精品解析：山东青岛市城阳区2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共17小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，下面四幅图案中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 胶州湾跨海大桥是连接黄岛、城阳、李沧、胶州的跨海通道，曾被评为世界最美十大公路之一．观察图中该大桥限重标志牌，车辆载重后总质量的范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，分别为，的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 在学校花坛设计中，准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖镶嵌地面，在某个顶点的周围用两个正方形和个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 某校计算机小组的小张同学设计了一张卡通头像如图①所示，他的制作过程如下：如图②，首先以为边，在同侧作正五边形和正方形，然后连接，，最后隐藏线段，，并添加眼睛和嘴巴，的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，将平移后，点的对应点是点，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 小明去距离家的图书馆看书，他从家骑自行车先出发，过了后，妈妈从家乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车速度的2倍，则汽车的速度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，垂足为，，的平分线分别交，于点，，，垂足为，延长交的延长线于点．下列结论正确的是（ ） ①，②为等边三角形，③为的中点，④点到的距离为 A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ①③④ 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是_____． 10. 一个不等式组的解集如图所示，则这个不等式组的所有整数解的和为__________． 11. 因式分解x3－9x=__________． 12. 如图，在中，，，平分，交于点，为的中点，，交于点，若，则的长为__________． 13. 已知，且，则的值为__________． 14. 师徒两人加工同一种“非遗文化”工艺品，师傅加工300个这种工艺品所用的时间是徒弟加工120个这种工艺品所用的时间的2倍，假设徒弟加工120个这种工艺品所用的时间为天，那么师傅比徒弟每天多加工__________个．（用含的代数式表示） 15. 如图，在中，，，，与交于点，和的角平分线交于点，则图中阴影部分的面积为__________． 16. 如图，在中，，，，点在边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交于点，，垂足为，，垂足为，则__________． 三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 已知：，求作：，使点是的中点，点，分别在边，上． 四、解答题（本大题共8小题，共68分） 18. 解不等式组与化简 （1）解不等式组：． （2）化简：． 19. 对于，定义一种新运算，规定． （1）解关于的不等式组：． （2）因式分解：． 20. 如图，有边长分别为，（）的A，B类正方形纸片，长为、宽为的C类长方形纸片若干张． （1）取1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片，将这4张纸片（不留空隙、不重叠）拼成一个正方形，请你据此写出一个多项式的因式分解__________； （2）若要拼一个长为，宽为的矩形，则需要A，B，C三类纸片共__________张（所有纸片不剩余、不留空隙、不重叠）； （3）现有A类纸片1张，B类纸片3张，C类纸片4张，将这8张纸片（不留空隙、不重叠）拼接成一个长方形，则长方形的长为__________，宽为__________． 21. 已知：如图，在中，分别在，的延长线上取点，，使，，直线分别交，的延长线于点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长度． 22. 2026年6月5日是第55个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区升级改造现有照明系统，决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域．甲种路灯单价比乙种单价少100元，用15000元购买甲种路灯的数量与用20000元购买乙种的数量相等． （1）求甲、乙两种路灯的单价； （2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请设计一种购买方案，使所需费用最少．最少费用是多少？ 23. 如图，在中，，，，点在边上，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为；连接，；设运动时间为（）．解答下列问题： （1）当与的面积相等时，求的值； （2）当时，求的面积； （3）直接写出四边形周长的最小值． 24. 定义：如果一个分式的平方与一个分式的和等于1，即，那么就称分式是分式的“方和分式”．例如： ， 是的“方和分式”． （1）请判断是否为的“方和分式”，并说明理由； （2）若分式是的“方和分式”，求分式； （3）若分式（为常数）是的“方和分式”，求的值． 25. 如图①，在正方形中，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；将绕点顺时针旋转得到，，分别交于点，，，交的延长线于点，连接．设运动时间为（），解答下列问题： （1）当点在的角平分线上时，求的值； （2）求证：平分； （3）如图②，点关于的对称点为点，连接．当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共17小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，下面四幅图案中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形也是中心对称图形； B、是轴对称图形不是中心对称图形； C、不是轴对称图形是中心对称图形； D、是轴对称图形也是中心对称图形． 2. 胶州湾跨海大桥是连接黄岛、城阳、李沧、胶州的跨海通道，曾被评为世界最美十大公路之一．观察图中该大桥限重标志牌，车辆载重后总质量的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】交通限重标志牌标注的，表示该大桥允许通过的车辆总质量最大为，即总质量不超过；同时车辆载重后的总质量一定是大于的正数，因此车辆总质量的范围是． 3. 如图，在中，，，分别为，的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：，分别为，的中点， 是的中位线， ， 故选：C． 4. 在学校花坛设计中，准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖镶嵌地面，在某个顶点的周围用两个正方形和个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】平面镶嵌要求同一顶点处所有内角的和为，先确定正方形和正三角形的内角度数，再列方程求解即可． 【详解】 正方形每个内角为，正三角形每个内角为，平面镶嵌中同一顶点处各内角和为， 根据题意列方程得 ， 整理得 ， 解得 ． 5. 某校计算机小组的小张同学设计了一张卡通头像如图①所示，他的制作过程如下：如图②，首先以为边，在同侧作正五边形和正方形，然后连接，，最后隐藏线段，，并添加眼睛和嘴巴，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正五边形和正方形的性质分别求出，，进而可求，因为，则可求，则可求． 【详解】解：∵在正五边形和正方形中， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 6. 如图，在平面直角坐标系中，将平移后，点的对应点是点，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵将平移后，点的对应点是点， 即左移2个单位下移2个单位， 则平移后为． 7. 小明去距离家的图书馆看书，他从家骑自行车先出发，过了后，妈妈从家乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车速度的2倍，则汽车的速度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用“小明比妈妈多花20分钟走完全程”的等量关系列分式方程求解即可． 【详解】解：设自行车的速度为，则汽车的速度为， ∵两人走的总路程均为，小明比妈妈多用到达， ∴可列方程：，则有， 即，解得， 经检验：是原方程的解，且符合实际意义， ∴汽车速度为． 8. 如图，在中，，，，垂足为，，的平分线分别交，于点，，，垂足为，延长交的延长线于点．下列结论正确的是（ ） ①，②为等边三角形，③为的中点，④点到的距离为 A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行四边形性质和角平分线性质证明，从而求出；延长交延长线于，证明，判断为中点；利用等腰三角形三线合一和平行线性质判断的形状；利用等面积法求点到的距离  【详解】  四边形是平行四边形，  ，  ，  平分 ，  ， ，  ，  ，故①正确；  ， 平分， 即，   ，  ，  ，  ， ∵，，  ，  ， 在中，  ，  ， 不是等边三角形，故②错误 延长交延长线于， 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，故③正确  设点到的距离为 ，  ，  ，故④正确 ． 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，据此可得答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 一个不等式组的解集如图所示，则这个不等式组的所有整数解的和为__________． 【答案】 0 【解析】 【详解】解：由图知，整数解有，则． 11. 因式分解x3－9x=__________． 【答案】x（x+3）（x－3） 【解析】 【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解． 【详解】解：x3－9x， =x（x2－9）， =x（x+3）（x－3）． 【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底． 12. 如图，在中，，，平分，交于点，为的中点，，交于点，若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得到，，则可得为等腰直角三角形，题目即可求解． 【详解】解：如图，连接， 平分，，， ，， ，为的中点， 是的垂直平分线， ，， ， ∵， ∴为等腰直角三角形， ， ∴． 13. 已知，且，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据可得，即，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即． ∴． 【点睛】 14. 师徒两人加工同一种“非遗文化”工艺品，师傅加工300个这种工艺品所用的时间是徒弟加工120个这种工艺品所用的时间的2倍，假设徒弟加工120个这种工艺品所用的时间为天，那么师傅比徒弟每天多加工__________个．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据工作效率等于工作总量除以工作时间，分别求出师傅与徒弟每天加工工艺品的个数，再作差化简即可得到结果． 【详解】解：由题意可知，徒弟每天加工工艺品的个数为 ，师傅加工个工艺品所用时间为天， ∴师傅每天加工工艺品的个数为， ∴ 师傅比徒弟每天多加工的个数为 ． 15. 如图，在中，，，，与交于点，和的角平分线交于点，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质求出、的长及的度数，利用三角形面积公式求出的面积；根据角平分线的定义求出和的度数，判定为直角三角形并求出其面积；最后利用计算即可  【详解】解：作于， 四边形是平行四边形，  ，，， ，  ，， ∴， 由勾股定理得， 四边形是平行四边形，与交于点 ， 为的中点， ，  平分，平分，  ，，   ， 在中， ， ， 由勾股定理得 ， ， . 16. 如图，在中，，，，点在边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交于点，，垂足为，，垂足为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作边的垂线，利用的直角三角形和勾股定理求出的长，根据旋转性质判定为等边三角形，利用面积法将转化为的高即可求 【详解】解：过点作于点，  在中，，  ∴， ， ，  ， ，  在中，由勾股定理得  ， 由旋转的性质可知， ， 是等边三角形 ， 连接，作， ，   ，  ， ，  在等边中， ， 由勾股定理得，   ． 三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 已知：，求作：，使点是的中点，点，分别在边，上． 【答案】如图，即为所求． 【解析】 【分析】先作线段的垂直平分线确定中点，然后作，则，再作，则，那么即为所求． 【详解】略 四、解答题（本大题共8小题，共68分） 18. 解不等式组与化简 （1）解不等式组：． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出每个不等式的解集，再找出公共解集即可； （2）先化为同分母分式的加法，再进行计算即可． 【小问1详解】 解： 解①得， 解②得， ∴不等式组的解集为； 【小问2详解】 解： ． 19. 对于，定义一种新运算，规定． （1）解关于的不等式组：． （2）因式分解：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】先根据定义将运算进行转化，然后分别求解不等式组和因式分解即可. 【小问1详解】 解:由题意原不等式组为， 解①得， 解②得， ∴不等式组解集为； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，有边长分别为，（）的A，B类正方形纸片，长为、宽为的C类长方形纸片若干张． （1）取1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片，将这4张纸片（不留空隙、不重叠）拼成一个正方形，请你据此写出一个多项式的因式分解__________； （2）若要拼一个长为，宽为的矩形，则需要A，B，C三类纸片共__________张（所有纸片不剩余、不留空隙、不重叠）； （3）现有A类纸片1张，B类纸片3张，C类纸片4张，将这8张纸片（不留空隙、不重叠）拼接成一个长方形，则长方形的长为__________，宽为__________． 【答案】（1） （2）6 （3），. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到大正方形的面积为，边长为，即可得出结果； （2）求出多项式乘以多项式的积，进而求出需要A，B，C三类纸片的数量，即可得出结果； （3）根据题意，求出长方形的面积，因式分解后，即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意，大正方形的面积为，边长为， 故； 【小问2详解】 解：， 故需要A，B，C三类纸片的数量分别为1，2，3张， ； 【小问3详解】 解：由题意，大长方形的面积为， ∵， ∴长方形的长为，宽为． 21. 已知：如图，在中，分别在，的延长线上取点，，使，，直线分别交，的延长线于点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长度． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形； （2）18 【解析】 【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可； （2）证明四边形、是平行四边形，则，而中，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在中，，即 在中，，即 ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理可证明四边形是平行四边形， ∴ ∵中， ∴． 22. 2026年6月5日是第55个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区升级改造现有照明系统，决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域．甲种路灯单价比乙种单价少100元，用15000元购买甲种路灯的数量与用20000元购买乙种的数量相等． （1）求甲、乙两种路灯的单价； （2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请设计一种购买方案，使所需费用最少．最少费用是多少？ 【答案】（1）甲、乙两种路灯的单价分别为元、元． （2）最省钱的购买方案为购买甲种路灯盏，乙种路灯盏，最少费用为元． 【解析】 【分析】（1）设甲种路灯的单价是元，乙种路灯的单价是元，根据题意可列出分式方程解之即可得出结论； （2）设购买盏甲种路灯，该社区购买甲、乙两种路灯共花费元，则购买盏乙种路灯，列出关于的函数关系式，由购买甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设甲种路灯的单价是元，由题意得： 解得 经检验，是原方程的解， （元）， 答：甲种路灯的单价是300元，乙种路灯的单价是400元； 【小问2详解】 解：设购买盏甲种路灯，该社区购买甲、乙两种路灯共花费元，则购买盏乙种路灯， 根据题意得：， ， 随的增大而减小， 又， ， 当时，取得最小值为， 此时（盏． 答：当购买10盏甲种路灯，30盏乙种路灯时，所需费用最少为15000元． 23. 如图，在中，，，，点在边上，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为；连接，；设运动时间为（）．解答下列问题： （1）当与的面积相等时，求的值； （2）当时，求的面积； （3）直接写出四边形周长的最小值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先表示出，，然后根据面积相等得到，即可建立方程求解； （2）过点作于点，先根据直角三角形的性质以及勾股定理求解，然后分两种情况讨论求解即可； （3）过点作的对称点，在上取点使得，连接，则，可证明四边形为平行四边形，则，故，则当取得最小值时，四边形的周长取得最小值，由，可得当点三点共线时，的最小值即为，再由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴平行线间的距离相等， ∵与的面积相等 ∴ ∴ 解得； 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵ ∴ ∴ ∴ 当点在点右侧时，则 ∴ ∴ ∴； 当点在点左侧时，则 ∴ ∴ ∴， 综上：的面积为或． 【小问3详解】 解：过点作的对称点，交于点，在上取点使得，此时，连接，则 由（1）知，则， ∴ ∵ ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴ ∵ ∴当取得最小值时，四边形的周长取得最小值， ∵， ∴当点三点共线时，的最小值即为， 由对称可得， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ ∴四边形周长的最小值为． 24. 定义：如果一个分式的平方与一个分式的和等于1，即，那么就称分式是分式的“方和分式”．例如： ， 是的“方和分式”． （1）请判断是否为的“方和分式”，并说明理由； （2）若分式是的“方和分式”，求分式； （3）若分式（为常数）是的“方和分式”，求的值． 【答案】（1）解：是，理由： ∵ ， ∴是否为的“方和分式”； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“方和分式”的定义进行验证即可； （2）根据“方和分式”的定义得到，即可求出答案； （3）根据“方和分式”的定义得到，即可求出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵分式是的“方和分式”， ∴ ∴ ∴； 【小问3详解】 解：∵分式（为常数）是的“方和分式”， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 解得 25. 如图①，在正方形中，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；将绕点顺时针旋转得到，，分别交于点，，，交的延长线于点，连接．设运动时间为（），解答下列问题： （1）当点在的角平分线上时，求的值； （2）求证：平分； （3）如图②，点关于的对称点为点，连接．当时，求的值． 【答案】（1） （2）证明：如图， ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴平分； （3） 【解析】 【分析】（1）点在的角平分线上时，证明出为等腰三角形即可求解； （2）先证明，再证明； （3）先证明，再由互余关系得到，然后根据30度直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：由旋转可得，， ∴ ∵当点在的角平分线上时， ∴ ∵正方形中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵点关于的对称点为点， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $