集合间的基本关系第二课时同步训练----2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修一

**基本信息** 高一数学必修一集合间的基本关系同步练，以“基础巩固-能力提升-综合应用”分层设计，覆盖子集、真子集等核心考点，通过概念辨析、含参计算、分类讨论培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|子集/真子集概念、空集性质|选择1-4直接考查定义辨析，填空9列举子集巩固个数公式| |提升层|集合相等、含参子集关系|选择5-8结合元素互异性推理，填空10-12渗透空集优先讨论思想| |综合层|子集关系综合应用|解答13-15通过分类讨论B⊆A，强化逻辑推理与数学表达能力|

高一数学必修一 · 课时同步训练 第二课时 集合间的基本关系 姓名：______________ 班级：______________ 得分：______________ 用时：______ 分钟 【考试说明】本试卷满分100分，建议用时45分钟。包含选择题（8题×5分=40分）、填空题（4题×5分=20分）、解答题（3题共40分）。请认真审题，规范作答。 核心考点清单 ■ 考点一 子集的概念与性质 一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作"A包含于B"（或"B包含A"）。子集具有两个重要性质：①自反性，即任何一个集合是它本身的子集，A⊆A；②传递性，即如果A⊆B且B⊆C，则A⊆C。此外规定：空集∅是任何集合的子集，即∅⊆A。判定子集关系常用定义法：任取x∈A，若能推出x∈B，则A⊆B；反之，若能在A中找到一个元素不属于B，则A不是B的子集。 ■ 考点二 真子集的概念与性质 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B且x∉A（即A≠B），就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B（或B⫌A）。真子集的关键在于"A是B的子集"且"A不等于B"，即B中至少有一个元素不在A中。真子集具有传递性：若A⫋B且B⫋C，则A⫋C。规定：空集∅是任何非空集合的真子集。子集个数公式是高频考点：含有n个元素的集合共有2ⁿ个子集，其中真子集2ⁿ－1个，非空真子集2ⁿ－2个。 ■ 考点三 集合相等 如果集合A是集合B的子集（A⊆B），同时集合B也是集合A的子集（B⊆A），那么称集合A与集合B相等，记作A＝B。集合相等的本质是两个集合的元素完全相同。判定集合相等的常用方法有三种：①双向包含法，即证明A⊆B且B⊆A；②元素对应法，将两集合元素列举后逐一对应；③化简比较法，将描述法表示的集合化简后比较代表元素。注意：集合相等不仅关注元素本身，还关注元素的"身份"，{1,2,3}与{3,2,1}是同一集合（无序性）。 ■ 考点四 空集及其性质 一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作∅。空集是集合论中一个特殊而重要的概念。空集的重要性质包括：①空集是任何集合的子集，即∅⊆A（A为任意集合）；②空集是任何非空集合的真子集，即∅⫋A（A为非空集合）；③空集只有一个子集，即它本身。需要特别注意区分几个易混概念：∅与{0}不同，{0}是含有一个元素0的集合；∅与{∅}不同，{∅}是含有一个元素∅（空集本身作为元素）的集合。在解含参数的集合问题时，必须优先考虑空集的情形，这是常见的易错点。 ■ 考点五 Venn图与集合关系表示 Venn图（韦恩图）是用封闭曲线的内部表示集合的直观方法。在Venn图中，子集关系A⊆B表现为集合A的区域完全包含在集合B的区域内；真子集关系A⫋B表现为A的区域在B的区域内且两者不重合；集合相等A＝B表现为两曲线完全重合；空集∅通常用空白区域或不画曲线表示。Venn图能直观展示集合间的包含关系，是分析集合问题的有力工具。此外，常用结论包括：A⊆B等价于A∪B＝B等价于A∩B＝A；A⊆B等价于∁ᵤA⊇∁ᵤB（在全集U下）；∅⊆A∩B⊆A⊆A∪B等。 知识结构思维导图 图1 集合间的基本关系知识结构图 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列四个关系中，正确的个数是（ ） ① 0 ∈ ∅ ② ∅ ⊆ {0} ③ {0} ⊆ ∅ ④ {0} ＝ ∅ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知集合 A＝{1, 2, 3}，则集合A的非空真子集的个数为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．已知集合 A＝{x | －2 ≤ x ≤ 5}，B＝{x | m＋1 ≤ x ≤ 2m－1}，若 B ⊆ A，则实数 m 的取值范围是（ ） A．m ≤ 3 B．－3 ≤ m ≤ 3 C．m ≥ －3 D．m ≤ 3 且 m ≥ －3 4．设集合 A＝{x | x＝2k，k∈Z}，B＝{x | x＝4k，k∈Z}，则下列关系正确的是（ ） A．A ⊆ B B．B ⊆ A C．A ＝ B D．A ⫋ B 5．已知集合 A＝{1, a, b}，B＝{a, a², ab}，若 A ＝ B，则 a－b 的值为（ ） A．0 B．－1 C．1 D．2 6．已知集合 A＝{x | x²－3x＋2＝0}，B＝{x | x²－mx＋2＝0}，若 B ⊆ A 且 B ≠ ∅，则实数 m 的值为（ ） A．3 B．－3 C．2 D．3 或 －3 7．已知集合 A＝{x | x²＋x－2＝0}，B＝{x | x²－ax＋a－1＝0}，若 B ⫋ A，则实数 a 的值为（ ） A．2 B．1 C．2或1 D．1或0 8．设 A＝{x | x²－2x－3＝0}，B＝{x | ax－1＝0}，若 B ⫋ A，则实数 a 的取值集合为（ ） A．{0, 1/3, －1} B．{1/3, －1} C．{0, 1, －1} D．{0, 1, －1/3} 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在横线上） 9．集合 {a, b, c} 的所有子集为 ________________________，其中真子集有 ______ 个。 10．已知集合 A＝{x | x²－2x－3＝0}，B＝{x | ax＝1}，若 B ⊆ A，则实数 a 的取值集合为 ____________。 11．设集合 A＝{x | x²＋x－6＝0}，B＝{x | mx－1＝0}，若 B ⫋ A，则实数 m 的取值集合为 ____________。 12．已知集合 A＝{x | x²＋2x＋a＝0}，若 A ⊆ {x | x ≤ 0}，则实数 a 的取值范围是 ____________。 三、解答题（本大题共3小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（12分）已知集合 A＝{x | 2 ≤ x ≤ 6}，B＝{x | a ≤ x ≤ a＋4}。 （1）若 A ＝ B，求实数 a 的值； （2）若 B ⊆ A，求实数 a 的取值范围。 14．（14分）设集合 A＝{x | x²－3x＋2＝0}，B＝{x | x²－ax＋a－1＝0}，C＝{x | x²＋bx＋2＝0}。 （1）若 B ＝ A，求实数 a 的值； （2）若 C ⊆ A，求实数 b 的取值集合。 15．（14分）已知集合 A＝{x | x²－5x＋6＝0}，B＝{x | mx－1＝0}，且 B ⊆ A。 （1）若 B ＝ ∅，求实数 m 的值； （2）若 B 是 A 的真子集，求实数 m 的取值集合； （3）求实数 m 的所有可能取值构成的集合。 参考答案与详细解析 ■ 答案速查 1． A 2． A 3． A 4． B 5． B 6． A 7． A 8． A 9． 见解析 10． {0, 1/3, －1} 11． {0, 1/2, －1/3} 12． a ≥ 0 ■ 详细解析 1．【答案】A 【解析】逐一判断：①0∈∅错误，因为空集∅不含任何元素；②∅⊆{0}正确，空集是任何集合的子集；③{0}⊆∅错误，{0}含元素0而∅不含任何元素；④{0}＝∅错误，两集合元素不同。正确的只有②，共1个，选A。注意：∅与{0}是两个不同的集合，{0}是含一个元素0的非空集合。 2．【答案】A 【解析】集合A＝{1,2,3}含有3个元素，由子集个数公式：含n个元素的集合共有2ⁿ个子集，其中真子集2ⁿ－1个，非空真子集2ⁿ－2个。当n＝3时，非空真子集数为2³－2＝8－2＝6个，选A。具体为：{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}共6个。 3．【答案】A 【解析】由B⊆A，需分两种情况讨论：①当B＝∅时，即m＋1＞2m－1，解得m＜2，此时∅⊆A恒成立；②当B≠∅时，需m＋1≤2m－1（即m≥2）且区间端点满足m＋1≥－2且2m－1≤5，解得m≥2且m≥－3且m≤3，即2≤m≤3。综合①②，m＜2或2≤m≤3，即m≤3，选A。本题关键：含参子集问题必须优先考虑空集情形。 4．【答案】B 【解析】集合A＝{x | x＝2k, k∈Z}表示所有偶数，集合B＝{x | x＝4k, k∈Z}表示所有4的倍数。由于4的倍数一定是偶数（4k＝2·(2k)），故B中任意元素都属于A，即B⊆A。但偶数不一定是4的倍数（如2＝2×1不是4的倍数），故A≠B，因此B⫋A，选B。本题考查集合包含关系的判定，关键在于理解代表元素的含义。 5．【答案】B 【解析】由A＝B，集合A＝{1, a, b}与B＝{a, a², ab}元素完全相同，a是公共元素，故{1, b}＝{a², ab}。分两种情况建立对应：①若1＝a²且b＝ab，由1＝a²得a＝1或a＝－1。当a＝1时A＝{1, 1, b}元素重复，舍去；当a＝－1时，由b＝ab＝(－1)·b＝－b，解得b＝0，此时A＝{1, －1, 0}，B＝{－1, 1, 0}，两集合元素完全相同，A＝B成立，且三个元素互异，符合题意，此时a－b＝－1－0＝－1。②若1＝ab且b＝a²，由ab＝1得b＝1/a，又b＝a²，故a²＝1/a即a³＝1，实数范围内a＝1，此时A＝{1, 1, b}元素重复，舍去。综上，唯一解为a＝－1, b＝0，a－b＝－1，选B。本题考查集合相等与元素互异性，关键在于分情况讨论并检验互异性。 6．【答案】A 【解析】由x²－3x＋2＝0解得x＝1或x＝2，故A＝{1, 2}。由B⊆A且B≠∅，B＝{x | x²－mx＋2＝0}，需B的元素都在A中且B非空。分情况讨论：①B＝{1}，则1是方程x²－mx＋2＝0的二重根，需1－m＋2＝0且判别式Δ＝m²－8＝0，由1－m＋2＝0得m＝3，但Δ＝9－8＝1≠0，矛盾，舍去；②B＝{2}，则2是二重根，需4－2m＋2＝0得m＝3，且Δ＝9－8＝1≠0，矛盾，舍去；③B＝{1, 2}，则1和2都是方程的根，由韦达定理1＋2＝m且1×2＝2，得m＝3成立，此时B＝{1, 2}＝A⊆A成立。综上，m＝3，选A。本题关键：B≠∅排除了空集情形，B⊆A要求B的元素都属于A。 7．【答案】A 【解析】由x²＋x－2＝0解得x＝1或x＝－2，故A＝{1, －2}。由B⫋A，B＝{x | x²－ax＋a－1＝0}。注意到x²－ax＋a－1＝(x－1)(x－(a－1))，故B必含元素1，另一根为a－1。由B⫋A，需B是A的真子集：①B＝{1}，即a－1＝1，a＝2，此时B＝{1}⫋A成立；②B＝{1, －2}，即a－1＝－2，a＝－1，此时B＝{1, －2}＝A，不是真子集，舍去。综上a＝2，选A。本题关键：因式分解发现B必含元素1，简化讨论。 8．【答案】A 【解析】由x²－2x－3＝0解得x＝3或x＝－1，故A＝{3, －1}。由B⫋A，B＝{x | ax－1＝0}。分情况讨论：①B＝∅，即a＝0（方程ax＝1变为0＝1无解），此时∅⫋A成立，a＝0；②B≠∅即a≠0，B＝{1/a}为单元素集，需1/a∈A且B≠A（单元素集必为A的真子集）。1/a＝3得a＝1/3；1/a＝－1得a＝－1。检验：a＝1/3时B＝{3}⫋A成立；a＝－1时B＝{－1}⫋A成立。综上a∈{0, 1/3, －1}，选A。本题关键：B⫋A包含B＝∅的情形，不能遗漏a＝0。 ■ 填空题解析 9．【答案】∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}；7 【解析】集合{a,b,c}含3个元素，子集个数2³＝8个，分别为：∅、{a}、{b}、{c}、{a,b}、{a,c}、{b,c}、{a,b,c}。其中真子集需排除{a,b,c}本身，共8－1＝7个。注意：空集∅是任何集合的子集，也是真子集（当原集合非空时）。 10．【答案】{0, 1/3, －1} 【解析】由x²－2x－3＝0解得x＝3或x＝－1，故A＝{3, －1}。由B⊆A，B＝{x | ax＝1}。分情况讨论：①B＝∅，即a＝0（方程ax＝1变为0＝1无解），此时∅⊆A成立，a＝0；②B≠∅即a≠0，B＝{1/a}为单元素集，需1/a∈A。1/a＝3得a＝1/3，此时B＝{3}⊆A成立；1/a＝－1得a＝－1，此时B＝{－1}⊆A成立。综上a∈{0, 1/3, －1}。本题关键：B⊆A包含B＝∅的情形，不能遗漏a＝0。 11．【答案】{0, 1/2, －1/3} 【解析】由x²＋x－6＝0解得x＝2或x＝－3，故A＝{2, －3}。由B⫋A，B＝{x | mx－1＝0}。分情况讨论：①B＝∅，即m＝0（方程mx＝1变为0＝1无解），此时∅⫋A成立，m＝0；②B≠∅即m≠0，B＝{1/m}为单元素集，需1/m∈A且B≠A（单元素集必为A的真子集）。1/m＝2得m＝1/2；1/m＝－3得m＝－1/3。检验：m＝1/2时B＝{2}⫋A成立；m＝－1/3时B＝{－3}⫋A成立。综上m∈{0, 1/2, －1/3}。本题关键：B⫋A包含B＝∅的情形，不能遗漏m＝0。 12．【答案】a ≥ 0 【解析】集合A＝{x | x²＋2x＋a＝0}，A⊆{x | x ≤ 0}表示A中所有元素均不超过0。分两种情况讨论：①当A＝∅时，即方程x²＋2x＋a＝0无实数解，判别式Δ＝4－4a＜0，解得a＞1，此时∅⊆{x | x ≤ 0}恒成立。②当A≠∅时，即a≤1，方程有两实根x₁、x₂，由韦达定理x₁＋x₂＝－2＜0，x₁·x₂＝a。要使两根均非正，需x₁·x₂≥0即a≥0（x₁＋x₂＝－2＜0已满足两根之和为负）。故0≤a≤1时两根均非正，A⊆{x | x ≤ 0}成立。综合①②，a＞1或0≤a≤1，即a≥0。本题关键：A⊆B包含A＝∅的情形，同时利用韦达定理判断根的符号。 ■ 解答题解析 13．【答案】（1）a＝2；（2）a＝2 【解析】（1）由A＝{x | 2 ≤ x ≤ 6}，B＝{x | a ≤ x ≤ a＋4}，若A＝B，则两区间端点对应相等。 即 a＝2 且 a＋4＝6，解得 a＝2，两式同时成立。 检验：当a＝2时，B＝{x | 2 ≤ x ≤ 6}＝A，符合题意。故a＝2。 （2）若B⊆A，需B中所有元素都在A＝{x | 2 ≤ x ≤ 6}中。 即区间[a, a＋4]包含于[2, 6]中，需同时满足：a ≥ 2 且 a＋4 ≤ 6（即 a ≤ 2）。 由 a ≥ 2 且 a ≤ 2，解得 a＝2。 故实数a的取值为a＝2（集合表示为{2}）。 说明：本题B的区间长度为4，与A的区间长度相等，故B⊆A当且仅当B＝A，即a＝2。 14．【答案】（1）a＝3；（2）{b | －2√2 ＜ b ＜ 2√2 或 b ＝ －3} 【解析】由x²－3x＋2＝0解得x＝1或x＝2，故A＝{1, 2}。 （1）B＝{x | x²－ax＋a－1＝0}，注意到x²－ax＋a－1＝(x－1)(x－(a－1))， 故B必含元素1，另一根为a－1。若B＝A＝{1, 2}，则a－1＝2，解得a＝3。 检验：当a＝3时，B＝{x | x²－3x＋2＝0}＝{1, 2}＝A，符合题意。故a＝3。 （2）C＝{x | x²＋bx＋2＝0}，C⊆A＝{1, 2}。分情况讨论： ①C＝∅，即判别式Δ＝b²－8＜0，解得－2√2＜b＜2√2，此时∅⊆A成立； ②C＝{1}，则1是方程x²＋bx＋2＝0的二重根，需1＋b＋2＝0且1·1＝2， 由1·1＝2矛盾，故此情况不成立，舍去； ③C＝{2}，则2是二重根，需4＋2b＋2＝0且2·2＝2， 由2·2＝2矛盾，故此情况不成立，舍去； ④C＝{1, 2}，则1和2都是方程的根，由韦达定理1＋2＝－b且1·2＝2， 由1·2＝2成立，且1＋2＝－b得b＝－3，此时C＝{1, 2}＝A⊆A成立。 综合①④，实数b的取值集合为{b | －2√2＜b＜2√2 或 b＝－3}。 本题关键：C⊆A包含C＝∅的情形，同时需逐一检验C为单元素集和双元素集的情况。 15．【答案】（1）m＝0；（2）{1/2, 1/3}；（3）{0, 1/2, 1/3} 【解析】由x²－5x＋6＝0解得x＝2或x＝3，故A＝{2, 3}。 B＝{x | mx－1＝0}，且B⊆A。 （1）若B＝∅，即方程mx－1＝0无解。 当m＝0时，方程变为0·x－1＝0，即－1＝0，无解，故B＝∅。 此时∅⊆A成立，故m＝0。 （2）若B是A的真子集（B⫋A），则B≠∅且B≠A。 由B≠∅得m≠0，此时B＝{1/m}为单元素集。 由B⫋A，需1/m∈A且B≠A（B为单元素集，A为双元素集，自动满足B≠A）。 1/m＝2得m＝1/2，此时B＝{2}⫋A成立； 1/m＝3得m＝1/3，此时B＝{3}⫋A成立。 故实数m的取值集合为{1/2, 1/3}。 （3）综合B⊆A的所有情形： ①B＝∅，m＝0； ②B＝{2}，m＝1/2； ③B＝{3}，m＝1/3。 （B最多含一个元素，不可能等于A＝{2, 3}，故无B＝A的情形） 故实数m的所有可能取值构成的集合为{0, 1/2, 1/3}。 本题关键：B⊆A包含B＝∅的情形，需分类讨论B的各种可能。 高一数学必修一 · 第二课时 集合间的基本关系 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $