辽宁葫芦岛市2025-2026学年高一下学期数学期末复习卷（十）

**基本信息** 该试卷覆盖向量、解三角形、立体几何等核心内容，通过翻折问题、内切球计算等情境，考查空间观念、推理能力与应用意识，适配高一期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量平行、解三角形形状、线面位置关系|第6题翻折问题考查空间观念，第7题球与棱锥相切体现几何直观| |多选题|3/18|复数几何意义、解三角形外接圆与面积|第9题复数与方程结合，第10题面积与内切圆半径综合推理| |填空题|3/15|向量数量积、直三棱柱面积与线面角|第13题动态最值问题培养创新意识| |解答题|5/77|四棱锥证明与线面角、解三角形与面积、向量与三角函数综合|第15题线面平行证明与角计算，第18题三棱台体积与二面角，体现高考真题综合性趋势|

辽宁葫芦岛市2025-2026学年高一下学期数学期末复习卷（十） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，．若，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，角，，所对的边分别为，，，，设的面积为，若，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 3．已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 4．若，，则 （    ） A． B． C． D． 5．关于下列命题正确的是（     ） ①用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台；②有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台；③直三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积；④有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体是棱柱 A．①④ B．②③ C．③④ D．①③ 6．将边长为2的正方形沿对角线翻折，得到三棱锥，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 7．已知球与正四棱锥的四条侧棱和底面均相切，若，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．在复平面内，复数，对应的点分别为，，为坐标原点，则下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，且，则，关于轴对称 C．若，则 D．若，且，是关于的方程的两个根（，），则 10．中，角所对的边分别为，，，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．面积的最大值为 D．的内切圆半径的最大值为 11．如图，正四棱台的上、下底面中心分别为､，且，．分别为的中点，下列说法中正确的有（   ） A． B．平面 C．二面角的大小为 D．若为线段上的一动点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，满足，，．则______． 13．在直三棱柱中，已知，，．该三棱柱的底面的面积的最大值为______；当底面的面积最大时，直线与平面所成角的正弦值为______． 14．在锐角三角形中，角的对边分别是，若的面积，则的最小值为________． 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱垂直于底面，，点、分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 16．（15分）记的内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求； (2)若的面积为5，点在边上，且，求． 17．（15分）已知向量 . (1)当时，求的值； (2)设函数，已知在中，内角的对边分别为 ，若，求的取值范围. 18．（17分）已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 19．（17分）如图，在三棱锥中，，，，点在平面上的投影为．    (1)求证：； (2)求点到直线的距离； (3)若，求二面角平面角的正切值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁葫芦岛市2025-2026学年高一下学期数学期末复习卷（十） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】先由向量的加减法运算可得的坐标，再由向量的数量积的坐标运算可得结果. 【详解】因为向量，，所以， 又因为，所以，解得. 2．在中，角，，所对的边分别为，，，，设的面积为，若，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【难度】0.76 【详解】由，结合正弦定理，可得， 又， 因为为三角形内角，所以. 根据余弦定理，，可得， 中，，且，所以为等边三角形. 3．已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】B 【难度】0.68 【分析】根据空间中线面、面面的平行与垂直的判定、性质定理对各选项逐一判断即可.通过举反例可判断ACD，由线面平行的性质可判断B. 【详解】对A选项：如图所示：，但，故A错误； 对B选项：由线面平行的性质定理：若一条直线平行于一个平面，且该直线含于与该平面相交的另一个平面内，则该直线与两平面的交线平行.已知∥，，，满足定理条件，故，B正确； 对C选项：如图所示：满足 ，但，故C错误； 对D选项：如图所示：满足，但不平行，故D错误. 4．若，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】先将条件进行切化弦得到与的关系，再结合两角和的正弦公式求出二者的值，最后代入两角差的正弦公式计算结果. 【详解】由，根据同角三角函数的商数关系可得， 化简整理得①. 因为，由两角和的正弦公式得②. 将①代入②，得，解得， 再将代入①得. 所以.因此. 5．关于下列命题正确的是（     ） ①用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台；②有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台；③直三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积；④有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体是棱柱 A．①④ B．②③ C．③④ D．①③ 【答案】C 【难度】0.65 【详解】对于①，用平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台； 对于②，如图，两个棱台拼合成的多面体，有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体，不是棱台； 对于③，设，则有，，同理可得另外两种情况，所以直三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积； 对于④，由“每相邻两个四边形的公共边互相平行”这个条件，可以推出：每个侧面的两条侧棱是平行的，又因为底面是平行的，侧面与上下底面交线也平行，那么每个侧面是平行四边形，所以该多面体是棱柱. 命题③④正确. 6．将边长为2的正方形沿对角线翻折，得到三棱锥，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【分析】先求出三棱锥体积的最大值，再建立关于体积与内切球半径的关系，解方程求解. 【详解】由题可知，将沿直线翻折到平面平面时， 三棱锥的体积最大，取的中点，连接,则， 且平面，， 所以三棱锥的体积为：. 由和均为直角三角形，和均为正三角形， ，， 所以三棱锥的表面积. 设三棱锥内切球半径为. 由，得，解得. 7．已知球与正四棱锥的四条侧棱和底面均相切，若，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.54 【分析】先确定球的球心在上，再根据三角形相似确定球的半径，即可确定所求球的表面积. 【详解】   如图所示，为底面的中心，由图形的对称性可知球的球心在线段上， 因，则，， 在中，如图作于点，      设球的半径为，则，， 易得与相似，则，即，解得， 因此，球的表面积为. 8．如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.35 【详解】如图所示，在正四面体中，设棱长为，高为， 为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形 的中心，延长线交于， 连接，则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，，，， 由正四面体的体积为，得 ，解得 ， 正四面体的高，内切球半径满足，代入： ，则. 正四面体顶点到大球球心的距离为， 顶点到小球球心（小球和三个面切，满足顶点到小球球心距离为），两球外切，球心距为， 因此：，整理得，得. 由总表面积为大球表面积加4个小球表面积可得： . 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．在复平面内，复数，对应的点分别为，，为坐标原点，则下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，且，则，关于轴对称 C．若，则 D．若，且，是关于的方程的两个根（，），则 【答案】BC 【难度】0.62 【详解】若，则，故A错误； 因为，，所以，则，关于轴对称，故B正确； 若，则，则，故C正确； 由题意得，，则，故D错误. 10．中，角所对的边分别为，，，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．面积的最大值为 D．的内切圆半径的最大值为 【答案】ACD 【难度】0.55 【分析】根据余弦定理将等式中的角转化为边化简即可求出边的值，根据正弦定理即可判断B选项，利用已知角列出面积公式，根据基本不等式求解面积的最大值，根据等面积法利用内切圆半径列出面积公式，根据半径表达式计算最大值． 【详解】由余弦定理可得，整理得，解得，故A正确； 由正弦定理可得，则（为三角形外接圆的半径）； ， 由余弦定理可知， 因为，当且仅当时，等号成立； 故，故，则面积的最大值为； 设为的内切圆半径，则， 则，因为，当且仅当时，时，等号成立； 则， 令，则，则， 当时，即，取最大值，的内切圆半径的最大值为． 11．如图，正四棱台的上、下底面中心分别为､，且，．分别为的中点，下列说法中正确的有（   ） A． B．平面 C．二面角的大小为 D．若为线段上的一动点，则的最小值为 【答案】AB 【难度】0.4 【分析】根据正四棱台的性质及面面垂直的判定和性质即可判断A；根据面面平行的判定及性质即可判断B；根据二面角平面角的定义即可判断C；根据正四棱台的性质，余弦定理即可判断D． 【详解】对于A，由正四棱台得，平面，底面为正方形，则， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面，又平面，所以，故A正确； 对于B，因为分别为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 由正四棱台得，，则， 又，所以， 又点是中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，又平面， 所以平面，故B正确； 对于C，取中点，连接，则，， 过点作底面，垂足为，则，二面角的平面角即为， 由题可知，，，所以， 所以二面角的大小不为，故C错误； 对于D，，则， 在等腰梯形中，过点作，垂足为， 则， 在中，， 在中，， 所以， 在等腰梯形中，过点作，垂足为， 已知，，， ，所以，所以， 在中，，则， 所以， 由题得，将展开在同一平面，则点关于对称，当点共线时，最小，如图所示，此时，， 在中，，所以， 所以的最小值为，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，满足，，．则______． 【答案】 【难度】0.85 【详解】因为，所以 ， 所以. 13．在直三棱柱中，已知，，．该三棱柱的底面的面积的最大值为______；当底面的面积最大时，直线与平面所成角的正弦值为______． 【答案】 【难度】0.62 【分析】第一空借助余弦定理结合基本不等式求的最大值，代入三角形面积公式得结果；第二空先确定底面为等边三角形，根据线面角的定义，计算点到平面的距离与线段长度的比值即可。 【详解】第一空：在中，，， 由余弦定理得： ， 代入已知得.由基本不等式， 代入上式可得， 当且仅当时等号成立，即的最大值为. 的面积，故底面面积的最大值为. 第二空：当底面面积最大时，， 结合，可知为边长为的等边三角形. 直三棱柱中，平面平面，交线为，取中点，连接， 则，又因为在直三棱柱中，，所以 平面， 即点到平面的距离为。. 因为，平面，平面， 故平面，因此点到平面的距离等于。. 又底面，故，因此. 设直线与平面所成角为，则 . 14．在锐角三角形中，角的对边分别是，若的面积，则的最小值为________． 【答案】 【难度】0.4 【分析】根据条件，利用三角形面积公式及正弦定理得到，利用正弦的和角公式及商数关系，得到，再由正切的和角公式得，令，得到，即可求解. 【详解】因为的面积，则， 又，则， 所以， 又，所以， 则，所以， 则， 令，则， 因为，则，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱垂直于底面，，点、分别是、的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：取的中点，连接， 因为点、分别是、的中点， 所以且， 又因为且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面． (2) 【难度】0.65 【分析】（1）根据平行四边形的判定及性质，线面平行的判定即可证明； （2）根据线面夹角的定义得出即为直线与平面所成角的平面角，即可求解． 【详解】（1）略． （2）过点作的垂线，设垂足为，连接， 因为平面，平面，所以， 因为底面是正方形，所以， 因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，且，平面， 所以平面，即为直线与平面所成角的平面角， 设， 在中，即， 由（1）可知，， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． 16．（15分）记的内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求； (2)若的面积为5，点在边上，且，求． 【答案】(1) (2) 【难度】0.6 【分析】（1）由余弦定理及换元法求解即可； （2）根据面积公式及（1），可求得，进而得，在中，由余弦定理求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 由余弦定理可得， 即， 令，则有，所以，解得（负值舍去）， 即； （2）因为，所以，且． 又因为，即，解得， 由（1）可知，所以，所以， 又因为，所以， 在中，由余弦定理可得：， 所以. 17．（15分）已知向量 . (1)当时，求的值； (2)设函数，已知在中，内角的对边分别为 ，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.56 【详解】（1）当时，则存在非零实数，使得， 当时，则，与时矛盾，舍去. 当时，，即， 所以. （2）而， 由正弦定理可知，即， ∵且，∴. 得到, 而，得到， ∴. 18．（17分）已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：在三棱台中，平面平面，， 又平面平面，平面， 所以平面． (2) (3)存在， 【难度】0.45 【分析】（1）根据已知及面面垂直的性质即可证明； （2）根据等体积法即可求解； （3）根据二面角的定义得出二面角的平面角，结合题目列出方程即可求解． 【详解】（1）略． （2）由棱台性质知：延长交于一点， 由，得，点到平面的距离为到平面距离的3倍，则， 于是，由平面，得为点到平面的距离， 又，则是的三等分点，，即与均为正三角形， 设，则， ，解得， 故，由平面，得，， ，设点到平面的距离为， 由，得，解得：， 即点到平面的距离为． （3）由平面，平面，得平面平面，取中点，连接， 在等边中，，又平面平面，平面， 则平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面平面，作于， 因为平面平面，平面， 所以平面，则， 又平面，则， 作于，连接，，平面，则平面， 而平面，于是，即二面角的平面角， 设，由（2）知：，， 由，得，， 由，得， 若存在使得二面角的大小为， 则，解得，， 所以存在满足题意的点，． 19．（17分）如图，在三棱锥中，，，，点在平面上的投影为．    (1)求证：； (2)求点到直线的距离； (3)若，求二面角平面角的正切值． 【答案】(1)证明：因为平面，且平面，所以， 又因为，，，平面， 所以平面，且平面， 所以； (2) (3) 【难度】0.5 【分析】（1）由线面垂直的判定定理进行求解； （2）过作于，得进行计算； （3）由是二面角的平面角，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）过作于，连接， 因为，平面，得平面， 平面所以， 在中，可求得，， 在中，，可求得， 所以点到直线的距离为， （3）因为平面，且平面，所以， 因为，平面， 得平面，而平面，得，所以就是二面角的平面角， 在直角三角形中，由（2）有，，可得， 在四边形中，，， 所以，，，四点共圆，且为直径，所以， 在直角三角形中，，，解得， 所以， 所以二面角平面角的正切值为． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $