例函数图象上， ∴m＝﹣6， ∴反比例函数解析式为y， ∵点A（﹣1，n）在反比例函数图象上， ∴n＝6， ∴A（﹣1，6）． ∵点A（﹣1，6）和点B（3，﹣2）在一次函数y1＝kx+b图象上， ∴，解得， ∴一次函数解析式为y1＝﹣2x+4； （2）如图， 由图象可知，不等式的解集为x＜﹣1或0＜x＜3． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 【题型 5 反比例函数与一次函数的综合应用】 16．（2026•广安）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+4（k为常数，k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y（m为常数，m≠0）在第二，四象限分别交于C，D两点，点D（3，b），OB＝2OA． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点P在坐标轴上，以点O，D，P为顶点的等腰三角形有　8　 个，当点P在x轴负半轴时，求等腰三角形ODP的面积； （3）如图2，已知函数y＝kx的大致图象，请结合图象直接写出该函数的两条性质． 【分析】（1）先由一次函数解析式求出OB长度，结合OB＝2OA得A点坐标，求出k；再将D（3，b）代入一次函数得b，最后代入反比例求m即可； （2）分P在x轴，y轴两类，按OD＝OP、DO＝DP，PO＝PD三种等腰情况计数，再单独找出x轴负半轴的P，用底乘高算三角形面积； （3）结合k、m符号，观察函数y＝kx图象， 【解答】解：（1）将x＝0代入y＝kx+4，得y＝4 ∴B（0，4）， ∴OB＝4， ∵OB＝2OA， ∴OA＝2， ∴A（2，0） 将A（2，0）代入y＝kx+4，得k＝﹣2， ∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+4， 将D（3，b）代入y＝﹣2x+4， 得b＝﹣2， ∴D（3，﹣2）， 将D（3，﹣2）代入， 得m＝﹣6， ∴反比例函数的解析式为． （2）∵D（3，﹣2） ∴， P在x轴上时： ①OP＝OD时，则P1（，0）、P2（，0） ②DO＝DP时，则P3（6，0）， ③PO＝PD：P4（，0）， 共4个点， P在y轴上时： ①OP＝OD时，P5（0，）、P6（0，）， ②DO＝DP时，P7（0，﹣4）， ③PO＝PD时，P8（0，）， 共4个点， ∴8个等腰三角形． P在x轴负半轴只有P（，0）， 由题 ∴； 故答案为：8，． （3）图象的性质：①当x＞0时，y随着x增大而减小； ②当x＜0时y随着x增大而减小； ③函数的图象关于原点对称； ④函数的图象是轴对称图形． 【点评】本题综合考查一次函数、反比例函数解析式求解、等腰三角形分类讨论、分式函数图象性质．熟练掌握待定系数法、等腰三角形三边分类标准、函数图象特征分析是解题关键． 17．（2026•弋阳县模拟）如图，一次函数y＝mx+n的图象经过点A（1，0），交反比例函数的图象于点B（﹣1，4）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点C（t，0）在x轴的负半轴上，BC交反比例函数的图象于点P，若S△ABP＝S△ACP，求t的值． 【分析】（1）根据点A（1，0），B（﹣1，4）的坐标得到一次函数的表达式，根据点B（﹣1，4）的坐标得到反比例函数的表达式． （2）根据S△ABP＝S△ACP，得到点P是BC的中点，继而得到，将点代入反比例函数的表达式得到t＝﹣3． 【解答】解：（1）由条件可知：， 解得， ∴一次函数的表达式为y＝﹣2x+2， 将点B（﹣1，4）代入反比例函数（x＜0），得k＝﹣1×4＝﹣4， ∴反比例函数的表达式为（x＜0）； （2）∵S△ABP＝S△ACP， ∴BP＝CP， ∴点P是BC的中点， ∵点B（﹣1，4），C（t，0）， ∴点， ∴点代入反比例函数的表达式，得：， 解得：t＝﹣3． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 18．（2026•丹徒区二模）如图，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）的图象与x轴、y轴分别交于点A（8，0），B（0，﹣4），与反比例函数的图象交于点C，点D（点C在点D的左侧）． （1）求一次函数的表达式； （2）若点D的横坐标为5，则k2＝　　 ； （3）连接OC，过点D作DE平行于x轴，交y轴于点E，交OC于点F．若CF＝2OF，求k2． 【分析】（1）利用待定系数法进行计算即可； （2）求出点D的坐标，再滴入反比例函数解析式即可； （3）根据题意得出关于k2的方程，再据此进行计算即可． 【解答】解：（1）一次函数y＝k1x+b（k1≠0）的图象与x轴、y轴分别交于点A（8，0），B（0，﹣4）， 则， 解得， 所以一次函数为yx﹣4； （2）因为点D的横坐标为5， 则yD5﹣4． 所以D（5，）． 因为D在反比例函数的图象上， 所以k2＝5×（）． 故答案为：； （3）由x﹣4得， x， 所以． 因为CF＝2OF， 所以CO＝3OF， 所以， 则DF． 因为DE∥x轴， 所以△AOC∽△DFC， 所以， 所以DF， 所以， 解得k2＝﹣6． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键． 【题型6 反比例函数与几何图形的综合应用】 19．（2026春•惠安县期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、D都在反比例函数的图象上，对角线BD平行于x轴，坐标原点O为BC的中点，若菱形ABCD的面积为40，则k的值为（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 【分析】根据菱形的对称性质，设D（，h），则点B的纵坐标为h，再根据反比例函数图象上点的坐标特征分别求出点A、D的坐标，继而推出点B、C坐标，最后根据S菱形ABCD，代入数据求出k值即可． 【解答】解：如图，连接AC，设D（，h），则点B的纵坐标为h， ∵坐标原点O为BC的中点， ∴点C的纵坐标为﹣y， ∵点A、C关于BD对称， ∴点A的纵坐标为3h， ∵点A在反比例函数图象上， ∴点A的横坐标为， ∴A（，3h）， ∴C（，﹣h）， ∵点B、D关于AC对称， ∴B（，h）， ∴BD，AC＝3h﹣（﹣h）＝4h， ∴S菱形ABCD， ∴40， 解得k＝15． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握菱形性质及面积求法是关键． 20．（2026春•婺城区期末）正方形OABC在平面直角坐标系中如图所示，已知B（4，4），反比例函数的图象经过BC中点E，交AB于点F． （1）求反比例函数的解析式． （2）连结OE，OF，EF，求△OEF的周长． 【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝BC＝OC＝OA，∠B＝∠BCO＝∠BAO＝90°，求得AB＝BC＝OC＝OA＝4，由点E是BC的中点，得到E（2，4），于是得到结论； （2）根据题意得到点F（4，2），求得CE＝BE＝BF＝AF＝2，根据勾股定理得到OE2，OF2，EF2，根据三角形的周长公式得到△OEF的周长＝OE+OF+EF＝42． 【解答】解：（1）∵四边形ABCO是正方形， ∴AB＝BC＝OC＝OA，∠B＝∠BCO＝∠BAO＝90°， ∵B（4，4）， ∴AB＝BC＝OC＝OA＝4， ∵点E是BC的中点， ∴E（2，4）， ∵反比例函数的图象经过BC中点E， ∴k＝2×4＝8， ∴反比例函数的解析式为y； （2）当x＝4时，y2， ∴点F（4，2）， ∵E（2，4）， ∴CE＝BE＝BF＝AF＝2， ∴OE2，OF2，EF2， ∴△OEF的周长＝OE+OF+EF＝42． 【点评】本题考查了待定系数法求反比例的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，矩形的性质，正确地识别图形是解题的关键． 21．（2026春•莱芜区期末）直线y＝﹣x+b与双曲线交于点A（﹣1，6），与x轴交于点B，点C是线段AB上一点． （1）求k，b的值； （2）如图，过点C作y轴的垂线l，l与的图象交于点D，当线段CD＝10时，求点D的坐标； （3）双曲线上是否存在点E，使得△COE是以OC为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将 A（﹣1，6）代入y＝﹣x+b和解方程得到结论； （2）设C（5﹣m，m），求得xC﹣xD＝10，得到xD＝xC﹣10＝5﹣m﹣10＝﹣5﹣m，求得D（﹣5﹣m，m），解方程得到D（-6，1）； （3）设C（n，﹣n+5），①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线CN，垂足为N，过点E作EM⊥CM，垂足为M，得到∠EMN＝∠ONM＝90°，根据全等三角形的性质得到CM＝ON＝n，yE＝yC+n＝5，求得；②当O为直角顶点时，过点C作 CN⊥x轴，垂足为N，过点E作 EM⊥x轴，垂足为M，根据全等三角形的性质得到EM＝ON＝n，OM＝CN＝5﹣n，求得E（n﹣5，n），解方程得到E2（﹣3，2），E3（﹣2，3）． 【解答】解：（1）将 A（﹣1，6）代入y＝﹣x+b 得：6＝1+b，b＝5， 将A（﹣1，6）代入得：k＝﹣6； （2）∵ky＝﹣x+5， ∴x＝5﹣y， 设C（5﹣m，m）， ∵CD＝10， ∴xC﹣xD＝10， xD＝xC﹣10＝5﹣m﹣10＝﹣5﹣m， ∴D（﹣5﹣m，m）， ∵点D在双曲线上， ∴m（﹣m﹣5）＝﹣6， 解得：m1＝1，m2＝﹣6（舍去）， ∴D（-6，1）； （3）存在．设C（n，﹣n+5）， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线CN，垂足为N，过点E作EM⊥CM，垂足为M， 则∠EMN＝∠ONM＝90°， ∵∠ECO＝90°， ∴∠ECM+∠OCN＝90°， ∵∠EMC＝90°， ∴∠MEC+∠ECM＝90°， ∴∠OCN＝∠MEC， 又∵等腰直角三角形ECO中，CE＝CO， ∴△EMC≌△CNO（AAS）， ∴CM＝ON＝n，yE＝yC+n＝5， ∴； ②当O为直角顶点时，过点C作 CN⊥x轴，垂足为N，过点E作 EM⊥x轴，垂足为M， 同理可得：△EMO≌△ONC， ∴EM＝ON＝n，OM＝CN＝5﹣n， ∴E（n﹣5，n）， ∴（n﹣5）n＝﹣6， 解得：n1＝2，n2＝3， 此时E2（﹣3，2），E3（﹣2，3）， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或（﹣3，2）或（﹣2，3）． 【点评】本题是反比例函数综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 【题型7 反比例函数与几何图形的面积的综合】 22．（2026春•诸暨市期末）如图，在矩形ABCD中，点B、C在x轴上，点A、D分别在反比例函数y和y上，若矩形ABCD的面积为6，则k的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义进行计算即可． 【解答】解：如图所示， ∵四边形ABCD是矩形，点B、C在x轴上，点A在反比例函数y的图象上， ∴矩形ABOM的面积为4． ∵矩形ABCD的面积为6， ∴矩形OCDM的面积为2， ∴k＝2． 故选：B． 【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、矩形的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象与性质及反比例函数系数k的几何意义是解题的关键． 23．（2026•惠山区校级三模）如图，D为矩形OABC（边OA，OC分别在x，y轴的正半轴上）对角线OB上的点，且．经过点D的反比例函数的图象分别与AB，BC相交于点E，F，连接OE，OF，EF．若△OBF的面积是12，则△OEF的面积为（　　） A．12 B．13 C． D． 【分析】依据题意，设出点A和点C的坐标，进一步表示出点B的坐标，再结合ODBD表示出点D的坐标，最后利用△OBF的面积是24及整体思想进行计算即可． 【解答】解：由题知，令点A坐标为（a，0），点C坐标为（0，b）， 则点B坐标为（a，b）． ∵， ∴点D坐标可表示为， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为． ∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F坐标为，点E的坐标为， ∴，BE＝bbb， ∴S△OBFab＝12，解得ab＝27， ∴S△OEF＝S矩形OABC﹣S△OCF﹣S△OEA﹣S△BEF ＝abababab ab ． 故选：D． 【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征及矩形的性质，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键． 24．（2026春•莱州市期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函的图象交于点A（﹣3，n），B（2，3）． （1）求反比例函数与一次函数的函数表达式； （2）请结合图象直接写出不等式的解集为　﹣3≤x＜0或x≥2　 ，直接写出以反比例函数与一次函数图象交点横坐标为两根的一元二次方程x2+x﹣6＝0　 ； （3）若点P为x轴上一点，△ABP的面积为10，直接写出点P的坐标． 【分析】（1）根据反比例函数的图象经过B（2，3），利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；进而求得A的坐标，根据A、B点坐标，进而利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据A、B的坐标，结合图象即可求得；联立方程组，则x+1，从而x2+x﹣6＝0，即可得解； （3）根据三角形面积求出CP的长，根据C的坐标即可得出P的坐标． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过B（2，3）， ∴m＝2×3＝6． ∴反比例函数的解析式为． ∵A（﹣3，n）在上， ∴n＝﹣2． ∴A的坐标是（﹣3，﹣2）． 把A（﹣3，﹣2）、B（2，3）代入y＝kx+b．得， ∴ ∴一次函数的解析式为y＝x+1； （2）由图象可知：不等式的解集是﹣3≤x＜0或x≥2． 联立方程组， ∴x+1，则x2+x﹣6＝0． 故答案为：﹣3≤x＜0或x≥2；x2+x﹣6＝0； （3）把y＝0代入y＝x+1得：0＝x+1， ∴x＝﹣1， ∴C的坐标是（﹣1，0）， ∵P为x轴上一点，且△ABP的面积为10，A（﹣3，﹣2），B（2，3）， ∴CP×2CP×3＝10， ∴CP＝4， ∴当P在点C的左侧时，P的坐标是（﹣5，0）； 当P在点C的右侧时，P的坐标是（3，0）， ∴P（﹣5，0）或（3，0）． 【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积的应用，主要考查学生的计算能力． 25．（2026春•北碚区校级期末）如图，已知一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象交x轴于点C，交y轴于点D，且OC＝3，OD＝1．一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点B的横坐标为3． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）将直线AB向上平移2个单位长度后，与x轴交于点E，连接AE，BE，求△ABE的面积； （3）观察函数图象，请直接写出的解集． 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）先求出点A，B，E的坐标，再根据三角形的面积公式进行计算即可； （3）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【解答】解：（1）∵OC＝3，OD＝1， ∴C（﹣3，0），D（0，﹣1）， 将点C，D坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， ∴直线AB的解析式为y1x﹣1， 将x＝3代入y1x﹣1得，y1＝﹣2， ∴点B坐标为（3，﹣2）． 将点B坐标代入反比例函数解析式得， m＝3×（﹣2）＝﹣6， ∴反比例函数解析式为y2； （2）由得， x1＝3，x2＝﹣6， ∴点A坐标为（﹣6，1），点B坐标为（3，﹣2）． 由平移可知， 平移后的直线解析式为． 由得，x＝3， ∴点E的坐标为（3，0）， ∴BE∥y轴且BE＝0﹣（﹣2）＝2， ∴； （3）由函数图象可知， 当﹣6≤x＜0或x≥3时，一次函数的图象不在反比例函数图象的上方，即， 所以不等式的解集为﹣6≤x＜0或x≥3． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 26．（2026•拉萨模拟）如图，一次函数．y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（1，4）、B（n，﹣1）． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）已知点D在x轴上，若以A、B、D为顶点的三角形面积为10，求点D的坐标． 【分析】（1）先求出反比例函数的表达式，再求出点B的坐标，然后利用待定系数法解答即可； （2）直接观察图象解答即可； （3）设直线AB与x轴的交点为点C，设点D的坐标为（m，0），则CD＝|m+3|，再根据以A、B、D为顶点的三角形面积为10，即可求解． 【解答】解：（1）由条件可得：，解得k＝4， ∴反比例函数的表达式为， 把B（n，﹣1）代入，得， 解得n＝﹣4， ∴B（﹣4，﹣1）， 把A（1，4），B（﹣4，﹣1）代入y＝ax+b（a≠0）， 得，解得， ∴一次函数的表达式为y＝x+3； （2）观察图象得不等式的解集为x＜﹣4或0＜x＜1； （3）如图，设直线AB与x轴的交点为点C， 对于y＝x+3，当y＝0时，x＝﹣3， ∴C（﹣3，0）， 设点D的坐标为（m，0），则CD＝|m+3|， ∵以A、B、D为顶点的三角形面积为10， ∴，即， ∴m＝1或m＝﹣7， ∴点D的坐标为（1，0）或（﹣7，0）． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 27．（2026春•西城区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（1，4）和B（﹣2，m）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）当y1≥y2时，请直接写出x的取值范围：　﹣2≤x＜0或x≥1　 ； （3）请直接写出△AOB的面积：　3　 ； （4）以点A为位似中心，将△AOB放大得到△AO'B'，其中点O'和点B'分别是点O和点B的对应点，且满足放大后的三角形面积是原来的4倍，请直接写出点O'的坐标：　（﹣1，﹣4）或（3，12）　 ． 【分析】（1）利用待定系数法进行计算即可； （2）利用数形结合的数学思想即可解决问题； （3）将△AOB的面积转化为两个三角形的面积之和即可； （4）根据题意，求出点O′的坐标即可． 【解答】解：（1）将点A坐标代入反比例函数解析式得， k＝1×4＝4， 所以反比例函数的解析式为； 将点B坐标代入反比例函数解析式得，m＝﹣2， 所以点B坐标为（﹣2，﹣2）． 将A，B两点坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， 所以一次函数的解析式为y1＝2x+2； （2）由函数图象可知， 当﹣2≤x＜0或x≥1时，一次函数的图象不在反比例函数图象的下方，即y1≥y2， 所以当y1≥y2时，x的取值范围是﹣2≤x＜0或x≥1． 故答案为：﹣2≤x＜0或x≥1； （3）如图所示， 将x＝0代入y1＝2x+2得，y1＝2， 所以点C坐标为（0，2）， 所以3． 故答案为：3； （4）因为放大后的三角形面积是原来的4倍， 所以△AO'B'与△AOB的相似比为2：1， 所以1﹣xO′＝2×（1﹣0），4﹣yO′＝2×（4﹣0）或xO′﹣1＝2×（1﹣0），yO′﹣4＝2×（4﹣0）， 所以xO′＝﹣1，yO′＝﹣4或xO′＝3，yO′＝12， 所以点O'的坐标为（﹣1，﹣4）或（3，12）． 故答案为：（﹣1，﹣4）或（3，12）． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 【题型8 反比例函数的图象与几何变换问题】 28．（2026•旌阳区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A、点B的横坐标分别是﹣4和3． （1）当时，自变量x的取值范围为　﹣4＜x＜0或x＞3　 ； （2）求出一次函数和反比例函数的表达式； （3）将直线AB向上平移后，与反比例函数图象交于C，D两点，与两坐标轴分别相交于E，F两点．若S△ABC＝14，求直线CD的函数表达式． 【分析】（1）利用数形结合的数学思想即可解决问题； （2）先用b分别表示出点A和点B的纵坐标，再结合A，B两点在同一个反比例函数的图象上进行计算即可； （3）根据题意，求出平行线间的距离，据此得出平移的距离即可． 【解答】解：（1）由题知， 当﹣4＜x＜0或x＞3时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 所以当时，自变量x的取值范围是﹣4＜x＜0或x＞3． 故答案为：﹣4＜x＜0或x＞3； （2）因为点A、点B的横坐标分别是﹣4和3， 则点A和点B的纵坐标分别为﹣4+b和3+b． 因为点A和点B都在反比例函数的图象上， 所以﹣4（﹣4+b）＝3（3+b）， 解得b＝1， 所以一次函数的表达式为y＝x+1且点A坐标为（﹣4，﹣3），点B坐标为（3，4）． 将点A（﹣4，﹣3）代入y得， k＝﹣4×（﹣3）＝12， 所以反比例函数的表达式为y； （3）因为点A坐标为（﹣4，﹣3），点B坐标为（3，4）， 所以AB． 因为S△ABC＝14， 所以点C到直线AB的距离为． 由平移可知，EF∥AB， 所以点E到直线AB的距离也是． 因为直线AB与y轴的夹角为45°且交点坐标为（0，1）， 则， 即点E在点（0，1）上方4个单位长度， 所以直线CD由直线AB沿y轴向上平移4个单位长度得到， 所以直线CD的函数表达式为y＝x+5． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 29．（2026•鞍山二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数的图象交于A（2，﹣1），B（﹣1，n）两点，与x轴交于点C． （1）求k2，n的值； （2）观察图象，写出不等式的解集； （3）将x轴下方的图象沿x轴翻折，点A落在点A'处，连接A′B，A'C，求△A′BC的面积． 【分析】（1）先求出反比例函数的解析式，再求出点B坐标，据此可解决问题； （2）利用数形结合的数学思想即可解决问题； （3）求出点A′的坐标，再结合点B和点C的坐标即可解决问题． 【解答】解：（1）将点A坐标代入得， k2＝2×（﹣1）＝﹣2， 所以反比例函数的解析式为y． 将点B坐标代入y得， n＝2； （2）由函数图象可知， 当﹣1＜x＜0或x＞2时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即， 所以不等式的解集为﹣1＜x＜0或x＞2； （3）因为点A坐标为（2，﹣1）， 所以翻折后的点A′的坐标为（2，1）． 将A，B两点坐标代入y＝k1x+b得， ， 解得， 所以直线AB的函数关系式为y＝﹣x+1， 所以点C坐标为（1，0）． 过点A′和B分别作x轴的垂线，垂足分别为M和N， 因为，，， 所以． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键． 30．（2025春•盐城校级期中）几何图形是数学研究的主要对象之一，图形的形状、大小和位置是几何中研究的主要内容，平面几何中，平移、翻折、旋转是常见的图形变换．鹿鸣学堂数学兴趣小组的同学们在学习了反比例函数的相关内容后，进一步探究反比例函数的图象的平移、旋转、翻折的相关问题，过程如下： （1）如图1，将反比例函数的图象向左平移3个单位，求平移后的图象与y轴的交点坐标； （2）如图2，将反比例函数（x＞0）的图象绕点O顺时针旋转60°，点P为旋转后图象上的一点，过点P作直线的垂线，垂足是H，若，求PH的值； （3）如图3所示，反比例函数（x＞0）的图象沿直线翻折得到新图象．若直线y＝x+1与两条曲线交于E、F，直线y＝x﹣1与两条曲线交于G、H，同学们发现E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，当这个矩形的面积是4时，直接写出b的值． 【分析】（1）根据函数图象变换规律“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式，进而求解即可； （2）设点P′为点P旋转前的图象上的对应点，过点P′作P′H′⊥y轴于H′，则，设点P′坐标为（a，b），则ab＝6①，a2+b2＝13②，解得a＝3，b＝2或a＝2，b＝3，则P′H′＝2或P′H′＝3；证明直线与x轴的夹角为30°；证明△POH≌△P′OH′（AAS）得到PH＝P′H′即可求解； （3）联立方程组求得G（3，2），F（2，3），进而求得，根据矩形性质求得，分当点H在点G右上方时和当点H在点G左下方时两种情况求得点H坐标，进而利用矩形的性质求得对角线的交点坐标，进而可求解． 【解答】解：（1）由题意，∵的图象向左平移3个单位， ∴平移后的函数为， ∵当x＝0时，则， ∴平移后的图象与y轴的交点坐标（0，2）； （2）设点P′为点P旋转前的图象上的对应点，过点P′作P′H′⊥y轴于H′，如图， ∴， 设P′（a，b）， ∴ab＝6①，a2+b2＝13②， ∴a＝3，b＝2或a＝2，b＝3， ∴P′H′＝2或P′H′＝3； 如图，在直线取一点， 过T作TS⊥x轴，垂足为S， ∴OS＝3，，∠OST＝90°， ∴，满足直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半， ∴∠TOS＝30°，即直线与x轴的夹角为30°； ∴∠HOH′＝∠POP′＝60°， ∴∠POH＝∠P′OH′， 又∠PHO＝∠P′OH′＝90°，OP＝OP′， ∴△POH≌△P′OH′（AAS）， ∴PH＝P′H′， ∴PH＝2或3； （3）由题意，联立方程组， ∴或（舍去）， ∴G（3，2）； 联立方程组， ∴或（舍去）， ∴F（2，3）， ∴， ∵E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，且面积是4， ∴， ∴， ∵直线y＝x﹣1与两条曲线交于G、H， ∴①当点H在点G右上方时，形成矩形为FGHE， ∴H（5，4）， ∴此时对角线交点为， 根据轴对称性质，将代入得， ∴b＝7； ②当点H在点G左下方时，形成矩形为FGHE， ∴H（1，0）， ∴此时对角线的交点为， 根据轴对称性质，将代入得， ∴b＝3； 综上，b＝7或3． 【点评】本题考查平移的性质、旋转的性质、轴对称的性质以及图形变换的应用、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、矩形性质等知识，熟练掌握图形变换的性质是解答的关键． 31．（2026•广元）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx+b的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与函数y（x＞0）的图象交于点C（a，2）． （1）求a，b的值； （2）将线段AB绕点A逆时针旋转90°到AD，连接BD，将△ABD沿直线AB平移，当点D的对应点E恰好落在函数y（x＞0）的图象上时，求点E的坐标． 【分析】（1）依据题意，由C（a，2）在反比例函数y上，可得a＝2，故C为（2，2），结合C在一次函数yx+b的图象上，从而2+b＝2，则b＝1，即可得解； （2）依据题意，结合（1）一次函数为yx+1，故令x＝0，则y＝1，故B（0，1）；令y＝0，则x＝﹣2，故A（﹣2，0），又过D作DF⊥x轴于F，由AB旋转90°至AD，可证明△DAF≌△ABO（AAS），从而DF＝AO＝2，FA＝OB＝1，进而D（﹣3，2），又△ABD沿直线AB平移，可得DE∥直线yx+1，则可设直线DE为yx+m，求出一次函数解析式，然后联立方程组，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵C（a，2）在反比例函数y上， ∴2a＝4，则a＝2． ∴C为（2，2）， 又∵C在一次函数yx+b的图象上， ∴2+b＝2，则b＝1． （2）由题意，结合（1）一次函数为yx+1， ∴令x＝0，则y＝1，故B（0，1）； 令y＝0，则x＝﹣2，故A（﹣2，0）． 过D作DF⊥x轴于F， 又由AB旋转90°至AD， ∴AD＝BA． 可得∠DFA＝∠AOB＝90°，∠DAF＝∠ABO， ∴△DAF≌△ABO（AAS）． ∴DF＝AO＝2，FA＝OB＝1， ∴D（﹣3，2）． ∵△ABD沿直线AB平移， ∴DE∥直线yx+1， ∴可设直线DE为yx+m， ∴3+m＝2，则m． ∴一次函数yx， 联立方程组， ∴x＝1或x＝﹣8（x＞0，负值不合题意，舍去）． ∴E（1，4）． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 32．（2026•召陵区二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，1）和B（1，n）． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）将△OAB绕原点O顺时针旋转，点A对应的点为A'，点B对应的点为B'，当A'B'首次与y轴平行时，判断点A'是否在函数的图象上． 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式可求出m，再将点B坐标代入所求反比例函数解析式，求出点B坐标，最后将点A和点B坐标都代入一次函数解析式进行计算即可； （2）根据题意画出示意图，再结合旋转的性质求出点A'的坐标进行判断即可． 【解答】解：（1）将点A坐标代入y得， m＝﹣3×1＝﹣3， 所以反比例函数解析式为． 将点B坐标代入y得，n＝﹣3， 所以点B坐标为（1，﹣3）． 将A，B两点坐标代入y＝kx+b得， ， 解得， 所以一次函数解析式为y＝﹣x﹣2； （2）不在，理由如下： 因为A（﹣3，1），B（1，﹣3）， 所以OA＝OB，AB． 如图所示， 因为A'B'∥y轴， 所以A'B'⊥x轴． 因为OA′＝OB′， 所以A′M， 所以OM， 所以点A′坐标为（）． 因为， 所以点A′不在函数的图象上． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 【题型9 与反比例函数的图象、性质有关的阅读理解题】 33．（2025秋•城中区校级月考）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．【尝试初探】 （1）点C（3，1）　不是　 “美好点”（填“是”或“不是”）；若点D（4，b）是第一象限内的一个“美好点”，则b＝　4　 ．【深入探究】 （2）若“美好点”E（m，6）（m＞0）在双曲线且k为常数）上，则k＝　18　 ． 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点P（x，y）是第一象限内的“美好点”． ①求y关于x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； ②结合图象研究性质，下列结论正确的选项是AB ；（多选） A．图象与经过点（2，2）且平行于坐标轴的直线没有交点； B．y随着x的增大而减小； C．y随着x的增大而增大； D．图象经过点． ③对于图象上任意一点（x，y），代数式（2﹣x）•（y﹣2）是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【分析】（1）直接根据“美好点”的定义可以判断点C是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到2×（4+b）＝4b，进行计算即可得到b的值； （2）根据“美好点”的定义求出m的值，得到E的坐标，将点E代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； （3）①根据“美好点”的定义可得2（x+y）＝xy，化简整理即可得到答案； ②先画出草图，再根据图象逐一判断即可得到答案； ③将代入（2﹣x）•（y﹣2）进行计算即可得到答案． 【解答】解：（1）∵（3+1）×2＝8≠1×3， ∴点C（3，1）不是“美好点”， ∵点D（4，b）是第一象限内的一个“美好点”， ∴2×（4+b）＝4b， 解得：b＝4， 故答案为：不是，4； （2）“美好点”E（m，6）（m＞0）在双曲线且k为常数）上， 依题意得：2×（m+6）＝6m， 解得：m＝3， ∴E（3，6）， ∵E（3，6）在双曲线且k为常数）上， ∴k＝3×6＝18， 故答案为：18； （3）①已知点P（x，y）是第一象限内的“美好点”， 依题意得：2（x+y）＝xy， 化简得：y， ∵第一象限内的点的横坐标为正， ∴， ∴x＞2， ∴y关于x的函数表达式为y（x＞2）； ②函数y如图： 由图象可得： A．图象与经过点（2，2）且平行于坐标轴的直线没有交点，故A正确，符合题意； B．由图象可知y随着x的增大而减小，故B正确，符合题意； C．y随着x的增大而增大，该选项说法错误，不符合题意； D．当x＝10时，y，所以图象经过点（10，），故该选项说法错误，不符合题意 故选：AB； ③代数式（2﹣x）•（y﹣2）为定值；理由如下： ∵y， ∴（2﹣x）（y﹣2）＝（2﹣x）（）＝﹣4， ∴对于图象上任意一点（x，y），代数式（2﹣x）•（y﹣2）是为定值，定值为﹣4． 【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义是解题的关键． 34．（2025春•苏州校级期中）定义：如果一个矩形A的周长和面积都是矩形B的周长和面积的n倍，那么我们就称矩形A是矩形B的“n倍矩形”． 【概念辨析】 （1）一个矩形的周长是12，面积是8，它的“2倍矩形”的周长为　24　 ，面积为　16　 ； 【深入探究】 （2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍矩形”，若存在，它的长和宽分别为多少？ ①我们可以从函数的观点来研究“2倍矩形”，设“2倍矩形”的长和宽分别为x，y（x＞y＞0），由题意x+y＝10，xy＝12，则y＝﹣x+10，，在图中的平面直角坐标系中作出一次函数l1：y＝﹣x+10和反比例函数的图象来研究，有交点就意味着存在“2倍矩形”，交点的横坐标与纵坐标分别对应“2倍矩形”的长和宽． 请观察图象，则长为3，宽为2的矩形　存在　 （填“存在”或“不存在”）“2倍矩形”，它的长和宽分别约为　8.6　 和　1.4　 （结果精确到0.1） ②我们还可以从方程（组）的观点来研究“2倍矩形”，设“2倍矩形”的长和宽分别为x，y（x＞y＞0），由题意：x+y＝10，xy＝12，则y＝﹣x+10，，请完成以下解答过程．（结果保留根号） 【分析】（1）由新定义即可求解； （2）①从两个函数图象看，两个函数有交点，故存在“2倍矩形”，结合图象取近似数，即可作答． ②联立方程组，求出，再求出，即可作答． 本题考查了一次函数与反比例函数综合题，认真阅读理解新定义“矩形B是矩形A的“2倍矩形”，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【解答】解：（1）依题意，∵一个矩形的周长是12，面积是8， ∴它的“2倍矩形”的周长为12×2＝24，面积为8×2＝16； 故答案为：24，16； （2）①观察图象，两个函数有交点， 则长为3，宽为2的矩形存在“2倍矩形”， ∵x＞y＞0， ∴结合图象，则它的长和宽分别约为8.6和1.4， 故答案为：存在，8.6，1.4； ②依题意， 整理得 ∴x2﹣10x+12＝0， ∴x2﹣10x+25＝﹣12+25＝13 解得或， ∵x＞y＞0 ∴（舍去）， ∴宽为， 即． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数交点和新定义，关键是掌握新定义用数形结合思想解答即可． 35．（2024•运城一模）阅读与思考 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 反比例函数是初中函数学习的重要组成部分，它与物理、化学等密切相关，函数本身又是一个重要的数学思想，利用函数的思想和方法可以加深对一些代数问题的理解，现从反比例函数系数k的几何意义出发来探究反比例函数的一些规律． 逐梦学习小组在熟练掌握k的几何意义基础之上又进行了深入的探究后发现：如图1，以矩形OCBA的顶点O为坐标原点，射线OA为x轴正半轴、射线OC为y轴的正半轴建立平面直角坐标系，若反比例函数的图象交BC于点E，交AB于点F，当CE＝BE时，则AF＝BF，在老师指导下逐梦学习小组进行了如下推理，证明了这一结论是正确的． 证明：在图1中，过点E作EG⊥x轴，垂足为G，过点F作FH⊥y轴，垂足为H 根据k的几何意义，易知S矩形OCEG＝S矩形OHFA＝|k|， ∵CE＝BE， ∴， ∴， ∴，即AF＝BF． 任务： （1）在图1中，已知CE＝BE，若反比例函数的系数k＝1，则矩形OCBA的面积＝　2　 ； （2）逐梦学习小组继续探究后发现，如图2，若反比例函数的图象交BC于点E，交AB于点F，若，则，请帮助逐梦学习小组完成证明； （3）如图3，反比例函数的图象交BC于点E，交AB于点F，若，则图中阴影部分（即四边形OEBF）的面积＝　3　 ． 【分析】（1）由题意知，S矩形OCEG＝1，由CE＝BE，可得，进而可得S矩形OCBA＝2； （2）如图2，作EG⊥OA于G，FH⊥OC于H，证明过程同题干； （3）如图3，作EG⊥OA于G，FH⊥OC于H，同理可得，S矩形OCEG＝S矩形OHFA＝1，S矩形OCBA＝4，，，根据S阴影＝S矩形OCBA﹣S△COE﹣S△AOF，计算求解即可． 【解答】（1）解：由题意知，S矩形OCEG＝1， ∵CE＝BE ∴， 解得，S矩形OCBA＝2， 故答案为：2； （2）证明：如图2，作EG⊥OA于G，FH⊥OC于H， 根据k的几何意义，易知S矩形OCEG＝S矩形OHFA＝|k|， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3，作EG⊥OA于G，FH⊥OC于H， 根据k的几何意义，易知S矩形OCEG＝S矩形OHFA＝1， ∵， ∴， 解得，S矩形OCBA＝4， ∴，， ∴S阴影＝S矩形OCBA﹣S△COE﹣S△AOF＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义．熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 【题型10 反比例函数中的存在性问题】 36．（2025秋•灞桥区校级月考）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（2，a）、B（8，﹣1）两点． （1）求反比例函数与一次函数的关系式； （2）在x轴上是否存在一点P，使△ABP是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将B（8，﹣1）代入反比例函数求出m的值即可得出反比例函数的解析式，将A（2，a）代入反比例函数求出a的值即可得出点A的坐标，最后利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由（1）可得A（2，﹣4），B（8，﹣1），则AB2＝45，设P（m，0），则AP2＝（2﹣m）2+16，BP2＝（8﹣m）2+1，再由勾股定理计算即可得出结果． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象过点B（8，﹣1）， ∴， ∴m＝﹣8， ∴反比例函数的解析式为， 将A（2，a）代入反比例函数可得：， ∴A（2，﹣4）， 将A（2，﹣4），B（8，﹣1）代入一次函数y＝kx+b（k≠0）可得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）由（1）可得：A（2，﹣4），B（8，﹣1）， ∴AB2＝（8﹣2）2+[﹣1﹣（﹣4）]2＝36+9＝45， 设P（m，0）， 则AP2＝（2﹣m）2+（﹣4﹣0）2＝（2﹣m）2+16，BP2＝（8﹣m）2+（﹣1﹣0）2＝（8﹣m）2+1， ∵△ABP是以AB为斜边的直角三角形， ∴AP2+BP2＝AB2， ∴（2﹣m）2+16+（8﹣m）2+1＝45， 整理可得：m2﹣10m+20＝0， 解得，， ∴P或． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 37．（2024秋•东莞市期末）如图，直线AB交x轴于点A（4，0），交y轴于点B，交反比例函数y（k≠0）于点P（第一象限）．若点P的纵坐标为2，且∠BAO＝45°． （1）求出反比例函数y（k≠0）的解析式； （2）过线段AB上一点C作x轴的垂线，交反比例函数y（k≠0）于点D，连接PD，当△CDP为等腰直角三角形时，求点C的坐标． 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）作PF⊥CD，垂足为F，设点C（m，m﹣4），则D（m，），F（m，2），根据等腰三角形性质列出方程求出m值即可得到点C坐标． 【解答】解：（1）直线AB交x轴于点A（4，0），∠BAO＝45°， ∴直线AB的解析式为y＝x﹣4， 当y＝2时，x＝6， ∴P（6，2）， ∵点P在反比例函数y（k≠0）的图象上， ∴k＝6×2＝12， ∴反比例函数的解析式为y； （2）如图，作PF⊥CD，垂足为F， 设点C（m，m﹣4），则D（m，），F（m，2）， ∵PD＝PC，PF⊥CD， ∴DF＝CF， ∴， ∴m2﹣8m+12＝0，解得m＝2或m＝6（舍去）， ∴当C（2，﹣2）时，△CDP为等腰三角形． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． 38．（2025秋•泰山区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝10． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标． 【分析】（1）根据S△OAB＝10可计算出A点的纵坐标，进而利用勾股定理计算出A点的横坐标，代入可得一次函数和反比例函数的解析式． （2）根据题意可得有三种情况，一种是AB为底，一种是AB为腰，以A为顶点，一种是AB为腰，以B为顶点． 【解答】解：（1）过点A作AD⊥x轴于点D， ∵S△OAB＝10， ∴， ∴AD＝4， ∵B（5，0）， ∴AB＝OB＝5， 在Rt△ABD中，3， ∴OD＝8， ∴A（8，4）， ∵经过点A， ∴， ∴m＝32， ∴反比例函数表达式为， ∵y＝kx+b经过点A，点B， ∴， 解得， ∴， （2）①当以AB为腰，且点B为顶角顶点时，可得点P的坐标为P1（0，0）、P2（10，0）， ②当以AB为腰，且以点A为顶角顶点时，点B关于AD的对称点即为所求的点P3， ∴点P3的横坐标为（8﹣5）+8＝11， ∴点P3为（11，0）， ③当以AB为底时，作线段AB的中垂线交x轴于点P4，交AB于点E，则点P4即为所求， 在直线中，当x＝0时， ， ∴， 在Rt△OBC中，， ∵cos∠ABP4＝cos∠OBC， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，则点P的坐标为（11，0）或或（0，0）或（10，0）． 【点评】本题主要考查一次函数和反比例函数的综合性问题，关键在于第二问中的等腰三角形，要分AB为腰和底，为腰时又要分顶点是A还是B． 39．（2026春•晋江市期末）在平面直角坐标系中，如图所示，已知点A在反比例函数y（x＜0）的图象上．过A作AB⊥x轴，垂足为点B．在AB的右侧，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再过点B作BP∥AC交反比例函数y（x＜0）的图象于点P． （1）当点A的横坐标为﹣4时，求点C的坐标和直线BP的表达式； （2）当四边形ACBP是正方形时，求点A的坐标． 【分析】（1）如图所示，过点C作CD⊥AB于点D，首先求出A（﹣4，2），得到AB＝2，B（﹣4，0），然后根据等腰直角三角形的性质得到，即可求出点C的坐标为（﹣3，1）；然后利用待定系数法求解即可； （2）首先画出图形，设，根据题意得到△ABP是等腰直角三角形，点P和点C关于AB对称，表示出，然后代入求解即可． 【解答】解：（1）如图所示，过点C作CD⊥AB于点D， ∵当点A的横坐标为﹣4时，， ∴A（﹣4，2）， ∴AB＝2，B（﹣4，0）， 由条件可知， ∴点C的横坐标为﹣4+1＝﹣3， ∴点C的坐标为（﹣3，1）； 设AC所占直线表达式为y＝kx+b，由条件可得： ， 解得， ∴y＝﹣x﹣2， 设直线BP的表达式为y＝﹣x+b1， 将B（﹣4，0）代入得，0＝4+b1， 解得b1＝﹣4， ∴直线BP的表达式为y＝﹣x﹣4； （2）如图所示，当四边形ACBP是正方形时， 设， ∵以AB为斜边作等腰直角三角形ABC， ∴， ∵四边形ACBP是正方形， ∴△ABP是等腰直角三角形， ∵AB⊥x轴， ∴点P和点C关于AB对称， ∴， ∵点P在反比例函数（x＜0）的图象上， ∴， 解得a＝﹣2或a＝2（舍去）， ∴A（﹣2，4）． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数和一次函数交点问题、等腰直角三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键． 40．（2025•潮阳区模拟）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣6，6），B（m，﹣2）两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）如图，一次函数y＝ax+b的图象交y轴于点C，交x轴于点D．若以CD为腰的等腰三角形CDF的顶点F是y轴上一点，求点F的坐标． 【分析】（1）将A代入反比例函数解析式求出解析式，再求出B点的坐标，将A、B代入一次函数解析式，即可求解； （2）先求出点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（12，0），再求出CD，分当点F在点C的上方，时，当点F在点C的下方，DF＝CD时，当点F在点C的下方，时，三种情况讨论即可． 【解答】解：（1）由条件可得k＝（﹣6）×6＝﹣36， ∴反比例函数的解析式为． 将点B（m，﹣2）代入，得，解得m＝18， ∴点B的坐标为（18，﹣2）． 将点A（﹣6，6），B（18，﹣2）分别代入一次函数解析式，得， 解得， ∴； （2）将x＝0代入，则y＝4； 令，解得：x＝12； ∴点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（12，0）， ∴， 当点F在点C的上方，时， ∴， ∴点F的坐标为； 当点F在点C的下方，DF＝CD时， ∵OD⊥CF， ∴OF＝OC＝4， ∴点F的坐标为（0，﹣4）； 当点F在点C的下方，时， ∴， ∴点F的坐标为． 综上所述，点F的坐标为或（0，﹣4）或． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数综合，待定系数法，等腰三角形的性质等，灵活运用分类讨论的思想是解题的关键． 41．（2025秋•太平区期末）如图，一次函数y1＝kx+b的图象交坐标轴于A，B两点，交反比例函数y2的图象于C、D两点，已知：A（﹣2，0），C（1，3）． （1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式； （2）连结DO，CO，求△COD的面积； （3）在一次函数y1＝kx+b上找一点M，在平面上找一点N，使四点O，C，M，N能够组成一个菱形，请直接写出M点坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得C、D的坐标，然后利用△COD的面积＝S△OBC+S△OBD即可求解； （3）分两种情况，①当OC为菱形的边时，OM＝OC，②当OC为菱形的对角线时，OM＝MC，分别求解可得． 【解答】解：（1）将点A（﹣2，0），C（1，3）代入一次函数表达式得：， 解得：， 故一次函数表达式为：y1＝x+2， 将点C（1，3）代入y2得：3， ∴m＝3， 故反比例函数表达式为：y2； （2）联立一次函数和反比例函数可得：， 解得或， 故点C、D的坐标分别为（1，3）、（﹣3，﹣1）， 当x＝0时，y1＝0+2＝2， ∴B（0，2）， ∴△COD的面积＝S△OBC+S△OBDOB×（xC﹣xD）2×4＝4； （3）∵O（0，0），C（1，3）， ∴OC， ∵点M在直线y1＝x+2上， ∴设M（m，m+2）， ①当OC为菱形的边时，OM＝OC， ∴m2+（m+2）2＝10，即m2+2m﹣3＝0， 解得m＝﹣3或1， ∴M（﹣3，﹣1）； ②当OC为菱形的对角线时，OM＝MC， 即OM2＝MC2， ∴m2+（m+2）2＝（m﹣1）2+（m+2﹣3）2， 整理得8m＝﹣2， 解得m， ∴M（，）， 综上所述，M的坐标为（﹣3，﹣1）或（，）． 【点评】本题主要考查一次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、勾股定理及菱形的判定和性质、两点间距离公式等知识点，解决本题的关键是综合运用以上知识． 42．（2026•阳谷县校级模拟）如图，矩形ABEF与反比例函数（k≠0，x＞0）的图象相交于C、D两点，点C的坐标为（m，2），点D的坐标为（1，m+3）． （1）求反比例函数的表达式； （2）若AB＝8，在反比例函数的图象上是否存在一点P（点P不与点C重合），使得△PFC的面积是矩形面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征列出方程求出m，可得点C、D坐标，继而求出反比例函数解析式； （2）先求出矩形的面积，进一步求得△PFC的面积，再设设P（m，），则根据三角形面积公式得到S△PFC，解方程求出m值可得点P坐标． 【解答】解：（1）∵C（m，2）、D（1，m+3）在反比例函数（k≠0，x＞0）的图象上， ∴k＝2m＝m+3， ∴m＝3， ∴C（3，2）、D（1，6）， ∴k＝3×2＝6， ∴反比例函数解析式为y； （2）存在，如图， ∵C（3，2）、D（1，6）， ∴BE＝3﹣1＝2， ∵AB＝8， ∴S矩形ABEF＝2×8＝16，FC＝8﹣2＝6， ∵△PFC的面积是矩形面积的一半， ∴S△PFC＝8， 设P（m，），则FC•|3﹣m|＝8， 即， 解得m或m， ∴P（，18）或（，）． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键． 【题型 11 反比例函数中的规律问题】 43．（2026春•黄浦区期末）如图，点A1，A2，A3，…，An在反比例函数的图象上，点B1，B2，B3，…，Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3，…，则B2026的坐标是（　　） A． B． C． D． 【分析】过点A1作A1D⊥y轴于点D，先求出交点A1（1，1），进而得出，∠B1OA1＝45°，则△OA1B1是等腰直角三角形，得出B1（0，2），根据平行设直线B1A2的解析式为y＝x+m，求出m＝2，从而得出，利用坐标两点距离公式，得出，结合等腰直角三角形的性质，，同理可得，，B4（0，4），，……，则，即可得解． 【解答】解：如图，过点A1作A1D⊥y轴于点D， 联立两个函数解析式，解得：x＝1或x＝﹣1（舍）， ∴A1（1，1）， ∴OD＝A1D＝1， ∴，∠B1OA1＝45°， ∵B1A1⊥OA1， ∴△OA1B1是等腰直角三角形， ∴，， ∴B1（0，2）， 由条件可知OA1∥B1A2， ∴设直线B1A2的解析式为y＝x+m， ∵B1（0，2）在直线B1A2的图象上， ∴m＝2， ∴直线B1A2的解析式为y＝x+2， 联立，解得：或（舍）， ∴， ∴， ∵B2A2⊥B1A2， ∴△B1A2B2是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 同理可得，，B4（0，4），， ……， ∴， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查了点的坐标规律、一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握以上知识点是关键． 44．（2024•凉州区二模）如图所示，点A1，A2，A3在x轴上且OA1＝A1A2＝A2A3，分别过点A1，A2，A3作y轴的平行线与反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象分别交于点B1，B2，B3，分别过点B1，B2，B3作x轴的平行线分别与y轴交于点C1，C2，C3，连接OB1，OB2，OB3，那么图中阴影部分的面积之和为 　　 ． 【分析】先根据反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的|k|，得到S△OB1C1＝S△OB2C2＝S△OB3C3k，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到3个阴影部分的三角形的面积从而求得面积和． 【解答】解：根据题意可知S△OB1C1＝S△OB2C2＝S△OB3C3k， ∵OA1＝A1A2＝A2A3，A1B1∥A2B2∥A3B3∥y轴， 设图中阴影部分的面积从左向右依次为s1，s2，s3 则s1k， ∵OA1＝A1A2＝A2A3， ∴s2：S△OB2C2＝1：4，s3：S△OB3C3＝1：9， ∴图中阴影部分的面积分别是s1，s2，s3， ∴图中阴影部分的面积之和， 故答案为：． 【点评】此题综合考查了反比例函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的|k|． 45．（2024秋•乐平市期末）如图，已知点A1、A2、A3都在反比例函数y的图象上，点B1、B2、B3都在x轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3都是等边三角形，则点B3的坐标为（　　） A．（2，0） B．（3，0） C．（2，0） D．（3，0） 【分析】过点A1作A1C⊥x轴于点C，过点A2作A2D⊥x轴于点D，过点A3作A3E⊥x轴于点E，先在△OCA1中，表示出OC和A1C的长度，表示出A1的坐标，代入反比例函数解析式，求出OC的长度和OB1的长度，表示出B1的坐标，同理可求得B2、B3的坐标． 【解答】解：如图，过点A1作A1C⊥x轴于点C，过点A2作A2D⊥x轴于点D，过点A3作A3E⊥x轴于点E， ∵△OA1B1为等边三角形， ∴∠A1OC＝60°，OC＝B1C， ∴A1COC， 设OC的长度为t，则A1的坐标为（t，t）， 把A1（t，t）代入y得t•t，解得t＝1或t＝﹣1（舍去）， ∴OB1＝2OC＝2， ∴B1（2，0）， 设B1D的长度为m，同理得到A2Dm，则A2的坐标表示为（2+m，m）， 把A2（2+m，m）代入y得（2+m）m，解得m1或m1（舍去）， ∴B1D1，B1B2＝22，OB2＝2+22＝2， ∴B2（2，0）， 设B2E的长度为n，同理，A3E为n，A3的坐标表示为（2n，n）， 把A3（2n，n）代入y得（2n）•n， ∴B2E，B2B3＝22，OB3＝2222， ∴B3（2，0）， 故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．表示出A1、A2、A3的坐标是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 反比例函数的图象和性质11大重点题型培优拔尖训练 【题型 1 反比例函数图象的对称性】 1．（2026•盘州）如图，正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点P（4m，m）是正方形与反比例函数图象的一个交点．图中阴影部分的面积等于32，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（2025•莆田模拟）平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，规定其坐标“积和”运算为：P⊕Q＝x1y1+x2y2．若A，B，C，D四个点的“积和”运算满足：A⊕B＝B⊕C＝C⊕D＝D⊕B，则以A，B，C，D为顶点的四边形不可能是（　　） A．等腰梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 3．（2024秋•大观区校级期中）已知直线y＝kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2﹣x2y1的值为（　　） A．﹣3 B．﹣6 C．0 D．3 【题型 2 反比例函数概念、性质的综合应用】 4．（2024秋•旌阳区校级期中）已知y与x成正比例，z与y成反比例，那么z与x之间的关系是（　　） A．成正比例 B．成反比例 C．有可能成正比例，也有可能成反比例 D．无法确定 5．（1）已知函数y＝（m+1）是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是 　 ． （2）已知点（1，a）在反比例函数y（k≠0）的图象上，其中a＝m2+2m+3（m为实数），则这个函数的图象在第 　 象限． 6．（2025•红花岗模拟）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y的图象交于A（2，3），B两点． （1）求k与m的值； （2）若点C在y轴的正半轴上，且AC⊥BC，垂足为点C，求△ABC的面积． 【题型 3 多种函数图象的共存问题】 7．（2025秋•嘉定区期中）函数y＝k1x和（k1k2＜0且k1＜k2）的图象大致是（　　） A．B． C． D． 8．（2025秋•冷水滩区期中）已知k1＜0＜k2，则函数y＝k1x﹣3和y的图象大致为（　　） A． B． C． D． 9．（2025•兴庆区期末）二次函数y＝ax2+bx和反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A．B． C． D． 10．（2026•南京三模）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+k与的图象大致是（　　） A．B． C． D． 11．（2026•安徽模拟）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象如图，则一次函数y＝abx+k的图象大致是（　　） A． B．C． D． 12．（2026•市南区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax﹣2b（a≠0）与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【题型4 利用反比例函数与一次函数图象的交点解方程或不等式】 13．（2026•福田区二模）如图，直线y＝x﹣3与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B，将直线y＝x﹣3向上平移得到直线y＝k2x+b，直线y＝k2x+b与反比例函数的图象交于点C，与y轴交于点D．若，则b的值为　 　 ． 14．（2024•龙湖区校级一模）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与反比例函数y的图象有唯一公共点，若直线y＝﹣x+b与反比例函数y的图象有2个公共点，则b的取值范围是 　 ． 15．（2026春•宜阳县期末）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（﹣1，n），B（3，﹣2）两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出时，x的取值范围． 【题型 5 反比例函数与一次函数的综合应用】 16．（2026•广安）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+4（k为常数，k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y（m为常数，m≠0）在第二，四象限分别交于C，D两点，点D（3，b），OB＝2OA． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点P在坐标轴上，以点O，D，P为顶点的等腰三角形有　 个，当点P在x轴负半轴时，求等腰三角形ODP的面积； （3）如图2，已知函数y＝kx的大致图象，请结合图象直接写出该函数的两条性质． 17．（2026•弋阳县模拟）如图，一次函数y＝mx+n的图象经过点A（1，0），交反比例函数的图象于点B（﹣1，4）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点C（t，0）在x轴的负半轴上，BC交反比例函数的图象于点P，若S△ABP＝S△ACP，求t的值． 18．（2026•丹徒区二模）如图，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）的图象与x轴、y轴分别交于点A（8，0），B（0，﹣4），与反比例函数的图象交于点C，点D（点C在点D的左侧）． （1）求一次函数的表达式； （2）若点D的横坐标为5，则k2＝　 ； （3）连接OC，过点D作DE平行于x轴，交y轴于点E，交OC于点F．若CF＝2OF，求k2． 【题型6 反比例函数与几何图形的综合应用】 19．（2026•惠安期末）如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、D都在反比例函数的图象上，对角线BD平行于x轴，坐标原点O为BC的中点，菱形ABCD的面积为40，则k的值为（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 20．（2026春•婺城区期末）正方形OABC在平面直角坐标系中如图所示，已知B（4，4），反比例函数的图象经过BC中点E，交AB于点F． （1）求反比例函数的解析式． （2）连结OE，OF，EF，求△OEF的周长． 21．（2026春•莱芜区期末）直线y＝﹣x+b与双曲线交于点A（﹣1，6），与x轴交于点B，点C是线段AB上一点． （1）求k，b的值； （2）如图，过点C作y轴的垂线l，l与的图象交于点D，当线段CD＝10时，求点D的坐标； （3）双曲线上是否存在点E，使得△COE是以OC为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型7 反比例函数与几何图形的面积的综合】 22．（2026春•诸暨市期末）如图，在矩形ABCD中，点B、C在x轴上，点A、D分别在反比例函数y和y上，若矩形ABCD的面积为6，则k的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 23．（2026•惠山区校级三模）如图，D为矩形OABC（边OA，OC分别在x，y轴的正半轴上）对角线OB上的点，且．经过点D的反比例函数的图象分别与AB，BC相交于点E，F，连接OE，OF，EF．若△OBF的面积是12，则△OEF的面积为（　　） A．12 B．13 C． D． 24．（2026•莱州期末）如图，一次函数y＝kx+b图象与反比例函的图象交于点A（﹣3，n），B（2，3）． （1）求反比例函数与一次函数的函数表达式； （2）请结合图象直接写出不等式的解集为　 ，直接写出以反比例函数与一次函数图象交点横坐标为两根的一元二次方程 ； （3）若点P为x轴上一点，△ABP的面积为10，直接写出点P的坐标． 25．（2026春•北碚区期末）如图，已知一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象交x轴于点C，交y轴于点D，且OC＝3，OD＝1．一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点B的横坐标为3． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）将直线AB向上平移2个单位长度后，与x轴交于点E，连接AE，BE，求△ABE的面积； （3）观察函数图象，请直接写出的解集． 26．（2026•拉萨模拟）如图，一次函数．y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（1，4）、B（n，﹣1）． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）已知点D在x轴上，若以A、B、D为顶点的三角形面积为10，求点D的坐标． 27．（2026春•西城区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（1，4）和B（﹣2，m）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）当y1≥y2时，请直接写出x的取值范围：　 　 ； （3）请直接写出△AOB的面积：　 　 ； （4）以点A为位似中心，将△AOB放大得到△AO'B'，其中点O'和点B'分别是点O和点B的对应点，且满足放大后的三角形面积是原来的4倍，请直接写出点O'的坐标：　 　 ． 【题型8 反比例函数的图象与几何变换问题】 28．（2026•旌阳区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A、点B的横坐标分别是﹣4和3． （1）当时，自变量x的取值范围为　 　 ； （2）求出一次函数和反比例函数的表达式； （3）将直线AB向上平移后，与反比例函数图象交于C，D两点，与两坐标轴分别相交于E，F两点．若S△ABC＝14，求直线CD的函数表达式． 29．（2026•鞍山二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数的图象交于A（2，﹣1），B（﹣1，n）两点，与x轴交于点C． （1）求k2，n的值； （2）观察图象，写出不等式的解集； （3）将x轴下方的图象沿x轴翻折，点A落在点A'处，连接A′B，A'C，求△A′BC的面积． 30．（2025春•盐城校级期中）几何图形是数学研究的主要对象之一，图形的形状、大小和位置是几何中研究的主要内容，平面几何中，平移、翻折、旋转是常见的图形变换．鹿鸣学堂数学兴趣小组的同学们在学习了反比例函数的相关内容后，进一步探究反比例函数的图象的平移、旋转、翻折的相关问题，过程如下： （1）如图1，将反比例函数的图象向左平移3个单位，求平移后的图象与y轴的交点坐标； （2）如图2，将反比例函数（x＞0）的图象绕点O顺时针旋转60°，点P为旋转后图象上的一点，过点P作直线的垂线，垂足是H，若，求PH的值； （3）如图3所示，反比例函数（x＞0）的图象沿直线翻折得到新图象．若直线y＝x+1与两条曲线交于E、F，直线y＝x﹣1与两条曲线交于G、H，同学们发现E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，当这个矩形的面积是4时，直接写出b的值． 31．（2026•广元）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx+b的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与函数y（x＞0）的图象交于点C（a，2）． （1）求a，b的值； （2）将线段AB绕点A逆时针旋转90°到AD，连接BD，将△ABD沿直线AB平移，当点D的对应点E恰好落在函数y（x＞0）的图象上时，求点E的坐标． 32．（2026•召陵区二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，1）和B（1，n）． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）将△OAB绕原点O顺时针旋转，点A对应的点为A'，点B对应的点为B'，当A'B'首次与y轴平行时，判断点A'是否在函数的图象上． 【题型9 与反比例函数的图象、性质有关的阅读理解题】 33．（2025秋•城中区校级月考）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．【尝试初探】 （1）点C（3，1）　 　 “美好点”（填“是”或“不是”）；若点D（4，b）是第一象限内的一个“美好点”，则b＝　 ．【深入探究】 （2）若“美好点”E（m，6）（m＞0）在双曲线且k为常数）上，则k＝ 　 ． 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点P（x，y）是第一象限内的“美好点”． ①求y关于x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； ②结合图象研究性质，下列结论正确的选项是AB ；（多选） A．图象与经过点（2，2）且平行于坐标轴的直线没有交点；B．y随着x的增大而减小； C．y随着x的增大而增大； D．图象经过点． ③对于图象上任意一点（x，y），代数式（2﹣x）•（y﹣2）是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 34．（2025春•苏州校级期中）定义：如果一个矩形A的周长和面积都是矩形B的周长和面积的n倍，那么我们就称矩形A是矩形B的“n倍矩形”． 【概念辨析】 （1）一个矩形的周长是12，面积是8，它的“2倍矩形”的周长为 　 ，面积为　 ； 【深入探究】 （2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍矩形”，若存在，它的长和宽分别为多少？ ①我们可以从函数的观点来研究“2倍矩形”，设“2倍矩形”的长和宽分别为x，y（x＞y＞0），由题意x+y＝10，xy＝12，则y＝﹣x+10，，在图中的平面直角坐标系中作出一次函数l1：y＝﹣x+10和反比例函数的图象来研究，有交点就意味着存在“2倍矩形”，交点的横坐标与纵坐标分别对应“2倍矩形”的长和宽． 请观察图象，则长为3，宽为2的矩形　存在　 （填“存在”或“不存在”）“2倍矩形”，它的长和宽分别约为　 　 和　 　 （结果精确到0.1） ②我们还可以从方程（组）的观点来研究“2倍矩形”，设“2倍矩形”的长和宽分别为x，y（x＞y＞0），由题意：x+y＝10，xy＝12，则y＝﹣x+10，，请完成以下解答过程．（结果保留根号） 35．（2024•运城一模）阅读与思考 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 反比例函数是初中函数学习的重要组成部分，它与物理、化学等密切相关，函数本身又是一个重要的数学思想，利用函数的思想和方法可以加深对一些代数问题的理解，现从反比例函数系数k的几何意义出发来探究反比例函数的一些规律． 逐梦学习小组在熟练掌握k的几何意义基础之上又进行了深入的探究后发现：如图1，以矩形OCBA的顶点O为坐标原点，射线OA为x轴正半轴、射线OC为y轴的正半轴建立平面直角坐标系，若反比例函数的图象交BC于点E，交AB于点F，当CE＝BE时，则AF＝BF，在老师指导下逐梦学习小组进行了如下推理，证明了这一结论是正确的． 证明：在图1中，过点E作EG⊥x轴，垂足为G，过点F作FH⊥y轴，垂足为H 根据k的几何意义，易知S矩形OCEG＝S矩形OHFA＝|k|， ∵CE＝BE， ∴， ∴， ∴，即AF＝BF． 任务： （1）在图1中，已知CE＝BE，若反比例函数的系数k＝1，则矩形OCBA的面积＝　 　 ； （2）逐梦学习小组继续探究后发现，如图2，若反比例函数的图象交BC于点E，交AB于点F，若，则，请帮助逐梦学习小组完成证明； （3）如图3，反比例函数的图象交BC于点E，交AB于点F，若，则图中阴影部分（即四边形OEBF）的面积＝　 　 ． 【题型10 反比例函数中的存在性问题】 36．（2025秋•灞桥区校级月考）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（2，a）、B（8，﹣1）两点． （1）求反比例函数与一次函数的关系式； （2）在x轴上是否存在一点P，使△ABP是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 37．（2024秋•东莞市期末）如图，直线AB交x轴于点A（4，0），交y轴于点B，交反比例函数y（k≠0）于点P（第一象限）．若点P的纵坐标为2，且∠BAO＝45°． （1）求出反比例函数y（k≠0）的解析式； （2）过线段AB上一点C作x轴的垂线，交反比例函数y（k≠0）于点D，连接PD，当△CDP为等腰直角三角形时，求点C的坐标． 38．（2025秋•泰山区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝10． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标． 39．（2026春•晋江市期末）在平面直角坐标系中，如图所示，已知点A在反比例函数y（x＜0）的图象上．过A作AB⊥x轴，垂足为点B．在AB的右侧，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再过点B作BP∥AC交反比例函数y（x＜0）的图象于点P． （1）当点A的横坐标为﹣4时，求点C的坐标和直线BP的表达式； （2）当四边形ACBP是正方形时，求点A的坐标． 40．（2025•潮阳区模拟）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣6，6），B（m，﹣2）两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）如图，一次函数y＝ax+b的图象交y轴于点C，交x轴于点D．若以CD为腰的等腰三角形CDF的顶点F是y轴上一点，求点F的坐标． 41．（2025秋•太平区期末）如图，一次函数y1＝kx+b的图象交坐标轴于A，B两点，交反比例函数y2的图象于C、D两点，已知：A（﹣2，0），C（1，3）． （1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式； （2）连结DO，CO，求△COD的面积； （3）在一次函数y1＝kx+b上找一点M，在平面上找一点N，使四点O，C，M，N能够组成一个菱形，请直接写出M点坐标． 42．（2026•阳谷县校级模拟）如图，矩形ABEF与反比例函数（k≠0，x＞0）的图象相交于C、D两点，点C的坐标为（m，2），点D的坐标为（1，m+3）． （1）求反比例函数的表达式； （2）若AB＝8，在反比例函数的图象上是否存在一点P（点P不与点C重合），使得△PFC的面积是矩形面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型 11 反比例函数中的规律问题】 43．（2026春•黄浦区期末）如图，点A1，A2，A3，…，An在反比例函数的图象上，点B1，B2，B3，…，Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3，…，则B2026的坐标是（　　） A． B． C． D． 44．（2024•凉州区二模）如图所示，点A1，A2，A3在x轴上且OA1＝A1A2＝A2A3，分别过点A1，A2，A3作y轴的平行线与反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象分别交于点B1，B2，B3，分别过点B1，B2，B3作x轴的平行线分别与y轴交于点C1，C2，C3，连接OB1，OB2，OB3，那么图中阴影部分的面积之和为 　 ． 45．（2024秋•乐平市期末）如图，已知点A1、A2、A3都在反比例函数y的图象上，点B1、B2、B3都在x轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3都是等边三角形，则点B3的坐标为（　　） A．（2，0） B．（3，0） C．（2，0） D．（3，0） 1 学科网（北京）股份有限公司 $