第二课时-集合间的基本关系-同步训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学必修一 · 课时同步训练

第二课时  集合间的基本关系

 

姓名：______________   班级：______________   得分：______________   用时：______ 分钟

【考试说明】本试卷满分100分，建议用时45分钟。包含选择题（8题×5分=40分）、填空题（4题×5分=20分）、解答题（3题共40分）。请认真审题，规范作答。

  核心考点清单

■ 考点一  子集的概念与性质

一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作"A包含于B"（或"B包含A"）。子集具有两个重要性质：①自反性，即任何一个集合是它本身的子集，A⊆A；②传递性，即如果A⊆B且B⊆C，则A⊆C。此外规定：空集∅是任何集合的子集，即∅⊆A。判定子集关系常用定义法：任取x∈A，若能推出x∈B，则A⊆B；反之，若能在A中找到一个元素不属于B，则A不是B的子集。

■ 考点二  真子集的概念与性质

如果集合A⊆B，但存在元素x∈B且x∉A（即A≠B），就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B（或B⫌A）。真子集的关键在于"A是B的子集"且"A不等于B"，即B中至少有一个元素不在A中。真子集具有传递性：若A⫋B且B⫋C，则A⫋C。规定：空集∅是任何非空集合的真子集。子集个数公式是高频考点：含有n个元素的集合共有2ⁿ个子集，其中真子集2ⁿ－1个，非空真子集2ⁿ－2个。

■ 考点三  集合相等

如果集合A是集合B的子集（A⊆B），同时集合B也是集合A的子集（B⊆A），那么称集合A与集合B相等，记作A＝B。集合相等的本质是两个集合的元素完全相同。判定集合相等的常用方法有三种：①双向包含法，即证明A⊆B且B⊆A；②元素对应法，将两集合元素列举后逐一对应；③化简比较法，将描述法表示的集合化简后比较代表元素。注意：集合相等不仅关注元素本身，还关注元素的"身份"，{1,2,3}与{3,2,1}是同一集合（无序性）。

■ 考点四  空集及其性质

一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作∅。空集是集合论中一个特殊而重要的概念。空集的重要性质包括：①空集是任何集合的子集，即∅⊆A（A为任意集合）；②空集是任何非空集合的真子集，即∅⫋A（A为非空集合）；③空集只有一个子集，即它本身。需要特别注意区分几个易混概念：∅与{0}不同，{0}是含有一个元素0的集合；∅与{∅}不同，{∅}是含有一个元

素∅（空集本身作为元素）的集合。在解含参数的集合问题时，必须优先考虑空集的情形，这是常见的易错点。

■ 考点五  Venn图与集合关系表示

Venn图（韦恩图）是用封闭曲线的内部表示集合的直观方法。在Venn图中，子集关系A⊆B表现为集合A的区域完全包含在集合B的区域内；真子集关系A⫋B表现为A的区域在B的区域内且两者不重合；集合相等A＝B表现为两曲线完全重合；空集∅通常用空白区域或不画曲线表示。Venn图能直观展示集合间的包含关系，是分析集合问题的有力工具。此外，常用结论包括：A⊆B等价于A∪B＝B等价于A∩B＝A；A⊆B等价于∁ᵤA⊇∁ᵤB（在全集U下）；∅⊆A∩B⊆A⊆A∪B等。

  知识结构思维导图

图1  集合间的基本关系知识结构图

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．下列四个关系中，正确的个数是（    ）

① 0 ∈ ∅	② ∅ ⊆ {0}
③ {0} ⊆ ∅	④ {0} ＝ ∅

A．1个        B．2个        C．3个        D．4个

2．已知集合 A＝{1, 2, 3}，则集合A的非空真子集的个数为（    ）

A．6	B．7
C．8	D．9

3．已知集合 A＝{x | －2 ≤ x ≤ 5}，B＝{x | m＋1 ≤ x ≤ 2m－1}，若 B ⊆ A，则实数 m 的取值范围是（    ）

A．m ≤ 3	B．－3 ≤ m ≤ 3
C．m ≥	D．m ≤ 3