27.2反比例函数的性质与图象 课时练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 围绕反比例函数的性质与图象，通过基础巩固、中档应用、综合提升三层设计，覆盖定义、图象特征、性质应用及几何综合，适配新授课分层教学需求，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|反比例函数定义、图象上点的坐标特征|单选题1-2、填空题11-13，直接考查概念辨析与基础计算，强化符号意识| |中档|性质比较、k的几何意义|单选题3-5、填空题14-16，结合函数增减性与坐标分析，培养几何直观| |提升|函数图象综合、几何图形结合|单选题6-10、解答题20-24，通过矩形、菱形等图形综合应用，发展推理能力与模型意识|

…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 27.2反比例函数的性质与图象 一、单选题 1.下列函数中是反比例函数的是（　　） A. y＝x+1                               B. y＝                                C. y＝﹣2x                               D. y＝2x2 2.反比例函数 的图象一定不经过点（   ） A. （2，－3）                       B. （－2，3） C. （3，2）                       D. （－1，6） 3.已知反比例函数 （ ）的图像上有两点A( ， )，B( ， )，且 ， 则 的值是（   ） A. 正数                                 B. 负数                                 C. 非正数                                 D. 不能确定 4.函数 与函数 （k≠0）再同一直角坐标系中的大致图像可能是（   ） A.  B.  C.  D.  5.已知点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）在反比例函数 的图象上，若y1＜y2＜0，则下列结论正确的是（   ） A. x1＜x2＜0                         B. x2＜x1＜0                         C. 0＜x1＜x2                         D. 0＜x2＜x1 6.如图，A（a，b）、B（－a，－b）是反比例函数 的图象上的两点.分别过点A、B作y轴的平行线，与反比例函数 的图象交于点C、D.若四边形ACBD的面积是4，则m、n满足等式( ) A. m＋n＝4                           B. n－m＝4                           C. m＋n＝2                           D. n－m＝2 7.如图，点 P 是反比例函数 y =6/x的图象上的任意一点，过点 P分别作两坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形 OAPB，点 D 是矩形OAPB 内任意一点，连接 DA、DB、DP、DO，则图中阴影 部分的面积（   ） A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4 8.已知反比例函数y＝﹣ ，下列结论不正确的是（   ） A. 图象必经过点(﹣1，2)                                        B. y随x的增大而增大 C. 图象在第二、四象限内                                       D. 若x＞1，则﹣2＜y＜0 9.下列说法中错误的是（   ） A. 有一组邻边相等的矩形是正方形 B. 在反比例函数 中，y随x的增大而减小 C. 顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形 D. 如果用反证法证明“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”，首先应假设这个三角形中每一个内角都大于60° 10.如图，平行四边形ABCD的一边AB∥y轴，顶点B在x轴上，顶点A，C在双曲线y1＝ （k1＞0，x＞0）上，顶点D在双曲线y2＝ （k2＞0，x＞0）上，其中点C的坐标为（3，1），当四边形ABCD的面积为 时，k2的值是（   ） A. 7.5                                        B. 9                                        C. 10.5                                        D. 21 二、填空题 11.如果 是反比例函数，则k=________. 12.如图，点A在反比例函数 （x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，交反比例函数 （x＞0）的图象于点C．P为y轴上一点，连接PA，PC．则△APC的面积为________. 13.如果反比例函数 的图像在每个象限内， 随着 的增大而减小，那么 的取值范围是________． 14.如图， ， ， 是反比例函数 在第一象限的图象上的点，它们的横坐标分别为2，4，6.过点 ， ， 分别作 轴， 轴的垂线段，构成多个矩形.若图中阴影部分的面积为12，则点 的坐标为________. 15.如图，等边三角形ABO的顶点A在反比例函数y＝ （x＜0）的图象上，边BO在x轴上，等边三角形ABO的面积为 ，则k＝________. 16.已知反比例函数 的图像上三个点的坐标分别是 、 ，则 的大小关系的是________ （用“＜”号连接） 三、解答题 17.已知 , 与 成反比例, 与 成正比例,且 =3时, =5; =1时, =-1.求 与 之间的函数关系式. 18.如图，△OAP、△ABQ是等腰直角三角形，点P、Q在函数 （k≠0）第一象限的图像上，直角顶点A、B均在x轴上，若OA=3，求点Q的坐标. 19.己知：如图，点A在反比例函数 的图像上，且点A的横坐标为2，作 垂直于x轴，垂足为点H， ． （1）求 的长； （2）求k的值； （3）若 、 在该函数图像上，当 时，比较 与 的大小关系． 20.如图，点 ， 分别在反比例函数 ， 在第一象限的图象上，点 是 轴正半轴上一点，连结 ， ， .已知四边形 是平行四边形，且 ， 两点的纵坐标之比为 . （1）求 的值； （2）当 是菱形时，求 的长. 21.函数揭示了两个变量之间的关系，它的表示方法有三种：表格法、图象法、解析式法请你根据学习函数的经验，完成对函数, 的探究.下表是函数 与自变量 的几组对应值： ··· -3 -2 -1 0 2 3 4 5 ··· ··· -0.5 -1 -2 -5 7 4 3 2.5 ··· （1）函数 自变量 的取值范围为________ （2）根据表格中的数据，得 ________， ________并在右面平面 直角坐标系 中，画出该函数的图象. （3）请根据画出的函数图象，直接写出该函数的一条性质：________   （4）利用所学函数知识，仔细观察上面表格和函数图像，直接写出不等式 的解集为________ 22.我们已经学习过反比例函数y= 的图像和性质，请你回顾研究它的过程，运用所学知识对函数 的图像和性质进行探索，并解决下列问题： （1）该函数的图像大致是(      ) A.B.C.D. （2）写出该函数两条不同类型的性质： ①________； ②________. （3）写出不等式－ ＋4＞0的解集. 23.如图，在平面直角坐标系中， 四边形ABCD是矩形，AD∥x轴，A(-6，3)，AB=2，AD=4。 （1）填空：点B的坐标是________；点D的坐标是________； （2）将矩形ABCD向右平移m个单位，使点A，C恰好同时落在反比例函数y= (x>0) 的图象上， 得矩形A'B'C'D'。求矩形ABCD的平移距离m和反比例函数的解析式。 24.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A、B在x轴上，点C、D在第二象限，点M是BC中点.已知AB=6，AD=8，∠DAB=60°，点B的坐标为（-6，0）． （1）求点D和点M的坐标； （2）如图①，将□ABCD沿着x轴向右平移a个单位长度，点D的对应点 和点M的对应点 恰好在反比例函数 （x>0）的图像上，请求出a的值以及这个反比例函数的表达式； （3）如图②，在（2）的条件下，过点M， 作直线l，点P是直线l上的动点，点Q是平面内任意一点，若以 ，P、Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标． 答案解析部分 一、单选题 1. B 考点：反比例函数的定义 解：A、y＝x+1是一次函数，故答案为：错误； B、 是反比例函数，故答案为：正确； C、 是正比例函数，故答案为：错误； D、 ，是二次函数函数，故答案为：错误. 故答案为：B. 分析：根据反比例函数的一般形式即可作出判断. 2. C 考点：反比例函数图象上点的坐标特征 解： 因为  ，所以xy=-6，即图象上的点的横纵坐标之积为-6，C选项 3×2=6，故图象不经过点（3,2）。 故答案为：C 分析：考查反比例函数图象上点的坐标特征，可以利用反比例函数解析式xy=k的形式，判定横纵坐标之积是否等于k即可。 3. D 考点：反比例函数的性质 解：因为k＜0，反比例函数图象位于二、四象限，在每一个单独的象限内，y随x的增大而增大。 当x1＜x2＜0时，y1＜y2；当0＜x1＜x2时，y1＜y2；当x1＜0，x2＞0时，y1＞y2 ， 所以y1-y2的值不能确定。 故答案为：D 分析：本题考查反比例函数的增减性问题，注意必须在同一个象限内进行判断比较，不在同一象限时要结合图象确定点的位置再进行比较。 4. C 考点：反比例函数的图象，一次函数图象、性质与系数的关系 解：当k＞0时，反比例函数在第一、三象限，一次函数y=k（x-1）经过第一、三、四象限，故选项A、D不符合题意； 当k＜0时，反比例函数在第二、四象限，一次函数y=k（x-1）经过第一、二、四象限，故选项B不符合题意，C符合题意.  故答案为：C. 分析：根据反比例函数和一次函数的性质分别求出反比例函数和一次函数y=k（x-1）经过的象限，逐项进行判断，即可得出答案. 5. C 考点：反比例函数的性质 解：当y＜0时，x＞0 ∴这部分函数图象分支在第四象限， ∵k=-3＜0， ∴y随x的增大而增大， ∵ y1＜y2＜0， ∴0＜x1＜x2. 故答案为：C. 分析：利用y的取值范围可得到x的取值范围，由此可知这部分函数图象分支在第四象限，再利用反比例函数的性质及 y1＜y2＜0， 可得答案. 6. D 考点：反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征 解：连接AB，OC，如图， ∵A（a，b）、B（－a，－b）关于原点对称，且是反比例函数 的图象上的两点， ∴点O在线段AB上，且AO=BO， ∵A（a，b）是反比例函数 的点，∴ ， ∵AC∥y轴，∴点C坐标为（a， ）， ∴ ， 同理可得 ， ∴AC=BD， ∴四边形ACBD是平行四边形， ∴S△AOC= S△AOB= S四边形ACBD=1， ∴ ， ∴ ，整理得：n－m＝2. 故答案为：D. 分析：连接AB，OC，如图，根据反比例函数的性质可得点O在线段AB上，且AO=BO，由A（a，b）在 上可得 ，由AC∥y轴可得点C坐标为（a， ），进而可得AC= ，从而可判定四边形ACBD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得S△AOC= S四边形ABCD=1，然后根据三角形的面积公式可得 ，整理即得答案. 7. C 考点：反比例函数系数k的几何意义 解：P是反比例函数 的图象的任意点，过点P分别做两坐标轴的垂线，∴与坐标轴构成矩形OAPB的面积=6．∴阴影部分的面积= ×矩形OAPB的面积=3． 分析：根据反比例函数的系数k的几何意义得出矩形OAPB的面积=6，利用矩形的性质得出阴影部分的面积= ×矩形OAPB的面积，从而求出结论. 8. B 考点：反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征 解： A、把点（-1，2）代入反比例函数y= ，得2=2成立，故说法正确，不符合题意； B、∵k= ＜0，函数位于二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大，故答案为：错误，，符合题意； C、∵k=-2＜0，∴它的图象在第二、四象限，故说法正确，不符合题意； D、当x=1时，y=-2，故当x＞1时，-2＜y＜0说法正确，不符合题意； 故答案为：B. 分析：根据反比例函数的性质，k= ＜0，函数位于二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大，反比例函数的图象是中心对称图形解答. 9. B 考点：反比例函数的性质，菱形的性质，正方形的性质，反证法 解：A选项：正方形的判定方法：①有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；②有一组邻边相等的矩形；③有一个角是直角的菱形，本选项与判定方法②中的含义一致，故该选项正确； B选项：举反例：当x=-1时，y=-4，当x=1时，y=4，此时y并没有随x的增加而减小，故该选项错误； C选项：矩形的对角线相等，当连接矩形各边中点时，根据中位线定理，所构成的四边形的边长为矩形对角线的一半，所以各边的边长均相等，所构成的四边形为菱形，故该选项正确； D选项：反证法是通过断定与论题相矛盾的判断的虚假来确立论题的真实性的论证方法，原论题为“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”，反证法要假设“三角形中每一个内角都大于60°”，故该选项正确， 故答案为：B. 分析：A选项：根据正方形的判定定理可以对应找到与本选项含义相同的判定定理；B选项：举反例，取x=-1和x=1证明该说法的错误；C选项：根据菱形的判定定理：四边边长相等的四边形为菱形，证明该四边形是菱形；D选项：反证法中的假设应与论题相矛盾. 10. C 考点：待定系数法求反比例函数解析式，平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征 解：∵C（3，1）在双曲线y1＝ （k1＞0，x＞0）上， ∴k1＝3×1＝3， ∴y1＝ ， 设A（m， ）， ∵平行四边形ABCD的面积为 ， ∴（3﹣m）• ＝ ， 解得m＝ ， ∴A（ ， ）， ∵平行四边形ABCD的一边AB∥y轴，顶点B在x轴上， ∴D（3， ）， ∵点D在双曲线y2＝ （k2＞0，x＞0）上， ∴k2＝3× ＝10.5， 故答案为：C. 分析：根据待定系数法求得y1＝ ，设A（m， ），根据题意得（3﹣m）• ＝ ，解得A的坐标，根据平行四边形的性质得出D的坐标，代入y2＝ （k2＞0，x＞0）即可求得k2的值. 二、填空题 11. 0 考点：反比例函数的定义 解：由反比例函数的性质可知 ， 解得： ． 故答案为：0． 分析：根据反比例函数的定义，即可求解． 12. 6 考点：反比例函数的图象，三角形的面积，反比例函数图象上点的坐标特征 解：设点A ， 点B ， ∴ ∵x＞0 ∴. 故答案为：6. 分析：利用函数解析式，设点A ， 点B ， 由此可求出AC的长，再利用三角形的面积公式求出△APC的面积. 13. 考点：反比例函数的性质 解：∵反比例函数 的图象在每个象限内，y随着x的增大而减小， ∴ ， 解得， ． 故答案为： ． 分析：根据反比例函数图象y随着x的增大而减小，可得 ， 再求出k的取值范围即可。 14. （6， ） 考点：反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征 解：∵A，B，C是反比例函数 在第一象限的图象上的点，它的横坐标分别为2，4，6. ∴A（2， ），B（4， ），C（6， ）， ∴S阴影=3k-2× -4× =12， 解得k= ∴反比例函数y= ， 把x=6代入y= ，得y= ， ∴C（6， ）， 故答案为：（6， ）. 分析：根据反比例函数系数k的几何意义，得出S阴影=3k-2× -4× =12，求得k= ，把x=6代入反比例函数的解析式即可求得C的坐标. 15. 考点：反比例函数系数k的几何意义，等边三角形的性质 解：如图，过A作AH⊥BO于H，则 ∵三角形ABO是等边三角形，△ABO的面积为 ， ∴△AHO的面积为 ， 又∵ |k|= ， ∴k=± ， 又∵k＜0， ∴k=- ， 故答案为：- . 分析：过A作AH⊥BO于H，依据△AHO的面积为 ，利用反比例函数比例系数k的几何意义，即可得到k=- . 16. 考点：反比例函数的图象，反比例函数的性质 解：∵k＞0， ∴反比例函数图象的两个分支在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小； 又∵ 位于第三象限、 位于第一象限 ∴ ＜0， ＞0 ∴ . 故答案为： . 分析：根据反比例函数的增减性，若k＞0，函数图象位于一、三象限，根据函数图像与性质即可判断. 三、解答题 17. 解：由题意得：y1=, y2=k2x, y=y1-y2=-k2x, 则, 解得：, ∴y=-+2x. 考点：反比例函数的定义，正比例函数的定义 分析：根据题意分别设反比例和正比例函数式，代入y=y1-y2 ， 现知两点坐标，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式. 18. 解：∵△OAP是等腰直角三角形，OA=3 ∴P（3,3） 代入 ，得k=3×3=9 ∴y= 设AB=a（a＞0），根据△ABQ是等腰直角三角形得到Q点坐标为（3+a,a）， ∴(3+a)×a=9 解得a1= ，a2= （舍去） ∴Q点坐标为（ , ） 考点：等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征 分析：根据 △OAP是等腰直角三角形，OA=3，求出点P的坐标，再将点P的坐标带入求出k的值，再设AB的长为a，得到点Q的坐标 （3+a,a） ，再带入解析式求解即可。 19. （1）解：∵点A的横坐标为2， ∴OH=2 ∵ ∴ OH·AH=3 解得：AH=3 （2）解：∵OH=2，AH=3 ∴点A的坐标为（2，3） 将点A的坐标代入 中，得 解得：k=6 （3）解：∵k=6＞0 ∴反比例函数在第一象限内，y随x的增大而减小 ∵ 、 在该函数图像上，且 ∴ ＞ ． 考点：反比例函数的图象，反比例函数的性质 分析：（1）根据点A的横坐标为2，AH垂直于x轴，S△AOH=3，即可得到AH的长； （2）根据反比例函数k的几何意义，求出k的值即可； （3）在第一象限内，y随x的增大而减小，即可得到y1和y2的关系。 20. （1）解：设A点的横坐标为a， ∵四边形ABOC是平行四边形， ∴AB//CO， ∴xA=xB=a， ∴yA= ，yB= ， ∵A，B两点的纵坐标之比为9：4， ∴ =9：4， ∴k=9 （2）解：当▱ABOC是菱形时，AB=OB， 如图，延长AB交x轴于H， ∵AB∥CO， ∴∠COH+∠OHB=180°， ∴∠OHB=90°， 设BH=4m，则AH=9m， ∴AB=AH-BH=5m， 在Rt△OBH中，OH= =3m， ∴点B的坐标为（3m，4m）， ∵点B在双曲线y 上， ∴3m•4m=4， ∴m= （舍去负值）， ∴AB=5m= . 考点：勾股定理，菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征 分析：（1）设点A的横坐标为a，利用AB//OC，进而表示出点B的横坐标，进而表示出点A，B的纵坐标，即可得出结论； （2）先构造出直角三角形OHB，设BH=4m，则AH=9m，得出AB=5m，进而得出OH=3m，得出点B的坐标，最后代入双曲线中，即可得出结论. 21. （1）x≠1 （2）-6；1 （3）图像关于点（1，1）对称（对称性或增减性都可） （4）x＜1 考点：函数自变量的取值范围，待定系数法求反比例函数解析式，通过函数图象获取信息并解决问题 解：（1）由分式成立的条件可得 ；解之得： ；故答案为： ； （ 2 ）根据已知条件，函数图像通过点（-2，-1）和点（-1，-2）可得到下列方程组： ，解之得： ；函数图像见下： 故答案为：-6，1. （ 3 ）由以上函数图像可知：图像关于点（1，1）对称(对称性或增减性都可)； 故答案为：图像关于点（1，1）对称（对称性或增减性都可）. （ 4 ）由不等式 ；再将 代入其中整理得： 解方程 ，得 ， ； ∴函数 与函数 的图像无交点 又∵函数 的图像的对称中心为：（1，0） ∴不等式 的解集为： . 故答案为： . 分析：（1）由分式成立的条件可得 ；解之得： ； （2）根据已知条件，函数图像通过点（-2，-1）和点（-1，-2）可得到下列方程组： ，解之得； （3）由以上函数图像可知：图像关于点（1，1）对称(对称性或增减性都可)；（4）由不等式 ；再将 代入其中整理得： 再对函数 与函数 的图像进行分析，判断两者无交点，即可得解； 22. （1）C （2）答案不唯一，写出两条即可，如：在第三象限内，y随x的增大而增小；在第四象限内，y随x的增大而减大；函数图像关于y轴成轴对称图形 （3）解：当y=-4时， ， 解得： ， 根据函数的图象和性质得，不等式 的解集是： 或 . x＜－ 或x＞ 考点：反比例函数图象的对称性，反比例函数的性质 解：（1）∵函数 ， ∴函数 的图象是：C 故答案为：C. （ 2 ）答案不唯一，写出两条即可， 如：在第三象限内，y随x的增大而增小， 在第四象限内，y随x的增大而减大， 函数图像关于y轴成轴对称图形； 分析：（1）对于函数 的图象，无论x取非零实数时，y的值总小于零，可得图象；（2）可以从函数的增减性方面进行说明，也可以从函数图象位于的象限说明；函数图象关于y轴成轴对称图形；（3）先求出y=-4时x的值，再根据图形确定不等式 的解集. 23. （1）（-6,1）；（-2,3） （2）解：由题意得: A（–6，3 ），C(-2,1), 将矩形 向右平移 个单位后，则有 , ∵点 恰好同时落在反比例函数 ( ＞0)的图象上， ∴ , ∴ . ∴ , 故反比例函数的解析式为 . 考点：待定系数法求反比例函数解析式，坐标与图形变化﹣平移 解：（1） 四边形ABCD是矩形 A(-6，3)，AB=2，AD=4 故B的横坐标与A点的横坐标相同为-6，纵坐标3-2=1 故A（-6，1） D点的纵坐标与A的点坐标一样为-3，横坐标-6+4=-2 故D（-2,3） 分析：（1）根据矩形的边长和已知A(-6，3)，可以得出A点D点的坐标； （2）根据平移的性质，得出  , A（-6+m,3）,C（-2+m，1）点A、C都在反比例函数上，代入 ，即可求出m的值和解析式。 24. （1）解：过点D作DH⊥x轴于点H， ∵AD=8，∠DAB=60°， ∴AH=4，DH= ， ∵AB=6，点B的坐标为（-6，0）， ∴H点坐标为（-8,0）， ∴D点坐标为 ， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴C点坐标为 ， ∵M为BC中点， ∴M点坐标为 ； （2）解：将□ABCD沿着x轴向右平移a个单位长度， ∴ 的坐标为 ， 的坐标为 ， ∵ ， 都在反比例函数图像上， ∴把 ， 代入反比例函数 中，得 ， 解得： ， ∴反比例函数解析式为： （3）Q点坐标为 或 或 或 . 考点：坐标与图形性质，勾股定理，平行四边形的性质，矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征 解：（3）过点M， 作直线l， 则直线l的解析式为： ， ∴设P点坐标为 ， 由（2）知， 的坐标为（6，0）， 的坐标为 ， 则 ， ， ， 若以 ，P，Q为顶点的四边形是矩形，分情况讨论： ①当∠ 90°时， 则 ，即 ， 解得：m=16， 则P点坐标为 ， 则Q点坐标为 ； ②当∠ 90°时， 则 ，即 ， 解得：m=0， 则P点坐标为 ， 则Q点坐标为 ； ③当∠ 90°时， 则 ，即 ， 解得： ， 则P点坐标为 或 ， 则对应的Q点坐标为 或 ； 综上，Q点坐标为 或 或 或 . 分析：（1）过点D作DH⊥x轴于点H，求出AH和DH的长，即可求出D点坐标，再根据M为BC中点，求出M的坐标即可； （2）写出平移后 ， 的坐标，再根据 ， 都在反比例函数上，建立方程求出即可； （3）设P点坐标为 ，分别讨论①当∠ 90°时，②当∠ 90°时，③当∠ 90°时，建立方程解出m，从而求出Q点坐标. 1 学科网（北京）股份有限公司 $