3.3.1 二次根式的加减运算-课件-2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦二次根式的加减运算，通过化简√20、√8等实例引出同类二次根式定义，承接化简与乘除运算知识，类比整式加减构建学习支架，帮助学生理解合并法则。 其亮点在于题型由概念辨析到综合运算循序渐进，结合“化找并”步骤和土楼圆环计算实例，培养运算能力与应用意识。采用类比迁移教学法，小结口诀强化记忆，助力学生巩固基础提升能力，教师可高效覆盖重难点。

湘教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月10日 3.3.1 二次根式的加减运算 第3章 二次根式 湘教版八年级数学3.3.1 二次根式的加减运算同步练习题 本次练习题针对湘教版八年级数学3.3.1二次根式的加减运算专项编写，承接二次根式的化简、乘除运算知识，聚焦同类二次根式的判定、二次根式的加减运算法则、基础加减计算、根式混合运算、化简求值等核心考点。题型由概念辨析到综合运算循序渐进，覆盖本节课重难点、计算易错点，适配新课课后巩固与专项基础训练。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列二次根式中，与$$\sqrt{3}$$是同类二次根式的是（） A. $$\sqrt{6}$$ B. $$\sqrt{12}$$ C. $$\sqrt{9}$$ D. $$\sqrt{18}$$ 2. 计算$$\sqrt{2}+3\sqrt{2}$$的结果是（） A. $$4\sqrt{2}$$ B. $$3\sqrt{4}$$ C. $$4\sqrt{4}$$ D. $$6\sqrt{2}$$ 3. 下列计算正确的是（） A. $$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$$ B. $$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=2$$ C. $$\sqrt{8}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$$ D. $$\sqrt{4}+\sqrt{9}=\sqrt{13}$$ 4. 化简$$3\sqrt{12}-2\sqrt{27}$$的结果为（） A. 0 B. $$\sqrt{3}$$ C. $$6\sqrt{3}$$ D. $$-6\sqrt{3}$$ 5. 二次根式加减运算的核心步骤是（） A. 直接合并根号内的数 B. 先化为最简二次根式，再合并同类二次根式 C. 直接约分计算 D. 先分母有理化再乘除 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 几个二次根式化成________后，如果________相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 7. 计算：$$5\sqrt{6}-2\sqrt{6}=$$________。 8. 化简：$$\sqrt{20}+\sqrt{5}=$$________。 9. 计算：$$\sqrt{18}-\sqrt{32}=$$________。 10. 若$$a\sqrt{2}+3\sqrt{2}=7\sqrt{2}$$，则$$a=$$________。 三、解答题（共60分） 11. 基础二次根式加减计算（每题6分，共24分） （1）$$4\sqrt{3}+2\sqrt{3}-5\sqrt{3}$$ （2）$$\sqrt{27}+\sqrt{12}$$ （3）$$\sqrt{50}-\sqrt{8}$$ （4）$$3\sqrt{48}-2\sqrt{75}$$ 12. 二次根式加减混合运算（每题8分，共16分） （1）$$\sqrt{12}+\sqrt{18}-\sqrt{27}+\sqrt{8}$$ （2）$$2\sqrt{12}-\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{48}$$ 13. 化简求值与综合应用（每题10分，共20分） （1）先化简$$\sqrt{27}-\sqrt{12}+\sqrt{48}$$，再取$$\sqrt{3}\approx1.732$$，求出近似值（结果保留两位小数）； （2）已知长方形的长为$$\sqrt{75}\mathrm{cm}$$，宽为$$\sqrt{27}\mathrm{cm}$$，求长方形的周长。 参考答案与解析 一、选择题 1.B 解析：$$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$$，化简后被开方数为3，与$$\sqrt{3}$$是同类二次根式。 2.A 解析：合并同类二次根式，系数相加减，根式不变，原式$$=(1+3)\sqrt{2}=4\sqrt{2}$$。 3.C 解析：A非同类根式不能直接合并；B结果为$$\sqrt{3}$$；D非同类根式不能合并。 4.A 解析：原式$$=3\times2\sqrt{3}-2\times3\sqrt{3}=6\sqrt{3}-6\sqrt{3}=0$$。 5.B 解析：二次根式加减运算口诀：先化简、再判断、最后合并同类根式。 二、填空题 6. 最简二次根式；被开方数 7. $$3\sqrt{6}$$ 解析：$$(5-2)\sqrt{6}=3\sqrt{6}$$。 8. $$3\sqrt{5}$$ 解析：原式$$=2\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}$$。 9. $$-\sqrt{2}$$ 解析：原式$$=3\sqrt{2}-4\sqrt{2}=-\sqrt{2}$$。 10. 4 解析：$$(a+3)\sqrt{2}=7\sqrt{2}$$，得$$a+3=7$$，$$a=4$$。 三、解答题 11.（1）原式$$=(4+2-5)\sqrt{3}=\sqrt{3}$$ （2）原式$$=3\sqrt{3}+2\sqrt{3}=5\sqrt{3}$$ （3）原式$$=5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$$ （4）原式$$=3\times4\sqrt{3}-2\times5\sqrt{3}=12\sqrt{3}-10\sqrt{3}=2\sqrt{3}$$ 12.（1）原式$$=2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-3\sqrt{3}+2\sqrt{2}=-\sqrt{3}+5\sqrt{2}$$ （2）原式$$=4\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}+4\sqrt{3}=\frac{12\sqrt{3}-\sqrt{3}+12\sqrt{3}}{3}=\frac{23\sqrt{3}}{3}$$ 13.（1）解：原式$$=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}+4\sqrt{3}=5\sqrt{3}$$，代入$$\sqrt{3}\approx1.732$$，原式$$\approx5\times1.732=8.66$$。 （2）解：长方形周长$$=2(\sqrt{75}+\sqrt{27})$$，化简得$$2(5\sqrt{3}+3\sqrt{3})=2\times8\sqrt{3}=16\sqrt{3}(\mathrm{cm})$$。答：长方形周长为$$16\sqrt{3}$$厘米。 知识点总结与易错提醒：1. 加减运算前提：只有同类最简二次根式才能合并，非同类根式只能保留原式；2. 运算步骤：先全部化为最简二次根式→找出同类根式→系数相加减、根式部分不变；3. 高频易错：$$\sqrt{a}+\sqrt{b} eq\sqrt{a+b}$$，严禁直接合并被开方数；4. 含分数、小数的根式需先化简，再参与加减运算；5. 结果必须保留最简形式，不可合并的根式直接保留。 下面的数是最简二次根式吗？如果不是，请化简。 观察它们有什么共同点？ 化简后每组的二次根式的被开方数相同。 化简后被开方数相同的几个二次根式叫作同类二次根式 当 a = 时 2a + 3a = 5a 当 a = 时 + = 探究新知 2 3 5 + = 知识点 二次根式的加减法法则 2a + 3a = (2+3) a = 5a （乘法分配律） 类比 （乘法分配律） 思 考 3a + 2b能合并吗？ 呢？ 什么样的二次根式可以合并？ 二次根式加减 整式加减 转化 将二次根式化成最简式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并. 注意：判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断. 合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变. 如： 计算： （1） （2） ······ 加法结合律 6 计算： （1） （2） ······ 乘法对加法的分配律 ······加法交换律和结合律，乘法对加法的分配律 7 分析：对于被开方数不相同的二次根式的加法和减法运算，一般先将每个二次根式化成最简二次根式，再对被开方数相同的二次根式进行运算. （化成最简二次根式） （乘法对加法的分配律） （化成最简二次根式） （乘法对加法的分配律） （加法交换律） 例1 计算： 解 化——将非最简二次根式的二次根式化简； 二次根式加减法运算的步骤： 找——找出同类二次根式； 并——把同类二次根式合并. “一化简二判断三合并” 归纳 注意：整式加、减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则在二次根式的加减运算中仍然适用. 先计算 ，再将你的结果与同学比较. 例2 下图是一土楼的水平切面图，它由两个圆心圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为 763.02 m2 和 150.72 m2，求圆环的宽度 d（π取3.14）. 解 设大圆和小圆的半径分别为R，r，面积分别为 S1，S2，由 S1=πR2 ，S2=πr2 可知 则 答：圆环的宽度d为 知识点1 二次根式的加、减法 1.填空： （1）（______） _____； 3 2 （2） . 3 2 3 返回 中考考法 15 2.［2025长沙期末］下列各数不能与 合并的是( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 16 3.计算 的结果是( ) C A. B. C. D.2 返回 中考考法 17 4.下列二次根式化简后可以合并的是( ) C A.和 B.与 C.和 D.和 返回 中考考法 18 5.下列计算正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 19 6.已知正整数,满足等式 ，下列各组数值中符合要求的 是( ) C A.， B.， C.， D.， 返回 中考考法 20 7.若最简二次根式与二次根式可以合并，则 的值为( ) B A.6 B.3 C.4 D.2 返回 中考考法 21 8.计算： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 返回 中考考法 22 知识点2 二次根式的加减混合运算 9.计算 的结果是( ) A A.0 B.2 C. D. 返回 中考考法 23 10.若，，则 的值为____. 返回 中考考法 24 11.［教材P练习T 变式］计算： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 返回 中考考法 25 课堂小结 化——将非最简二次根式的二次根式化简； 二次根式加减法运算的步骤： 找——找出同类二次根式； 并——把同类二次根式合并. “一化简二判断三合并” $