精品解析：陕西西安市临潼区华清中学2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

华清中学2027届高二下学期数学期末试题 注意事项： 1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ， 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由得， 即， 又， 故. 2. 已知向量与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知向量与垂直，可知， 即，解得， 因此实数的值为. 3. 已知一组样本数据 的平均数为 2， 设 （ ）， 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为 的平均数为 2，所以 设 （ ），所以 . 4. 从甲、乙、丙、丁 4 人中任选 2 人分别担任班长和副班长，则不同的选法数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】从甲、乙、丙、丁 4 人中任选 2 人分别担任班长和副班长的不同选法有种. 5. 已知是偶函数，则函数的图象（ ） A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 【答案】C 【解析】 【详解】因为是偶函数，所以的图象关于轴对称， 因为函数的图象可由的图象向右平移1个单位得到， 所以函数的图象关于直线对称. 6. 设是两个平面,是两条直线,已知,且,,,则与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交且垂直 C. 异面但不垂直 D. 异面且垂直 【答案】D 【解析】 【详解】因为，由，可得，所以， 又因为，而，则与没有公共点， 所以与异面且垂直. 7. 已知椭圆的离心率为，且经过点，过原点 的直线与交于 两点，若，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由离心率和点 求出椭圆方程及点坐标，设过原点的直线与椭圆交点关于原点对称，利用垂直条件向量点积为零，结合椭圆方程解出斜率平方，检验排除与重合的情况，得到斜率. 【详解】已知椭圆离心率​​，则，  椭圆方程可化为，即 . 代入点得， 因此 ，椭圆E的方程为 ，点A坐标为 . 椭圆关于原点对称，直线过原点，故关于原点对称，设，则，  ， 直线的斜率. 由，得 ， 即，展开化简得. 在椭圆上，故满足 ，联立方程， 两式相减得 ，代入得，因此斜率， 当时，联立与 ，解得， 此时点与点重合，为零向量，不满足垂直条件，故舍去. 因此的斜率为. 8. 已知函数，当时，取得最大值 3，且 满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式将函数化简，利用求得，结合二次函数最值排除无效解，列方程求得参数的值； 【详解】， 因为，结合，可得， 令，则，解得或 当时，取得最大值 3，因为是关于的二次函数，开口向下，最大值在顶点处， 若，当时，取得最大值 3，即， 可得，与矛盾，舍去； 若，此时，代入， 可得，结合，解得. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知函数，则对任意的，且，有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对AB选项直接由对数函数的运算性质可得，对CD选项则用导数判断函数的单调性可得. 【详解】对A选项，因为函数，函数的定义域为，由对数的运算性质， ，A正确； 对于B选项，， 因为，左边不等于右边，B错误； 对选项C，因为的含义是：在上单调递减. 对求导得：，对任意，，因此在上单调递减，C正确； 对选项D，的含义是：导函数在上单调递增. 因为，令，则， 对任意，，因此在上单调递增，D正确. 10. 已知等差数列 与公比为 2 的等比数列 满足 ， ，且 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】设等差数列的公差为， 由，，解得，， ，选项正确； 由，知，则，所以，选项正确； ，，则，选项错误； ，，则，选项正确. 11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线上且位于第一象限，则下列说法正确的是（ ） A. 点 在 的渐近线上 B. C. 若 的内切圆圆心为 ，则 的斜率为 D. 若 的外接圆圆心为 ，则点 的纵坐标为 9 【答案】BCD 【解析】 【分析】A.将点坐标代入双曲线渐近线方程，验证等式是否成立，判断点是否在渐近线上；B.直接利用双曲线定义判断；C.由双曲线焦点三角形内切圆切点性质及点到直线距离公式列方程求解直线斜率;D.利用外心到三角形三顶点距离相等，联立圆方程与双曲线方程，结合第一象限纵坐标为正求解。 【详解】双曲线 ， 得 ，渐近线方程：，焦点 ，点 在第一象限右支上， 选项 A.渐近线 ， ，所以点不在渐近线上，A 错误； 选项 B. 在双曲线右支，由双曲线定义：，B 正确; 选项 C.设的内切圆圆心为，半径为，由到轴（即所在直线）的距离为，得， 设直线的斜率为，则直线的方程为，即， 由圆心到直线的距离等于半径，得 化简得：，而，则， C 正确； 选项 D.外接圆圆心 ，则 ， 先算 ， 设 ，则 ， ， 又 在双曲线上：，代入， ，所以,则, ，故 ，即 纵坐标为 9，D 正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：____. 【答案】 【解析】 【详解】. 13. 已知四棱锥的底面是面积为4的正方形,且与都是等腰直角三角形,则四棱锥的体积为____. 【答案】 【解析】 【分析】利用线面垂直判定定理找到四棱锥的高，结合四棱锥体积公式求解即可. 【详解】因为四棱锥的底面是面积为4的正方形， 所以设边长为，则，即， 正方形的对角线, 如图，设与交于点，则是正方形的中心， 得到,, 因为是等腰直角三角形，则,, 则,且，同理可得 ， 又因为,底面， 所以底面，即是四棱锥的高，， 故. 14. 已知数列满足，点是曲线在点处的切线与轴的交点，记的前项之积为，则使得的正整数____. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数导数的几何意义求出切线方程、等比数列的定义、等比数列通项公式，等差数列前项和公式，结合题意分析求解即可. 【详解】因为，所以， 所以曲线在点处的切线斜率为：， 切线方程为：， 令时，， 当时，则，因此， 所以由，即， 所以数列是以首项，公比为的等比数列， 所以， 因为，所以， 所以 ， 由，解得：或， 因为，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在 中，内角 所对的边分别为 ，已知. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由条件并结合余弦定理可得； （2）由三角形面积公式，并结合（1）的结论可得三角形的周长. 【小问1详解】 由，得，整理得 ， 即，所以，即， 由余弦定理得，又因为，所以. 【小问2详解】 由题意得，所以. 由（1）知，且，所以， 即，所以的周长为 16. 如图，在四棱锥中， 底面，是等边三角形，是棱的中点. （1）证明： ； （2）若，，且 ，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）设是的中点，连接，如图. 因为分别是的中点，所以， 因为 底面，所以 ， 所以 . 因为是等边三角形，所以 ， 又，平面 ，所以 平面 ， 又平面，所以 . （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明 平面，再结合线面垂直的定理求证即可； （2）建立空间直角坐标系，根据面面角向量法计算即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为，且，所以， 又是等边三角形，所以 ，所以，即 . 如图，以为坐标原点，所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系. 设，则 ，，， 所以， ， 设平面的法向量为， 则，即，可取 易知平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则, 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 在一个不透明的袋子中装有6张卡片，卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，6.现从袋中每次随机抽取一张卡片，抽取的卡片不放回. （1）求前两次抽取的卡片上的数字奇偶性相同的概率； （2）当抽出的卡片上的数字之和为偶数时，立即停止抽取，设停止时总共抽取的卡片数量为，求的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2）分布列为 X 1 2 3 4 5 P 【解析】 【小问1详解】 从6张卡片中不放回地抽取两张卡片共有种， 两张卡片奇偶性相同的取法有种， 故前两次抽取的卡片上的数字奇偶性相同的概率为. 【小问2详解】 的可能取值为， ：第一次抽到偶数，； ：第一次抽到奇数，第二次抽到奇数，； ：第一次抽到奇数，第二次抽到偶数，第三次抽到奇数，； ：第一次抽到奇数，第二次抽到偶数，第三次抽到偶数，第四次抽到奇数，； ：第一次抽到奇数，第二次抽到偶数，第三次抽到偶数，第四次抽到偶数，第五次抽到奇数，. 的分布列为 X 1 2 3 4 5 P . 18. 已知函数 . （1）当时，求的单调区间； （2）若，都有，求实数的值； （3）证明: . 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2）1 （3）要证 ， 即证 . 由(2)可知， 当 时 在 上恒成立， 所以 . 所以 . 设 ， 则 ， 当 时， ， 单调递增， 所以 ， 即 ， 所以 . 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的符号求出单调区间即可； （2）先求出函数的单调性，得到，要使恒成立，只需，即，再设，由单调性得到 ，若要满足 ， 则必须 ， 此时 . （3）要证， 即证，由（2）可知， 当时，将不等式放缩为证明即可. 【小问1详解】 当 时， ，定义域为. ， 令，解得， 当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 ， 令，得， 当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以， 要使恒成立，只需，即. 设，则， 令，得， 当时， 单调递增； 当时， 单调递减. 所以 ， 即对于任意的 ， 都有 ， 若要满足 ， 则必须 ， 此时 . 所以实数的值为 1. 【小问3详解】 略 19. 已知抛物线经过点是上的动点，且直线的倾斜角为锐角. （1）求的焦点坐标； （2）为坐标原点，当的面积为12时，求点的坐标； （3）过点作的垂线，与的另一个交点为，求点的横坐标的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入的方程可得； （2）设，求出直线与轴的交点，利用可得； （3）设，将直线的方程与抛物线联立，根据韦达定理得出，结合基本不等式求最值. 【小问1详解】 将点的坐标代入的方程，得，解得 . 所以，焦点坐标为 . 【小问2详解】 设，，则， 由题意知，所以. 所以 ， 令得，即直线与轴的交点为. 所以，解得(舍去)， 此时点. 【小问3详解】 因为 ，所以，，则直线的方程为. 联立，消去，可得 ， 设，则， 所以. 要求的最大值， 先求的最小值， 因为 当且仅当，即时，等号成立， 所以点的横坐标的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华清中学2027届高二下学期数学期末试题 注意事项： 1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ， 则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知向量与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知一组样本数据 的平均数为 2， 设 （ ）， 则 （ ） A. B. C. D. 4. 从甲、乙、丙、丁 4 人中任选 2 人分别担任班长和副班长，则不同的选法数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是偶函数，则函数的图象（ ） A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 6. 设是两个平面,是两条直线,已知,且,,,则与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交且垂直 C. 异面但不垂直 D. 异面且垂直 7. 已知椭圆的离心率为，且经过点，过原点 的直线与交于 两点，若，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，当时，取得最大值 3，且 满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知函数，则对任意的，且，有（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列 与公比为 2 的等比数列 满足 ， ，且 ，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线上且位于第一象限，则下列说法正确的是（ ） A. 点 在 的渐近线上 B. C. 若 的内切圆圆心为 ，则 的斜率为 D. 若 的外接圆圆心为 ，则点 的纵坐标为 9 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：____. 13. 已知四棱锥的底面是面积为4的正方形,且与都是等腰直角三角形,则四棱锥的体积为____. 14. 已知数列满足，点是曲线在点处的切线与轴的交点，记的前项之积为，则使得的正整数____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在 中，内角 所对的边分别为 ，已知. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 如图，在四棱锥中， 底面，是等边三角形，是棱的中点. （1）证明： ； （2）若，，且 ，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 在一个不透明的袋子中装有6张卡片，卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，6.现从袋中每次随机抽取一张卡片，抽取的卡片不放回. （1）求前两次抽取的卡片上的数字奇偶性相同的概率； （2）当抽出的卡片上的数字之和为偶数时，立即停止抽取，设停止时总共抽取的卡片数量为，求的分布列与数学期望. 18. 已知函数 . （1）当时，求的单调区间； （2）若，都有，求实数的值； （3）证明: . 19. 已知抛物线经过点是上的动点，且直线的倾斜角为锐角. （1）求的焦点坐标； （2）为坐标原点，当的面积为12时，求点的坐标； （3）过点作的垂线，与的另一个交点为，求点的横坐标的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $