精品解析：辽宁省抚顺市四方高级中学2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题·A

2024—2025学年（下）高一年级期末质量检测 数学（试题A） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 复数的虚部是 B. C. D. 在复平面内，复数对应的点在第二象限 2. 已知扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 3. 如图，长方体被截去一小部分，其中，则截去的几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 三棱台 D. 五棱柱 4. 已知函数是定义在上的奇函数，且. 则不等式在上的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 四名同学A，B，C，D各掷骰子5次，分别记录自己每次骰子出现的点数.根据四名同学的如下统计结果，则可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A. 平均数为2，中位数为1 B. 中位数为3，众数为2 C. 中位数为3，极差为4 D. 平均数为2，方差为2.4 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知正三棱柱的棱长均为为的中点，则四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，均为边长2的等边三角形，为六边形边上的动点（含端点），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，以下说法正确的是（    ） A. 复数的虚部是 B. C. 在复平面内对应的点在第一象限 D. 10. 在中，边上一点，，则（ ） A. 和的面积之比为 B. C. D. 的面积为 11. 空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态．这些曲线在数学上称为悬链线．悬链线在工程上有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这些曲线对应的函数表达式可以为（其中a，b为非零常数），则对于函数以下结论正确的是（ ） A. 若，则为偶函数 B. 若，则函数的最小值为2 C. 若，则函数的零点为0和 D. 若为奇函数，且使成立，则a的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则__________. 13. 将函数图象向右平移个单位长度，则平移后的图像中与轴最近的对称轴的方程是________. 14. 已知菱形的各边长为4，．如图所示，将沿折起，使得点D到达点S的位置，连接，得到三棱锥，此时．若E是线段的中点，点F在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点F轨迹的面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）试估计样本成绩的众数和平均数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩合并后的总平均数和总方差. 16. 已知，，， （1）求的值域； （2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若，，，，求△ABC内切圆半径r的值． 17. 如图，已知是圆的直径，是圆上的一动点，垂直圆所在平面. （1）求证：； （2）是圆上点，且，，，求平面和平面夹角余弦值. 18. 如图，四点在同一个圆上，，，为钝角，且. （1）求； （2）记为α，求的值. 19. 已知函数． （1）若为偶函数，求的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若在内恰有6个零点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年（下）高一年级期末质量检测 数学（试题A） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 复数的虚部是 B. C. D. 在复平面内，复数对应的点在第二象限 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，根据虚部的定义判断即可；对于B，根据求复数模长的公式求解即可；对于C，根据复数的乘方运算求解即可；对于D，根据复数的几何意义判断即可. 【详解】对于A，虚部不带，是与虚数单位相乘的实数部分，因此复数的虚部是，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，在复平面内，复数对应的点为，在第四象限，D错误. 故选：B. 2. 已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式直接计算求解即可. 【详解】圆心角为，即圆心角为， 又扇形的弧长为，所以，解得该扇形的半径， 故选：C 3. 如图，长方体被截去一小部分，其中，则截去的几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 三棱台 D. 五棱柱 【答案】B 【解析】 【分析】由正方体的几何特征结合三棱柱的定义即可求解. 【详解】在长方体中，由可得四边形为平行四边形， 所以,所以四边形为平行四边形， 所以， 则几何体为三棱柱. 故选：B. 4. 已知函数是定义在上奇函数，且. 则不等式在上的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合奇函数的性质可得在上的解析式，再作出的图象，数形结合计算即可得解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数且， 所以当时，，则； 当时，，则， 所以； 函数的图象可由函数的图象向左严移1个单位长度得到， 作出函数在上的图象，如图所示， 由图可知不等式在上的解集为． 故选：A． 5. 四名同学A，B，C，D各掷骰子5次，分别记录自己每次骰子出现的点数.根据四名同学的如下统计结果，则可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A. 平均数为2，中位数为1 B. 中位数为3，众数为2 C. 中位数为3，极差为4 D. 平均数为2，方差为2.4 【答案】D 【解析】 【分析】利用平均数、中位数、众数、极差、方差的定义逐一分析选项即可. 【详解】对于A，平均数为2，中位数为1，说明5次点数总和为，且将5次点数从小到大排序，第三位为1， 则从小到大排序前三位是1,1,1，后两位点数之和为，不确定是否出现点数6，故A错误； 对于B，中位数为3，众数为2，说明将5次点数从小到大排序，第三位为3，且2至少出现过两次， 则从小到大排序前三位是2,2,3，后两位不确定是否出现点数6，故B错误； 对于C，中位数为3，极差为4，说明将5次点数从小到大排序，第三位为3， 极差可能是，也可能是，不确定是否出现点数6，故C错误； 对于D，平均数为2，方差为2.4，说明5次点数总和为， 若出现点数6，则其他四次点数之和为，只能是1,1,1,1， 则方差， 所以一定没有出现点数6，故D正确. 故选：D. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式展开，然后弦化切即可得解. 【详解】因为，且， 所以. 故选：D 7. 已知正三棱柱的棱长均为为的中点，则四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据棱锥及棱柱的体积公式计算求解. 【详解】如图所示，几何体为正三棱柱，且所有棱长均为， 底面ABC为正三角形，侧面为正方形， 则 ． 故选:A． 8. 如图，在矩形中，均为边长2的等边三角形，为六边形边上的动点（含端点），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的几何图形，求出在方向上投影的数量，再利用数量积的定义求出范围. 【详解】令在方向上投影的数量为， 当点在线段上时，；当点在线段上（不含点）时，； 当点在线段上（不含点）时，， 则当点在折线上时，， 同理当点在折线上时，， 因此点为六边形边上运动时，， 于是， 所以的取值范围为. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，以下说法正确的是（    ） A. 复数的虚部是 B. C. 在复平面内对应的点在第一象限 D. 【答案】ABCD 【解析】 【分析】由复数除法求得，再由复数的相关概念逐一判断各个选项即可得解. 【详解】由题意，复数的虚部是， 复数在复平面内对应的点为在第一象限，. 故选：ABCD. 10. 在中，为边上一点，，则（ ） A. 和的面积之比为 B. C. D. 的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据面积公式计算判断A，应用正弦定理计算判断B，应用两角和的正切公式计算判断C，应用余弦定理及面积公式计算判断D. 【详解】 设点A到直线的距离为，所以，A选项正确； 在中， 由正弦定理可得：， 可得：， 在中，，则， 由于， 所以， 即，B选项正确； 在中，， 由余弦定理得， 所以， 所以的面积为，D选项正确； 因为，所以， 所以，所以，C选项错误； 故选：ABD. 11. 空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态．这些曲线在数学上称为悬链线．悬链线在工程上有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这些曲线对应的函数表达式可以为（其中a，b为非零常数），则对于函数以下结论正确的是（ ） A. 若，则为偶函数 B. 若，则函数的最小值为2 C. 若，则函数的零点为0和 D. 若为奇函数，且使成立，则a的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，直接由偶函数定义判断即可；对于B，令即可判断；对于C，令结合指数对数互换即可判断；对于D，将不等式等价转换为关于在上面有解，结合基本不等式即可得解. 【详解】对于A，若，定义域为全体实数，关于原点对称， 且此时，即为偶函数，故A正确； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则，令， 解得或，即或，所以函数的零点为0和，故C正确； 对于D，若为奇函数，则，即，经检验符合题意， 由题意不等式在上有解， 而在上有， 所以在上有解， 不妨设，则， 所以关于在上面有解， 由基本不等式得，等号成立当且仅当即时等号成立， 综上所述，a的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：D选项的关键是首先将不等式转换为关于在上面有解，由此即可顺利得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据垂直向量的坐标表示和数量积进行求解即可. 【详解】由题意可得， 因为， 所以，解得. 故答案为：. 13. 将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图像中与轴最近的对称轴的方程是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数朋友可得解析式，再根据正弦型函数的对称轴方程得解. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到函数， 令， 解得， 当时，得对称轴方程为， 故答案为：. 14. 已知菱形的各边长为4，．如图所示，将沿折起，使得点D到达点S的位置，连接，得到三棱锥，此时．若E是线段的中点，点F在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点F轨迹的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】取中点M，连接，，作于H，设点F轨迹所在平面为，则平面经过点H且，设三棱锥外接球的球心为O，，的中心分别为，，则平面，平面，且O，，，M四点共面，求出外接球半径，截面圆半径后可得结论. 【详解】取中点M，连接，， 则，，，，平面， ∴平面，， 由题意，又， 所以， 是三角形内角，因此， 作于H，设点F轨迹所在平面为， 则平面经过点H且， 设三棱锥外接球的球心为O，，的中心分别为，， 易知平面，平面，且O，，，M四点共面， ，由球的性质知，从而，即是的角平分线， 所以，，， 又， 则三棱锥外接球半径， 易知O到平面的距离， 故平面截外接球所得截面圆的半径为， 所以截面圆的面积为，即点F轨迹的面积为． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：本题考查棱锥的外接球问题，方法是利用外接球球球心在过棱锥各面外心且与该面垂直的直线上，由此找到球心求出球半径. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）试估计样本成绩的众数和平均数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩合并后的总平均数和总方差. 【答案】（1） （2）众数为75，平均数为74 （3）总平均数为60，总方差为23 【解析】 【分析】（1）根据各组小矩形的面积之和为1，即可求解； （2）最高小矩形中点的横坐标即为众数，根据平均数的计算公式即可求解平均数； （3）根据分层随机抽样的平均数与方差公式即可求解. 【小问1详解】 各组小矩形的面积之和为1， ， . 【小问2详解】 由频率分布直方图可知：众数为75， 平均数为. 故估计样本成绩的众数为75，平均数为74. 【小问3详解】 由图可知，成绩在的人数为，成绩在的人数为， 故两组成绩合并后的总平均数为， 总方差为. 16. 已知，，， （1）求的值域； （2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若，，，，求△ABC内切圆半径r的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标公式计算出，令，算出的范围，再根据二次函数的性质计算出的值域； （2）首先得出，再由得出，即说明三角形为等边三角形，最后利用内切圆半径公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：，令， 因为，所以，则， 所以，由二次函数单调性可知：当，. 【小问2详解】 由题意可知：，由得， 因为，所以，故，即，， 所以为等边三角形，，故. 17. 如图，已知是圆的直径，是圆上的一动点，垂直圆所在平面. （1）求证：； （2）是圆上点，且，，，求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明平面，再根据线面垂直证明线线垂直. （2）做出二面角的平面角，解三角形，求二面角的平面角的余弦. 【小问1详解】 平面圆，又平面圆，. 是圆的直径，. ，又平面，平面. 平面. 又平面，. 【小问2详解】 如图： 过点作，垂足为，连接， ，，. ，，， 在中，由余弦定理得， . 垂直圆所在的平面，又圆所在的平面， ，，. ，，， ，，且， 二面角的平面角为. 由三角形面积公式可得，. 在中由余弦定理可得 ， ∴二面角的余弦值为. 18. 如图，四点在同一个圆上，，，钝角，且. （1）求； （2）记为α，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解，用余弦定理求出，由圆内接四边形性质可得，从而得到，然后在中由余弦定理求； （2）在中由余弦定理，求出，然后由两角和的正弦公式求解. 【小问1详解】 为钝角，，则， 在中，由余弦定理，，则， 圆内接四边形对角互补，于是，又，则， 由题知为钝角，则是锐角，于是， 在中，由余弦定理，， 即，解得（负值舍去） 【小问2详解】 由（1）知，，由余弦定理，， 显然，，则， 19. 已知函数． （1）若为偶函数，求的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若在内恰有6个零点，求的值． 【答案】（1）0 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数为偶函数，所以可求参数的值. （2）问题转化为：在恒成立.再借助辅助角公式和三角函数的图象求，的最小值即可. （3）利用换元法，转化为二次方程的根和三角函数的零点问题求解. 【小问1详解】 因为是偶函数 所以， 所以. 【小问2详解】 因为对任意，不等式恒成立 在恒成立. ， 因为，所以 所以当即时，. 所以，即. 所以实数的取值范围是： 【小问3详解】 在 有6个零点 ，在 方程必有两个异号实根，不妨设 ①当时， 因为无解，有4个解. 所以有4个零点（不合题意，舍去） ②当时，， 因为有2个解，有4个解. 所以有6个零点（满足题意） ③当时， 因为有4个解，所以应恰有2个解. 所以，此时. 综上： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$