精品解析：辽宁抚顺市七校协作体2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

2025－2026学年度下学期“抚顺七校协作体”期末考试试题 高一数学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：盛卉 刘明辉 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分． 1. 复数，则的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据虚数单位的乘方运算规律将复数化简，即得其虚部. 【详解】由可得：，故的虚部为. 故选:D． 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 3. 已知平面向量，不共线，且，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量基本定理可得. 【详解】由题意可知平面向量不共线，且， 则. 4. 已知扇形的周长为16cm.圆心角为2rad，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用扇形周长公式、弧长公式求出半径和弧长，再代入扇形面积公式计算即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，已知圆心角， 由题意可得， ，解得，； 代入扇形面积公式，计算得. 5. 已知向量 ， 若与垂直，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵ 与垂直， ∴ . ∵ ，，∴ ，解得. ∴ ，∴ . 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式及二倍角公式进行求解． 【详解】 ． 故选：B 7. 已知棱长为1的正四面体的中心为，若球的球面与正四面体的棱有公共点，则球的半径的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把正四面体与棱相切的球和外接球转化为正方体的内切球和外接球，从而可得半径的范围． 【详解】由棱长为1的正四面体可以构造出棱长为的正方体，如图所示， 可知棱长为1的正四面体的外接球和棱长为的正方体的外接球相同， 设正四面体的外接球半径为， 则，所以． 由图可知与正四面体的各棱相切的球即为正方体的内切球， 设与正四面体的各棱相切的球半径为， 则． 因为球的球面与正四面体的棱有公共点， 所以球的半径满足， 即球的半径的取值范围是． 8. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 在上不单调 C. 时， D. 图像既有对称轴又有对称中心 【答案】D 【解析】 【分析】对A，计算，利用诱导公式结合正切奇函数性质得判断；对B，利用复合函数的单调性判断；对C，利用正切和角恒等式，结合时且​，推导判断；对D，及判断. 【详解】对于A：，A错误； 对于B：和都在单调递增，而在单调递增， 由复合函数的单调性可知，在单调递增，B错误； 对于C：由两角和的正切公式可得， 令，时，， 因此，且， 可得，C错误； 对于D：对任意， ，， 因此​是的对称轴； 对任意，因为， ， 所以， ， 因为，所以， 所以 ，因此是的对称中心。 故既有对称轴又有对称中心，D正确. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，有错误选项得0分，部分选对得部分分，3个选项每对一个得2分，2个选项每对一个得3分． 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A选项，复数的共轭复数，因此，A选项正确. 对于B选项，复数的模，因此，B选项错误. 对于C选项，∵ ， ∴ ，该选项正确. 对于D选项， ∵ 分子，分母， ∴ ，是实数，故，该选项正确. 10. 设向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若与的夹角为钝角，则 B. 的最小值为9 C. 与共线的单位向量是 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用向量的夹角公式即可判断A；利用向量的模长公式及二次函数的性质即可判断B；利用向量共线的坐标表示即可判断C；利用向量的模长公式求出的值，进而即可判断D． 【详解】对于A，若与的夹角为钝角，则，解得，故A正确； 对于B，，当且仅当时取到等号，即的最小值为，故B错误； 对于C，与共线的单位向量有两个，为，故C错误； 对于D，若，则，解得，故D正确． 11. 定义关于的函数，，其中，则（ ） A. B. C. 对于任意， D. 对于任意， 【答案】AC 【解析】 【分析】利用诱导公式对进行化简可判断A；利用辅助角公式对进行化简，再结合三角函数的值域可判断B；分别表示出，再根据的取值范围比较大小关系，可判断C；分别表示出，再根据的取值范围比较大小关系，可判断D. 【详解】对于A，当时，，， 所以，故A正确； 对于B，当时，，， 所以 则 ，不恒成立.故B错误； 对于C，， ， ，，且 在上单调递减， 则，所以.故C正确； 对于D，令，则，， 当时，与题干矛盾，故D错误. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3个小题，每题5分，14题第一空2分，第二空3分． 12. 如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】求出侧棱长和底面边长后可求体积. 【详解】因为且四边形为正方形，故， 而，故，故， 故所求体积为， 故答案为：. 13. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为_______m. 【答案】 【解析】 【分析】在中由正弦定理可求得，进而即可求解树的高度. 【详解】在中，，，， ， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以树的高度为. 故答案为：. 14. 中，角所对的边分别为，记的面积为． （1）当时，______； （2）的最大值为______． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】（1）由诱导公式以及两角和的正切公式，化简求值． （2）由题意得到，即，求出三角形的面积，利用换元法结合二次函数的性质求最值即可； 【详解】（1）当时，， 则 ； （2）由得到，， 即， 即， 所以， 又， 故 令，，则， ， 所以，等号成立条件为 故最大值为， 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题考查诱导公式以及两角和的正切公式，同角三角函数基本关系，余弦定理及三角形面积公式，第二问解题的关键是通过换元法及基本不等式求解，运算比较复杂． 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 已知，是非零向量，，且，． （1）求； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，则，又，所以， 得到. 【小问2详解】 由（1）知，又，， 则， 所以. 16. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且. （1）求C； （2）若的面积为求c. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理以及正弦定理，整理化简等式，根据和角公式，可得答案； （2）利用面积公式建立方程组，结合余弦定理，可得答案. 【小问1详解】 由余弦定理，得 所以 由正弦定理得 即，所以. 又，所以，所以. 因为，所以，所以. 又，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，所以，即. 联立方程，解得或（舍）. 由余弦定理，得. 17. 如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，，侧棱．该直三棱柱内有一个圆柱，圆柱的下底面在直三棱柱的底面上，上底面在直三棱柱的上底面上，且圆柱的侧面与直三棱柱的三个侧面都相切． （1）求该圆柱的表面积； （2）求该直三棱柱的外接球O的体积． 【答案】（1） ； （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形的内切圆半径及圆柱表面积公式即可求解； （2）由球的体积公式即可求解． 【小问1详解】 在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，， 所以，的内切圆半径， 圆柱的高 ，所以圆柱的表面积 ． 【小问2详解】 直三棱柱的外接球球心位于上下底面外心连线的中点， 设外接圆的圆心为，底面直角三角形外心是斜边的中点， 则，，所以，外接球半径， 体积 ． 18. 已知函数，为常数． （1）当时，求函数的值域； （2）讨论函数零点的个数； （3）若函数有两个不相等的零点，证明：． 【答案】（1） （2） 当或时，有0个零点， 当时，有1个零点， 当时，有2个零点． （3） 函数在区间上有两个不相等零点 所以是方程的两个不相等的实根； 即 ， ，， 在上单调递减，， 即． 【解析】 【分析】（1）化简函数令，，当时，计算值域； （2）分类讨论判断函数的零点个数； （3）根据题意是方程的两个不相等的实根，进而根据条件计算证明即可； 【小问1详解】 令，则 ，， 当时，， 所以的值域为. 【小问2详解】 令，则，， 当或时，有0个零点， 当时，有1个零点， 当时，有2个零点． 【小问3详解】 略 19. 已知定义在上的函数满足， （1）求值： （2）当时 （i）证明：在上单调递增； （ii）设为锐角，求的最大值. 【答案】（1）1012 （2）（i）由已知 设，则 结合可知 因为，所以 所以，所以在上单调递增； （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据已知等式计算求解函数值即可； （2）（i）应用函数单调递增定义证明即可；（ii）根据已知等式化简再结合二倍角的正弦及余弦公式最后应用基本不等式求解得出最大值. 【小问1详解】 由已知 所以 有，故 所以 【小问2详解】 （i）略 （ii）设，则目标函数为 由已知， 所以 设，则 由基本不等式 取等，即或，所以 由于单调递增，所以，故的最大值为 由已知 所以 所以的最大值为 因为目标函数为，所以所求函数的最大值为. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数结合三角恒等变换最后应用基本不等式计算求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度下学期“抚顺七校协作体”期末考试试题 高一数学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：盛卉 刘明辉 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分． 1. 复数，则的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，不共线，且，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知扇形的周长为16cm.圆心角为2rad，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量 ， 若与垂直，则 （ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知棱长为1的正四面体的中心为，若球的球面与正四面体的棱有公共点，则球的半径的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 在上不单调 C. 时， D. 图像既有对称轴又有对称中心 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，有错误选项得0分，部分选对得部分分，3个选项每对一个得2分，2个选项每对一个得3分． 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 10. 设向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若与的夹角为钝角，则 B. 的最小值为9 C. 与共线的单位向量是 D. 若，则 11. 定义关于的函数，，其中，则（ ） A. B. C. 对于任意， D. 对于任意， 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3个小题，每题5分，14题第一空2分，第二空3分． 12. 如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为_________． 13. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为_______m. 14. 中，角所对的边分别为，记的面积为． （1）当时，______； （2）的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 已知，是非零向量，，且，． （1）求； （2）求． 16. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且. （1）求C； （2）若的面积为求c. 17. 如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，，侧棱．该直三棱柱内有一个圆柱，圆柱的下底面在直三棱柱的底面上，上底面在直三棱柱的上底面上，且圆柱的侧面与直三棱柱的三个侧面都相切． （1）求该圆柱的表面积； （2）求该直三棱柱的外接球O的体积． 18. 已知函数，为常数． （1）当时，求函数的值域； （2）讨论函数零点的个数； （3）若函数有两个不相等的零点，证明：． 19. 已知定义在上的函数满足， （1）求值： （2）当时 （i）证明：在上单调递增； （ii）设为锐角，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $