精品解析：甘肃白银市某地2025-2026学年度第二学期期末考试试题八年级数学

2025—2026学年度第二学期期末考试试题 年级：八年级 科目：数学 （考生注意：本卷满分120分，考试时间为100分钟） 温馨提示：亲爱的同学，请你沉着冷静，充满自信，认真审题，仔细答卷，祝你考出好成绩！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据,应用不等式的性质，逐项判断即可． 【详解】解： ∴选项A符合题意； ∴选项B不符合题意； ， ∴选项C不符合题意； ， ， ∴选项D不符合题意． 故选：A． 2. 下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意； C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意． 3. 在式子、、、、、中，分式的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 【详解】解：、、是整式， 、、时分式． 故选：B． 4. 已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A（–1，4）的对应点为C（4，7），则点B（–4，–1）的对应点D的坐标为（ ） A. （1，2） B. （2，9） C. （5，3） D. （–9，–4） 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵线段CD是由线段AB平移得到的， 而点A(−1，4)的对应点为C(4，7)， ∴由A平移到C点的横坐标增加5，纵坐标增加3， 则点B(−4，−1)的对应点D的坐标为(1，2). 故选：A 5. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，理解并掌握因式分解的定义是解题的关键． 把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式），根据定义进行判定即可求解． 【详解】解：A、不是因式分解，不符合题意； B、等于右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、等于右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、符合因式分解的定义，属于因式分解，符合题意； 故选：D ． 6. 用反证法证明“中，若，则”，第一步应假设 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是∠A＞60°的反面有多种情况，应一一否定． 【详解】解：∠A与60°的大小关系有∠A＞60°，∠A=60°，∠A＜60°三种情况， 因而∠A＞60°的反面是∠A≤60°． 因此用反证法证明“∠A＞60°”时，应先假设∠A≤60°． 故选：D 7. 将分式中的x、y的值同时扩大3倍，则扩大后分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 保持不变 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，理解题意，熟知分式的基本性质并进行化简是解题关键． 根据分式的基本性质进行化简，即可解答． 【详解】解：， ∴扩大后分式的值扩大3倍． 故选：A 8. 如图，平行四边形中，，，平分交边于点E，则等于（    　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得 ，根据 、的值，求出的值． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ， 平分， ， ， ， ． 9. 如图，在平行四边形中，点，在对角线上，连接，，，，点，满足以下条件中的一个：①；②；③．其中，能使四边形为平行四边形的条件个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】连接交于点，根据平行四边形的性质可得，再根据平行四边形的判定定理对各个条件进行逐一判断即可． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ①∵， ∴， 即， ∴， 即， ∵， 四边形是平行四边形，故①符合题意； ②由无法证明或，不能判定四边形是平行四边形，故②不符合题意； ③∵， ∴， 在和中，  ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形，故③符合题意； 综上所述，能使四边形为平行四边形的条件有，共2个． 10. 如图，已知的面积为20，点的线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】想办法证明S阴=S△ADE+S△DEC=S△AEC，再由EF∥AC，可得S△AEC=S△ACF解决问题； 【详解】 解：连接AF、EC． ∵BC=4CF，S△ABC=20， ∴S△ACF=×20=5， ∵四边形CDEF是平行四边形， ∴DE∥CF，EF∥AC， ∴S△DEB=S△DEC， ∴S阴=S△ADE+S△DEC=S△AEC， ∵EF∥AC， ∴S△AEC=S△ACF=5， ∴S阴=5． 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 因式分解：=___． 【答案】 【解析】 【分析】根据提公因式法和公式法因式分解． 【详解】解：原式 ． 12. 当______时，分式的值为零． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件：分子为；分母不为；熟练掌握分式的值为零的条件是解答本题的关键． 根据分式的值为零的条件解答即可． 【详解】解：由分式的值为零，得，且， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，交于点，连接，若，的周长为6，则的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】由尺规作图可知直线是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得，进而将的周长转化为，代入数据即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线， ， 的周长为， ， ， 即， ， ， ． 14. 若方程有增根，则a的值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】方程有增根，则，得增根为，则是去分母后整式方程的解，代入即可求解． 【详解】解：将方程去分母 得整式方程， ∵方程有增根， ∴， ， 则是去分母后整式方程的解，代入得： ． 15. 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＜3，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由①-②可得，再由x﹣y＜3，可得到关于m的不等式，即可求解． 【详解】解： 由①-②得：， ∵x﹣y＜3， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握二元一次方程组和一元一次不等式的解法是解题的关键． 16. 如图，在中，，将绕着点A顺时针旋转°到的位置，点E恰好落在边上，则的值___________． 【答案】20 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 首先求出，根据旋转的性质得到，，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，则，即可求出答案． 【详解】解：∵在中，， ∴ ∵将绕着点A顺时针旋转°到的位置， ∴，， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 17. 如图所示，在四边形中，，，，若，，过点作交于点，则的长是_______． 【答案】7 【解析】 【分析】首先证明四边形是平行四边形，可得，求出，根据平行线的性质可得，根据三角形的内角和定理求得，再根据等角对等边得． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 18. 已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则，其中正确的是______． 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据一次函数中的，与其图象间的关系，利用数形结合的思想以及一次函数与一元一次不等式的关系，可解决此题． 【详解】解：①的图象过第二、三、四象限， 观察图象可知，，． ∴． 故①正确． ②将分别代入和得， ，． 观察图象不难发现点在点的上方， ∴． 故②不正确． ③观察图象发现，与交点的横坐标为． 当时，两者的函数值相等． ， 故③正确． ④、是直线上不重合的两点， 由的图象可知， 当时，，则． 当时，，则． 故④不正确． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 原不等式组的解集为． 20. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先化分式方程为整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 21. 先化简，再求值：，请从，0，2中选择一个合适的的值代入求值． 【答案】，1 【解析】 【分析】先对括号内的式子通分，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分，最后从，0，2中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， ∵或2时，原分式无意义， ∴， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键． 22. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点为原点，点的坐标分别是． （1）画出向下平移3个单位后得到的，则点的坐标是______ （2）将绕点逆时针旋转后得到，请在图中作出，这时点的坐标是______． （3）在（2）中的旋转过程中，求线段扫过的图形的面积？ 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析， （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移和旋转． （1）根据平移的规则，画出，进而写出点的坐标即可； （2）根据旋转的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （3）勾股定理求出的长，进而求出扇形的面积即可． 掌握平移和旋转的性质，是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 由图可知：点的坐标是； 故答案为：； 【小问2详解】 如上图，即为所求；点的坐标是； 故答案为：； 【小问3详解】 解：由勾股定理得：， ∴线段扫过的图形的面积为． 23. 如图，四边形是平行四边形，E为中点，连接并延长，交的延长线于点F． （1）求证： ； （2）过点D作于点G，H为的中点．判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）证明∶∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴． （2），理由如下： 由（1）可得， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴C为的中点， ∵H为的中点， ∴为的中位线， ， ， ， ∴． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，则可求出，结合已知条件运用即可证明结论； （2）由（1）可证得，易证为的中位线，可得，结合即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. “把读书当作一件大事来抓”是年全国教育工作会议的精神之一．为了更好的落实会议精神，某学校购进、两种读本，花费分别是元和元．已知读本的订购单价是读本的订购单价的倍，并且订购读本的数量比读本的数量多本． （1）求、两种读本的单价分别是多少元？ （2）该学校拟计划再订购这两种读本共本，其中读本订购数量不少于读本订购数量的倍，求该学校订购这两种读本的最低总费用． 【答案】（1）、两种读本的单价分别是元、元 （2）该学校订购这两种读本的最低总费用为元 【解析】 【分析】（1）设读本的订购单价为元/本，则读本的订购单价为元/本，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设读本订购本，总费用为元，则读本订购本，根据题意列出不等式，表示出总费用，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 设读本的订购单价为元/本，则读本的订购单价为元/本，依题意，得 ． 解得 ． 经检验：是原方程的解，且符合题意． 当时，(元)． 答：、两种读本的单价分别是元、元． 【小问2详解】 设读本订购本，总费用为元，则读本订购本，依题意，得 ≥． 解得 ≥． ． ∵＞， ∴随的增大而增大， ∴当时，总费用最低，即． 答：该学校订购这两种读本的最低总费用为元． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，一次函数和一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 25. 【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求M的最小值． 解：． ，， 当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）用配方法因式分解：            ； （2）已知 ，求的值． （3）已知 ， ，试比较P，Q的大小． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】用配方法将各式凑成完全平方式与其他整式的和，然后根据平方的非负性解决问题． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 故， ∴， ； 【小问3详解】 解： ， ∴． 26. 探究与应用： （1）【问题提出】如图1，和都是等边三角形，将绕点C旋转，使点D落在内部，连接． ①求证：； ②若，求证：； （2）【问题探究】如图2，和都是等边三角形，将绕点C旋转，使点D落在外部，连接，若仍然成立，求的度数； （3）【问题拓展】如图3，和都是等腰直角三角形，，将绕点A旋转，使点D落在外部，连接，若，，，请直接写出的长． 【答案】（1）①证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ， 在中，由勾股定理得：， 由①知， ∴； （2）的度数为 （3） 【解析】 【分析】（1）①证明即可证明结论；②证明，根据即可得出结论； （2）证明，得出是直角三角形，且，即可求出结论； （3）证明，得出是等腰直角三角形，求出，再根据勾股定理求出结论； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； ∴的度数为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末考试试题 年级：八年级 科目：数学 （考生注意：本卷满分120分，考试时间为100分钟） 温馨提示：亲爱的同学，请你沉着冷静，充满自信，认真审题，仔细答卷，祝你考出好成绩！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在式子、、、、、中，分式的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A（–1，4）的对应点为C（4，7），则点B（–4，–1）的对应点D的坐标为（ ） A. （1，2） B. （2，9） C. （5，3） D. （–9，–4） 5. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 用反证法证明“中，若，则”，第一步应假设 A. B. C. D. 7. 将分式中的x、y的值同时扩大3倍，则扩大后分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 保持不变 D. 无法确定 8. 如图，平行四边形中，，，平分交边于点E，则等于（    　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，在平行四边形中，点，在对角线上，连接，，，，点，满足以下条件中的一个：①；②；③．其中，能使四边形为平行四边形的条件个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图，已知的面积为20，点的线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 因式分解：=___． 12. 当______时，分式的值为零． 13. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，交于点，连接，若，的周长为6，则的值为_____． 14. 若方程有增根，则a的值为___________． 15. 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＜3，则m的取值范围是________． 16. 如图，在中，，将绕着点A顺时针旋转°到的位置，点E恰好落在边上，则的值___________． 17. 如图所示，在四边形中，，，，若，，过点作交于点，则的长是_______． 18. 已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则，其中正确的是______． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解不等式组： 20. 解分式方程：． 21. 先化简，再求值：，请从，0，2中选择一个合适的的值代入求值． 22. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点为原点，点的坐标分别是． （1）画出向下平移3个单位后得到的，则点的坐标是______ （2）将绕点逆时针旋转后得到，请在图中作出，这时点的坐标是______． （3）在（2）中的旋转过程中，求线段扫过的图形的面积？ 23. 如图，四边形是平行四边形，E为中点，连接并延长，交的延长线于点F． （1）求证： ； （2）过点D作于点G，H为的中点．判断与的位置关系，并说明理由． 24. “把读书当作一件大事来抓”是年全国教育工作会议的精神之一．为了更好的落实会议精神，某学校购进、两种读本，花费分别是元和元．已知读本的订购单价是读本的订购单价的倍，并且订购读本的数量比读本的数量多本． （1）求、两种读本的单价分别是多少元？ （2）该学校拟计划再订购这两种读本共本，其中读本订购数量不少于读本订购数量的倍，求该学校订购这两种读本的最低总费用． 25. 【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求M的最小值． 解：． ，， 当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）用配方法因式分解：            ； （2）已知 ，求的值． （3）已知 ， ，试比较P，Q的大小． 26. 探究与应用： （1）【问题提出】如图1，和都是等边三角形，将绕点C旋转，使点D落在内部，连接． ①求证：； ②若，求证：； （2）【问题探究】如图2，和都是等边三角形，将绕点C旋转，使点D落在外部，连接，若仍然成立，求的度数； （3）【问题拓展】如图3，和都是等腰直角三角形，，将绕点A旋转，使点D落在外部，连接，若，，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $