预习手册3《1.3 矩形的性质与判定》预习讲义 ·2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦矩形的性质与判定核心知识点，从平行四边形特殊化切入定义，梳理矩形与平行四边形的从属关系，进而探究矩形的共性（对边平行等）与特殊性质（四角直角、对角线相等），再到判定方法（定义、三直角四边形、对角线相等平行四边形）及直角三角形斜边中线推论，构建递进式学习支架。 资料以停车场闸门等生活实例引入培养几何直观（数学眼光），通过全等证明等推理过程发展推理能力（数学思维），结合符号语言规范表述与分层例题习题（如例5结合矩形性质与等边三角形）强化模型意识（数学语言）。课中辅助教师教学，课后助力学生巩固，提升逻辑推理与应用能力。

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册3 《第1章特殊的平行四边形第3节矩形的性质与判定》预习讲义 一．学习目标 ( 1.理解矩形的定义，明确矩形与平行四边形的从属关系；熟练掌握矩形的性质定理、判定定理，掌握直角三角形斜边中线的重要推论。 2.能区分平行四边形与矩形的性质、判定差异，会用几何符号语言规范书写矩形的证明、计算过程；能利用矩形性质解决线段求值、角度计算、几何证明基础题型。 3.通过自主探究、对比推理，体会 “ 一般到特殊 ” 的几何数学思想，提升几何逻辑推理与归纳总结能力。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.矩形的独有性质（四角为直角、对角线相等）及几何应用 2.矩形的三种判定方法的理解与基础运用 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的推论及应用 （二） 难点 1.区分矩形性质与判定的使用场景，避免定理混用 2.灵活结合平行四边形性质、矩形定理进行综合推理证明 3.理解矩形判定中 “ 平行四边形+特殊条件 ” 与 “ 四边形直接判定 ” 的区别 ) 三．知识梳理 （一）矩形的定义（基础认知） 当停车场的闸门由抬起变为平放状态时，图中的平行四边形变成了我们熟悉的长方形。 如上图，有一个角是直角的平行四边形叫作矩形(rectangle).矩形也叫长方形. 【操作】：用四根木条制作一个平行四边形框架，转动其中一组对边，当其中一个内角变为9°时，观察图形变化。 【思考】： （1）变化后的图形还是平行四边形吗？为什么？ （2）这个特殊的平行四边形有什么特点？ 【结论】：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形属于平行四边形，具备平行四边形的所有性质。 【归纳】 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。 2.理解： （1）矩形属于特殊的平行四边形，它是在平行四边形的基础上，增加了“有一个角是直角”这一特殊条件，并非所有平行四边形都是矩形，只有满足内角为直角的平行四边形才是矩形。 （2）定义的双重作用：既可以作为矩形的本质属性，也可以作为判定矩形的基本方法，是后续学习矩形性质、判定的基础。 （3）符号语言表述：在四边形ABCD中，若四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90o，则平行四边形ABCD是矩形。 （二）矩形的性质探究（重点突破） 矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有哪些特殊性质? 如图，矩形ABCD是平行四边形，∠ABC=90o ，由平行四边形的性质，可得矩形ABCD的其他三个角都是90°，连接AC，DB.由AB=DC，∠ABC=∠DCB, BC= CB,可得△ABC≌△DCB.所以 AC=DB. 于是，我们得到矩形的性质定理:矩形的四个角都是直角，对角线相等。 【讨论】：矩形是特殊的平行四边形，所以它是中心对称图形.矩形是轴对称图形吗?如果是，它有几条对称轴? 【归纳】 矩形是有一个角是直角的平行四边形，它既具备平行四边形的所有性质，又拥有自身独有的特殊性质，具体梳理如下： 1.矩形的一般性质（平行四边形共性） （1）边：对边平行且相等； （2）角：对角相等，邻角互补； （3）对角线：对角线互相平分； （4）对称性：中心对称图形，对称中心为对角线的交点。 2.矩形的特殊性质 （1）角的特殊性质：矩形的四个角都是直角（即每个角都等于90^\circ）； （2）对角线的特殊性质：矩形的对角线相等； （3）对称性补充：矩形是轴对称图形，有两条对称轴，对称轴为对边中点连线所在的直线。 3.重要推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（由矩形对角线相等且互相平分推导得出，是矩形性质的重要延伸）。 4.符号语言表述 在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O： （1）边：AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC； （2）角：∠A=B∠=∠C=∠D=90o； （3）对角线：AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD。 （三）矩形的判定定理探究（核心重难点） 四个角都是直角的四边形是矩形吗? 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90，可得∠A＋∠B=180,∠B十∠C=180°，于是AD//BC，AB//DC，而∠A=90°，所以四边形ABCD是矩形 于是，我们得到矩形的判定定理1:三个角是直角的四边形是矩形。 对角线相等的平行四边形一定是矩形吗? 观察下图可以发现，在对角线相等时，平行四边形看上去像是矩形. 如图，在▱ABCD中，AC=DB.由AB=DC，BC=CB,AC=DB,可得△ABC≌△DCB，于是∠ABC =∠DCB.又因为AB//CD，所以ZABC+ZDCB=180°, 所以 ABC = 90°.所以▱ABCD是矩形. 于是，我们得到矩形的判定定理2:对角线相等的平行四边形是矩形。 【归纳】 1.矩形的判定定理 （1）判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。 （2）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 2.判定方法总结 判定类型 前提条件 判定条件 定义判定 平行四边形 有一个角是直角 定理1判定 任意四边形 三个角是直角 定理2判定 平行四边形 对角线相等 3.补充推论：对角线互相平分且相等的四边形是矩形（可由定理2推导，先由对角线互相平分判定为平行四边形，再由对角线相等判定为矩形）。 四．经典例题 例1.（2025贵阳市观山湖区九年级上期中） 下列属于矩形独有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角相等 D. 对边平行 例2.（2026贵阳市云岩区一模） 能判定一个平行四边形是矩形的条件是（ ） A. 一组邻边相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 一组对角为直角 例3.（2025贵阳市花溪区期末） 在矩形ABCD中，对角线交于O，AC=12，则OA的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 例4.（2026贵阳市南明区二模） Rt△ABC中，∠ABC=90°，斜边AC=10，则AC边上的中线长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 例5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOB=60o，OA=2，则AB的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 例6.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC交BD于点O,再添加什么条件可以判定四边形ABCD为矩形(　　) A.AB∥CD,AB=AD　　　B.OA=OC,BC=CD C.AB=CD,AC=BD　　　D.AD=BC,AC=BD 例7.（2026观山湖区中考三模） 若平行四边形ABCD中，∠A=90°，则四边形ABCD是______。 例8.已知平行四边形ABCD,下列条件:①AB=BC;②AC=BD;③AC⊥BD;④AC平分∠BAD,其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是_______. 例9.在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，CE，AF分别交BD于G，H两点． 求证：(1)四边形AFCE是平行四边形； (2)EG＝FH. 例10.如图将▱ABCD的边AB延长至点E,使得AB=BE,连结DE、EC、BD,DE交BC于点O. (1)求证:△ABD≌△BEC; (2)若∠BOD=2∠A,求证:四边形BECD是矩形. 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025南明区九上期中） 矩形的对称性为（ ） A. 只是中心对称图形 B. 只是轴对称图形 C. 既是轴对称，又是中心对称 D. 都不是 2.（2026清镇市一模） 下列说法错误的是（ ） A. 矩形四个角都是直角 B. 矩形对角线互相平分 C. 对角线相等的四边形就是矩形 D. 矩形对边相等 3.（2025花溪区期中） 矩形ABCD，∠AOD=110°（O为对角线交点），则∠OAB=（ ） A. 35° B. 40° C. 45° D. 55° 4.（2026云岩区二模） 顺次连接矩形四边中点得到的四边形是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 5.（2025观山湖区期末） 平行四边形添加哪一个条件可以变成矩形（ ） A. AB=BC B. AC⊥BD C. ∠ABC=90° D. AB∥CD 6.（2026南明区三模） Rt△MNP，∠N=90°，MP=12，MP中点为Q，则NQ=（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 7.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 8．如图所示，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，那么线段AD与AB的比等于（　　） A．25：24 B．16：15 C．5：4 D．4：3 （二）填空题 9.（2025云岩区期末） 矩形对角线互相______且相等。 10.（2025南明区期中） 矩形ABCD，AC=BD=14，则OC=______。 11.（2026清镇市二模） 在平行四边形中，对角线相等，这个图形是______。 12.（2025观山湖区期中） 若四边形ABCD是矩形，则∠D=______°。 13.如图，已知在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，要使四边形ABCD是矩形，可添加一个条件是 　　． 14.如图，有一张长方形纸片ABCD，AB＝8cm，BC＝10cm，点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B'C'恰好经过点D，则线段DE的长为_________cm． 15．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使点B在点E处，CE与AD交于点F．若AF＝5，DF＝4，则AC的长为 　 　． 16．已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐标分别为A（0，10）、C（4，0），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 　 　． （三）解答题 17．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线． （1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）． （2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由． 18.如图将▱ABCD的边AB延长至点E,使得AB=BE,连结DE、EC、BD,DE交BC于点O. (1)求证:△ABD≌△BEC; (2)若∠BOD=2∠A,求证:四边形BECD是矩形. 19．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积． 20.如图，在矩形中，点、分别在轴、轴正半轴上，点在第一象限，，．点在上，连接，把沿着折叠，点刚好与线段上一点重合．   (1)请直接写出点C的坐标． (2)求线段CF的长度． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026贵阳市观山湖区中考三模） 矩形和平行四边形共有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 四个角为直角 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 2.（2025南明区九上期末） 下列条件，不能判定四边形为矩形的是（ ） A. 平行四边形+一个直角 B. 四边形有三个内角90° C. 平行四边形对角线相等 D. 对角线相等的任意四边形 3.（2026清镇市一模） 矩形ABCD，对角线交于O，若OA=5，则BD=（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 4.（2025观山湖区期末） 下列命题正确的是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 矩形对角线互相垂直 C. 矩形的对边平行且相等 D. 对角线相等的四边形是矩形 5.（2025云岩区期末） 若中点四边形为矩形，则原四边形满足（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对边平行 6．如图，已知大矩形ABCD由①②③④四个小矩形组成，其中AE＝CG，则只需要知道其中一个小矩形的面积就可以求出图中阴影部分的面积，这个小矩形是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 7．如图，平行四边形EQGH的四个顶点分别在矩形ABCD的四条边上，QP∥AB，分别交EH，AD于点R，P，过点R作MN∥AD，分别交AB，DC于点M，N，要求得平行四边形EQGH的面积，只需知道下列哪个四边形的面积即可（　　） A．四边形MBCN B．四边形AMND C．四边形RQCN D．四边形PRND 8．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝3，OA＝2，则AD的长为（　　） A．5 B． C． D． 9．如图，正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形CFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（　　） A．先变大后变小 B．保持不变 C．一直变大 D．一直变小 10．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AE的中点，若AD＝6，CD＝3，则DF的长是（　　） A．4 B． C． D． （二）填空题 11.（2026观山湖区一模） 矩形的对角线把矩形分成______对全等的等腰三角形。 12.（2025南明区期末） 判定矩形的两种思路：一是先证平行四边形，再证直角或对角线相等；二是直接证明四边形有______个直角。 14.（2025清镇市期末） 矩形对角线夹角60°，较短的边长为6，则对角线长为______。 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝15，点P是AD边上一点，连接BP，将△ABP沿BP折叠，使点A落在点A'处，当△A'DP为直角三角形时，AP的长为　 　． 16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝4，M是对角线BD所在直线上的一个动点，点N是平面内一点．若四边形MCND为平行四边形，且MN＝8，则BM的值为　 　． 17．已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4．动点P为矩形ABCD内一点，且满足S△PBC＝S矩形ABCD，则△ADP周长的最小值为 　 　． 18．如图，将长方形ABCD沿AC折叠，使点B落在点B′处，B′C交AD于点E．若∠1＝25°，则∠2的度数为 　 　． 19．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D部在点B处，点C落在点C处．P为折痕EF上的任意一点，过点P作PG⊥BE，PH⊥BC，垂足分别为G，H．若AD＝14，CF＝5，则PG+PH＝　 　． 20．如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝2，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为 　 　． （三）解答题 21.（2026贵阳市花溪区中考二模）已知：▱ABCD，对角线AC、BD相交于O，OA=OB。 （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB=6，∠AOB=60°，求AC的长度。 22. 如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平;再一次折叠，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交MN于E;延长PF交AB于G. 求证:(1)△AFG≌△AFP; (2)△APG为等边三角形. 23.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB． （1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形； （2）如图2，E是AD边上任意一点，EF⊥BD，EG⊥AC，F、G分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求EG+EF的值． 24．（1）如图1，点P为矩形ABCD对角线的交点．请你完成以下作图：过点B作PA的平行线BPˊ，过点C作PD的平行线交BPˊ于点Pˊ，连接PPˊ； （2）在（1）的条件下，判断PPˊ与BC的位置关系，并证明你的结论； （3）如图2，若点P为矩形ABCD内任意一点．求证：以AP、BP、CP、DP为边可以构成一个四边形，该四边形的两条对角线分别等于线段AB和BC，且互相垂直． 25.定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”． 性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD． 应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O． （1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”； （2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积． 探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积． 26．【问题初现】 （1）如图1，矩形OABC顶点O坐落在平面直角坐标系的原点上，C点的坐标为（0，4），OA＝2OC，D是BC边上的点，且D的坐标是（3，4），求线段BD的长． 【问题延伸】 （2）在（1）的情况下，F为AB边上的一点，将△BDF沿直线DF折叠，若B点刚好落在x轴上的E点处，求E点的坐标． 【问题拓展】 （3）如图2，将上述情况变更为任意矩形，设B点坐标为（b，n）、D点坐标为（m，n），在折叠过程中，折痕所在直线DF与y轴交于点G，当CG＝AF时，试判断线段OE与CD之间的数量关系，并给出证明． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册3 《第1章特殊的平行四边形第3节矩形的性质与判定》预习讲义 一．学习目标 ( 1.理解矩形的定义，明确矩形与平行四边形的从属关系；熟练掌握矩形的性质定理、判定定理，掌握直角三角形斜边中线的重要推论。 2.能区分平行四边形与矩形的性质、判定差异，会用几何符号语言规范书写矩形的证明、计算过程；能利用矩形性质解决线段求值、角度计算、几何证明基础题型。 3.通过自主探究、对比推理，体会 “ 一般到特殊 ” 的几何数学思想，提升几何逻辑推理与归纳总结能力。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.矩形的独有性质（四角为直角、对角线相等）及几何应用 2.矩形的三种判定方法的理解与基础运用 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的推论及应用 （二） 难点 1.区分矩形性质与判定的使用场景，避免定理混用 2.灵活结合平行四边形性质、矩形定理进行综合推理证明 3.理解矩形判定中 “ 平行四边形+特殊条件 ” 与 “ 四边形直接判定 ” 的区别 ) 三．知识梳理 （一）矩形的定义（基础认知） 当停车场的闸门由抬起变为平放状态时，图中的平行四边形变成了我们熟悉的长方形。 如上图，有一个角是直角的平行四边形叫作矩形(rectangle).矩形也叫长方形. 【操作】：用四根木条制作一个平行四边形框架，转动其中一组对边，当其中一个内角变为9°时，观察图形变化。 【思考】： （1）变化后的图形还是平行四边形吗？为什么？ 答：仍是平行四边形，因为满足平行四边形“两组对边分别平行”的定义，只是内角发生特殊变化。 （2）这个特殊的平行四边形有什么特点？ 答：有一个内角为直角，其余内角也随之变为直角，是生活中常见的长方形，即矩形。 【结论】：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形属于平行四边形，具备平行四边形的所有性质。 【归纳】 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。 2.理解： （1）矩形属于特殊的平行四边形，它是在平行四边形的基础上，增加了“有一个角是直角”这一特殊条件，并非所有平行四边形都是矩形，只有满足内角为直角的平行四边形才是矩形。 （2）定义的双重作用：既可以作为矩形的本质属性，也可以作为判定矩形的基本方法，是后续学习矩形性质、判定的基础。 （3）符号语言表述：在四边形ABCD中，若四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90o，则平行四边形ABCD是矩形。 （二）矩形的性质探究（重点突破） 矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有哪些特殊性质? 如图，矩形ABCD是平行四边形，∠ABC=90o ，由平行四边形的性质，可得矩形ABCD的其他三个角都是90°，连接AC，DB.由AB=DC，∠ABC=∠DCB, BC= CB,可得△ABC≌△DCB.所以 AC=DB. 于是，我们得到矩形的性质定理:矩形的四个角都是直角，对角线相等。 【讨论】：矩形是特殊的平行四边形，所以它是中心对称图形.矩形是轴对称图形吗?如果是，它有几条对称轴? 答：矩形是轴对称图形。它有 2条对称轴，分别是：经过两组对边中点的直线（即水平和垂直方向的中线）。 补充说明:（1）矩形的对称轴将矩形分成两个完全重合的部分，沿对称轴折叠后两边能完全重合。（2）特殊情况：当矩形为正方形时，会额外增加两条对角线作为对称轴，共4条。 【归纳】 矩形是有一个角是直角的平行四边形，它既具备平行四边形的所有性质，又拥有自身独有的特殊性质，具体梳理如下： 1.矩形的一般性质（平行四边形共性） （1）边：对边平行且相等； （2）角：对角相等，邻角互补； （3）对角线：对角线互相平分； （4）对称性：中心对称图形，对称中心为对角线的交点。 2.矩形的特殊性质 （1）角的特殊性质：矩形的四个角都是直角（即每个角都等于90^\circ）； （2）对角线的特殊性质：矩形的对角线相等； （3）对称性补充：矩形是轴对称图形，有两条对称轴，对称轴为对边中点连线所在的直线。 3.重要推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（由矩形对角线相等且互相平分推导得出，是矩形性质的重要延伸）。 4.符号语言表述 在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O： （1）边：AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC； （2）角：∠A=B∠=∠C=∠D=90o； （3）对角线：AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD。 （三）矩形的判定定理探究（核心重难点） 四个角都是直角的四边形是矩形吗? 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90，可得∠A＋∠B=180,∠B十∠C=180°，于是AD//BC，AB//DC，而∠A=90°，所以四边形ABCD是矩形 于是，我们得到矩形的判定定理1:三个角是直角的四边形是矩形。 对角线相等的平行四边形一定是矩形吗? 观察下图可以发现，在对角线相等时，平行四边形看上去像是矩形. 如图，在▱ABCD中，AC=DB.由AB=DC，BC=CB,AC=DB,可得△ABC≌△DCB，于是∠ABC =∠DCB.又因为AB//CD，所以ZABC+ZDCB=180°, 所以 ABC = 90°.所以▱ABCD是矩形. 于是，我们得到矩形的判定定理2:对角线相等的平行四边形是矩形。 【归纳】 1.矩形的判定定理 （1）判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。 （2）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 2.判定方法总结 判定类型 前提条件 判定条件 定义判定 平行四边形 有一个角是直角 定理1判定 任意四边形 三个角是直角 定理2判定 平行四边形 对角线相等 3.补充推论：对角线互相平分且相等的四边形是矩形（可由定理2推导，先由对角线互相平分判定为平行四边形，再由对角线相等判定为矩形）。 四．经典例题 例1.（2025贵阳市观山湖区九年级上期中） 下列属于矩形独有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角相等 D. 对边平行 【答案】：B 【解析】：普通平行四边形都满足对角线互相平分、对角相等、对边平行；只有矩形的对角线相等，是矩形的特有性质。 例2.（2026贵阳市云岩区一模） 能判定一个平行四边形是矩形的条件是（ ） A. 一组邻边相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 一组对角为直角 【答案】：C 【解析】：判定定理：对角线相等的平行四边形为矩形；A、B是菱形的条件；D表述不严谨，平行四边形一组对角天然相等。 例3.（2025贵阳市花溪区期末） 在矩形ABCD中，对角线交于O，AC=12，则OA的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】：C 【解析】：矩形对角线相等且互相平分，OA=AC=×12=6。 例4.（2026贵阳市南明区二模） Rt△ABC中，∠ABC=90°，斜边AC=10，则AC边上的中线长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】：B 【解析】：由矩形推论可得：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，10÷2=5。 例5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOB=60o，OA=2，则AB的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】：B 【解析】：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=AC=BD（矩形对角线相等且互相平分）。又∵∠AOB=60o，∴△AOB是等边三角形（有一个角是60o的等腰三角形是等边三角形），∴AB=OA=2，故选B。 例6.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC交BD于点O,再添加什么条件可以判定四边形ABCD为矩形(　　) A.AB∥CD,AB=AD　　　B.OA=OC,BC=CD C.AB=CD,AC=BD　　　D.AD=BC,AC=BD 【答案】D　 【解析】再添加AD=BC,AC=BD,可判定四边形ABCD为矩形.理由:∵AD∥BC,AD=BC,∴四边形ABCD为平行四边形,∵AC=BD,∴▱ABCD为矩形. 例7.（2026观山湖区中考三模） 若平行四边形ABCD中，∠A=90°，则四边形ABCD是______。 【答案】：矩形 【解析】：矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 例8.已知平行四边形ABCD,下列条件:①AB=BC;②AC=BD;③AC⊥BD;④AC平分∠BAD,其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是_______. 【答案】② 【解析】当AC=BD时,▱ABCD是矩形. 例9.在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，CE，AF分别交BD于G，H两点． 求证：(1)四边形AFCE是平行四边形； (2)EG＝FH. 证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵E，F分别是AD，BC的中点，∴AE＝AD，CF＝BC.∴AE＝CF.∴四边形AFCE是平行四边形．　(2)∵四边形AFCE是平行四边形，∴CE∥AF.∴∠DGE＝∠AHD＝∠BHF.∵AD∥BC，∴∠EDG＝∠FBH.∵DE＝AD，BF＝BC，AD＝BC，∴DE＝BF.在△DEG和△BFH中，∴△DEG≌△BFH(A 例10.如图将▱ABCD的边AB延长至点E,使得AB=BE,连结DE、EC、BD,DE交BC于点O. (1)求证:△ABD≌△BEC; (2)若∠BOD=2∠A,求证:四边形BECD是矩形. 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,AD∥BC,AD=BC,又∵AB=BE,∴BE∥CD,BE=CD,∴四边形BECD是平行四边形,∴BD=CE,∴△ABD≌△BEC(SSS). (2)由△ABD≌△BEC可得∠A=∠CBE,∵∠BOD=2∠A,∴∠BOD=2∠CBE,∵∠BOD=∠OBE+∠OEB,∴∠OBE=∠OEB,∴BO=OE,由(1)可知四边形BECD是平行四边形,∴BC=2BO,ED=2OE,∴BC=DE, ∴平行四边形BECD是矩形. 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025南明区九上期中） 矩形的对称性为（ ） A. 只是中心对称图形 B. 只是轴对称图形 C. 既是轴对称，又是中心对称 D. 都不是 【答案】：C 【解析】：矩形有两条对称轴，对角线交点为对称中心，兼具两种对称性。 2.（2026清镇市一模） 下列说法错误的是（ ） A. 矩形四个角都是直角 B. 矩形对角线互相平分 C. 对角线相等的四边形就是矩形 D. 矩形对边相等 【答案】：C 【解析】：必须是对角线相等的平行四边形才是矩形，普通四边形不成立。 3.（2025花溪区期中） 矩形ABCD，∠AOD=110°（O为对角线交点），则∠OAB=（ ） A. 35° B. 40° C. 45° D. 55° 【答案】：A 【解析】：OA=OB，∠AOB=70°，等腰三角形底角=(180°-70°)÷2=35°。 4.（2026云岩区二模） 顺次连接矩形四边中点得到的四边形是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 【答案】：B 【解析】：矩形对角线相等，中点连线都等于对角线的一半，四条边全部相等，为菱形。 5.（2025观山湖区期末） 平行四边形添加哪一个条件可以变成矩形（ ） A. AB=BC B. AC⊥BD C. ∠ABC=90° D. AB∥CD 【答案】：C 【解析】：矩形定义：平行四边形有一个内角为直角即为矩形；A、B为菱形条件。 6.（2026南明区三模） Rt△MNP，∠N=90°，MP=12，MP中点为Q，则NQ=（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】：B 【解析】：直角三角形斜边中线等于斜边一半，12÷2=6。 7.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90°，∴OA＝OB，∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°＝∠AEB，∴AB＝BE，∵∠CAE＝15°，∴∠DAC＝45°﹣15°＝30°，∠BAC＝60°，∴△BAO是等边三角形，∴AB＝OB，∠ABO＝60°，∴∠OBC＝90°﹣60°＝30°，∵AB＝OB＝BE，∴∠BOE＝∠BEO＝（180°﹣30°）＝75°．故选：D． 8．如图所示，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，那么线段AD与AB的比等于（　　） A．25：24 B．16：15 C．5：4 D．4：3 【答案】A 【解析】∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2+∠3＝90°，∴∠HEF＝90°，同理四边形EFGH的其它内角都是90°，∴四边形EFGH是矩形．∴EH＝FG（矩形的对边相等）；又∵∠1+∠4＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠5（等量代换），同理∠5＝∠7＝∠8，∴∠1＝∠8，∴Rt△AHE≌Rt△CFG，∴AH＝CF＝FN，又∵HD＝HN，∴AD＝HF，在Rt△HEF中，EH＝3，EF＝4，根据勾股定理得HF＝＝5．又∵HE•EF＝HF•EM，∴EM＝，又∵AE＝EM＝EB（折叠后A、B都落在M点上），∴AB＝2EM＝，∴AD：AB＝5：＝．故选：A． （二）填空题 9.（2025云岩区期末） 矩形对角线互相______且相等。 【答案】：平分 【解析】：矩形属于平行四边形，对角线互相平分，在此基础上增加相等的特性。 10.（2025南明区期中） 矩形ABCD，AC=BD=14，则OC=______。 【答案】：7 【解析】：对角线互相平分，OC=AC=7。 11.（2026清镇市二模） 在平行四边形中，对角线相等，这个图形是______。 【答案】：矩形 【解析】：矩形判定定理的文字表述。 12.（2025观山湖区期中） 若四边形ABCD是矩形，则∠D=______°。 【答案】：90 【解析】：矩形四个内角全部是直角。 13.如图，已知在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，要使四边形ABCD是矩形，可添加一个条件是 　　． 【答案】AC＝BD（答案不唯一） 【解析】∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故答案为：AC＝BD（答案不唯一）． 14.如图，有一张长方形纸片ABCD，AB＝8cm，BC＝10cm，点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B'C'恰好经过点D，则线段DE的长为_________cm． 【答案】5 【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理．∵长方形纸片ABCD，AB＝8，BC＝10，∴AB'＝8，AD＝10，B'C'＝10．在Rt△ADB'中，由勾股定理，得DB'＝6．∴DC'＝4．设DE＝x，则CE＝C'E＝8－x．在Rt△C'DE中，由勾股定理，得DE2＝EC'2＋DC'2即x2＝(8－x)2＋42．∴x＝5．即线段DE的长为5cm． 15．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使点B在点E处，CE与AD交于点F．若AF＝5，DF＝4，则AC的长为 　 　． 【答案】3． 【解析】∵AF＝5，DF＝4，∴AD＝AF+DF＝9，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，由折叠的性质得：∠BCA＝∠ECA，∴∠DAC＝∠ECA，∴CF＝AF＝5，∴CD＝＝＝3，∴AC＝＝＝3，故答案为：3． 16．已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐标分别为A（0，10）、C（4，0），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 　 　． 【答案】（4，3）或（4，2）或（4，8）． 【解析】∵A（0，10）、C（4，0），且四边形OABC是矩形，∴OA＝BC＝10，OC＝AB＝4， ∵D是OA的中点，∴OD＝5，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则有PO＝OD＝5、PD＝OD＝5或PO＝PD＝5，当PO＝OD＝5时，在Rt△OPC中，OC＝4，OP＝5，由勾股定理可求得PC＝3，此时P点坐标为（4，3）；当PD＝OD＝5时，过P作PE⊥OA于点E，如图，在Rt△PED中，PE＝OC＝4，PD＝5，由勾股定理可求得DE＝3，且OD＝5，则OE＝5﹣3＝2，此时P点坐标为（4，2），（4，8）；当PO＝PD＝5时，过P作PE⊥OA于点E，如图，在Rt△POE中，PE＝4，PO＝5，由勾股定理可求得OE＝3，则OD＝6，与已知矛盾，故该情况不存在．综上可知点P的坐标为（4，3）或（4，2）或（4，8）． 故答案为：（4，3）或（4，2）或（4，8）． （三）解答题 17．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线． （1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）． （2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由． 解：（1）如图所示，EF为所求直线； （2）四边形BEDF为菱形，理由为：证明：∵EF垂直平分BD，∴BE=DE，∠DEF=∠BEF，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF，∵BF=DF，∴BE=ED=DF=BF， ∴四边形BEDF为菱形． 18.如图将▱ABCD的边AB延长至点E,使得AB=BE,连结DE、EC、BD,DE交BC于点O. (1)求证:△ABD≌△BEC; (2)若∠BOD=2∠A,求证:四边形BECD是矩形. 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,AD∥BC,AD=BC,又∵AB=BE,∴BE∥CD,BE=CD,∴四边形BECD是平行四边形,∴BD=CE,∴△ABD≌△BEC(SSS). (2)由△ABD≌△BEC可得∠A=∠CBE,∵∠BOD=2∠A,∴∠BOD=2∠CBE,∵∠BOD=∠OBE+∠OEB,∴∠OBE=∠OEB,∴BO=OE,由(1)可知四边形BECD是平行四边形,∴BC=2BO,ED=2OE,∴BC=DE, ∴平行四边形BECD是矩形. 19．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积． 解：（1）证明：∵折叠，∴AM=AB，CN=CD，∠FNC=∠D=90°，∠AME=∠B=90°，∴∠ANF=90°，∠CME=90°，∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD∥BC，∴AM=CN， ∴AM﹣MN=CN﹣MN，即AN=CM，在△ANF和△CME中，，∴△ANF≌△CME（ASA），∴AF=CE，又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形； （2）∵AB=6，AC=10，∴BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt△CEM中，（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，∴四边形AECF的面积的面积为：EC•AB=5×6=30． 20.如图，在矩形中，点、分别在轴、轴正半轴上，点在第一象限，，．点在上，连接，把沿着折叠，点刚好与线段上一点重合．   (1)请直接写出点C的坐标． (2)求线段CF的长度． 解：(1)四边形是矩形，，，，， 点的坐标； (2)，，， 把沿着折叠，设点刚好与线段上一点重合，，，，，，，． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026贵阳市观山湖区中考三模） 矩形和平行四边形共有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 四个角为直角 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 【答案】：C 【解析】：所有平行四边形对角线都互相平分；A、B仅矩形具备，D是菱形特征。 2.（2025南明区九上期末） 下列条件，不能判定四边形为矩形的是（ ） A. 平行四边形+一个直角 B. 四边形有三个内角90° C. 平行四边形对角线相等 D. 对角线相等的任意四边形 【答案】：D 【解析】：对角线相等的普通四边形无法保证内角为直角，不能判定矩形。 3.（2026清镇市一模） 矩形ABCD，对角线交于O，若OA=5，则BD=（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】：B 【解析】：AC=2OA=10，矩形对角线相等，BD=AC=10。 4.（2025观山湖区期末） 下列命题正确的是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 矩形对角线互相垂直 C. 矩形的对边平行且相等 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】：C 【解析】：矩形属于平行四边形，天然满足对边平行相等；其余三个选项均缺少“平行四边形”的前提条件。 5.（2025云岩区期末） 若中点四边形为矩形，则原四边形满足（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对边平行 【答案】：B 【解析】：中点四边形的形状由原四边形对角线决定，原四边形对角线互相垂直时，中点四边形为矩形。 6．如图，已知大矩形ABCD由①②③④四个小矩形组成，其中AE＝CG，则只需要知道其中一个小矩形的面积就可以求出图中阴影部分的面积，这个小矩形是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【解析】如图所示：∵四边形ABCD和四边形③是矩形，∴AB＝CD，FP＝CG，∵AE＝CG，∴BE＝DG，∴阴影部分的面积＝△BFD的面积﹣△BFP的面积＝BF×CD﹣BF×FP＝BF×（CD﹣CG）＝BF×DG＝BF×BE＝矩形②面积，故选：B． 7．如图，平行四边形EQGH的四个顶点分别在矩形ABCD的四条边上，QP∥AB，分别交EH，AD于点R，P，过点R作MN∥AD，分别交AB，DC于点M，N，要求得平行四边形EQGH的面积，只需知道下列哪个四边形的面积即可（　　） A．四边形MBCN B．四边形AMND C．四边形RQCN D．四边形PRND 【答案】C 【解析】如图所示，连接HQ，RC，由题可得，∠AHQ＝∠CQH，∠EHQ＝∠GQH， ∴∠AHE＝∠CQG，又∵∠HAE＝∠QCG＝90°，EH＝GQ，∴△AEH≌△CGQ（AAS），∴AH＝CQ，又∵S△EQH＝S△EQR+S△RQH＝RQ（AP+HP）＝RQ×AH，S△CQR＝RQ×CQ， ∴S△EQH＝S△CQR，∴2S△EQH＝2S△CQR，即S平行四边形EQGH＝S矩形RQCN，∴要求得平行四边形EQGH的面积，只需知道四边形RQCN的面积即可．故选：C． 8．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝3，OA＝2，则AD的长为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】D 【解析】∵矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，OA＝2，∴AC＝2AO＝4，又∵AB＝3，∠ABC＝90°，∴BC＝＝，∴AD＝BC＝，故选：D． 9．如图，正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形CFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（　　） A．先变大后变小 B．保持不变 C．一直变大 D．一直变小 【答案】B 【解析】连接DE，∵S△CDE＝S矩形ECFG，S△CDE＝S正方形ABCD，∴S矩形ECFG＝S正方形ABCD， ∴矩形ECFG的面积保持不变，故选：B． 10．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AE的中点，若AD＝6，CD＝3，则DF的长是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD为矩形，CD＝，AD＝6，AD∥BC，∴∠B＝90°，BC＝AD＝6，AB＝CD＝，∠DAF＝∠AEB，∵E为BC的中点，∴BE＝3，∴AE＝，∴AD＝AE，∵F点为AE的中点，∴AF＝3，∴AF＝BE，∴△DAF≌△AEB（SAS），∴DF＝AB＝．故选：D． （二）填空题 11.（2026观山湖区一模） 矩形的对角线把矩形分成______对全等的等腰三角形。 【答案】：两 【解析】：矩形对角线相等且平分，形成两对全等的等腰三角形。 12.（2025南明区期末） 判定矩形的两种思路：一是先证平行四边形，再证直角或对角线相等；二是直接证明四边形有______个直角。 【答案】：三 【解析】：四边形内角和固定，三个直角即可推出第四个角为90°。 14.（2025清镇市期末） 矩形对角线夹角60°，较短的边长为6，则对角线长为______。 【答案】：12 【解析】：对角线相等平分，夹角60°形成等边三角形，对角线=6×2=12。 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝15，点P是AD边上一点，连接BP，将△ABP沿BP折叠，使点A落在点A'处，当△A'DP为直角三角形时，AP的长为　 　． 【答案】或8 【解析】如图1中，当∠DA′P＝90°时，由翻折的性质可知，∠PA′B＝∠A＝90°，BA＝BA′＝8，∴∠BA′P+∠DA′P＝180°，∴B，A′，D共线，∵∠A＝90°，AB＝8，AD＝15， ∴BD＝＝＝17，∴DA′＝17﹣8＝9，设AP＝PA′＝x，则PD＝15﹣x，∵PD2＝PA′2+DA′2，∴（15﹣x）2＝x2+92，解得x＝，∴PA＝．如图2中，当∠A′PD＝90°时，四边形ABA′P是正方形，此时PA＝AD＝8．综上所述，满足条件的PA 的值为或8． 16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝4，M是对角线BD所在直线上的一个动点，点N是平面内一点．若四边形MCND为平行四边形，且MN＝8，则BM的值为　 　． 【答案】7 【解析】分两种情况：①如图1，M在对角线BD上时，设四边形MCND对角线MN和DC交于O，过O作OG⊥BD于G，∵四边形MCND为平行四边形，∴OD＝DC＝AB＝2，OM＝MN＝4， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝4，AD＝4，∴BD＝＝＝8，∴AB＝BD，∴∠ADB＝30°，∵∠ADC＝90°，∴∠BDC＝60°， Rt△ODG中，∠DOG＝30°，∴DG＝1，OG＝，设BM＝x，则MG＝8﹣x﹣1＝7﹣x， △OMG中，MG2+OG2＝OM2，∴＝42，解得：x＝7+（舍）或7﹣； ②如图2，M在BD的延长线上时，过O作OG⊥BD于G，同理得：DG＝1，OG＝，OM＝4， 设BM＝x，则MG＝x﹣8+1＝x﹣7，△OMG中，MG2+OG2＝OM2，∴，解得：x＝7+或7﹣（舍）；综上，BM的长为7；故答案为：7． 17．已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4．动点P为矩形ABCD内一点，且满足S△PBC＝S矩形ABCD，则△ADP周长的最小值为 　 　． 【答案】4+2 【解析】过点P作MNAD，交AD于点M，交BC于点N，∵S△PBC＝S矩形ABCD，∴×BC×PN＝×BC×MN，∴PN＝MN，∵AB＝3，∴MP＝1，过P点作GH∥AD，交AB于点G，交CD于点H，作A点关于GH的对称点A'，连接A'D与GH交点即为所求点P，∵AP＝A'P，∴AP+PD＝A'D， ∵AG＝1，∴AA'＝2，在Rt△AA'D中，AD＝4，AA'＝2，∴A'D＝2，∴△ADP周长的最小值2+4，故答案为4+2． 18．如图，将长方形ABCD沿AC折叠，使点B落在点B′处，B′C交AD于点E．若∠1＝25°，则∠2的度数为 　 　． 【答案】50° 【解析】∵AD∥BC，∴∠1＝∠DAC＝25°，由折叠的性质可得，∠1＝∠ACB′＝25°，∴∠AEB′＝∠DAC+∠ACB′＝25°+25°＝50°，∵∠AEB′＝∠2，∴∠2＝50°．故答案为：50°． 19．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D部在点B处，点C落在点C处．P为折痕EF上的任意一点，过点P作PG⊥BE，PH⊥BC，垂足分别为G，H．若AD＝14，CF＝5，则PG+PH＝　 　． 【答案】2 【解析】如图，过点E作EQ⊥BC于Q，连接BP，∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，由折叠可得，∠DEF＝∠BEF，∴∠BFE＝∠BEF，∴BE＝BF，∵PG⊥BE、PH⊥BC， ∴S△BEF＝S△BEP+S△BFP＝BE•PG+BF•PH＝BF（PG+PH），∵S△BEF＝BF•EQ，∴PG+PH＝EQ，∵四边形ABCD是长方形，∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°．∵AD＝14，CF＝5，∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝14﹣5＝9．由折叠易知，△DCF≌△BC'F≌△BAE，∴C'F＝CF＝5， ∴BC'＝＝＝∴AB＝C'B＝2．∴EQ＝AB＝2．∴PG+PH＝EQ＝2．故答案是：2． 20．如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝2，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为 　 　． 【答案】： 【解析】如图，连接CM，∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，∴∠CPM＝∠CQM＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝1，CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，∴四边形PCQM是矩形， ∴PQ＝CM，由勾股定理得：BD＝＝＝3，当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，此时，S△BCD＝BD•CM＝BC•CD，即×3×CM＝×1×2，∴CM＝，∴PQ的最小值为，故答案为：． （三）解答题 21.（2026贵阳市花溪区中考二模）已知：▱ABCD，对角线AC、BD相交于O，OA=OB。 （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB=6，∠AOB=60°，求AC的长度。 解：（1）∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD；又OA=OB，可得AC=BD，对角线相等的平行四边形是矩形，故ABCD为矩形。 （2）OA=OB，∠AOB=60°，△AOB是等边三角形，OA=AB=6，AC=2OA=12。 22. 如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平;再一次折叠，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交MN于E;延长PF交AB于G. 求证:(1)△AFG≌△AFP; (2)△APG为等边三角形. 解：(1)证明:∵对折矩形纸片ABCD，使AB与CD重合，得到折痕MN，∴MN∥AB，M，N分别为AD，BC中点，由平行线的性质可知PF=GF.由折叠的性质得∠PFA=∠GFA=90°，∴△AFG≌△AFP(SAS). (2)∵△AFG≌△AFP，∴AP=AG，∠2=∠3.又∵∠2=∠1，∴∠1=∠2=∠3.又∵∠1+∠2+∠3=90°，∴3∠2=90°，∴∠2=30°，∠PAG=2∠2=60°，∴△APG为等边三角形. 23.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB． （1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形； （2）如图2，E是AD边上任意一点，EF⊥BD，EG⊥AC，F、G分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求EG+EF的值． 解：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠BAD＝∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OCAC，OB＝ODBD，∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形； （2）如图，连接OE，∵AD＝12，AB＝5，∴BD13，∴BO＝OD＝AO＝CO，∵S△AODS矩形ABCD12×5＝15，∴S△AOE+S△DOE＝15，∵EF⊥BD，EG⊥AC， ∴EGEF＝15，∴EG+EF． 24．（1）如图1，点P为矩形ABCD对角线的交点．请你完成以下作图：过点B作PA的平行线BPˊ，过点C作PD的平行线交BPˊ于点Pˊ，连接PPˊ； （2）在（1）的条件下，判断PPˊ与BC的位置关系，并证明你的结论； （3）如图2，若点P为矩形ABCD内任意一点．求证：以AP、BP、CP、DP为边可以构成一个四边形，该四边形的两条对角线分别等于线段AB和BC，且互相垂直． 解：（1）如图所示： （2）PP'与BC的位置关系为：垂直．证明：∵BP'∥PA，CP'∥PD，∴四边形PBP'C是平行四边形，∵点P是矩形ABCD对角线的交点，∴BP＝BD，CP＝AC，AC＝BD，∴BP＝CP， ∴四边形PBP'C是菱形，∴PP'⊥BC． （3）证明：过点B作AP的平行线BP，过点C作PD的平行线交BP'于点P'，连接PP'，交BC于点M．∴∠PAB+∠ABP'＝180°，∠PDC+∠DCP'＝180°，以PB、BP'、P'C、CP为边构成四边形，且以BC、PP'为对角线，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠DAB+ABC＝180°，∠ADC+∠DCB＝180°，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴△APD≌△BP'C（ASA）， ∴AP＝BP'∴四边形ABP'P是平行四边形．∴AB∥PP'，AB＝PP'AP＝BP'，同理可证：PD＝CP'， ∴∠PMC＝∠ABC＝90°，∴PP'⊥BC于M，∴以AP、BP、CP、DP为边能构成四边形，该四边形的两条对角线分别等于线段AB和BC，且互相垂直． 25.定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”． 性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD． 应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O． （1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”； （2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积． 探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积． 解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴OE=OB，∴△AOE和△AOB是友好三角形．[来源:学科网ZXXK] （2）∵△AOE和△DOE是友好三角形，∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3， ∵△AOB与△AOE是友好三角形，∴S△AOB=S△AOE，∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE=S△FOB，∴S△AOD=S△ABF，∴S四边形CDOF=S矩形ABCD﹣2S△ABF=4×6﹣2××4×3=12．探究：解：分为两种情况：①如图1，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD=A′D=AB=4=2，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OB，A′O=CO，∴四边形A′DCB是平行四边形，∴BC=A′D=2，过B作BM⊥AC于M，∵AB=4，∠BAC=30°，∴BM=AB=2=BC，即C和M重合，∴∠ACB=90°，由勾股定理得：AC==2，∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2=2；②如图2，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD=A′D=AB=4=2，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OA′，BO=CO，∴四边形A′BDC是平行四边形，∴A′C=BD=2，过C作CQ⊥A′D于Q，∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，∴CQ=A′C=1，∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2；即△ABC的面积是2或2． 26．【问题初现】 （1）如图1，矩形OABC顶点O坐落在平面直角坐标系的原点上，C点的坐标为（0，4），OA＝2OC，D是BC边上的点，且D的坐标是（3，4），求线段BD的长． 【问题延伸】 （2）在（1）的情况下，F为AB边上的一点，将△BDF沿直线DF折叠，若B点刚好落在x轴上的E点处，求E点的坐标． 【问题拓展】 （3）如图2，将上述情况变更为任意矩形，设B点坐标为（b，n）、D点坐标为（m，n），在折叠过程中，折痕所在直线DF与y轴交于点G，当CG＝AF时，试判断线段OE与CD之间的数量关系，并给出证明． 解：（1）∵C的坐标为（0，4），∴OC＝4，∵OA＝2OC，∴OA＝2×4＝8，在矩形OABC中，BC＝OA＝8，∵D点坐标为（3，4），∴CD＝3，∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5； （2）如图1，过D作DH⊥OA于H，则∠DCO＝∠COH＝∠DHO＝90°，∴四边形OHDC是矩形， ∴OH＝CD＝3，DH＝OC＝4，由折叠可得，DE＝BD＝5，在Rt△DHE中，HE＝＝＝3，∴OE＝OH+HE＝3+3＝6，∴E点坐标为（6，0）； （3）OE＝2CD，理由如下：如图2，设直线DF与x轴交于I点，∵B点坐标为（b，n），D点坐标为（m，n），∴CD＝m，BC＝b，∴BD＝BC﹣CD＝b﹣m，由折叠的性质可得，DE＝BD＝b﹣m，∠BDF＝∠EDF，∵BC∥x轴，∴∠EID＝∠BDF＝∠CDG，∴∠EID＝∠EDF，∴EI＝DE＝b﹣m，在△GCD和△FAI中，，∴△GCD≌△FAI（AAS），∴AI＝CD＝m， ∴AE＝EI﹣AI＝b﹣m﹣m＝b﹣2m，∴OE＝OA﹣AE＝b﹣（b﹣2m）＝2m，∴OE＝2CD． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $