精品解析：山东省临沂市罗庄区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

2024—2025学年下学期学科素养水平调研试题 八年级数学 （时间：120分钟 总分：120分） 注意事项： 1．答题前，请先认真浏览试卷；然后按要求操作； 2．答题时，端正心态，认真审题，认真书写，规范作图，保持卷面整洁！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的定义：将二将根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式为同类二次根式. 化简二次根式判定即可． 【详解】解：=3，所以与是同类二次根式. 【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是能正确的化简二次根式． 2. 已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的图象和性质，掌握正比例函数的增减性是解题关键．根据正比例函数的性质，当比例系数时，函数值y随x的增大而增大，即可求解． 【详解】解：， ，随的增大而增大， 点都在正比例函数的图象上，且， ， 故选：B． 3. 如图，O是坐标原点，菱形的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为，则顶点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，坐标与图形，利用数形结合的思想解决问题是关键．先根据点和点的坐标，得到，再根据菱形的性质，得到轴，，即可求出顶点A的坐标． 【详解】解：O是坐标原点，顶点C的坐标为， ， 菱形的顶点B在x轴的负半轴上， 轴，， 顶点A的坐标为，即， 故选：A． 4. 已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形判断即可． 【详解】解：如图， A、，能判定为矩形，本选项不符合题意； B、∵，，∴，能判定为矩形，本选项不符合题意； C、，能判定为矩形，本选项不符合题意； D、，能判定为菱形，不能判定为矩形，本选项符合题意； 故选：D． 5. 某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，160．这组数据的中位数是（ ） A. 130 B. 158 C. 160 D. 192 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中位数的计算，掌握中位数的定义是解题关键．将数据从小到大排列后，位于中间位置的数即为中位数． 【详解】解：将数据130、158、160、179、192按从小到大排列为130，158，160，179，192， 共有5个数据，则中位数为第三个数，即160， 故选：C． 6. 如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 40 D. 44 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，二次根式的性质，理解题意是解题关键．根据题意可得图1中大正方形的边长为，四个全等的直角三角形的面积为，进而得出图2中小正方形的面积为，即可求出图2中大正方形的面积． 【详解】解：图1中大正方形的面积为20，小正方形的面积为4， 图1中大正方形的边长为，四个全等的直角三角形的面积为， 直角三角形的斜边边长为， 图2中小正方形的面积， 图2中大正方形的面积小正方形的面积四个全等的直角三角形的面积， 故选：B． 7. 已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，解不等式，由不等式可得，进而由不等式的解集可得，，即得到一次函数的图象经过一、二、四象限，据此即可求解，由不等式的解集确定出的符号是解题的关键． 【详解】解：∵不等式， ∴， ∵不等式的解集是， ∴，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限， 故选：． 8. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，解得即可． 本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】结合图象，得到当时，， 当点P运动到点B时，， 根据菱形的性质，得， 故， 当点P运动到中点时，的长为， 故选C． 9. 如图，在菱形中，，E是的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，作辅助线构造直角三角形的是解题关键．过点作交延长线于点，设，由菱形的性质可得，，进而得出，根据30度所对的直角边等于斜边一半得到，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点， 设， 在菱形中，， ，， ， E是的中点， ， 在中，， ， ，， ， 在中，， ， 故选：A． 10. 如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作交的延长线于点F，证明，得到，由勾股定理可得，，，则，整理后即可得到答案． 【详解】解：过点D作交的延长线于点F， ∵的垂线交于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∴， 由勾股定理可得，， ， ∴， ∴ ∴ 即，解得， ∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是， 故选：C 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于x的一元一次不等式，求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义条件为被开方数是非负数．有意义， ∴． 解得． 12. 如图，菱形ABCD的边长为1，，边AB在数轴上，，点E在线段AB的延长线上，若点E表示的数是1，则点A表示的数是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的点与两点之间的距离，菱形的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理． 作于点F，可推导出， ，继而求出，即可解答． 【详解】解：如图，作于点F， ∵， ∴， ∴， ∵菱形的边长为1， ∴， ， ∴ ∴， ∵点E表示的数是1， ∴点A表示的数是， 故答案：． 13. 如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，利用矩形的对角线平分矩形的面积是解题的关键；作于M，交于N；则得四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，由矩形的对角线平分矩形的面积，得，由此即可求解． 【详解】解：如图，作于M，交于N； 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 14. 如图，点E，F在正方形内部且，已知，则正方形的边长________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，构造直角三角形求得的长是解题的关键． 过点C作，交延长线于点G，连接，可得四边形是平行四边形，从而得到，进而得到，再由勾股定理可求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作，交延长线于点G，连接， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 即正方形的边长为． 故答案为： 15. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，则m的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键． 将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b；根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，画出临界状态图象分析即可． 【详解】解：由题意，将代入得：，解得：， 将，，代入函数中，得：， 解得； ∴两个一次函数的解析式分别为， 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， 即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为： 由图象得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意， ∴当直线与直线平行时，， ∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共75分）　 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式、绝对值的性质以及零指数幂的性质，解题的关键是熟练掌握相关运算法则和性质进行计算． （1）先利用平方差公式计算，再计算，最后进行减法运算． （2）分别计算二次根式的乘法、绝对值和零指数幂，然后进行加减运算． 小问1详解】 解：（1）原式 ； 【小问2详解】 （2）原式 ． 17. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上，且点B，C，F，E在一条直线上．求证：． 【答案】 证明∶根据题意得：，，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要查了勾股定理与网格图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定．根据勾股定理可得，可证明，从而得到，即可求证． 【详解】略 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点D为的中点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上确定一点E，连接，使． （2）在图②中的边上确定一点F，连接，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理： （1）取格点G，H，连接交于点E，即可求解； （2）取格点P，Q，连接交于点F，即可求解． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 解：如图， 19. 为合理安排进、离校时间，学校调查小组对某一天八年级学生上学、放学途中的用时情况进行了调查．本次调查在八年级随机抽取了20名学生，建立以上学途中用时为横坐标、放学途中用时为纵坐标的平面直角坐标系，并根据调查结果画出相应的点，如图所示： （1）根据图中信息，下列说法中正确的是______（写出所有正确说法的序号）： ①这20名学生上学途中有同学用时超过； ②这20名学生上学途中用时在以内的人数超过一半； ③这20名学生放学途中用时最短为； ④这20名学生放学途中用时的中位数为． （2）已知该校八年级共有400名学生，请估计八年级学生放学途中用时超过的人数； （3）调查小组发现，图中点大致分布在一条直线附近．请直接写出这条直线对应的函数表达式并说明实际意义． 【答案】（1）②③ （2）该校八年级学生上学途中用时超过的人数为人 （3）y=x，这条直线可近似反映该学校放学途中用时和上学途中用时的基本相同 【解析】 【分析】（1）根据坐标平面上点的横纵坐标的数据，逐一判断即可； （2）用样本中某一部分占比取估计总体中该部分的数量即可； （3）因为20个点的横、纵坐标的大小均比较接近，可以近似的看成这些点在一、三象限的角平分线上，故判断这条直线的解析式为，可进一步解释该直线的实际意义． 【小问1详解】 解：平面直角坐标系中，因为横坐标大于30的点的个数为0，所以这20名学生上学途中没有同学用时超过，所以①错误； 平面直角坐标系中，因为横坐标小于20的点的个数为17，这20名学生上学途中用时在以内的人数超过一半，所以②正确； 平面直角坐标系中，因为纵坐标最小的点有一个，其纵坐标为5，这20名学生放学途中用时最短为，所以③正确； 平面直角坐标系中，因为将20个点按纵坐标从小到大排列，其中第10和第11两个点的纵坐标均小于15，所以这20名学生放学途中用时的中位数必小于，所以④错误； 所以4个说法中正确的是②③； 故答案为：②③； 【小问2详解】 解：图中纵坐标大于20的点有两个，所以八年级学生放学途中用时超过的人数为人； 【小问3详解】 解：直线的解析式为：； 这条直线可近似反映该学校放学途中用时和上学途中用时的基本相同． 【点睛】本题考查了从平面直角坐标系的图象获取信息，求中位数，用样本估计总体，求一次函数解析式等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 20. 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为90千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图象如图所示． （1）a的值为________； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 【答案】（1） （2） （3）该辆汽车减速前超速了 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图像、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）由题意可得：当以平均时速为90千米/时行驶时，小时路程为千米，据此即可解答； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求出先匀速行驶小时的速度，据此即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得：，解得：． 故答案为：； 【小问2详解】 解：设当时，y与x之间的函数关系式为， 则：，解得：， ∴； 【小问3详解】 解：当时，， ∴先匀速行驶小时的速度为：（千米时）， ∵， ∴该辆汽车减速前超速了． 21. 阅读短文，解决问题 定义：三角形的一个角与菱形的一个角重合，且菱形的这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上，则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”．例如：如图1，四边形为菱形，与重合，点F在上，则称菱形为的“亲密菱形”． 如图2，在中，，平分，交于点F，过点F作． （1）求证：四边形为的“亲密菱形”； （2）若，求四边形的周长； （3）如图3，M、N分别是的中点，连接．若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题利用新定义考查平行四边形的判定与性质，直角三角形性质及菱形的性质与判定，解题的关键是掌握菱形的性质与判定，熟练应用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． （1）由，，得四边形是平行四边形，角平分线的定义，等角对等边，根据平分，可得，即可证明四边形是菱形，而菱形的与的重合，F在上，故四边形为的“亲密菱形”； （2）设，由，，得，即，解得，即可求出四边形的周长； （3）过F作交于G，由四边形是平行四边形，得，，根据M、N分别是的中点，可得G为中点，即可得，从而得2，即可求出的值． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 平分 ， ∴四边形是菱形，而菱形的与的重合，F在上， ∴四边形为的“亲密菱形”； 【小问2详解】 由（1）知四边形是菱形，设， ， ∴， ∴， ∴，解得， ∴四边形的周长为． 【小问3详解】 过F作交AC于G， 如图：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵M、N分别是的中点， ∴ ∴， ∴， ∴G为中点， 即 22. 某中学数学兴趣小组的同学们，对函数（a，b，c是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． （1）当，时，即，当时，函数化简为；当时，函数化简为______． （2）当，，时，即． ①该函数自变量x和函数值y的若干组对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 6 2 0 2 4 6 … 其中______． ②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数的图象． （3）当时，即． ①在图2所示的平面直角坐标系内画出函数的图象． ②根据图象，直接写出当时，的取值范围 ． 【答案】（1） （2）①4；②见解析 （3）①见解析；②或 【解析】 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，一次函数与不等式的关系，求一次函数的函数值，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据，去绝对值即可得到答案； （2）①直接把代入对应的函数解析式中计算求解即可； ②先描点，再连线画出对应的函数图象即可； （3）①先列表，再描点，连线画出对应的函数图象即可； ②根据（3）①画出的函数图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：当时，； 故答案为：； 【小问2详解】 解：①在中，当时，，即； 故答案：； ②如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：①列表如下： … 1 2 3 … … 2 0 … 画函数图象如下所示： ②由函数图象可得，当时，或； 故答案为：或． 23. 综合与实践： 【问题情境】龙实社团叠纸社为了研究折纸过程中蕴涵的数学知识，陈老师发给每位同学完全相同的纸片，纸片形状如图1，在四边形中（），，． 【探究实践】 陈老师引导同学们在边上任取一点E，连接，将沿翻折，点C的对应点为H，然后将纸片展平，连接并延长，分别交于点M，G．陈老师让同学们探究：当点E在不同位置时，能有哪些发现？经过思考和讨论，小莹、小明向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，小莹发现：“当折痕与夹角为时，则四边形是平行四边形”．请你判断小莹的结论是否正确，并说明理由． （2）如图3，小明发现：“当E是的中点时，延长交于点N，连接，则N是的中点”．请你判断小明的结论是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，小慧在小明发现的基础上，经过进一步思考发现：“延长交于点F．当给出和的长时，就可以求出的长”．老师肯定了小慧同学结论的正确性．若，请你帮小慧求出的长． 【答案】（1）小莹的结论正确，见解析；（2）小明的结论正确，见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）利用折叠的性质推出，进而证明，结合，即可证明四边形是平行四边形； （2）连接，由折叠得：，，进而得出，再根据平行线的性质和对顶角相等得，根据中点定义得到，结合中位线定理推出，利用等角的余角相等得，进而可得，即可证明N是的中点； （3）根据折叠的性质和线段中点定义得到，利用勾股定理推出，进而得到，设，则，利用勾股定理求出，再同理可求出． 【详解】解：（1）小莹的结论正确； 理由如下：∵将沿翻折，点C的对应点为H， ∴， ∴． ∵折痕与夹角为， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）小明的结论正确； 理由如下： 如图，连接，由折叠得：，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴N是的中点； （3）解：∵，， ∴． 由折叠得， ∴， ∵点E是的中点，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，解得， ∴． 在中，，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，折叠的性质，中位线性质，勾股定理，熟练运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年下学期学科素养水平调研试题 八年级数学 （时间：120分钟 总分：120分） 注意事项： 1．答题前，请先认真浏览试卷；然后按要求操作； 2．答题时，端正心态，认真审题，认真书写，规范作图，保持卷面整洁！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A B. C. D. 2. 已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，O是坐标原点，菱形的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为，则顶点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 5. 某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，160．这组数据的中位数是（ ） A. 130 B. 158 C. 160 D. 192 6. 如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 40 D. 44 7. 已知不等式解集是，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 9. 如图，在菱形中，，E是的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若有意义，则的取值范围是_____． 12. 如图，菱形ABCD的边长为1，，边AB在数轴上，，点E在线段AB的延长线上，若点E表示的数是1，则点A表示的数是______． 13. 如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是__________． 14. 如图，点E，F在正方形内部且，已知，则正方形的边长________． 15. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，则m的取值范围为_______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分）　 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上，且点B，C，F，E在一条直线上．求证：． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点D为的中点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上确定一点E，连接，使． （2）在图②中的边上确定一点F，连接，使． 19. 为合理安排进、离校时间，学校调查小组对某一天八年级学生上学、放学途中的用时情况进行了调查．本次调查在八年级随机抽取了20名学生，建立以上学途中用时为横坐标、放学途中用时为纵坐标的平面直角坐标系，并根据调查结果画出相应的点，如图所示： （1）根据图中信息，下列说法中正确是______（写出所有正确说法的序号）： ①这20名学生上学途中有同学用时超过； ②这20名学生上学途中用时在以内的人数超过一半； ③这20名学生放学途中用时最短为； ④这20名学生放学途中用时的中位数为． （2）已知该校八年级共有400名学生，请估计八年级学生放学途中用时超过的人数； （3）调查小组发现，图中的点大致分布在一条直线附近．请直接写出这条直线对应的函数表达式并说明实际意义． 20. 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为90千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图象如图所示． （1）a的值为________； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 21. 阅读短文，解决问题 定义：三角形的一个角与菱形的一个角重合，且菱形的这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上，则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”．例如：如图1，四边形为菱形，与重合，点F在上，则称菱形为的“亲密菱形”． 如图2，在中，，平分，交于点F，过点F作． （1）求证：四边形为的“亲密菱形”； （2）若，求四边形的周长； （3）如图3，M、N分别是的中点，连接．若，求的值． 22. 某中学数学兴趣小组的同学们，对函数（a，b，c是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． （1）当，时，即，当时，函数化简为；当时，函数化简为______． （2）当，，时，即． ①该函数自变量x和函数值y的若干组对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 6 2 0 2 4 6 … 其中______． ②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数的图象． （3）当时，即． ①在图2所示的平面直角坐标系内画出函数的图象． ②根据图象，直接写出当时，的取值范围 ． 23 综合与实践： 【问题情境】龙实社团叠纸社为了研究折纸过程中蕴涵数学知识，陈老师发给每位同学完全相同的纸片，纸片形状如图1，在四边形中（），，． 【探究实践】 陈老师引导同学们在边上任取一点E，连接，将沿翻折，点C的对应点为H，然后将纸片展平，连接并延长，分别交于点M，G．陈老师让同学们探究：当点E在不同位置时，能有哪些发现？经过思考和讨论，小莹、小明向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，小莹发现：“当折痕与夹角为时，则四边形是平行四边形”．请你判断小莹的结论是否正确，并说明理由． （2）如图3，小明发现：“当E是的中点时，延长交于点N，连接，则N是的中点”．请你判断小明的结论是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，小慧在小明发现的基础上，经过进一步思考发现：“延长交于点F．当给出和的长时，就可以求出的长”．老师肯定了小慧同学结论的正确性．若，请你帮小慧求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $