第二十五章 一元二次方程 02讲 降次——解一元二次方程预习讲义（6大知识点+10大常考题型+巩固练习）2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程的降次解法，系统梳理直接开平方法、配方法、根的判别式、公式法、因式分解法及根与系数的关系，构建从基础解法到综合应用的学习支架，帮助学生逐步掌握解一元二次方程的完整思路。 资料亮点在于题型设计层层递进，例题与变式练习结合，通过配方法步骤表格、根与系数关系应用等实例，培养学生的抽象能力（数学眼光）、推理意识（数学思维）和符号表达（数学语言）。课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第二十五章 一元二次方程 02讲 降次——解一元二次方程 题型归纳 【知识点1 直接开平方法解一元二次方程 1】 【知识点2 配方法解一元二次方程 2】 【知识点3 一元二次方程根的判别式 3】 【知识点4 公式法解一元二次方程 3】 【知识点5 因式分解法解一元二次方程 4】 【知识点6 一元二次方程的根与系数的关系 5】 【题型1. 解一元二次方程——直接开平方法 5】 【题型2. 解一元二次方程——配方法 6】 【题型3. 配方法的应用 7】 【题型4. 根据判别式判断一元二次方程根的情况 9】 【题型5. 根据一元二次方程根的情况求参问题 9】 【题型6. 解一元二次方程——公式法 9】 【题型7. 解一元二次方程——因式分解法 10】 【题型8. 解一元二次方程——换元法 11】 【题型9. 一元二次方程的根与系数的关系 12】 【题型10. 用适当的方法解一元二次方程 13】 【巩固练习 14】 知识清单 知识点1 直接开平方法解一元二次方程 1.定义：利用平方根的定义直接开平方来求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法. 例如，解得 . 一般地，对于方程 ： 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2.直接开平方法解一元二次方程一般步骤： （1）将方程化为p或的形式； （2）直接开平方化为两个一元一次方程； （3）解两个一元一次方程得到原方程的解． 【提示】一元二次方程必须同时满足以下条件： ① 直接开平方法适用的方程是能转化成p或的方程； ② 利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当p为非负数时，方程才有解，并且要注意开方的结果取“正、负”两种情况. 知识点2 配方法解一元二次方程 1.定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项. 2.配方法解一元二次方程一般步骤： 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 【提示】当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后： ① 如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根； ② 如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根； ③ 如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 知识点3 一元二次方程根的判别式 1.定义：对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫作一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ . 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况： （1）一元二次方程有两个不相等的实数根 ； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 【提示】 ① 应用根的判别式时必须将一元二次方程化成一般形式，然后准确确定，，的值； ② 此判别式只适用于一元二次方程，当无法判定方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论： ③ 当时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根. 3. 判别式的应用：（1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 知识点4 公式法解一元二次方程 1. 求根公式：当时，方程的实数根可以写成 的形式，这个式子叫作一元二次方程的求根公式. 2.公式法：解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 3. 公式法解一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 知识点5 因式分解法解一元二次方程 1.定义：对于先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 2. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 一般步骤 方法 实例 一移 使方程的右边为0 即 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 或 四解 写出方程的两个解 或 3. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式： 知识点6 一元二次方程的根与系数的关系 1.关系：若一元二次方程的两个实数根为、，则 ， （也称为韦达定理）. 即任何一个一元二次方程两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 2.不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值常见的代数变形： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5）| 3.一元二次方程根与系数的关系的应用： （1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值； （2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值； （3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值； （4）与根的判别式相结合，解决一些综合题. 题型专练 题型1. 解一元二次方程——直接开平方法 【例1】用直接开平方法解下列方程． (1)； (2)． 【变式1】解方程： (1) (2) 【变式2】解下列方程： (1) (2) 【变式3】用直接开平方法解下列方程： (1) (2)； (3) (4) 题型2. 解一元二次方程——配方法 【例1】解下列方程： (1)； (2)． 【变式1】解方程：（用配方法）； (1) (2)． 【变式2】用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【变式3】在用配方法解方程时，小颖的解法如图： 第一步：移项，得． 第二步：配方，得， 即               ． 第三步：两边开平方，得． 第四步：所以， 请回答： (1)小颖的解答过程从第___________步开始出现错误； (2)请给出这道题的正确解答过程． 题型3. 配方法的应用 【例1】把方程配方成的形式，则m，n的值是（　　） A．，28 B．5， C．5， D．，25 【例2】【阅读材料】：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫作配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用． 例1：用配方法因式分解：． 原式 例2：求的最小值． 解：； 由于，所以， 即的最小值为5． (1)【类比应用】：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)仿照例2的步骤，求的最小值； 【变式1】通过配方，可以求得代数式的最小值是（   ） A．0 B．1 C．9 D．10 【变式2】新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是______． 【变式3】阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如 的多项式变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 的配方法． 运用多项式的配方法和平方差公式可以解决很多数学问题． 下面给出例子： [例]分解因式： ． ． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式： ． (2)请你运用上述配方法分解因式 ． (3)已知 的三边长 都是正整数，且满足 ，求 周长的最大值 【变式4】【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴， ∴当时，的最小值是4． (1)【类比探究】求代数式的最小值； (2)【举一反三】利用一面长度为的墙，用长的篱笆，怎样围成一个面积最大的矩形场地？最大面积是多少？ 题型4. 根据判别式判断一元二次方程解根的情况 【例1】一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式1】下列关于的一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（     ） A． B． C． D． 【变式2】写出一个没有实数根的一元二次方程：_______． 【变式3】定义新运算，对于任意实数m、n有，则方程的根的判别式的值为__________． 题型5. 根据一元二次方程根的情况求参问题 【例1】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 【例2】关于的方程，无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 【变式1】若关于x的一元二次方程有实数根，则整数m的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ________ ． 【变式3】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，其中为实数，则__________． 【变式4】已知关于的一元二次方程有两个实数根，写出符合条件的的一个值为______． 题型6. 解一元二次方程——公式法 【例1】解方程： (1)； (2)． 【变式1】用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【变式2】使用“公式法”解一元二次方程 (1)； (2)； (3)． 【变式3】用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型7. 解一元二次方程——因式分解法 【例1】解方程： 【变式1】解方程： (1)； (2)． 【变式2】用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【变式3】解下列一元二次方程： (1)． (2)． 题型8. 解一元二次方程——换元法 【例1】已知关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法求解 【例2】关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是______． 【变式1】若，则的值是________． 【变式2】阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为：，解得，，当时，，，当时，，．∴原方程有四个根是：，，，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． 已知实数，满足，试求的值． 【变式3】真正的学习是自学的，下面是小诗同学的数学笔记，请认真学习笔记内容． 解方程：． 解：设，则原方程化为， 解得，（舍去）． 当时，， 解得，． 总结：①解方程的过程中，设，用到了换元法，把看作一个整体a，先解关于a的一元二次方程． ②注意取值范围，舍去不符合条件的a的值，再求出x的值． 根据小诗同学笔记本上的内容，解方程：． 题型9. 一元二次方程的根与系数的关系 【例1】关于的一元二次方程的一个根为3，则另一个根为（   ） A．3 B． C．5 D． 【例2】一元二次方程的两个实数根为和，则代数式的值为（   ） A． B．3 C． D．13 【变式1】已知关于x的方程的两实数根为，若，则m的值为（  ） A． B．3 C．或 D． 【变式2】若关于的一元二次方程的两个根互为倒数，则_____． 【变式3】若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，求的值． 【变式4】已知，是关于的一元二次方程的两实数根． (1)若，求的值； (2)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 题型10. 用适当的方法解一元二次方程 【例1】请用适当的方法解下列方程 (1) (2) 【例2】解方程： (1)； (2)． 【变式1】解下列方程： (1)． (2)． 【变式2】解下列方程： (1) (2) (3) 【变式3】解方程： (1)； (2)． 【变式4】解下列方程： (1)； (2)． 【变式5】解方程 (1)； (2)． 巩固练习 1．（2026·江苏扬州·中考真题）关于x的一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 2．（2026·湖北荆州·二模）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B． C．3 D．5 3．（2026·河南三门峡·二模）下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南常德·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·吉林长春·期中）一元二次方程的两个实数根为和，则代数式的值为（     ） A．1 B．2 C．0 D． 6．（2026·河北沧州·二模）若一元二次方程的两根为，，则点在平面直角坐标系中位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（2026·安徽马鞍山·三模）已知关于的一元二次方程的两个根为，，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·广东肇庆·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是______（写出一个即可）． 9．（2026·山东·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 10．（25-26九年级下·浙江温州·期中）方程的正根介于正整数与之间，则________． 11．（2026·四川遂宁·二模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 12．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）解方程：． 13．（25-26八年级下·浙江金华·期中）解下列方程： (1)； (2)． 14．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）解方程：． 15．（2026·安徽·模拟预测）解方程：． 16．（2026·广东河源·二模）在解方程时，小明的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 小明的解法中第几步开始出现错误？错误的原因是什么？请你写出这道题的正确解答过程． 17．（2026·四川南充·三模）为实数，关于的方程为． (1)判断方程根的情况． (2)若方程的两根为，，当时，求的值． 18．（25-26八年级下·吉林·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个根分别为，，求m的值． 19．（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 1 / 70 学科网（北京）股份有限公司 $第二十五章一元二次方程 02讲降次一一解一元二次方程 少题型归纳 【知识点1直接开平方法解一元二次方程· 1) 【知识点2配方法解一元二次方程… 2】 【知识点3一元二次方程根的判别式 3】 【知识点4公式法解一元二次方程… 3】 【知识点5因式分解法解一元二次方程… 4】 【知识点6一元二次方程的根与系数的关系 5】 【题型1.解一元二次方程一一直接开平方法… …5】 【题型2.解一元二次方程一一配方法…6】 【题型3.配方法的应用… 7】 【题型4.根据判别式判断一元二次方程根的情况 9】 【题型5.根据一元二次方程根的情况求参问题… …9】 【题型6.解一元二次方程一一公式法 9】 【题型7.解一元二次方程一一因式分解法 10】 【题型8.解一元二次方程一一换元法 11】 【题型9.一元二次方程的根与系数的关系 12】 【题型10.用适当的方法解一元二次方程 …13】 【巩固练习…】4】 知识润单 知识点1直接开平方法解一元二次方程 1定义：利用平方根的定义直接开平方来求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法， 例如x2=25,解得x=士5.一般地，对于方程x2=p: 1/16 p>0 方程有两个不等的实数根x1=√匝，x2=一√下 p=0 方程有两个相等的实数根x1=x2=0 p<0 方程无实数根 2.直接开平方法解一元二次方程一般步骤： (1)将方程化为x2=p或(mx+n)2=p(≥0，m≠0)的形式； (2)直接开平方化为两个一元一次方程： (3)解两个一元一次方程得到原方程的解. 【提示】一元二次方程必须同时满足以下条件： ①直接开平方法适用的方程是能转化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0，m≠0)的方程； ②利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当卫为非负数时，方程才有解，并且要 注意开方的结果取“正、负”两种情况. 知识点2配方法解一元二次方程 1定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 其中ax是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项 2配方法解一元二次方程一般步骤： ·般步骤 方法 实例(9y2-18y-4=0) 将常数项移到方程的右边，含 一移 移项 未知数的项移到方程的左边 9y2-18y=4 方程左、右两边同时除以二次 二化 二次项系数化为1 4 项系数 y-2y-5 4 方程左、右两边同时加上一次 y2-2y+1 9+1 三配 配方 项系数一半的平方 即0-12=号 四开 利用平方根的意义直接开平 开平方 方 。-+四 五解 得出两个根 移项，合并同类项 y1=1+y%=1- 3 2/16 【提示】当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后： ①如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根： ②如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根： ③如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根： 知识点3一元二次方程根的判别式 1定义：对于一元二次方程ax2+bx+c=0a+0,通过配方可得x+品}=“，则 方程根的情况由b2-4ac的符号决定， 一般地，式子b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用 希腊字母“△”表示它，即△=b2-4ac. 2.根的判别式△的符号与一元二次方程根的情况： (1)△>0台一元二次方程有两个不相等的实数根x=吐e 2a (2)△=0台一元二次方程有两个相等的实数根x1=x2=一20 (3)△<0台一元二次方程无实数根. 【提示】 ①应用根的判别式时必须将一元二次方程化成一般形式，然后准确确定α，b,c的值： ②此判别式只适用于一元二次方程，当无法判定方程是不是一元二次方程时，应对方 程进行分类讨论： ③当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根. 3.判别式的应用：(1)不解方程判断一元二次方程根的情况； (2)根据方程根的情况求字母系数的取值范围： 知识点4公式法解一元二次方程 1.求根公式：当△≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可以写成 x=b-4a的形式，这个式子叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公 2a 式 2.公式法：解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以直接得出方 程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法 3/16 3.公式法解一元二次方程的一般步骤： （1)把方程化为一般形式，确定，，c的值： (2)求出A=b2-4ac的值： (3)若△≥0，则将a,b,c的值代人求根公式x=--+a求出方程的根，若A<0, 2a 则方程无实数根 知识点5因式分解法解一元二次方程 1定义：对于先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次 式分别等于·，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法 2.因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 般步骤 方法 实例(5y2-2y-4=y2-2y+) 一移 使方程的右边为0 5r-少-+2y-0 即4y2-1=0 二分 将方程的左边因式分解 (2y+1)(2y-1)=0 三化 将方程化为两个一元一次方程 2y+1=0或2y-1=0 四解 写出方程的两个解 1=-或2=月 3.适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式： 提取 x2+bx=0 x(x+b)=0 公因式x x2-k2=0 平方差公式 (x+k)x-k)=0 x2±2bx+b2=0 完全平方公式 (x±b)2=0 x2-(p+q)x+pq=0 十字相乘 因式分解 (x-)x-q)=0 4/16 知识点6一元二次方程的根与系数的关系 1.关系：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，a,b,c为常数，b2-4ac≥0)的两 个实数根为x1、x”,则x1十x五=一，xx=后（也称为韦达定理）， 即任何一个一元二次方程两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根 的积等于常数项与二次项系数的比 2不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值常见的代数变形： (1)x1+x3=(x1+x2)2-2x1x2: (2)1十L=1+2 X1 x2 x1x2 37+诗=42型 (4)2+4=1+2)2-2x1凶 (x1x2)2 x1 x2 x1X2 (5)1x1-x2=V(x1+x2)2-4x1x2 3.一元二次方程根与系数的关系的应用： (1)不解方程，求关于方程两根的代数式的值： (2)已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值； (3)已知方程两根的关系，求方程中字母的值： (4)与根的判别式相结合，解决一些综合题， 题型专练 题型1.解一元二次方程一一直接开平方法 【例1】用直接开平方法解下列方程. (1)(2x-1)2-4=0: (2)4(x+1)2-8=0. 【变式1】解方程： (13x-2(x-1)=3-2(x+3) (2)2(x+1)2-49=1 5/16 【变式2】解下列方程： (1)(x-1)2=49 (2)(2y-3)2=16 【变式3】用直接开平方法解下列方程： (1(x-1)2-5=0 (2)(x-1)(x+1)=1: 3)(2x-1)2=(（2-1) (4)(x-1)2=(2x+3)2 题型2.解一元二次方程一配方法 【例1】解下列方程： (1)2x2-3x-6=0: 2x2+3x-2=0. 【变式1】解方程：（用配方法）： (1)x2+4x-2=0 (2)(t+3)(t-1)=12. 【变式2】用配方法解下列方程： (1)x2-8x+13=0. (2)x2+5x+7=3x+11. 6/16 【变式3】在用配方法解方程x2-2x-1=0时，小颖的解法如图： 第一步：移项，得x2-2x=1. 第二步：配方，得x2-2x+22=1+22, 即 (x-2)2=5. 第三步：两边开平方，得x-2=士V5. 第四步：所以，X1=2+5,x2=2-√5 请回答： (1)小颖的解答过程从第 步开始出现错误； (2)请给出这道题的正确解答过程。 题型3。配方法的应用 【例1】把方程x2-10x-3=0配方成(x+m)2=n的形式，则m,n的值是() A.-5,28 B.5,-28 C.5,-25 D.-5,25 【例2】【阅读材料】：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和 解题，这种解题方法叫作配方法.配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛 的应用. 例1：用配方法因式分解：a2+4a+3. 原式=a2+4a+4-1=(a+2)2-1=(a+2-1)(a+2+1)=(a+1)(a+3) 例2：求x2+8x+21的最小值. 解：x2+8x+21=x2+8x+16+5=(x+4)2+5; 由于(x+4)2≥0，所以(x+4)2+5≥5， 即x2+8x+21的最小值为5. (1)【类比应用】：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+6a+: (2)仿照例2的步骤，求4x2+12x+15的最小值； 7/16 【变式1】通过配方，可以求得代数式a2-6a+10的最小值是() A.0 B.1 C.9 D.10 【变式2】新定义：关于x的一元二次方程a1(x-m)2+k=0与a2(x-m)+k=0称为“同 族二次方程”.如2(x-3)2+4=0与3(x-3)2+4=0是“同族二次方程”.现有关于x的 一元二次方程2(x-1)2+1=0与(a+2)x2+(b-4x+8=0是“同族二次方程”，那么代 数式ax2+bx+2026能取的最小值是 【变式3】阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c(a≠O)的多项式变形为a(x+m)2+n的形 式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c(a≠0)的配方法.运用多项式的配 方法和平方差公式可以解决很多数学问题.下面给出例子： [例]分解因式：x2+2x-3. x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1). 根据以上材料，解答下列问题！ (1)分解因式：m2-8m+12=-: (2)请你运用上述配方法分解因式：x2-4xy-5y2. 3)已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数，且满足a2+b2=8a+6b-25,求△ABC 周长的最大值 【变式4】【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法.常被用到代数式的变形中， 还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等， 例：求代数式y2+4y+8的最小值. 解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=y+2)2+4, y+2)2≥0，.(y+2)2+4≥4， ∴.当y=-2时，y2+4y+8的最小值是4. (1)【类比探究】求代数式x2-6x+12的最小值： (2)【举一反三】利用一面长度为18m的墙，用32m长的篱笆，怎样围成一个面积最大的矩 形场地？最大面积是多少？ 8/16 题型4.根据判别式判断一元二次方程解根的情况 【例1】一元二次方程x2-5x=-8的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 【变式1】下列关于x的一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是() A.x2+2x-3=0 B.x2-6x+9=0 C.x2+4x+1=0 D.x2-1=0 【变式2】写出一个没有实数根的一元二次方程： 【变式3】定义新运算，对于任意实数m、n有mm=mn-m-n,则方程2x☆(x+1)=0 的根的判别式的值为 题型5，根据一元二次方程根的情况求参问题 【例1】若关于x的一元二次方程2x2-6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范 围是() A.m<4.5 B.m≤4.5 C.m>4.5 D.m≥4.5 【例2】关于x的方程x2+2x-m=p2,无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数 根，则实数m的取值范围为一 【变式1】若关于x的一元二次方程x2-3x+m-1=0有实数根，则整数m的最大值是 () A.1 B.2 C.3 D.4 【变式2】若一元二次方程x2+x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为 【变式3】若关于x的一元二次方程x2+ax+a=0有两个相等的实数根，其中a为实数，则 a2+1-4a= 【变式4】己知关于x的一元二次方程mx2-4x-2=0有两个实数根，写出符合条件的m 的一个值为 题型6.解一元二次方程一一公式法 【例1】解方程： (1)x2-3x+1=0: (2)2x2+3x-4=0. 9/16 【变式1】用公式法解下列方程： (1号x2+4x-1=0: (2)6x2-4=3x: (3)3x2+6x-1=0. 【变式2】使用“公式法"解一元二次方程 (1)x2-V2x-}=0: (2)2x2-2W2x+1=0: (3)3x2+20=2x2+8x. 【变式3】用公式法解下列方程： (1)x2-2x-1=0: (2)3x2-10x-8=0: (3)y(2y+7)=4: (4)(x+2)(2x-9)=-6. 题型7。解一元二次方程一一因式分解法 【例1】解方程：x2-4x+3=0 【变式1】解方程： (1)x2+2x=0: (2)x2-4x-12=0. 10/16 【变式2】用因式分解法解下列方程： (1)3x2-6x=0: (2)x(2x+3)-4x=0. 【变式3】解下列一元二次方程： (1)x2-6x+8=0. (2)(x+5)2=2(x+5). 题型8。解一元二次方程一一换元法 【例1】已知关于x的方程a(x+m)2+b=0的解x1=-2,x2=1是(a,m,b均为常数， a≠0)，则方程a(3x+m+1)2+b=0的解是() A.x1=-5,x2=4 B.x1=-1,x2=0 C.x1=-2,X2=1 D.无法求解 【例2】关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=-2,x2=4(a、b、m均为常数，a≠0)， 则方程a(x+m-1)2+b=0的解是」 【变式1】若(x2+y2)x2+y2-3)=4,则x2+y2的值是 【变式2】阅读下面的材料： 解方程x4一7x2+12=0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2=y,则x4=y2,.原方程可化为：y2-7y+12=0,解得y1=3,y2=4,当y=3 时，x2=3,x=士V3,当y=4时，x2=4,x=士2..原方程有四个根是：x1=V3,x2=- V3,x3=2,x4=-2,以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想， 运用上述方法解答下列问题. 已知实数a,b满足(a2+b2)2-3(a2+b2)-10=0,试求a2+b2的值. 11/16 【变式3】真正的学习是自学的，下面是小诗同学的数学笔记，请认真学习笔记内容. 解方程：x2-2x-3=0. 解：设x=a(a≥0)，则原方程化为a2-2a-3=0, 解得a1=3,a2=-1（舍去). 当a=3时，Jx=3, 解得x1=3,x2=-3. 总结：①解方程的过程中，设x=a(a≥0)，用到了换元法，把lx看作一个整体α，先解 关于a的一元二次方程a2-2a-3=0. ②注意取值范围，舍去不符合条件的a的值，再求出x的值. 根据小诗同学笔记本上的内容，解方程：(x-2)-x-2引一6=0. 题型9。一元二次方程的根与系数的关系 【例1】关于x的一元二次方程x2+mx-6=0的一个根为3，则另一个根为() A.3 B.-2 c.5 D.-1 【例2】一元二次方程x2+5x-4=0的两个实数根为x1和x2,则代数式x1+x2-2x1x2 的值为() A.-3 B.3 C.-13 D.13 【变式1】己知关于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0的两实数根为x1,x2,若x1+x2=7, 则m的值为() A.-3 B.3 C.V7或-√万 D.7 【变式2】若关于x的一元二次方程x2-3x+c=0的两个根互为倒数，则c= 【变式3】若关于x的一元二次方程x2-(m-2)x-3=0的两个根互为相反数，求m的值. 12/16 【变式4】己知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两实数根. (1)若(x1-1)(x2-1)=28,求m的值： (2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1,x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的 周长 题型10.用适当的方法解一元二次方程 【例1】请用适当的方法解下列方程 (1)2(x-4)2=18 (2)4x2-4x-3=0 【例2】解方程： (1)x2-2x-2=0: (2)2x(x-1)=x-1. 【变式1】解下列方程： (1)x2-2x+1=25. (2)3x(x-1)=2(x-1). 【变式2】解下列方程： (1)2(x+1)2=18 (2)(x-3)2=5(x-3) (3)3x2-4x-2=0 13/16 【变式3】解方程： (1)(x-4)2=4: (2)(x+2)2=5(x+2). 【变式4】解下列方程： (1)(x-5)2-36=0: (2)x2+2x-3=0. 【变式5】解方程 (1)x2=7x; (2)x2-2x-3=0. 巩固练习 1.（2026江苏扬州.中考真题)关于x的一元二次方程x2+kx-1=0根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断根的情况 2.(2026湖北荆州二模)若，B是一元二次方程x2-5x-3=0的两个实数根，则αβ的值 为() A.-3 B.-5 C.3 D.5 3.（2026河南三门峡.二模)下列一元二次方程有两个相等的实数根的是() A.x2+1=2x B.x2 =2x C.x2+1=0 D.x2+2x-1=0 4.（2026湖南常德.二模)若关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有实数根，则k的取值范 围是() A.k≥1 B.k<-1 C.k≤-1 D.k≥-1 5.（25-26八年级下.吉林长春期中)一元二次方程x2-x=0的两个实数根为x1和x2,则代 14/16 数式x1+x2的值为（) A.1 B.2 c.0 D.-1 6.(2026河北沧州.二模)若一元二次方程x(x+1)=3的两根为m,n,则点(mn,m+n) 在平面直角坐标系中位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.(2026安徽马鞍山三模)己知关于x的一元二次方程x2-3kx+4=0的两个根为x1,x2, 且满足x1+X2=x1·x2,则k的值为() A.手 B.- C. 0.- 8.（2026广东肇庆.二模)若关于x的一元二次方程3x2-2x-m=0有实数根，则m的值 可以是 (写出一个即可) 9.（2026山东.中考真题)若关于x的一元二次方程(x-2)(x-m)=0的一个根是10，则另 一个根是 10.(25-26九年级下·浙江温州期中)方程x2-2x-1=0的正根介于正整数m与m+1之 间，则m= 11.（2026-四川遂宁二模)若m,n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个实数根，则片+日 的值为 12.(25-26八年级下.安徽阜阳期末)解方程：x2+2x-1=0. 13.(25-26八年级下.浙江金华.期中)解下列方程： (1)x2-6x=0: (2)2x2+x-1=0. 14.(2026黑龙江齐齐哈尔三模)解方程：x(2x+3)-4x-6=0. 15/16 15.(2026安微模拟预测)解方程：x2-8x=-15. 16.（2026广东河源.二模)在解方程3(x-2)2=x2-4时，小明的解法如下： 第一步：3(x-2)2=(x+2)(x-2), 第二步：3(x-2)=x+2, 第三步：3x-6=x+2, 第四步：x=4. 小明的解法中第几步开始出现错误？错误的原因是什么？请你写出这道题的正确解答过程， 17.(2026四川南充三模)m为实数，关于x的方程为x2+(m-2)x+1=m. (1)判断方程根的情况. (2)若方程的两根为x1,x2,当2x1-x2=3时，求m的值。 18.(25-26八年级下.吉林.期中)已知关于x的一元二次方程x2+(1-m)x+m-2=0. (1)求证：不论m为何值，方程总有实数根： (2)若方程的两个根分别为x1,x2,x+x2+3x1x2=1,求m的值. 19.(2026四川南充中考真题)关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k-2=0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根. (2)已知方程的两个实数根分别为x1,x2,且x1=2x2,求k的值. 16/16第二十五章一元二次方程 02讲降次一一解一元二次方程 题型归纳 【知识点1直接开平方法解一元二次方程 1) 【知识点2配方法解一元二次方程… 2】 【知识点3一元二次方程根的判别式 3】 【知识点4公式法解一元二次方程… 3】 【知识点5因式分解法解一元二次方程… 4】 【知识点6一元二次方程的根与系数的关系 5】 【题型1.解一元二次方程一一直接开平方法… …5】 【题型2.解一元二次方程一一配方法…8】 【题型3.配方法的应用… 11】 【题型4.根据判别式判断一元二次方程根的情况 …15】 【题型5.根据一元二次方程根的情况求参问题 17】 【题型6.解一元二次方程一一公式法 19】 【题型7.解一元二次方程一一因式分解法 23】 【题型8.解一元二次方程一一换元法 25】 【题型9.一元二次方程的根与系数的关系 27】 【题型10.用适当的方法解一元二次方程 …30】 【巩固练习…34】 知识润单 知识点1直接开平方法解一元二次方程 1定义：利用平方根的定义直接开平方来求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法， 例如x2=25,解得x=士5.一般地，对于方程x2=p: 1/42 p>0 方程有两个不等的实数根x1=√匝，x2=一√下 p=0 方程有两个相等的实数根x1=x2=0 p<0 方程无实数根 2.直接开平方法解一元二次方程一般步骤： (1)将方程化为x2=p或(mx+n)2=p(≥0，m≠0)的形式； (2)直接开平方化为两个一元一次方程： (3)解两个一元一次方程得到原方程的解. 【提示】一元二次方程必须同时满足以下条件： ①直接开平方法适用的方程是能转化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0，m≠0)的方程； ②利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当卫为非负数时，方程才有解，并且要 注意开方的结果取“正、负”两种情况. 知识点2配方法解一元二次方程 1定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 其中ax是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项 2配方法解一元二次方程一般步骤： ·般步骤 方法 实例(9y2-18y-4=0) 将常数项移到方程的右边，含 一移 移项 未知数的项移到方程的左边 9y2-18y=4 方程左、右两边同时除以二次 二化 二次项系数化为1 4 项系数 y-2y-5 4 方程左、右两边同时加上一次 y2-2y+1 9+1 三配 配方 项系数一半的平方 即0-12=号 四开 利用平方根的意义直接开平 开平方 方 。-+四 五解 得出两个根 移项，合并同类项 y1=1+y%=1- 3 2/42 【提示】当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后： ①如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根： ②如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根： ③如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根： 知识点3一元二次方程根的判别式 1定义：对于一元二次方程ax2+bx+c=0a+0,通过配方可得x+品}=“，则 方程根的情况由b2-4ac的符号决定， 一般地，式子b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用 希腊字母“△”表示它，即△=b2-4ac. 2.根的判别式△的符号与一元二次方程根的情况： (1)△>0台一元二次方程有两个不相等的实数根x=吐e 2a (2)△=0台一元二次方程有两个相等的实数根x1=x2=一20 (3)△<0台一元二次方程无实数根. 【提示】 ①应用根的判别式时必须将一元二次方程化成一般形式，然后准确确定α，b,c的值： ②此判别式只适用于一元二次方程，当无法判定方程是不是一元二次方程时，应对方 程进行分类讨论： ③当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根. 3.判别式的应用：(1)不解方程判断一元二次方程根的情况； (2)根据方程根的情况求字母系数的取值范围： 知识点4公式法解一元二次方程 1.求根公式：当△≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可以写成 x=b-4a的形式，这个式子叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公 2a 式 2.公式法：解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以直接得出方 程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法 3/42 3.公式法解一元二次方程的一般步骤： （1)把方程化为一般形式，确定，，c的值： (2)求出A=b2-4ac的值： (3)若△≥0，则将a,b,c的值代人求根公式x=--+a求出方程的根，若A<0, 2a 则方程无实数根 知识点5因式分解法解一元二次方程 1定义：对于先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次 式分别等于·，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法 2.因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 般步骤 方法 实例(5y2-2y-4=y2-2y+) 一移 使方程的右边为0 5r-少-+2y-0 即4y2-1=0 二分 将方程的左边因式分解 (2y+1)(2y-1)=0 三化 将方程化为两个一元一次方程 2y+1=0或2y-1=0 四解 写出方程的两个解 1=-或2=月 3.适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式： 提取 x2+bx=0 x(x+b)=0 公因式x x2-k2=0 平方差公式 (x+k)x-k)=0 x2±2bx+b2=0 完全平方公式 (x±b)2=0 x2-(p+q)x+pq=0 十字相乘 因式分解 (x-)x-q)=0 4/42 知识点6一元二次方程的根与系数的关系 1.关系：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，a,b,c为常数，b2-4ac≥0)的两 个实数根为x1、x”,则x1十x五=一，xx=后（也称为韦达定理）· 即任何一个一元二次方程两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根 的积等于常数项与二次项系数的比 2不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值常见的代数变形： (1)x7+x3=(x1+x2)2-2x1x2; (2)1十上=1+2 X1 x2 x1x2 37+=22型 （4)2+4=+22-2x12: (x1x2)2 x1 x2 x1X2 （5)|x1-x2l=√(x1+x2)2-4x1x2 3.一元二次方程根与系数的关系的应用： (1)不解方程，求关于方程两根的代数式的值： (2)已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值； (3)已知方程两根的关系，求方程中字母的值： (4)与根的判别式相结合，解决一些综合题. >题型专练 题型1.解一元二次方程一一直接开平方法 【例1】用直接开平方法解下列方程. (1)(2x-1)2-4=0: (2)4(x+1)2-8=0. 【答案】x1=x1=-克 (2x1=-1+V2,x2=-1-V2 【分析】(1)直接开平方解一元二次方程： (2)直接开平方解一元二次方程。 【详解】(1)解：(2x-1)2-4=0 (2x-1)2=4 5/42 2x-1=士2 1=2= (2)解：4(x+1)2-8=0 4(x+1)2=8 (x+1)2=2 x+1=士V2 .x1=-1+V2x2=-1-V2 【变式1】解方程： (1)3x-2(x-1)=3-2(x+3) (2)2(x+1)2-49=1 【答案】)-号 (2)x1=4,x2=-6 【分析】本题考查了一元一次方程和一元二次方程的求解，解题的关键是熟练运用去括号、 移项、合并同类项等基本运算步骤： (1)先去括号展开，再移项合并同类项，最后系数化为1求解： (2)先移项将方程化为2(x+1)2=50,再两边同除以2开平方，最后分别求解即可. 【详解】(1)解：3x-2(x-1)=3-2(x+3), 去括号，得3x-2x+2=3-2x-6, 移项合并，得3x-2x+2x=3-6-2, 3x=-5, x=- (2)解：2(x+1)-49=1, 先移项，将方程化为2(x+1)2=50, 再将方程两边同除以2，得(x+1)2=25, 开平方，得x+1=士5， 六x1=4,x2=-6. 【变式2】解下列方程： (1)(x-1)2=49 (2)(2y-3)2=16 6/42 【答案】(1)x1=8,x2=-6: 2y1=子为=- 【详解】(1)解：(x-1)2=49, .x-1=7或x-1=-7, .x1=8,x2=-6: (2)解：(2y-3)2=16, ∴.2y-3=4或2y-3=-4, ∴.2y=7或2y=-1, y1=子2=- 【变式3】用直接开平方法解下列方程： (1(x-1)2-5=0 (2)(x-1)(x+1)=1: 3)(2x-1)2=（2-1)2 (4)(x-1)2=(2x+3)2 【答案】(1)x1=1+V10,x2=1-V10 (2x1=V2,x2=-V2 x1=9,-29 2 4x1=-4,x名2=-号 【分析】(1)先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时乘以2，接着把方程两边同时开 平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案： (2)先去括号，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方即可得到答案： (3)(4)把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案， 【详解】(1)解：x-1)2-5=0 2x-1)2=5, (x-1)2=10, x-1=士V10 解得x1=1+√10，x2=1-V10: 7/42 (2)解：(x-1)(x+1)=1 x2-1=1, x2=2, x=tV2, 解得x1=V2,x2=-√2： (3)解：(2x-1)2=(2-1) 2x-1=±(W2-1),即2x-1=V2-1或2x-1=-V2+1, 解得x=马= (4)解：(x-1)2=(2x+3)2 x-1=士(2x+3),即x-1=2x+3或x-1=-2x-3, 解得x=-4,名=-司 题型2.解一元二次方程一一配方法 【例1】解下列方程： (1)2x2-3x-6=0: 2呢x2+x-2=0. 【答案】1=4= 4 2x1=2=-2 【详解】(1)解：2x2-3x-6=0 3 2-2X-3=0 2= /3\ 2 =3+16 9 +() 32 7 (x-4=16 3 V57 4 4七23 解得x1=3v, 4 (2)解：号2+x-2=0 8/42 1 +2-3=0 2+2x=3 1 1249 x+=6 .1.7 x+4土4 解得x1=多名=-2. 【变式1】解方程：（用配方法）： (1)x2+4x-2=0 (2)(t+3)t-1)=12. 【答案】(1)x1=-2+V6,x2=-2-V6 (2)t1=3,t2=-5 【分析】(1)根据配方法的步骤解方程即可； (2)先将方程左边展开，再根据配方法的步骤解方程即可. 【详解】(1)解：x2+4x-2=0 x2+4x=2 x2+4x+4=2+4 (x+2)2=6 x+2=±V6 x=-2士V6 x1=-2+√6，x2=-2-V6: (2)解：(t+3)(t-1)=12 t2+2t-3=12 t2+2t=15 t2+2t+1=15+1 (t+1)2=16 t+1=士4 t=-1±4 t1=-1+4=3,t2=-1-4=-5. 9/42 【变式2】用配方法解下列方程： (1)x2-8x+13=0. (2)x2+5x+7=3x+11. 【答案】(1)x1=4+V5,x2=4-V3 (2x1=V5-1,x2=-V5-1 【分析】(1)将原方程整理后利用配方法解方程即可： (2)将原方程整理后利用配方法解方程即可， 【详解】(1)解：x2-8x+13=0, 原方程整理得：x2-8x=-13, 配方得：x2-8x+16=-13+16, 即(x-4)2=3, 直接开平方得：x-4=士√3， 解得：x1=4+V5,x2=4-V3: (2)解：x2+5x+7=3x+11, 原方程整理得：x2+2x=4, 配方得：x2+2x+1=4+1, 即(x+1)2=5, 直接开平方得：x+1=士V5, 解得：x1=5-1,x2=-5-1. 【变式3】在用配方法解方程x2-2x-1=0时，小颖的解法如图： 第一步：移项，得x2-2x=1. 第二步：配方，得x2-2x+22=1+22, 即 (x-2)2=5. 第三步：两边开平方，得x-2=土√5. 第四步：所以，x1=2+V5,x2=2-√5 请回答： (1)小颖的解答过程从第 步开始出现错误； (2)请给出这道题的正确解答过程. 【答案】(1)二 10/42 (2x1=1+V2,x2=1-V2 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤。 (1)等号两边应该加上12： (2)先在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，然后配成完全平方式，再直接开平方 求解。 【详解】(1)解：小颖的解答过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二： (2)解：x2-2x-1=0 x2-2x=1 x2-2x+12=1+12 (x-1)2=2 x-1=V2或x-1=-V2 .x1=1+V2,x2=1-V2. 题型3.配方法的应用 【例1】把方程x2-10x-3=0配方成(x+m)=n的形式，则m,n的值是() A.-5,28 B.5,-28 C.5,-25 D.-5,25 【答案】A 【分析】利用完全平方公式进行配方求解. 【详解】解：x2-10x-3=0 x2-10x=3 x2-10x+52=3+52 (x-5)2=28 [x+(-5)]2=28, .m=-5,n=28. 【例2】【阅读材料】：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和 解题，这种解题方法叫作配方法.配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛 的应用. 例1：用配方法因式分解：a2+4a+3. 原式=a2+4a+4-1=(a+2)2-1=(a+2-1)(a+2+1)=(a+1)(a+3) 11/42 例2：求x2+8x+21的最小值. 解：x2+8x+21=x2+8x+16+5=(x+4)2+5: 由于(x+4)2≥0，所以(x+4)2+5≥5， 即x2+8x+21的最小值为5. (1)【类比应用】：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+6a+ (2)仿照例2的步骤，求4x2+12x+15的最小值： 【答案】(1)9 (2)6 【分析】本题主要考查配方法、完全平方式，熟练掌握配方法及完全平方式是解题的关键； (1)根据完全平方式可进行求解： (2)由题意易得4x2+12x+15=(2x+3)2+6,然后问题可求解 【详解】(1)解：由完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2,可知：(a+3)2=a2+6a+9, 故答案为9： (2)解：4x2+12x+15=4x2+12x+9+6=(2x+3)2+6: 由于(2x+3)2≥0，所以(2x+3)2+6≥6， 即4x2+12x+15的最小值为6. 【变式1】通过配方，可以求得代数式a2-6a+10的最小值是() A.0 B.1 c.9 D.10 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用，将原式配方得出(a-3)2+1,结合(a-3)2≥0即可得 出答案。 【详解】解：，a2-6a+10=(a2-6a+9)+1=(a-3)2+1, 又(a-3)2≥0， .(a-3)2+1≥1， ∴.代数式a2-6a+10的最小值是1. 故选：B. 【变式2】新定义：关于x的一元二次方程a1(x-m)2+k=0与a2(x-m)+k=0称为“同 族二次方程”.如2(x-3)2+4=0与3(x-3)2+4=0是“同族二次方程”.现有关于x的 一元二次方程2(x-1)2+1=0与(a+2)x2+(b-4)x+8=0是“同族二次方程”，那么代 数式ax2+bx+2026能取的最小值是 12/42 【答案】2021 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的 新定义是解本题的关键.利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列 出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到α与b的值，进而利用非负数的性质确定出代 数式的最小值即可. 【详解】解：~2(x-1)2+1=0与(a+2)x2+(b-4)x+8=0是“同族二次方程”， ∴(a+2)x2+(b-4)x+8=(a+2)(x-1)2+1, ∴.(a+2)x2+(b-4)x+8=(a+2)x2-2(a+2)x+a+3, {2a+2=b-4 a+3=8 -a-iw .ax2+bx+2026 =5x2-10x+2026 =5(x-1)2+2021, (x-1)2最小值为0， 5(x-1)2+2021最小值为2021， 即ax2+bx+2026最小值为2021. 故答案为：2021. 【变式3】阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c(a≠0)的多项式变形为a(x+m)2+n的形 式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c(a≠0)的配方法.运用多项式的配 方法和平方差公式可以解决很多数学问题.下面给出例子： [例]分解因式：x2+2x-3. x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1). 根据以上材料，解答下列问题， (1)分解因式：m2-8m+12=_ (2)请你运用上述配方法分解因式：x2-4xy-5y2. (3)已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数，且满足a2+b2=8a+6b-25,求△ABC 周长的最大值 【答案】(1)(m-2)(m-6) 13/42 (2(x+y)(x-5y) (3)13 【分析】此题考查了完全平方公式的应用，以及非负数的性质，三角形三边关系，熟练掌握 完全平方公式的形式是解本题的关键. (1)根据阅读材料中的方法分解即可： (2)根据阅读材料中的方法将多项式变形即可： (3)原式配方后，利用非负数的性质求出a、b的值，再利用三角形的三边关系，得到c的取 值范围，即可求解. 【详解K1)解：m2-8m+12=m2-8m+16-4=(m-4)2-4=(m-4+2)(m- 4-2)=(m-2)(m-6), 故答案为：(m-2)(m-6): (2)解：x2-4y-5y2=x2-4xy+4y2-y2=(x-2y)2-9y2 =(x-2y+3y)(x-2y-3y) =(x+y)(x-5y). (3)a2+b2=8a+6b-25, a2-8a+b2-6b+25=0, a2-8a+16+b2-6b+9=0, .(a-42+(b-3)2=0, a=4b=3, .1<C<7. 又c为正整数， c=6时，△ABC的周长最大，最大值为4+3+6=13. 答：△ABC长的最大值为13. 【变式4】【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法.常被用到代数式的变形中， 还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等. 例：求代数式y2+4y+8的最小值. 解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=y+2)2+4, (y+2)2≥0，.y+2)2+4≥4， 当y=-2时，y2+4y+8的最小值是4. (1)【类比探究】求代数式x2-6x+12的最小值： 14/42 (2)【举一反三】利用一面长度为18m的墙，用32m长的篱笆，怎样围成一个面积最大的矩 形场地？最大面积是多少？ 【答案】(13 (2)当垂直于墙的一边的长为8m,平行于墙的一边的长为16m时，围成的矩形面积最大， 最大为128m2 【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟知配方法是解题的关键. (1)仿照题意利用配方法求解即可： (2)设垂直于墙的一边的长为xm,则平行于墙的一边的长为(32-2x)m,则矩形的面积为 x(32-2x)=-2(x-8)2+128,据此求解即可. 【详解】(1)解：x2-6x+12 =x2-6x+9+3 =(x-3)2+3, (x-3)2≥0， ∴(x-3)2+3≥3， .当x=3时，代数式x2-6x+12的最小值是3： (2)解：设垂直于墙的一边的长为xm,则平行于墙的一边的长为(32-2x)m, ∴.矩形的面积为x(32-2x)=-2x2+32x=-2(x2-16x+64-64)=-2(x-8)2+128, :(x-8)2≥0， .-2(x-8)2≤0， ∴.-2(x-8)2+128≤128， ∴.当x=8时，矩形的面积最大，最大值为128m2, 当x=8时，32-2x=16<18,此时符合题意， 答：当垂直于墙的一边的长为8m,平行于墙的一边的长为16m时，围成的矩形面积最大， 最大值为128m2. 题型4.根据判别式判断一元二次方程解根的情况 【例1】一元二次方程x2-5x=-8的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 15/42 C.只有一个实数根 D.没有实数根 【答案】D 【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式的值，再根据4与0 的大小关系判断根的情况即可 【详解】解：将原方程整理为一般式得x2-5x+8=0, 这里a=1,b=-5,c=8, 计算判别式得△=b2-4ac=(-5)2-4×1×8=25-32=-7, ,△<0， ·该一元二次方程没有实数根 【变式1】下列关于x的一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是() A.x2+2x-3=0 B.x2-6x+9=0 C.x2+4x+1=0 D.x2-1=0 【答案】B 【分析】利用“一元二次方程有两个相等实数根的条件是根的判别式△=0”，计算各选项方 程的判别式，即可选出正确选项 【详解】解：选项A:a=1,b=2,c=-3,△=22-4×1×(-3)=16>0，该方程有 两个不相等的实数根，故不符合题意； 选项B:a=1,b=-6,c=9,~△=(-62-4×1×9=0，∴该方程有两个相等的实数根， 故符合题意： 选项C:a=1,b=4,c=1,~△=42-4×1×1=12>0，该方程有两个不相等的实数 根，故不符合题意： 选项D:a=1,b=0,c=-1,△=02-4×1×(-1)=4>0，该方程有两个不相等的 实数根，故不符合题意。 【变式2】写出一个没有实数根的一元二次方程： 【答案】y2+y+1=0(答案不唯一) 【分析】利用一元二次方程根的判别式4=b2-4ac<0,写出一个一元二次方程，使4<0 即可. 【详解】解：在一元二次方程中y2+y+1=0, 4=12-4×1×1=-3<0, .方程y2+y+1=0没有实数根，故符合题意， 16/42 故答案为：y2+y+1=0(答案不唯一) 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的关系。 【变式3】定义新运算，对于任意实数、n有mm=mm-m-n,则方程2x☆(x+1)=0 的根的判别式的值为 【答案】9 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟练根的判别式△=b2-4ac是解题 关键.根据题意得出方程2x☆(x+1)=0是2x2-x-1=0,再根据根的判别式公式求解 即可。 【详解】解：根据题意2x(x+1)=2x(x+1)-2x-(x+1)=2x2-x-1=0, 则△=(-1)2-4×2×(-1)=9， 故答案为：9. 题型5.根据一元二次方程根的情况求参问题 【例1】若关于x的一元二次方程2x2一6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范 围是() A.m<4.5 B.m≤4.5 c.m>4.5 D.m≥4.5 【答案】A 【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，代入方程系数计 算即可得到m的取值范围. 【详解】关于x的一元二次方程2x2-6x+m=0有两个不相等的实数根， .根的判别式4=(-6)2-4×2×m>0, 整理得36-8m>0, 解得m<4.5 【例2】关于x的方程x2+2x-m=p2,无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数 根，则实数m的取值范围为 【答案】m>-1 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根与A=b2-4Qc有如下关系：当4>0时，方程有两个不相等的两个实数根：当4=0 时，方程有两个相等的两个实数根；当4<0时，方程无实数根是解题的关键. 求出△的值，再判断即可得到结论， 17/42 【详解】解：原方程整理得x2+2x-m-p2=0, ÷4=22-4×1×(-m-p2)=4+4m+4p2, 无论实数即取何值，该方程总有两个不相等的实数根， .4+4m+4p2>0, 4p220, 4+4m>0, m>-1, 故答案为：m>-1. 【变式1】若关于x的一元二次方程x2-3x+m-1=0有实数根，则整数m的最大值是 () A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】c 【分析】利用一元二次方程有实数根的条件，通过根的判别式列出不等式，求解得到的取 值范围，即可得到整数m的最大值. 【详解】解：，关于x的一元二次方程x2-3x+m-1=0有实数根， ∴根的判别式满足△≥0，其中a=1,b=-3,c=m-1,代入得： △=(-3)2-4×1×m-1)≥0 解得：m≤3.25 ∴.整数m的最大值是3 【变式2】若一元二次方程x2+x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为 【答案】0.25 【详解】解：，一元二次方程x2+x+c=0有两个相等的实数根， ∴.△=b2-4ac=1-4c=0, 解得：c= 【变式3】若关于x的一元二次方程x2+x+a=0有两个相等的实数根，其中a为实数，则 a2+1-4a= 【答案】1 【分析】根据方程有两个相等的实数根可得根的判别式为0，由此得到a2-4a的值，代入所 求代数式计算即可. 18/42 【详解】解：关于x的一元二次方程x2+ax+a=0有两个相等的实数根， ÷△=a2-4×1×a=0, 整理得a2-4a=0, a2+1-4a=(a2-4a)+1=0+1=1. 【变式4】已知关于x的一元二次方程mx2-4x-2=0有两个实数根，写出符合条件的m 的一个值为 【答案】2（答案不唯一） 【分析】根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于零，求出m的取值范围，即可. 【详解】解：由题意，得：(-4)2-4×(-2)m≥0， 解得：m≥-2 :方程是一元二次方程， .m≠0， .m2-2且m≠0， 取m的值为2（答案不唯一）. 题型6。解一元二次方程一一公式法 【例1】解方程： (1)x2-3x+1=0: (2)2x2+3x-4=0. 【答案】x,名 2 2比1=3+④ 4 334 4 【分析】本题考查了利用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握利用公式法解一元 二次方程的步骤。 先写出a,b,c,然后求出根的判别式的值，再代入求根公式求解，最后写答案即可. 【详解】(1)解：x2-3x+1=0, a=1,b=-3,c=1, b2-4ac=(-3)2-4×1×1=5>0, x=二（-)5-3社5 2 2 29 19/42 (2)解：2x2+3x-4=0, a=2,b=3,c=-4, b2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0, x=二3 4 1=为=四 4 【变式1】用公式法解下列方程： (1号x2+4x-1=0: (2)6x2-4=3x: (3)3x2+6x-1=0. 【答案】(1x1=+ 3 ，x2=二42②2 3 2,女2=30s (2)x1=3+V10 12 3x1=-1+52=-1-V3 【分析】(1)用公式法解一元二次方程即可： (2)用公式法解一元二次方程即可： (3)用公式法解一元二次方程即可. 【详解】(1)解：a=,b=4c=-1, b2-4ac=42-4×3×(-1)=22>0, 代入求根公式，得x=二臣=-牡匝 2×号 3 为严=g 3； (2)将方程化为一般形式，得6x2-3x-4=0, .a=6,b=-3,c=-4, ∴b2-4ac=(-3)2-4×6×(-4④=105>0， 代入求根公式，得x=3v@-5 2×6 12 1=x= 129 (3)a=3,b=6,c=-1, -b2-4ac=62-4×3×(-1)=48>0, 20/42 代入求根公式，得：x=二6y压-25 2×3 3 ∴x1=-1+V3,x2=-1-子3. 【变式2】使用“公式法”解一元二次方程 (1x2-V2x-年0： (2)2x2-2W2x+1=0: (3)3x2+20=2x2+8x. 【答案】(1x=+5或x=E-E 2 2 21=9=号 3)无实数根 【分析】本题考查用公式法解一元二次方程，关键是先将方程化为一般形式ax2+bx+c= 0(a≠0)，确定a、b、c的值，计算判别式A=b2-4ac,根据△的符号判断根的情况：当△>0 时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方 程无实数根，最后代入求根公式=求解△<0时无需代入. (1)方程已为一般形式，直接确定系数，计算判别式后代入公式求解： (2)方程已为一般形式，确定系数后计算判别式，根据△=0求相等实根： (3)先将方程化为一般形式，再确定系数、计算判别式，根据△<0判断无实数根。 【详解】(1)解：方程x2-V2x-=0,其中a=1,b=-V2,c=-量 ∴4=2-4ac=(-V2y2-4×1×(-)=2+1=3>0, x=-v=±3-2±V5 2a 2×1 2 即x1=+ 2 ,名2=么E 2 (2)解：方程2x2-2W2x+1=0,其中a=2,b=-2V2,c=1, .A=b2-4ac=(-2W2)2-4×2×1=8-8=0, x=-6=240=2 2a 2×227 即x=名=号 (3)解：先将方程化为一般形式：x2-8x+20=0, 其中a=1,b=-8,c=20, 21/42 .A=b2-4ac=(-8)2-4×1×20=64-80=-16<0, ∴原方程无实数根。 【变式3】用公式法解下列方程： (1)x2-2x-1=0: (2)3x2-10x-8=0: (3)y(2y+7)=4: (4)(x+2)(2x-9)=-6. 【答案】(1)x1=1+V2,x2=1-√2： 2x1=4,x为=-3 3y1=h=-4: 4x1=4,3=-号 【分析】本题考查用公式法解一元二次方程，关键是先将方程化为一般形式ax2+bx+c= 0(a≠0)，确定a、b、c的值，计算判别式A=b2-4ac,再利用求根公式x=-凸求解. 2a (1)方程已是一般形式，直接确定系数计算判别式后代入求根公式即可； (2)方程为一般形式，确定系数计算判别式后代入求根公式求解： (3)先将方程展开并整理为一般形式，再按公式法步骤求解： (4)先展开方程左边，移项整理为一般形式，再用公式法求解。 【详解】(1)解：方程x2-2x-1=0,其中a=1,b=-2,c=-1, .A=b2-4ac=(-2)2-4×1×(-1)=4+4=8, 代入求根公式得x=-25=2生2亚=1土V2, 2×1 2 .x1=1+V2,x2=1-V2: (2)解：方程3x2-10x-8=0,其中a=3,b=-10,c=-8 ∴.△=b2-4ac=(-10)2-4×3×(-8)=100+96=196, 代入求根公式得x=-(-10V=10±14 2×3 6 2 X1=4,x2=- (3)解：先将方程y(2y+7)=4整理为一般形式：2y2+7y-4=0, 其中a=2,b=7,c=-4, 22/42 ∴.△=b2-4ac=72-4×2×(-4)=49+32=81, 代入求根公式得y=-7±y画=-79 2×2 4 y1=iy2=-4 (4)解：先将方程(x+2)(2x-9)=-6整理为一般形式：2x2-5x-12=0,其中a=2, b=-5,c=-12, .A=b2-4ac=(-5)2-4×2×(-12)=25+96=121, 代入求根公式得x=区=1L 2×2 ￥ x1=4,x2= 3 题型7。解一元二次方程一因式分解法 【例1】解方程：x2-4x+3=0 【答案】 x1=1,x2=3 【详解】解：x2-4x+3=0 (x-1)(x-3)=0, x-1=0或x-3=0, 解得x1=1,x2=3. 【变式1】解方程： (1)x2+2x=0: (2)x2-4x-12=0. 【答案】(1)x1=0,x2=-2 (2)x1=6,x2=-2 【详解】(1)解：x2+2x=0 x(x+2)=0 x=0或x+2=0 解得：x1=0,x2=-2; (2)解：x2-4x-12=0 (x+2)(x-6)=0 x+2=0或x-6=0 23/42 解得：x1=6,x2=-2. 【变式2】用因式分解法解下列方程： (1)3x2-6x=0: (2)x(2x+3)-4x=0. 【答案】(1x1=0,x2=2 2x1=0,x2=月 【详解】(1)解：把方程左边分解因式，得3x(x-2)=0. 因此，有3x=0或x-2=0. 解方程，得x1=0,x2=2: (2)解：原方程化为一般形式，得2x2-x=0. 把方程左边分解因式，得x(2x-1)=0. 因此，有x=0或2x-1=0. 解方程，得x1=0,= 【变式3】解下列一元二次方程： (1)x2-6x+8=0. (2)(x+5)2=2(x+5). 【答案】(1x1=2,x2=4 (2)x1=-5,x2=-3 【分析】(1)根据因式分解法，即可求解： (2)根据因式分解法，即可求解。 【详解】(1)解：由题得(x-2)(x-4)=0, “x-2=0或x-4=0, x1=2,X2=4: (2)解：由题得(x+5)2-2(x+5)=0, (x+5)(x+5-2)=0, ·.(x+5)(x+3)=0, ∴.x+5=0或x+3=0, “X1=-5,x2=-3. 24/42 题型8.解一元二次方程一一换元法 【例1】已知关于x的方程a(x+m)2+b=0的解x1=-2,x2=1是(a,m,b均为常数， a≠0)，则方程a(3x+m+1)+b=0的解是( A.x1=-5,x2=4 B.X1=-1,x2=0 C.X1=-2,X2=1 D.无法求解 【答案】B 【分析】利用换元法，将新方程中的3x+1看作整体，对应原方程的x,根据原方程的解得 到整体的取值，再解一元一次方程即可得到新方程的解 【详解】解：令y=3x+1,则方程a(3x+m+1)2+b=0可变形为a0+m)2+b=0, 关于x的方程a(x+m)+b=0的解为x1=-2,x2=1, ×y1=-2,y2=1, 即3x+1=-2或3x+1=1, 解得x1=-1或x2=0, ∴方程a(3x+m+1)2+b=0的解是x1=-1,x2=0. 【例2】关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=-2,x2=4(a、b、m均为常数，a≠0)， 则方程a(x+m-1)2+b=0的解是 【答案】x1=-1,x2=5 【分析】此题主要考查利用整体代换思想解方程.熟练掌握该知识点是关键：通过观察方程 结构，可将第二个方程中的(x一1)看作一个整体，则该整体的值应等于第一个方程的解， 从而求出x的值. 【详解】解：~关于x的方程a(x+m2+b=0的解是x1=-2,x2=4(a,m,b均为常数， a≠0)： 方程变形为ac-1)+m+b=0, 即此方程中x-1=-2或x-1=4, 解得x=-1或x=5. 故答案为：x1=-1,x2=5. 【变式1】若(x2+y2)(x2+y2-3)=4,则x2+y2的值是 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，本题中把x2+y看成未知数，可得方程：(x2+ y)-3(x2+y2)-4=0,利用分解因式法解方程即可. 25/42 【详解】解：(x2+y2)(x2+y2-3)=4, 整理得：(x2+y2)2-3(x2+y2)-4=0, 分解因式可得：(x2+y2-4)(x2+y2+1)=0, x2+y2-4=0或x2+y2+1=0, 解得：x2+y2=4或x2+y2=-1(不符合题意，舍)， 故答案为：4. 【变式2】阅读下面的材料： 解方程x4-7x2+12=0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2=y,则x4=y2,.原方程可化为：y2-7y+12=0,解得y1=3,y2=4,当y=3 时，x2=3,x=士3，当y=4时，x2=4,x=士2.∴.原方程有四个根是：x1=V,x2=- V3,x3=2,x4=-2,以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想， 运用上述方法解答下列问题， 已知实数a,b满足(a2+b2)2-3(a2+b2)-10=0,试求a2+b2的值. 【答案】5 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，代数式求值，熟 练掌握换元法是解题的关键.设x=a2+b2,则原方程可化为x2-3x-10=0,根据因式 分解法解一元二次方程，即可求解. 【详解】解：设x=a2+b2,则原方程可化为x2-3x-10=0, 因式分解，得(x-5)x+2)=0, ∴.x-5=0或x+2=0, 解得x1=5,x2=-2, a2≥0，b2≥0， a2+b2≥0， ∴.a2+b2=5. 【变式3】真正的学习是自学的，下面是小诗同学的数学笔记，请认真学习笔记内容， 解方程：x2-2x-3=0. 解：设x=a(a≥0)，则原方程化为a2-2a-3=0, 解得a1=3,a2=-1（舍去). 当a=3时，lx=3, 26/42 解得x1=3,x2=-3. 总结：①解方程的过程中，设x=a(a≥0)，用到了换元法，把lx看作一个整体a,先解 关于a的一元二次方程a2-2a-3=0. ②注意取值范围，舍去不符合条件的α的值，再求出x的值. 根据小诗同学笔记本上的内容，解方程：(x-2)-x-2-6=0. 【答案】x1=4,X2=-2 【分析】本题考查解一元二次方程.根据学习笔记内容设x-2引=α(a≥0)，则原方程化为 a2-a-6=0,进一步计算，求出方程的解即可. 【详解】解：设1x-2=a(a≥0)，则原方程化为a2-a-6=0, 解得a1=3,a2=-2(舍去). 当a=3时，x-2引=3， 解得x1=5,x2=-1. 题型9.一元二次方程的根与系数的关系 【例1】关于x的一元二次方程x2+mx-6=0的一个根为3，则另一个根为() A.3 B.-2 C.5 D.-1 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解。 【详解】解：，一元二次方程x2+mx-6=0的两个根的乘积为-6，一个根为3， “另一个根为号=-2。 【例2】一元二次方程x2+5x-4=0的两个实数根为x1和x2,则代数式x1+x2-2x1x2 的值为() A.-3 B.3 C.-13 D.13 【答案】B 【分析】由根与系数的关系求出x1+x2和x1x2的值即可得到答案， 【详解】解：，一元二次方程x2+5x-4=0的两个实数根为x1和x2 x1+=-月-5，x=片-4， 1 x1+x2-2x1x2=-5-2×(-4)=-5+8=3. 【变式1】已知关于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0的两实数根为x1,x2,若x1+x2=7, 则m的值为() 27/42 A.-3 B.3 C.V7或-7 D.√7 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=1-2m,进行求解即可. 【详解】解：由题意，x1+x2=1-2m=7, 解得m=-3, 此时方程化为x2-7x+9=0,4=49-4×9=13>0,符合题意： 故m=-3. 【变式2】若关于x的一元二次方程x2-3x+c=0的两个根互为倒数，则c= 【答案】1 【分析】先明确方程根的和与积与系数的关系，利用“互为倒数”的条件，直接得出根的积为 1,从而确定c的值. 【详解】解：设一元二次方程x2-3x+c=0的两个根为x1,x2, ,一元二次方程x2-3x+c=0的两个根互为倒数， .x1x2=c=1, 即c=1. 【变式3】若关于x的一元二次方程x2-(m-2)x-3=0的两个根互为相反数，求m的值. 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，相反数的定义，设一元二次方程的两个 根分别为x1,x2,由一元二次方程根和系数的关系及相反数的定义可得x1+x2=m-2=0, 解方程即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键， 【详解】解：设一元二次方程的两个根分别为x1,x2, ,一元二次方程的两个根互为相反数， .x1+x2=m-2=0, .m=2 【变式4】己知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两实数根. (1)若(x1-1)(x2-1)=28,求m的值： (2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1,x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的 周长 【答案】(1)m的值为6 (2)这个三角形的周长为17 28/42 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，解一元二次方程，也考查了三角形 三边的关系，等腰三角形的定义.掌握一元二次方程的根与系数的关系及根的判别式和对等 腰三角形恰当分类是解题的关键 (1)利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题， (2)分类讨论：若x1=7时，解得m1=10,m2=4,当m=10时，由根与系数的关系， 解得x2=15,根据三角形三边的关系，m=10舍去：当m=4时，x1+x2=2(m+1)=10, 解得x2=3,则三角形周长为3+7+7=17：若x1=x2,则m=2,方程化为x2-6x+9=0, 解得x1=x2=3,根据三角形三边的关系，m=2舍去. 【详解】(1)解：x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两实数 根， 4=4(m+1)2-4(m2+5)≥0， x1+x2=2(m+1),x1x2=m2+5, .m22, ~(x1-1)(x2-1)=28,即x1x2-(x1+x2)+1=28, m2+5-2(m+1)+1=28, 整理得m2-2m-24=0, 解得m1=6,m2=-4, m≥2， m的值为6： (2)解：当腰长为7时，则x=7是一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的一个解， 把x=7代入方程得49-14(m+1)+m2+5=0, 整理得m2-14m+40=0, 解得m1=10,m2=4, 当m=10时，x1+x2=2(m+1)=22,解得x2=15,而7+7<15，不能构成三角形， 故舍去： 当m=4时，x1+x2=2(m+1)=10,解得x2=3,则三角形周长为3+7+7=17： 当7为等腰三角形的底边时，则x1=x2 ∴.4=[-2(m+1)]-4×(m2+5)=8m-16=0, .m=2, 方程化为x2-6x+9=0,解得x1=x2=3, 29/42 则3+3<7，不能构成三角形，故舍去， 所以这个三角形的周长为17. 题型10.用适当的方法解一元二次方程 【例1】请用适当的方法解下列方程 (1)2(x-42=18 (2)4x2-4x-3=0 【答案】(1)x1=7,x2=1: 2x1=,=- 【分析】(1)两边除以2，开平方法解答： (2)利用因式分解法求解即可. 【详解】(1)解：，2(x-4)2=18, 两边除以2，得(x-4)2=9, 开平方，得x-4=士3， .x1=7,x2=1: (2)解：4x2-4x-3=0, 分解因式，得(2x-3)(2x+1)=0, ∴.2x-3=0,2x+1=0, x1=月，x为=- 【例2】解方程： (1)x2-2x-2=0: (2)2x(x-1)=x-1. 【答案】(1)x1=1+V3,x2=1-5 2x1=1,3=月 【分析】(1)将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式 后，再开方即可得： (2)先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程， 分别求解即可得出答案， 【详解】(1)解：x2-2x-2=0 30/42 x2-2x=2 x2-2x+1=3 (x-1)2=3 x-1=±3 解得x1=1+V3,x2=1-V3: (2)解：2x(x-1)=x-1 2x(x-1)-(x-1)=0 (x-1)(2x-1)=0 x-1=0或2x-1=0 解得x1=1,x2= 【变式1】解下列方程： (1)x2-2x+1=25. (2)3x(x-1)=2(x-1). 【答案】(1)x1=6,x2=-4 2k1=1,2=号 【分析】(1)根据配方法求解方程即可： (2)根据因式分解法求解方程即可. 【详解】(1)解：方程变形得：(x-1)2=25, 开方得：x-1=±5， 解得：x1=6,x2=-4: (2)解：移项得：3x(x-1)-2(x-1)=0, 分解因式得：(x-1)3x-2)=0, 所以x-1=0或3x-2=0, 解得：x1=1,名2= 【变式2】解下列方程： (1)2(x+1)2=18 (2)(x-3)2=5(x-3) (3)3x2-4x-2=0 【答案】(1)x1=2,x2=-4 31/42 (2)x1=3,X2=8 3x1=24@ 3■ 七2=20 3 【详解】(1)解：2(x+1)2=18 (x+1)2=9 x+1=±3 解得x1=2,x2=-4: (2)解：(x-3)2=5(x-3) (x-3)2-5(x-3)=0 (x-3)(x-3-5)=0 (x-3)(x-8)=0 ∴.x-3=0或x-8=0 解得x1=3,x2=8: (3)解：3x2-4x-2=0 a=3,b=-4,c=-2 △=(-4)2-4×3×(-2)=40 x=二（)±4o_4±2而2±V0 2×3 6 3 解得x1=2+西 3X2= 2-V10 3 【变式3】解方程： (1)(x-4④2=4： (2)(x+2)2=5(x+2). 【答案】(1)x1=6,x2=2 (2)x1=-2,x2=3 【详解】(1)解：(x-4)2=4 x-4=2或x-4=-2 解得x1=6,x2=2: (2)解：(x+2)2=5(x+2) (x+2)2-5(x+2)=0 (x+2)(x+2-5)=0 x+2=0或x-3=0 32/42 解得x1=-2,x2=3. 【变式4】解下列方程： (1)(x-5)2-36=0: (2)x2+2x-3=0. 【答案】(1)x1=11,x2=-1: 2x1=1,x2=-3. 【详解】(1)解：(x-5)2-36=0, ∴.(x-5)2=36, .x-5=士6， .x1=11,X2=-1: (2)解：x2+2x-3=0, .(x-1)(x+3)=0, .x1=1,x2=-3. 【变式5】解方程 (1)x2=7x: (2)x2-2x-3=0. 【答案】(1)x1=0,x2=7 (2)x1=3,x2=-1 【分析】(1)利用因式分解法解答即可； (2)利用配方法解答即可. 【详解】(1)解：x2=7x x2-7x=0 x(x-7)=0 ∴.x=0或x-7=0 .x1=0,x2=7 (2)解：x2-2x-3=0 移项得x2-2x=3, 配方得x2-2x+1=3+1, 即(x-1)2=4, .x-1=±2， 33/42 即x-1=2,或x-1=-2 .x1=3,x2=-1. >巩固练习 1.(2026江苏扬州.中考真题)关于x的一元二次方程x2+kx-1=0根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断根的情况 【答案】A 【分析】计算根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况 【详解】解：对于一元二次方程x2+kx-1=0,可得a=1,b=k,c=-1, △=b2-4ac=k2-4×1×(-1)=k2+4, 又无论k取任意实数，都有k2≥0， k2+4>0,即△>0， 该方程有两个不相等的实数根. 2.(2026湖北荆州.二模)若a,B是一元二次方程x2-5x-3=0的两个实数根，则aβ的值 为() A.-3 B.-5 C.3 D.5 【答案】A 【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若方程有两个实数根x1,x2,则两根之 积x12=:据此计算即可。 【详解】解：，a,B是一元二次方程x2-5x-3=0的两个实数根，方程中a=1,c=-3, 明-日=是=-3. 3.（2026河南三门峡.二模)下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（) A.x2+1=2x B.x2 =2x C.x2+1=0 D.x2+2x-1=0 【答案】A 【详解】解：x2+1=2x可化为(x-1)2=0,x1=x2=1,符合题意： x2=2x的解是x1=0,x2=2,不合题意： 34/42 x2+1=0可化为x2=-1,没有实数根，不合题意： x2+2x-1=0,△=22-4×1×(-1)=8>0，有两个不相等的实数根，不合题意. 4.(2026湖南常德.二模)若关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有实数根，则k的取值范 围是() A.k≥1 B.k<-1 C.k≤-1 D.k≥-1 【答案】D 【分析】根据一元二次方程有实数根时，根的判别式大于等于0，据此计算即可得到k的取 值范围。 【详解】解：，关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有实数根， ∴.△=22-4×1×(-k)=4+4k≥0 解得k≥-1. 5.（25-26八年级下·吉林长春.期中)一元二次方程x2-x=0的两个实数根为x1和x2,则代 数式x1+x2的值为() A.1 B.2 C.0 D.-1 【答案】A 【分析】可通过因式分解法求出方程的两个根，再计算两根之和得到结果， 【详解】解：：原方程为：x2-x=0对左侧因式分解得： x(x-1)=0, .x=0或x-1=0, ∴，方程的两个实数根为：x1=0,x2=1, .x1+x2=0+1=1. 6.(2026河北沧州.二模)若一元二次方程x(x+1)=3的两根为m,n,则点(mn,m+n) 在平面直角坐标系中位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的整理，根与系数的关系和平面直角坐标系内点的象限特征， 先将方程整理为一般形式，再求出两根之积和两根之和，得到点的坐标后判断象限即可。 【详解】解：将原方程x(x+1)=3展开整理为一元二次方程一般形式：x2+x-3=0,其 中a=1,b=1,c=-3 35/42 :对于一元二次方程ar+bx+c=0(a≠0)，两根之积为后两根之和为-吕 ∴mm==-3，m+n=-2=-1 a a '.点(n,m+n)的坐标为(-3，-1)，横纵坐标均为负数，因此该点位于第三象限 7.(2026安徽马鞍山三模)已知关于x的一元二次方程x2-3kx+4=0的两个根为x1,x2, 且满足x1+X2=x1·x2,则k的值为（) A.手 B.- C. D.- 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，结合题目给出的等量 关系求解k,再验证方程存在两个实根即可得到结果， 【详解】解：：一元二次方程x2-3kx+4=0中，a=1,b=-3k,c=4,方程有两个根 X1,X2 .x1+X2=3k,x1x2=4, 又，x1十X2=X1X2: 3k=4,解得：k= 验证判别式：△=(-3)2-4×1×4=0，符合要求， 故k的值为导 8.(2026广东肇庆.二模)若关于x的一元二次方程3x2-2x-m=0有实数根，则m的值 可以是 (写出一个即可) 【答案】1（答案不唯一，满足m≥-即可） 【分析】根据一元二次方程根的判别式求出m的取值范围即可求解. 【详解】解：：关于x的一元二次方程3x2-2x-m=0有实数根， 4=(-2)2-4×3×(-m)=4+12m≥0， 解得m之 .m的值可以是1， 故答案为：1. 9.(2026山东.中考真题)若关于x的一元二次方程(x-2)(x-m)=0的一个根是10，则另 一个根是 36/42 【答案】2 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为10， 即可求出另一个根. 【详解】解：已知方程为(x-2)(x-m)=0得x-2=0或x-m=0, 解得x1=2,x2=m, 方程的一个根是10， m=10, 因此方程的另一个根为2. 10.(25-26九年级下.浙江温州期中)方程x2-2x-1=0的正根介于正整数m与m+1之 间，则m= 【答案】2 【分析】先求解方程得到正根，再估算正根的范围，即可得到整数的值. 【详解】解：x2-2x-1=0, 、.x=2生2x1x画-2生8=1士V2 2×1 2 .方程的正根为1+√2， 1<2<4, 1<V2<2, .2<1+√<3，则m=2. 11.(2026四川遂宁.二模)若m,n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个实数根，则片+马 m 的值为 【答案】3 【详解】解：，m,n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个实数根， .m+n=-3,mn=-1 是+=+m=t=3=3 m n mnmn mn-1 12.(25-26八年级下…安徽阜阳.期末)解方程：x2+2x-1=0. 【答案】x1=-1+√2，x2=-1-√2 【分析】运用配方法求解一元二次方程即可. 【详解】解：x2+2x-1=0 x2+2x=1, 37/42 x2+2x+1=2,即(x+1)2=2, x+1=士V2, .x1=-1+V2,x2=-1-V2. 13.(25-26八年级下.浙江金华.期中)解下列方程： (1)x2-6x=0: (2)2x2+x-1=0. 【答案】(1)x1=0,x2=6 2x1=-1,名=月 【分析】(1)利用因式分解法解一元二次方程即可得出结果： (2)利用因式分解法解一元二次方程即可得出结果， 【详解】(1)解：，x2-6x=0, .x(x-6)=0, .x=0或x-6=0, x1=0,x2=6: (2)解：，2x2+x-1=0, .(2x-1)(x+1)=0, ∴.2x-1=0或x+1=0, ∴x1=-1,= 14.(2026·黑龙江齐齐哈尔三模)解方程：x(2x+3)-4x-6=0. 【答案】刘=-子=2 【分析】将x(2x+3)-4x-6=0提取公因式得到(2x+3)(x-2)=0,再利用因式分解法 解这个一元二次方程即可. 【详解】解：x(2x+3)-4x-6=0 x(2x+3)-2(2x+3)=0, (2x+3)(x-2)=0, 2x+3=0或x-2=0, x1=-元x2=2 15.(2026安徽模拟预测)解方程：x2-8x=-15. 38/42 【答案】 x1=3,x2=5 【详解】解：x2-8x=-15 x2-8x+15=0 (x-3)(x-5)=0 x-3=0或x-5=0 解得x1=3,x2=5. 16.(2026广东河源.二模)在解方程3(x-2)2=x2-4时，小明的解法如下： 第一步：3(x-2)2=(x+2)(x-2), 第二步：3(x-2)=x+2, 第三步：3x-6=x+2, 第四步：x=4. 小明的解法中第几步开始出现错误？错误的原因是什么？请你写出这道题的正确解答过程， 【答案】小明的解法中第二步开始出现错误，错误的原因是方程两边同时除以(x一2)时， 没有考虑x-2=0的情况， 正确的解答过程： 第一步：3x-2)2=(x+2)(x-2), 第二步：3x-2)2-(x+2)(x-2)=0, 第三步：(x-2)[3(x-2)-(x+2)]=0,即(x-2)(2x-8)=0, 第四步：x-2=0或2x-8=0, 第五步：x1=2,x2=4. 【分析】由方程两边都除以(x-2),没有考虑(x-2)=0的情况，这会导致漏解，从而得 到错误的步骤及原因，然后把方程移项化为3(x-2)2-(x+2)(x-2)=0,再利用因式分 解的方法解方程即可. 【详解】略 17.(2026四川南充三模)m为实数，关于x的方程为x2+(m-2)x+1=m. (1)判断方程根的情况. (2)若方程的两根为x1,x2,当2x1-x2=3时，求m的值. 【答案】(1)原方程总有两个实数根 39/42 (2)2或-1 【分析】(1)求出一元二次方程的判别式，根据判别式的值即可作出判断： (2)求出一元二次方程的两个根，根据条件2x1一x2=3列式即可求解。 【详解】(1)解：原方程为一元二次方程，可化为x2+(m-2)x+1-m=0. △=m-2)2-4×1×(1-m) =m2-4m+4-4+4m =m2. 无论m为何实数，m2都是非负数.即△≥0. 原方程总有两个实数根 (2)解：由(1)，原方程的根x=-m-2)m 2 x=1或x=1-m. 若2×1-(1-m)=3,则2-1+m=3, ∴.m=2. 若2(1-m)-1=3,则2-2m-1=3, .m=-1. 综上，m的值为2或-1. 18.(25-26八年级下.吉林.期中)已知关于x的一元二次方程x2+(1-m)x+m-2=0. (1)求证：不论为何值，方程总有实数根： (2)若方程的两个根分别为x1,x2,x子+x2+3x1x2=1,求m的值. 【答案】(1)证明：4=(1-m)2-4×1×(m-2) =1-2m+m2-4m+8 =m2-6m+9 =(m-3)2, 任何实数的平方均为非负数，即(m-3)2≥0， 4≥0恒成立， 即不论m为何值，方程总有实数根. (2)m=2或m=-1 【分析】(1)要证明一元二次方程总有实数根，只需证明其判别式4≥0恒成立： (2)利用根与系数的关系，将x好+x+3x1x2变形为含x1+x2和x1x2的形式，代入己知条 40/42 件列方程求解m. 【详解】(1)略 (2)解：根据韦达定理，对于方程x2+(1-m)x+m-2=0,两根满足： x1+x2=-(1-m)=m-1,x1x2=m-2, 己知x1+x号+3x1x2=1,利用x3+x3=(x1+x2)2-2x1x2变形得： x号+x号+3x12=(x1+x2)2-2x1x2+3x1x2=(1+x3)2+x1x2 将x1+x2=m-1,x1x2=m-2代入，结合条件得： (m-1)2+(m-2)=1, 展开并整理方程： m2-2m+1+m-2=1, m2-m-2=0, 因式分解求解： (m-2)(m+1)=0, 解得： m1=2,m2=-1. 19.(2026四川南充中考真题)关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k-2=0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根. (2)已知方程的两个实数根分别为x1,x2,且x1=2x2,求k的值。 【答案】(1) 证明：：原方程为x2-(2k+1)x+k2+k-2=0, .△=[-(2k+1)]2-4×1×(k2+k-2) =4k2+4k+1-4k2-4k+8 =9>0, ∴.方程有两个不相等的实数根。 (2) k的值为4或-5 【分析】(1)计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论： (2)根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合x1=2x2的条件，得到关于k的一元二 次方程，求解即可得到k的值。 【详解】(1)略 41/42 (2)解：，方程的两个实数根为x1,x2, …x1+x2=2k+1,x1x2=k2+k-2, x1=2x2 .2x2+x2=2k+1, x2=2+1 3 x1-22+ 3 代入x1x2=k2+k-2得：22+D2=k2+k-2, 9 整理得k2+k-20=0, 解得k=4或k=-5. 42/42 第二十五章 一元二次方程 02讲 降次——解一元二次方程 题型归纳 【知识点1 直接开平方法解一元二次方程 1】 【知识点2 配方法解一元二次方程 2】 【知识点3 一元二次方程根的判别式 3】 【知识点4 公式法解一元二次方程 3】 【知识点5 因式分解法解一元二次方程 4】 【知识点6 一元二次方程的根与系数的关系 5】 【题型1. 解一元二次方程——直接开平方法 5】 【题型2. 解一元二次方程——配方法 8】 【题型3. 配方法的应用 11】 【题型4. 根据判别式判断一元二次方程根的情况 15】 【题型5. 根据一元二次方程根的情况求参问题 17】 【题型6. 解一元二次方程——公式法 19】 【题型7. 解一元二次方程——因式分解法 23】 【题型8. 解一元二次方程——换元法 25】 【题型9. 一元二次方程的根与系数的关系 27】 【题型10. 用适当的方法解一元二次方程 30】 【巩固练习 34】 知识清单 知识点1 直接开平方法解一元二次方程 1.定义：利用平方根的定义直接开平方来求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法. 例如，解得 . 一般地，对于方程 ： 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2.直接开平方法解一元二次方程一般步骤： （1）将方程化为p或的形式； （2）直接开平方化为两个一元一次方程； （3）解两个一元一次方程得到原方程的解． 【提示】一元二次方程必须同时满足以下条件： ① 直接开平方法适用的方程是能转化成p或的方程； ② 利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当p为非负数时，方程才有解，并且要注意开方的结果取“正、负”两种情况. 知识点2 配方法解一元二次方程 1.定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项. 2.配方法解一元二次方程一般步骤： 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 【提示】当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后： ① 如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根； ② 如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根； ③ 如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 知识点3 一元二次方程根的判别式 1.定义：对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫作一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ . 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况： （1）一元二次方程有两个不相等的实数根 ； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 【提示】 ① 应用根的判别式时必须将一元二次方程化成一般形式，然后准确确定，，的值； ② 此判别式只适用于一元二次方程，当无法判定方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论： ③ 当时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根. 3. 判别式的应用：（1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 知识点4 公式法解一元二次方程 1. 求根公式：当时，方程的实数根可以写成 的形式，这个式子叫作一元二次方程的求根公式. 2.公式法：解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 3. 公式法解一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 知识点5 因式分解法解一元二次方程 1.定义：对于先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 2. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 一般步骤 方法 实例 一移 使方程的右边为0 即 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 或 四解 写出方程的两个解 或 3. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式： 知识点6 一元二次方程的根与系数的关系 1.关系：若一元二次方程的两个实数根为、，则 ， （也称为韦达定理）. 即任何一个一元二次方程两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 2.不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值常见的代数变形： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5）| 3.一元二次方程根与系数的关系的应用： （1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值； （2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值； （3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值； （4）与根的判别式相结合，解决一些综合题. 题型专练 题型1. 解一元二次方程——直接开平方法 【例1】用直接开平方法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接开平方解一元二次方程； （2）直接开平方解一元二次方程． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴． 【变式1】解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程和一元二次方程的求解，解题的关键是熟练运用去括号、移项、合并同类项等基本运算步骤； （1）先去括号展开，再移项合并同类项，最后系数化为1求解； （2）先移项将方程化为，再两边同除以2开平方，最后分别求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项合并，得， ， ； （2）解：， 先移项，将方程化为， 再将方程两边同除以2，得， 开平方，得， ． 【变式2】解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：， ∴或， ∴，； （2）解：， ∴或， ∴或， ∴，． 【变式3】用直接开平方法解下列方程： (1) (2)； (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时乘以2，接着把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）先去括号，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方即可得到答案； （3）（4）把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ， ， 解得，； （2）解： ， ， ， 解得，； （3）解： ，即或， 解得，； （4）解： ，即或， 解得，． 题型2. 解一元二次方程——配方法 【例1】解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 解得，． 【变式1】解方程：（用配方法）； (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据配方法的步骤解方程即可； （2）先将方程左边展开，再根据配方法的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，． 【变式2】用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将原方程整理后利用配方法解方程即可； （2）将原方程整理后利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， 原方程整理得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得：，； （2）解：， 原方程整理得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得：，． 【变式3】在用配方法解方程时，小颖的解法如图： 第一步：移项，得． 第二步：配方，得， 即               ． 第三步：两边开平方，得． 第四步：所以， 请回答： (1)小颖的解答过程从第___________步开始出现错误； (2)请给出这道题的正确解答过程． 【答案】(1)二 (2)， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤． （1）等号两边应该加上； （2）先在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，然后配成完全平方式，再直接开平方求解． 【详解】（1）解：小颖的解答过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二； （2）解： 或 ∴，． 题型3. 配方法的应用 【例1】把方程配方成的形式，则m，n的值是（　　） A．，28 B．5， C．5， D．，25 【答案】A 【分析】利用完全平方公式进行配方求解． 【详解】解： ， ∴． 【例2】【阅读材料】：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫作配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用． 例1：用配方法因式分解：． 原式 例2：求的最小值． 解：； 由于，所以， 即的最小值为5． (1)【类比应用】：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)仿照例2的步骤，求的最小值； 【答案】(1)9 (2)6 【分析】本题主要考查配方法、完全平方式，熟练掌握配方法及完全平方式是解题的关键； （1）根据完全平方式可进行求解； （2）由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由完全平方公式，可知：， 故答案为9； （2）解：； 由于，所以， 即的最小值为6． 【变式1】通过配方，可以求得代数式的最小值是（   ） A．0 B．1 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用，将原式配方得出，结合即可得出答案． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴， ∴ 代数式的最小值是1． 故选：B． 【变式2】新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是______． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 【变式3】阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如 的多项式变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 的配方法． 运用多项式的配方法和平方差公式可以解决很多数学问题． 下面给出例子： [例]分解因式： ． ． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式： ． (2)请你运用上述配方法分解因式 ． (3)已知 的三边长 都是正整数，且满足 ，求 周长的最大值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了完全平方公式的应用，以及非负数的性质，三角形三边关系，熟练掌握完全平方公式的形式是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的方法分解即可； （2）根据阅读材料中的方法将多项式变形即可； （3）原式配方后，利用非负数的性质求出、的值，再利用三角形的三边关系，得到的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ． （3）， ， ， ， ， ． 又 为正整数， 时，的周长最大，最大值为 ． 答： 长的最大值为13． 【变式4】【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴， ∴当时，的最小值是4． (1)【类比探究】求代数式的最小值； (2)【举一反三】利用一面长度为的墙，用长的篱笆，怎样围成一个面积最大的矩形场地？最大面积是多少？ 【答案】(1)3 (2)当垂直于墙的一边的长为，平行于墙的一边的长为时，围成的矩形面积最大，最大为． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟知配方法是解题的关键． （1）仿照题意利用配方法求解即可； （2）设垂直于墙的一边的长为，则平行于墙的一边的长为，则矩形的面积为，据此求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值是3； （2）解：设垂直于墙的一边的长为，则平行于墙的一边的长为， ∴矩形的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴当时，矩形的面积最大，最大值为， 当时，，此时符合题意， 答：当垂直于墙的一边的长为，平行于墙的一边的长为时，围成的矩形面积最大，最大值为． 题型4. 根据判别式判断一元二次方程解根的情况 【例1】一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式的值，再根据与0的大小关系判断根的情况即可 【详解】解：将原方程整理为一般式得 ， 这里 ，，， 计算判别式得 ， ∵ ， ∴ 该一元二次方程没有实数根 【变式1】下列关于的一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用“一元二次方程有两个相等实数根的条件是根的判别式”，计算各选项方程的判别式，即可选出正确选项． 【详解】解：选项A：，，该方程有两个不相等的实数根，故不符合题意； 选项B：，，该方程有两个相等的实数根，故符合题意； 选项C：，，该方程有两个不相等的实数根，故不符合题意； 选项D：，，该方程有两个不相等的实数根，故不符合题意． 【变式2】写出一个没有实数根的一元二次方程：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用一元二次方程根的判别式，写出一个一元二次方程，使即可． 【详解】解：在一元二次方程中， ∵， ∴方程没有实数根，故符合题意， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的关系。 【变式3】定义新运算，对于任意实数m、n有，则方程的根的判别式的值为__________． 【答案】9 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟练根的判别式是解题关键．根据题意得出方程是，再根据根的判别式公式求解即可． 【详解】解：根据题意， 则， 故答案为：9． 题型5. 根据一元二次方程根的情况求参问题 【例1】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于，代入方程系数计算即可得到的取值范围． 【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 整理得， 解得． 【例2】关于的方程，无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． 求出的值，再判断即可得到结论． 【详解】解：原方程整理得， ， 无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】若关于x的一元二次方程有实数根，则整数m的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用一元二次方程有实数根的条件，通过根的判别式列出不等式，求解得到的取值范围，即可得到整数的最大值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴根的判别式满足，其中，代入得： 解得： ∴整数的最大值是． 【变式2】若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ________ ． 【答案】/ 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 【变式3】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，其中为实数，则__________． 【答案】1 【分析】根据方程有两个相等的实数根可得根的判别式为0，由此得到的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 整理得， ． 【变式4】已知关于的一元二次方程有两个实数根，写出符合条件的的一个值为______． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于零，求出m的取值范围，即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得： ∵方程是一元二次方程， ∴， ∴且， 取m的值为2（答案不唯一）． 题型6. 解一元二次方程——公式法 【例1】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了利用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握利用公式法解一元二次方程的步骤． 先写出，然后求出根的判别式的值，再代入求根公式求解，最后写答案即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴，； （2）解：， ， ， ， ∴． 【变式1】用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可； （3）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 代入求根公式，得， ，； （2）将方程化为一般形式，得， ， ， 代入求根公式，得， ，； （3）， ， 代入求根公式，得：， ． 【变式2】使用“公式法”解一元二次方程 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或； (2)； (3)无实数根 【分析】本题考查用公式法解一元二次方程，关键是先将方程化为一般形式，确定、、的值，计算判别式，根据的符号判断根的情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，最后代入求根公式求解(时无需代入)． （1）方程已为一般形式，直接确定系数，计算判别式后代入公式求解； （2）方程已为一般形式，确定系数后计算判别式，根据求相等实根； （3）先将方程化为一般形式，再确定系数、计算判别式，根据判断无实数根． 【详解】（1）解：方程，其中，，， ∴， ∴， 即，； （2）解：方程，其中，，， ∴， ∴， 即； （3）解：先将方程化为一般形式：， 其中，，， ∴， ∴原方程无实数根． 【变式3】用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)， 【分析】本题考查用公式法解一元二次方程，关键是先将方程化为一般形式，确定、、的值，计算判别式，再利用求根公式求解． （1）方程已是一般形式，直接确定系数计算判别式后代入求根公式即可； （2）方程为一般形式，确定系数计算判别式后代入求根公式求解； （3）先将方程展开并整理为一般形式，再按公式法步骤求解； （4）先展开方程左边，移项整理为一般形式，再用公式法求解． 【详解】（1）解：方程，其中，，， ∴， 代入求根公式得， ∴，； （2）解：方程，其中，，， ∴， 代入求根公式得， ∴，； （3）解：先将方程整理为一般形式：， 其中，，， ∴， 代入求根公式得， ∴，； （4）解：先将方程整理为一般形式：，其中，，， ∴， 代入求根公式得， ∴，． 题型7. 解一元二次方程——因式分解法 【例1】解方程： 【答案】 【详解】解： ， 或 ， 解得. 【变式1】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 或 解得：； （2）解： 或 解得：． 【变式2】用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：把方程左边分解因式，得． 因此，有或． 解方程，得； （2）解：原方程化为一般形式，得． 把方程左边分解因式，得． 因此，有或． 解方程，得． 【变式3】解下列一元二次方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据因式分解法，即可求解； （2）根据因式分解法，即可求解． 【详解】（1）解：由题得， 或， ； （2）解：由题得， ， ， 或， ． 题型8. 解一元二次方程——换元法 【例1】已知关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法求解 【答案】B 【分析】利用换元法，将新方程中的看作整体，对应原方程的，根据原方程的解得到整体的取值，再解一元一次方程即可得到新方程的解． 【详解】解：令，则方程可变形为， 关于的方程的解为， ， 即或， 解得或， 方程的解是． 【例2】关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是______． 【答案】， 【分析】此题主要考查利用整体代换思想解方程．熟练掌握该知识点是关键；通过观察方程结构，可将第二个方程中的看作一个整体，则该整体的值应等于第一个方程的解，从而求出的值． 【详解】解：关于的方程的解是，，，均为常数，， 方程变形为， 即此方程中或， 解得或． 故答案为：，． 【变式1】若，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，本题中把看成未知数，可得方程：，利用分解因式法解方程即可． 【详解】解： ， 整理得：， 分解因式可得：， 或 ， 解得：或(不符合题意，舍去)， 故答案为： ． 【变式2】阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为：，解得，，当时，，，当时，，．∴原方程有四个根是：，，，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． 已知实数，满足，试求的值． 【答案】5 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，代数式求值，熟练掌握换元法是解题的关键．设，则原方程可化为，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设，则原方程可化为， 因式分解，得， ∴或， 解得， ∵，， ∴， ∴． 【变式3】真正的学习是自学的，下面是小诗同学的数学笔记，请认真学习笔记内容． 解方程：． 解：设，则原方程化为， 解得，（舍去）． 当时，， 解得，． 总结：①解方程的过程中，设，用到了换元法，把看作一个整体a，先解关于a的一元二次方程． ②注意取值范围，舍去不符合条件的a的值，再求出x的值． 根据小诗同学笔记本上的内容，解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查解一元二次方程．根据学习笔记内容设，则原方程化为，进一步计算，求出方程的解即可． 【详解】解：设，则原方程化为， 解得，（舍去）． 当时，， 解得，． 题型9. 一元二次方程的根与系数的关系 【例1】关于的一元二次方程的一个根为3，则另一个根为（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵ 一元二次方程 的两个根的乘积为，一个根为3， ∴另一个根为． 【例2】一元二次方程的两个实数根为和，则代数式的值为（   ） A． B．3 C． D．13 【答案】B 【分析】由根与系数的关系求出和的值即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为和， ∴， ∴． 【变式1】已知关于x的方程的两实数根为，若，则m的值为（  ） A． B．3 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系得到，进行求解即可. 【详解】解：由题意，， 解得， 此时方程化为，，符合题意； 故. 【变式2】若关于的一元二次方程的两个根互为倒数，则_____． 【答案】1 【分析】先明确方程根的和与积与系数的关系，利用“互为倒数”的条件，直接得出根的积为1，从而确定c的值． 【详解】解：设一元二次方程的两个根为，， ∵一元二次方程的两个根互为倒数， ∴， 即． 【变式3】若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，相反数的定义，设一元二次方程的两个根分别为，由一元二次方程根和系数的关系及相反数的定义可得，解方程即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：设一元二次方程的两个根分别为， ∵一元二次方程的两个根互为相反数， ∴， ∴． 【变式4】已知，是关于的一元二次方程的两实数根． (1)若，求的值； (2)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】(1)m的值为6 (2)这个三角形的周长为 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，解一元二次方程，也考查了三角形三边的关系，等腰三角形的定义．掌握一元二次方程的根与系数的关系及根的判别式和对等腰三角形恰当分类是解题的关键． （1）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． （2）分类讨论：若时，解得，，当时，由根与系数的关系，解得，根据三角形三边的关系，舍去；当时，，解得，则三角形周长为；若，则，方程化为，解得，根据三角形三边的关系，舍去． 【详解】（1）解：，是关于的一元二次方程的两实数根， ， ，， ∴， ，即， ， 整理得， 解得，， ， 的值为6； （2）解：当腰长为7时，则是一元二次方程的一个解， 把代入方程得， 整理得， 解得，， 当时，，解得，而，不能构成三角形，故舍去； 当时，，解得，则三角形周长为； 当7为等腰三角形的底边时，则， ∴， ∴， 方程化为，解得， 则，不能构成三角形，故舍去， 所以这个三角形的周长为． 题型10. 用适当的方法解一元二次方程 【例1】请用适当的方法解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）两边除以2，开平方法解答； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵， 两边除以2，得， 开平方，得， ∴； （2）解：∵， 分解因式，得， ∴， ∴． 【例2】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得； （2）先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 或 解得，． 【变式1】解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据配方法求解方程即可； （2）根据因式分解法求解方程即可． 【详解】（1）解：方程变形得：， 开方得：， 解得：，； （2）解：移项得：， 分解因式得：， 所以或， 解得：，． 【变式2】解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： ∴或 解得，； （3）解： ，， 解得，． 【变式3】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 解得，； （2）解： 或 解得，． 【变式4】解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：， ∴， ∴ ， ∴，； （2）解：， ∴， ∴，． 【变式5】解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解答即可； （2）利用配方法解答即可． 【详解】（1）解： ∴或 ∴， （2）解： 移项得， 配方得， 即， ∴， 即，或 ∴，． 巩固练习 1．（2026·江苏扬州·中考真题）关于x的一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【分析】计算根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ， 又无论取任意实数，都有， ，即， 该方程有两个不相等的实数根． 2．（2026·湖北荆州·二模）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，若方程有两个实数根，则两根之积，据此计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，方程中， ∴． 3．（2026·河南三门峡·二模）下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：可化为，，符合题意； 的解是，，不合题意； 可化为，没有实数根，不合题意； ，，有两个不相等的实数根，不合题意． 4．（2026·湖南常德·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程有实数根时，根的判别式大于等于0，据此计算即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴ 解得． 5．（25-26八年级下·吉林长春·期中）一元二次方程的两个实数根为和，则代数式的值为（     ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】可通过因式分解法求出方程的两个根，再计算两根之和得到结果． 【详解】解：∵原方程为：对左侧因式分解得： ， ∴或， ∴方程的两个实数根为：， ∴ ． 6．（2026·河北沧州·二模）若一元二次方程的两根为，，则点在平面直角坐标系中位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的整理，根与系数的关系和平面直角坐标系内点的象限特征，先将方程整理为一般形式，再求出两根之积和两根之和，得到点的坐标后判断象限即可． 【详解】解：将原方程展开整理为一元二次方程一般形式：，其中，， ∵对于一元二次方程，两根之积为，两根之和为 ∴ ， ∴点的坐标为，横纵坐标均为负数，因此该点位于第三象限 7．（2026·安徽马鞍山·三模）已知关于的一元二次方程的两个根为，，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，结合题目给出的等量关系求解，再验证方程存在两个实根即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，，方程有两个根，， ∴，， 又∵， ∴，解得：， 验证判别式：，符合要求， 故的值为． 8．（2026·广东肇庆·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据一元二次方程根的判别式求出的取值范围即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ， 解得， ∴的值可以是， 故答案为：． 9．（2026·山东·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为，即可求出另一个根 ． 【详解】解：已知方程为 得 或 ， 解得，， 方程的一个根是， ， 因此方程的另一个根为2． 10．（25-26九年级下·浙江温州·期中）方程的正根介于正整数与之间，则________． 【答案】2 【分析】先求解方程得到正根，再估算正根的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：， ∴ ， ∴方程的正根为， ， ， ，则． 11．（2026·四川遂宁·二模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 12．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）解方程：． 【答案】，． 【分析】运用配方法求解一元二次方程即可． 【详解】解： ， ，即， ， ∴，． 13．（25-26八年级下·浙江金华·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得出结果； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 14．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）解方程：． 【答案】， 【分析】将提取公因式得到，再利用因式分解法解这个一元二次方程即可． 【详解】解： ， ， 或， ，． 15．（2026·安徽·模拟预测）解方程：． 【答案】 ， 【详解】解： 或 解得，． 16．（2026·广东河源·二模）在解方程时，小明的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 小明的解法中第几步开始出现错误？错误的原因是什么？请你写出这道题的正确解答过程． 【答案】小明的解法中第二步开始出现错误，错误的原因是方程两边同时除以时，没有考虑的情况， 正确的解答过程： 第一步：， 第二步：， 第三步：，即， 第四步：或， 第五步：，． 【分析】由方程两边都除以，没有考虑的情况，这会导致漏解，从而得到错误的步骤及原因，然后把方程移项化为，再利用因式分解的方法解方程即可． 【详解】略 17．（2026·四川南充·三模）为实数，关于的方程为． (1)判断方程根的情况． (2)若方程的两根为，，当时，求的值． 【答案】(1)原方程总有两个实数根 (2)或 【分析】（1）求出一元二次方程的判别式，根据判别式的值即可作出判断； （2）求出一元二次方程的两个根，根据条件列式即可求解． 【详解】（1）解：原方程为一元二次方程，可化为． ． 无论为何实数，都是非负数．即． ∴原方程总有两个实数根． （2）解：由（1），原方程的根． 或． 若，则， ． 若，则， ． 综上，的值为或． 18．（25-26八年级下·吉林·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个根分别为，，求m的值． 【答案】(1)证明： ， 任何实数的平方均为非负数，即， 恒成立， 即不论为何值，方程总有实数根． (2)或 【分析】（1）要证明一元二次方程总有实数根，只需证明其判别式恒成立； （2）利用根与系数的关系，将变形为含和的形式，代入已知条件列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：根据韦达定理，对于方程，两根满足： ，， 已知，利用变形得： ， 将，代入，结合条件得： ， 展开并整理方程： ， ， 因式分解求解： ， 解得： ，． 19．（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】(1) 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 的值为或 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 1 / 70 学科网（北京）股份有限公司 $