陕西咸阳市2025-2026学年第二学期期末质量检测高二数学试题

**基本信息** 高中数学期末试卷注重真实情境创设与能力梯度设计，通过科技热点问题考查数学眼光观察与思维推理，体现创新意识与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|3/30|函数与导数、立体几何|结合新能源汽车续航数据建模，考查抽象能力与模型意识；通过空间几何体体积计算，体现几何直观与运算能力|

2025~2026学年度第二学期期末质量检测 高二数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．B 2．B 3．C 4．A 5．D 6．B 7．C 8．D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．若有两个正确选项，则选对一个得3分，全部选对得6分；若有3个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6分；有选错的得0分． 9．AD 10．BCD 11．ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．2 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）由题意得，故． （5分） （2）由（1）知展开式的通项为，展开式共有7项， 故二项式系数最大的项为． （13分） 16．解：（1）零假设为：是否喜爱秦腔与年龄无关， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即可以认为是否喜爱秦腔与年龄有关． （7分） （2）设事件表示“抽中喜爱秦腔的居民”，事件表示“抽中年龄低于40岁的居民”， 则，， 所以， 即在抽中喜爱秦腔的居民的条件下，此人年龄在40岁以下的概率为． （15分） 17．解：（1）由题知得，， 所以椭圆的方程为． （7分） （2）椭圆的右焦点，所以直线的方程为：， 代入椭圆的方程，化简得，， 设，，由韦达定理知，，， 从而． 由弦长公式，得， 即弦的长度为． （15分） 18．解：（1）设事件“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过30”， 则“抽取1名学生，该学生平均每月跑步的次数不超过30”， 设事件“抽取1名学生，该学生体测成绩达到‘及格’等级”， 由全概率公式，可得， 所以从该校任意抽取一名学生，该学生体测成绩达到“及格”等级的概率为． （5分） （2）根据题意，随机变量的可能取值为0，1，2，3， （6分） ，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 （10分） 数学期望为． （12分） （3）设表示“及格”学生人数，表示“总得分”，其中， 则变量，所以， 则， 故这10名学生总得分的方差为． （17分） 19．解：（1）当时，， 所以，又， 所以切线方程为，即． （5分） （2），， 若，则时，，所以在上单调递增； 若，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增． （11分） （3）由（2）可知当时，有极小值， 极小值为，此时极小值也是最小值， 由，可得，即， 又，所以， 令，求导得， 所以在上单调递减， 又， 所以当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以的取值范围为． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末质量检测 高二数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则等于 A．1 B．2 C．3 D．1或2 2．在等比数列中，，，则 A．64 B．32 C．28 D．14 3．某市10000名考生参加某次模拟考试，若他们的数学成绩近似服从正态分布，则数学成绩在分之间的考生约有 （附：若，则） A．1570人 B．2720人 C．3414人 D．6827人 4．已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为 A． B． C． D． 5．如图，三棱锥中，为的中点，为的中点，则 A． B． C． D． 6．某人形机器人公司近5年的年利润情况如下表所示，若与线性相关，且经验回归方程是，则当时的残差为 年份代码 1 2 3 4 5 年利润千万元 9 10 21 26 A． B． C． D． 7．函数在区间上的最小值为 A． B． C． D． 8．从标有，，，，的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这样的四位数中大于的个数为 A．44 B．43 C．42 D．41 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若函数在上可导，且，则 D．若一物体的运动方程为，则其在时的瞬时速度为1 10．已知数列为等差数列，为其前项和，若，，则下列结论正确的有 A．公差 B． C． D．当时，最小 11．某同学有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的概率为，他掷了次骰子，最终有4次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子．设随机变量表示每掷次骰子出现1点的次数，现以使最大的值估计的取值并计算．若有多个使最大，则取其中的最小值．则下列结论正确的是 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知抛物线上的一点到其焦点的距离为3，则的值为______________． 13．在棱长为2的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为_______________． 14．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知的展开式中各项的二项式系数之和为64． （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项． 16．（本小题满分15分） 秦腔是陕西最具代表性的戏曲艺术，2006年被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．为研究是否喜爱秦腔与年龄之间的关系，并为传统文化保护提供数据支持，某文化调研队在西安市随机抽取了200名当地居民进行调查，得到如下列联表： 秦腔 年龄 合计 40岁以下 40岁及以上 喜爱 45 45 90 不喜爱 75 35 110 合计 120 80 200 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜爱秦腔与年龄有关？ （2）现从所抽取的200名居民中随机抽取一人，在抽中喜爱秦腔的居民的条件下，求此人年龄在40岁以下的概率． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17．（本小题满分15分） 已知椭圆：的焦距为4，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于、两点，求弦的长度． 18．（本小题满分17分） 某校的实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为． （1）若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； （2）已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中体测成绩“及格”的人数，求的分布列和数学期望； （3）现从该校随机抽取10名参加体测的学生，给每名体测成绩“及格”的学生计3分，给每名“非及格”的学生计1分，求这10名学生总得分的方差． 19．（本小题满分17分） 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $