精品解析：山东省潍坊市诸城市2025-2026学年七年级下学期期末质量监测数学试题

七年级数学试题 （时间：120分钟 满分：120分） 2026.6 注意事项： 1．本试题满分120分，考试时间为120分钟； 2．答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 等于( ) A. 3 B. C. －3 D. 2. 在中，作边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列多项式能用平方差公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，被直线，所截，，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小亮在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的长可能是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 垂直于同一条直线的两条直线平行 B. 若，则 C. 如果一个多边形的内角和是，则这个多边形为六边形 D. 三角形三条中线的交点是这个三角形的重心 7. 计算的值为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 8. 已知关于，的方程组与有相同的解，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 已知多项式与另一个多项式的乘积为，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 3 10. 如图，，于点，点，，分别是，，上的点，连接，，．若平分，平分，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果） 11. 航天员的宇航服加入了气凝胶，可以抵御太空的高温．气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，其颗粒尺寸通常小于，将数据用科学记数法表示为______． 12. 用18cm长的细绳围成一个边长为4cm 的等腰三角形，则这个等腰三角形腰长为_______cm 13. 已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________． 14. 某家文具店的账目记录显示，卖出18本笔记本和12支钢笔，收入是156元；若以同样的价格卖出同款的24本笔记本和16支钢笔，则收入应是_________元． 15. 如图，在三角形纸片中，，，将纸片一角折叠，使点落在内，若，则的度数为_________． 三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） （2） （3） 17. 因式分解： （1） （2） （3） 18. 已知，，求下列代数式的值． （1） （2） 19. 对于命题“两个连续偶数的平方差是4的倍数”，完成下列问题： （1）验证：的结果是4的倍数； （2）证明：设为整数，用含的代数式写出两个连续偶数的平方差，并说明它是4的倍数． 20. 背景 为助力乡村振兴、支持惠农富农，某合作社销售来自山区的甲、乙两种苹果． 素材 已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． 请利用二元一次方程（组）相关知识解决下列问题： （1）求甲、乙两种苹果每箱的售价； （2）王老师购买了甲、乙两种苹果，恰好花费600元，求两种苹果各买了多少箱． 21. 完成填空，并补全证明过程： 如图，是的一个外角，，的平分线与的平分线交于点，求的度数． 解：因为的平分线与的平分线交于， 所以， ．（ ）（填推理依据） 因为是的外角，是的外角， 所以 ， ． （ ）（填推理依据） … 22. 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，然后将因式码按从小到大的顺序排列，就可以形成密码．例如，多项式，将其分解因式为，取，，则有，，．其中11，17，15分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码111517．取另外一些适当的数字，则得出其它的密码． 【问题解决】 （1）已知多项式，当，时，用上述方法形成的密码是 ； （2）已知多项式，用上述方法形成的密码是121416，若密码的每个因式码都是两位数，求，的值． 23. 图1是一个潜望镜模型示意图，它由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线．是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足入射角等于反射角的原理，即，． （1）若，请判断与的位置关系，并说明理由； （2）若光线与直管壁平行，求的度数； （3）如图2，调整平面镜，的角度，设（），，若在直管壁处放置一块平面镜，当光线经过镜面处反射后照射到直管右壁时，经平面镜上的点处反射到平面镜上的点处，这样经过三次反射后，离开潜望镜的光线与入射光线的夹角为，请直接写出此时与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学试题 （时间：120分钟 满分：120分） 2026.6 注意事项： 1．本试题满分120分，考试时间为120分钟； 2．答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 等于( ) A. 3 B. C. －3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由负整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】 故选：D． 【点睛】本题考查了负整数指数幂：（a≠0，p为正整数），牢记知识点是解题的关键． 2. 在中，作边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键．根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可． 【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点B向作垂线垂足为E， 纵观各图形，D选项符合高线的定义， 故选：D． 3. 下列多项式能用平方差公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方差公式因式分解的结构特征，多项式可化为两个平方项的差，即形如，逐项判断即可． 【详解】解：A、，符合两个平方项的差的结构，能用平方差公式因式分解，本选项符合题意； B、，需用提公因式法分解，不符合平方差公式结构，本选项不符合题意； C、，是两个平方项的和，不符合平方差公式结构，本选项不符合题意； D、，是两个平方项和的相反数，不符合平方差公式结构，本选项不符合题意． 4. 如图，直线，被直线，所截，，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：如图， A．无法判断和的大小，故本选项错误，不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴，故本选项正确，符合题意； C．∵， ∴， ∵， ∴，但无法判断与相等，故本选项错误，不符合题意； D．无法判断与的大小，故本选项错误，不符合题意． 5. 如图，小亮在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边关系即可解答． 【详解】解：在  中，由三角形的三边关系可知： ， ，即 ，  观察各选项，只有 在此范围内． 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 垂直于同一条直线的两条直线平行 B. 若，则 C. 如果一个多边形的内角和是，则这个多边形为六边形 D. 三角形三条中线的交点是这个三角形的重心 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查命题真假的判断，结合初中相关知识点逐一判断各选项即可得到正确结论． 【详解】选项A：∵该命题未限定在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线可能不平行，∴A是假命题； 选项B：∵当，时，满足，但，∴B是假命题； 选项C：设多边形边数为，由多边形内角和公式得，解得，∴这个多边形是八边形，C是假命题； 选项D：由三角形重心的定义可知，三角形三条中线的交点是这个三角形的重心，∴D是真命题． 7. 计算的值为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【详解】． 8. 已知关于，的方程组与有相同的解，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】两个方程组有相同的解，说明，满足两个方程组中不含，的两个方程，先求出，的值，再代入含，的方程得到关于，的方程组，求解得到，后计算即可． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴，满足方程组， 解得， 把代入， 得， 解得， ． 9. 已知多项式与另一个多项式的乘积为，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用因式值为零的性质，若是多项式的因式，则时多项式的值为，代入整理即可得到的值。 【详解】∵ ∴ 当时，，因此 将代入多项式得： ， 整理得： 10. 如图，，于点，点，，分别是，，上的点，连接，，．若平分，平分，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质和角平分线定义，结合三角形内角和定理和垂线定义可以判断①②；根据，，得出，再根据三角形内角和定理，可以判断③；先根据，求出，再根据角平分线定义求出，然后根据平行线的性质求出，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ，故②正确； ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 过点F作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴，故④错误； 综上，正确的有①②③． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果） 11. 航天员的宇航服加入了气凝胶，可以抵御太空的高温．气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，其颗粒尺寸通常小于，将数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 用18cm长的细绳围成一个边长为4cm 的等腰三角形，则这个等腰三角形腰长为_______cm 【答案】7 【解析】 【详解】①当4cm为底边时， 设腰长为xcm， 则2x+4=18， 解得：x=7， 此时腰长为： 7cm； ②当4cm为腰长时， 设底边长为ycm， 则y+4×2=18， 解得：x=10， ∵4+4<10， ∴不能组成三角形，舍去； 故答案为7. 13. 已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点到圆心的距离与半径的大小关系，判断点在内，点在圆内时，点到圆上各点的最大距离为半径与点到圆心距离的和． 【详解】解：的半径为，， ，即点在内， 点到上各点的最大距离为． 14. 某家文具店的账目记录显示，卖出18本笔记本和12支钢笔，收入是156元；若以同样的价格卖出同款的24本笔记本和16支钢笔，则收入应是_________元． 【答案】 【解析】 【分析】本题先设出两种商品的单价，根据第一次销售的收入得到单价满足的关系式，再将第二次销售的总收入变形后，整体代入计算即可得到结果，不需要分别求出两个单价． 【详解】解：设1本笔记本的价格为元，1支钢笔的价格为元， 根据题意可得：， 等式两边同时除以6，得， 第二次的总收入为， 将代入，得． 15. 如图，在三角形纸片中，，，将纸片一角折叠，使点落在内，若，则的度数为_________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理和四边形内角和求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴ ． 三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 17. 因式分解： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式分解； （2）先提出公因数，再利用完全平方公式分解； （3）先加负号凑公因式并提出，再利用平方差公式分解，最后整理即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ． 18. 已知，，求下列代数式的值． （1） （2） 【答案】（1）22 （2） 【解析】 【分析】（1）根据进行计算即可； （2）根据进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ． 19. 对于命题“两个连续偶数的平方差是4的倍数”，完成下列问题： （1）验证：的结果是4的倍数； （2）证明：设为整数，用含的代数式写出两个连续偶数的平方差，并说明它是4的倍数． 【答案】（1）∵， ∴的结果是4的倍数； （2）两个连续偶数的平方差为； 设两个连续偶数为，， ∵ ， 为整数， ∴为整数， 两个连续偶数的平方差是4的倍数． 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式进行简算后，即可得出结果； （2）设两个连续偶数为，，再推导得出两个连续偶数的平方差为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 背景 为助力乡村振兴、支持惠农富农，某合作社销售来自山区的甲、乙两种苹果． 素材 已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． 请利用二元一次方程（组）相关知识解决下列问题： （1）求甲、乙两种苹果每箱的售价； （2）王老师购买了甲、乙两种苹果，恰好花费600元，求两种苹果各买了多少箱． 【答案】（1）甲种苹果每箱售价100元，乙种苹果每箱售价80元 （2）购买甲种苹果2箱，乙种苹果5箱 【解析】 【分析】（1）设甲种苹果每箱售价x元，乙种苹果每箱售价y元，根据2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元，列出方程组，解方程组即可； （2）设甲种苹果买了m箱，乙种苹果买了n箱，根据购买甲、乙两种苹果，恰好花费600元，列出二元一次方程，根据方程的解为正整数，解方程即可． 【小问1详解】 解：设甲种苹果每箱售价x元，乙种苹果每箱售价y元，根据题意得： ， 解得：， 答：甲种苹果每箱售价100元，乙种苹果每箱售价80元； 【小问2详解】 解：设甲种苹果买了m箱，乙种苹果买了n箱，根据题意得： ， ∵m、n为正整数， ∴， 答：购买甲种苹果2箱，乙种苹果5箱． 21. 完成填空，并补全证明过程： 如图，是的一个外角，，的平分线与的平分线交于点，求的度数． 解：因为的平分线与的平分线交于， 所以， ．（ ）（填推理依据） 因为是的外角，是的外角， 所以 ， ． （ ）（填推理依据） … 【答案】解：因为的平分线与平分线交于， 所以，（角平分线的定义）， 因为是的外角，是的外角， 所以，，（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）， 所以． 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质可得，，再利用角平分线的定义即可解答 【详解】略 22. 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，然后将因式码按从小到大的顺序排列，就可以形成密码．例如，多项式，将其分解因式为，取，，则有，，．其中11，17，15分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码111517．取另外一些适当的数字，则得出其它的密码． 【问题解决】 （1）已知多项式，当，时，用上述方法形成的密码是 ； （2）已知多项式，用上述方法形成的密码是121416，若密码的每个因式码都是两位数，求，的值． 【答案】（1）101822 （2），或，或， 【解析】 【分析】（1）将多项式分解因式，代入数值计算因式码，然后按从小到大的顺序排列形成密码即可； （2）设，且，分三种情况，结合题中定义求得m， n，再计算a、b值即可． 【小问1详解】 解：， 当，时，，，， 将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码101822； 【小问2详解】 解：∵形成的密码是121416， ∴设，且， 分三种情况： 若，则，， 解得，， ∴， ∴，； 若，则，， 解得，， ∴， ∴，； 若，则，， 解得，， ∴， ∴，， 综上，满足条件的a、b为，或，或，． 23. 图1是一个潜望镜模型示意图，它由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线．是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足入射角等于反射角的原理，即，． （1）若，请判断与的位置关系，并说明理由； （2）若光线与直管壁平行，求的度数； （3）如图2，调整平面镜，的角度，设（），，若在直管壁处放置一块平面镜，当光线经过镜面处反射后照射到直管右壁时，经平面镜上的点处反射到平面镜上的点处，这样经过三次反射后，离开潜望镜的光线与入射光线的夹角为，请直接写出此时与的数量关系． 【答案】（1），理由： ， ， ，， ， ； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，即可推出； （2）根据题意可得，则，根据题意可得，则，根据，即可解答； （3）分两种情况讨论，即或，利用平行线的性质分别求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意可得， ， 根据题意可得， ， ， ，即， 解得， ； 【小问3详解】 解：离开潜望镜的光线与入射光线的夹角为，与入射镜筒壁平行， 或， 当时， ， ， ， ， 如图，延长交于点,则可得, , , , ,即； 当时， ， ， ， ， 如图，延长交于点,则可得, , , , ,即，不符合题意， 综上，或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $