精品解析：陕西西安市西北大学附属中学2025-2026学年高二下学期期末数学试卷

2025—2026学年度第二学期高二年级数学期末试卷 注意：本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一个符合要求） 1. 已知集合 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，解得， ， 则． 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】，所以的虚部为2. 3. 已知向量，，且，则（ ） A. 10 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由得，所以，，则， 所以. 4. 已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ） A. B. C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 5. 已知正四棱台的体积为其上下底面的边长分别为1和2，则这个正四棱台的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设正四棱台的高为，则，故. 6. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解. 【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故选：D. 7. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 8. 设、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 作出图形，推导出轴，并设，用表示和，进而可求得椭圆的离心率. 【详解】如下图所示： 设线段的中点为点，连接，则轴， 、分别为、的中点，，所以，轴， 设，，则，， 由椭圆的定义可得，因此，该椭圆的离心率为. 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，涉及椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题. 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对二项式展开式赋值以及利用求导的方法来求解各项系数的值或系数之间的关系. 【详解】根据二项式定理，当我们令展开式中时，此时展开式中除了这一项，其余含有的项都为， 所以，即，可得，故选项A正确； 二项式其展开式的通项公式为， 要求，也就是当时的系数， 将代入通项公式中， 先计算组合数， 则，故选项B错误； 令，则， 即，所以 又因为前面已经求得，那么，故选项C错误； 对两边同时求导。 左边求导为，右边求导为，即 令，则 即，所以，故选项D正确. 故选：AD. 10. 下列不等式，其中正确的有（ ） A. (，且) B. 的最小值为1 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】运用基本不等式，结合比较法、特例法逐一判断即可. 【详解】A：因为，且， 所以有，当且仅当时取等号，即当时取等号，因此本选项正确； B：假设，则有，此方程无实根，假设不成立， 即 于是，即， 当且仅当时取等号，当该等式不成立，故等号取不到， 因此的最小值不是1，因此本选项不正确； C：因为，当且仅当时取等号， 所以，因此本选项正确； D：当时，，显然不成立，因此本选项不正确， 故选：AC 11. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 直线与圆的位置关系是_________ . 【答案】相交 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交. 故答案为：相交 13. 函数在上的最大值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. 【详解】，当时，， 当时，即时，. 故答案为：2 14. 已知数列满足，且，该数列前20项和________． 【答案】1078 【解析】 【分析】由递推公式得到数列的通项公式，由此计算出数列的. 【详解】∴当为奇数时，，当为偶数时，， ∴数列的奇数项是等比数列，偶数项是等差数列， ∴， ∴ . 故答案为：1078. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知. （1）求角的大小； （2）若，且，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及特殊角的三角函数值求解即可； （2）根据三角形面积公式和余弦定理求解，即可求解三角形的周长. 【小问1详解】 由正弦定理得， 因为，则，所以，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为，且，所以， 由余弦定理可得， 所以，解得， 因此的周长为. 16. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2）当时，在区间单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 【解析】 【分析】（1）当时，求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，结合已知点坐标求出切线方程； （2）求导，结合函数定义域，按进行分情况讨论，并结合导数判定函数的单调性． 【小问1详解】 当时，，求导得， ，， 在点处的切线方程为，化简得． 【小问2详解】 由，得 ， 的定义域为， 当时：，在区间单调递增； 当时： 当时，；当时，， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上，当时，在区间单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 17. 如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，，. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明，结合，先证明平面，得到，再证明，最后证明线面垂直； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，计算平面的法向量及，利用向量法求线面角. 【小问1详解】 证明：作的中点，连接， 因为是正三角形，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以，因为∥，所以， 又平面，所以平面； 【小问2详解】 以为坐标原点, 所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，则， 设与平面所成角为，则. 所以与平面所成角的正弦值为. 18. 设椭圆的离心率，过点. （1）求椭圆的方程； （2）求椭圆被直线截得的弦长. （3）直线与椭圆交于两点，当时，求值.（O为坐标原点） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于，，的方程组，解出，，的值，从而得到椭圆的方程． （2）联立直线与椭圆的方程，得韦达定理，进而根据弦长公式即可求解. （3）根据向量的坐标运算即可代入韦达定理求解. 【小问1详解】 由题意可知，解得， 椭圆的方程为． 【小问2详解】 设椭圆与直线的交点为，，，， 联立方程，消去得， ，， 因此 【小问3详解】 设，， 联立方程，消去得， 所以，，，得 由，即 ， ，均符合， 故 19. ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球.甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权.设甲，乙发出ACE球的概率均为，记事件表示“第n次发球的人是甲”． （1）若，， （i）求； （ii）已知第三次发球的人是甲，求第二次发球的人是甲的概率； （2）若，证明： 【答案】（1）（i）（ii） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）（i）由第一次发球是甲得第二次发球是乙的情况列方程求解， （ii）根据条件概率求出及，再由全概率公式求出，代入贝叶斯公式求解； （2）根据全概率公式得到和的关系式，结合已知条件证得. 【小问1详解】 （i）因为，， 所以. （ii）第二次发球的人是甲的条件下，第三次发球的人是甲的概率为， 第二次发球的人是乙的条件下，第三次发球的人是甲的概率为， 第三次发球的人是甲的概率是， 第三次发球的人是甲，第二次发球的人是甲的概率为. 【小问2详解】 ， 因为，， 所以， 因为，， 所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期高二年级数学期末试卷 注意：本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一个符合要求） 1. 已知集合 则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 4 3. 已知向量，，且，则（ ） A. 10 B. 8 C. D. 4. 已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ） A. B. C. 16 D. 18 5. 已知正四棱台的体积为其上下底面的边长分别为1和2，则这个正四棱台的高为（ ） A. B. C. D. 6. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列不等式，其中正确的有（ ） A. (，且) B. 的最小值为1 C. D. 11. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 直线与圆的位置关系是_________ . 13. 函数在上的最大值是______． 14. 已知数列满足，且，该数列前20项和________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知. （1）求角的大小； （2）若，且，求的周长. 16. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 17. 如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，，. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 18. 设椭圆的离心率，过点. （1）求椭圆的方程； （2）求椭圆被直线截得的弦长. （3）直线与椭圆交于两点，当时，求值.（O为坐标原点） 19. ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球.甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权.设甲，乙发出ACE球的概率均为，记事件表示“第n次发球的人是甲”． （1）若，， （i）求； （ii）已知第三次发球的人是甲，求第二次发球的人是甲的概率； （2）若，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $