精品解析：河北省文安县第一中学2025-2026学年高一下学期期末数学试卷

数 学 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 九棱台共有（ ） A. 10条棱 B. 18条棱 C. 27条棱 D. 29条棱 【答案】C 【解析】 【详解】九棱台上下底都是九边形，有九条侧棱，所以一共有条棱. 2. 已知向量， ，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为向量， ，且， 所以， 解得. 3. 若空间中三条不同的直线两两相交，则这三条直线最多可以确定（ ） A. 一个平面 B. 两个平面 C. 三个平面 D. 四个平面 【答案】C 【解析】 【详解】根据平面基本事实的推论：两条相交直线确定唯一平面，对三条两两相交的不同直线分情况讨论， 当三条直线两两相交于三个不同的点时，三个交点不共线，根据平面基本事实，三个不共线的点确定唯一平面，故三条直线共面，仅能确定1个平面； 当三条直线两两相交于同一点时，每两条直线可确定1个平面，若任意两条直线确定的平面均不重合，共可确定个平面， 综上所述，三条不同的两两相交直线最多可确定3个平面，故选项C正确. 4. 一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球、2个白球和1个黄球，从中任取2个球，记事件“取出的2个球的颜色相同”，事件“取出的球中有黄球”，则（ ） A. A与B是对立事件 B. A与B是互斥但不对立事件 C. A与B是相等事件 D. A与B不是互斥事件 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断. 【详解】 袋子中只有1个黄球，若事件B（取出的2个球中有黄球）发生， 则取出的球必然是1个黄球+1个其他颜色球，两个球颜色一定不同， 不可能满足事件A（取出的2个球颜色相同），因此A和B不能同时发生，是互斥事件； 事件A的对立事件为“取出的2个球的颜色不同”，即1个红球，1个白球或1个红球，1个黄球或1个白球，1个黄球，与事件不相同，所以A与B不对立. 5. 已知球M与球N的半径分别为2，3，且这两个球外切，P，Q分别为球M与球N球面上一点，则P与Q之间距离的最大值为（ ） A. 8 B. 10 C. 5 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】因为球与球外切，半径分别为，， 因此两球球心距， 对于球上任意点，恒有，对于球上任意点，恒有， 当、、、四点共线，且、分别位于线段的异侧时，取得最大值， 此时. 6. 若，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据虚数单位的幂次方以4为周期，结合除法运算和共轭复数的定义可得. 【详解】由题意及虚数单位的幂次方的周期性可知： ， ，所以的虚部为. 7. 已知某圆柱的侧面积为，设O为该圆柱上底面的中心，A为下底面圆周上一点，若与底面所成角的正切值为2，则该圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，母线长为，由及进行求解． 【详解】如图所示： 设圆柱的底面半径为，母线长为， 由圆柱的侧面积为，得，得， 由与底面所成角的正切值为2，得，得， 解得， 故圆柱的体积为． 8. 设，现有一组数据2，3，4，4，m，n的平均数为4，则这组数据的方差的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由平均数条件得出m与n的关系，将方差表示为关于m的二次函数，结合m的取值范围求二次函数的值域即可. 【详解】由题意，数据共6个，平均数为4，故数据总和为， 因此 ，化简得，即，    即 对称轴为，且： 所以当时，， 又因为时，时， 所以方差的取值范围是. 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 复数在复平面内对应的点不可能位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】CD 【解析】 【详解】设 展开得 因为 ，所以虚部 ，即对应点一定在 轴上方. 当 时，实部 ，对应点可在第一象限；当 时，实部 ，对应点可在第二象限；当 时，对应点在 轴正半轴上. 因此对应点不可能位于第三象限和第四象限. 10. 已知球O为正方体的内切球，，球O与平面，，，分别切于点，，，，则（ ） A. 球O的表面积为 B. 平面平面 C. D. 异面直线与所成角的大小为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A.由球的表面积公式求解；B.平面平面，即平面平面；C. 平面,得到；D. 异面直线与所成的角等于直线与所成的角. 【详解】依题意，，，，分别是平面，，，的中心， 对于A：正方体的内切球直径等于正方体棱长，故内切球的表面积是，故 A错误； 对于 B：取的中点分别为,连接，，, , 则平面即是平面，因为平面平面，则平面平面，B正确； 对于 C：连接在正方体中，平面，平面，所以， 又，,平面, 所以平面，因为平面,所以，C正确； 对于 D：连接在正方体中，,所以 异面直线与所成的角等于与所成的角, 因为,,,在正方体中, 所以, 所以是等边三角形，所以，所以 异面直线与所成角的大小为，D 正确. 11. 在中， ，，，过点A作的垂线，垂足为H，则（ ） A. B. C. D. 内切圆的半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，根据题意结合余弦定理及数量积的定义求解即可；选项B，根据余弦定理求解，进而结合二倍角公式比较大小；选项C，根据平面向量基本定理表示，再利用建立方程求解；选项D，利用面积公式求出的面积，再结合内切圆半径公式计算半径. 【详解】已知，由余弦定理可得：， 即，解得. 选项A，与的夹角为， 因此：，A正确. 选项B，由余弦定理得：，，， 均为锐角，且， 故，B正确. 选项C，在上，设，由共线得； 由，， 可得 ， 由，代入可得： ， 解得：，即，C错误. 选项D，面积为，半周长， 所以内切圆半径，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 样本数据4，6，9，6，7，6的众数与极差的和为____________． 【答案】 11 【解析】 【分析】根据众数和极差的定义计算. 【详解】众数为6，极差为，所以众数与极差的和为11. 13. 若z为方程的虚数根，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】由虚数的概念求出，再由复数的模的运算求解． 【详解】由得，， 得或， 得（舍去）或， 则． 14. 正三棱柱的棱长均为，，分别是棱，的中点，过点，，的平面分别交直线，于点，，则三棱柱与三棱锥公共部分的体积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先证明，再确定所求几何体可通过三棱台截去三棱锥得到，结合台体和锥体体积公式求结论. 【详解】如图，连接并延长，与的延长线交于点，连接， 延长与的延长线交于点，连接，交于点，连接，． 因为，，， 所以，所以．， 同理可得． 三棱柱和三棱锥的公共部分为几何体， 其体积为三棱台的体积和三棱锥的体积之差， 即． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，几何体为正四棱柱，E为的中点，F为上一点，且平面 ． （1）证明：平面． （2）设正四棱柱、三棱锥的体积分别为，，求的值． 【答案】（1）证明： 因为是正四棱柱，所以侧棱底面， 又底面，因此. 又底面是正方形，故. 因为，且平面， 所以平面 （2）12 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理结合图形证明即可； （2）结合题意根据棱柱体积公式求解，转换底面并结合三棱锥体积公式求解，再求两者的比值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 设底面正方形边长为，正四棱柱的高为，则正四棱柱体积. 因为平面，平面， 且平面平面， 所以. 又是中点，在中，为中位线， 因此是中点，得. ，的面积，底面， 故到平面的距离为， 故， 所以体积比：. 16. 为丰富校园文化生活，某学校随机抽取了m名学生，统计他们每周校园图书的借阅时长（单位：分钟），将所得数据分成，，，，五组，并按上述分组方式绘制如图所示的频率分布直方图，且第二组的频数为50． （1）求 a，m的值； （2）估计该校学生每周校园图书借阅时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）按比例采用分层随机抽样的方法从第一组和第五组学生中选取5人，再从这5人中随机选取2人进行问卷调查，求这2人来自不同组的概率． 【答案】（1） ， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图对应矩形面积之和为1，可得，然后由第二组的频数可得； （2）由频率分布直方图计算平均数方法可得答案； （3）由题设可得从第一组抽4人，第五组抽1人，然后由列举法可得答案. 【小问1详解】 频率分布直方图对应矩形面积之和为1：； 则第二组数据对应频率为：， 又对应频数为，则； 【小问2详解】 该校学生每周校园图书借阅时长的平均数为：； 【小问3详解】 由题设可得第一组对应频率为，第五组对应频率为：，则频率比例为：. 从而从第一组抽4人，第五组抽1人，设第一组4人为，第五组1人为：. 则从中随机选取2人的情况有：共10种，其中2人来自不同组的情况数为4， 则对应概率为：. 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若，且，求的周长． 【答案】（1） （2） 的周长为 【解析】 【小问1详解】 由，得，即． 因为，所以，故，解得． 【小问2详解】 由正弦定理及得， 在中，，所以，， 得，又，故，从而． 已知，由正弦定理得，则， , 周长. 18. 如图，在平面直角坐标系中，点．初始时刻某质点位于原点，每经过1秒，该质点仅向右或向上移动1个单位长度，且向右移动1个单位长度的概率为，向上移动1个单位长度的概率为．该质点的移动选择相互独立，设第秒末该质点位于点． （1）求的概率； （2）求的概率； （3）求的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】设 秒末质点向右移动的次数为 ，则 ，且 . 结合向量夹角、数量积和垂直条件求对应概率. 【小问1详解】 第 秒末，质点可能到达 或 . 若 ，则 ，，有 所以 . 若 ，则 ，不符合题意. 所求概率为 . 【小问2详解】 设 秒末质点向右移动的次数为 ，则 ，且 . 因为 ，所以 由 ，得 ，即 或 . 所求概率 【小问3详解】 设 秒末质点向右移动的次数为 ，则 ，且 . 因为 ，所以 解得 . 所求概率为 19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，且，． （1）当时，证明：平面平面． （2）当时，求点B到平面的距离． （3）设直线l过点P且与平行，当二面角的正弦值取得最大值时，求． 【答案】（1） 证明：连接,交于点，连接； 因为为菱形，故，又因为， 故为等边三角形，因为， 故也为等边三角形，则； 因为，可得； 因为，故； 因为且平面； 故平面，因为平面； 故平面平面． （2）． （3）或 【解析】 【分析】（1）由全等可得与一样同为等边三角形，通过作高计算高的值，根据得到另一个垂直关系，从而证明线面垂直，再根据面面垂直的判定定理进行证明； （2）根据菱形对角线垂直作为建系的基础条件，建立空间直角坐标系，根据题干所给角度求点坐标，根据点到平面的距离公式计算即可； （3）利用向量计算二面角的平面角，通过平面与的法向量计算二面角，根据正弦与余弦的关系，求正弦的最大值即求余弦的最小值，由此计算的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，以为原点，所在直线为轴，过作垂直于底面的直线为轴建立空间直角坐标系； 设，由（1）可知； 因为，故为等边三角形，故； 因为，， 则，； 解得，，故； 则，，； 设为平面的法向量， ，则，取； 则点B到平面的距离为 【小问3详解】 因为直线l过点P且与平行，故l的方向向量为， 设，则，，； 设为平面的法向量，则 ，则，取； 设为平面的法向量，则 ，则，取； 设二面角的平面角为， 则， 由可得 由，可得，故； 由，当时，取最大值1， 此时，，故 当时，； 当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数 学 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 九棱台共有（ ） A. 10条棱 B. 18条棱 C. 27条棱 D. 29条棱 2. 已知向量， ，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 若空间中三条不同的直线两两相交，则这三条直线最多可以确定（ ） A. 一个平面 B. 两个平面 C. 三个平面 D. 四个平面 4. 一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球、2个白球和1个黄球，从中任取2个球，记事件“取出的2个球的颜色相同”，事件“取出的球中有黄球”，则（ ） A. A与B是对立事件 B. A与B是互斥但不对立事件 C. A与B是相等事件 D. A与B不是互斥事件 5. 已知球M与球N的半径分别为2，3，且这两个球外切，P，Q分别为球M与球N球面上一点，则P与Q之间距离的最大值为（ ） A. 8 B. 10 C. 5 D. 12 6. 若，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 7. 已知某圆柱的侧面积为，设O为该圆柱上底面的中心，A为下底面圆周上一点，若与底面所成角的正切值为2，则该圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 设，现有一组数据2，3，4，4，m，n的平均数为4，则这组数据的方差的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 复数在复平面内对应的点不可能位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 已知球O为正方体的内切球，，球O与平面，，，分别切于点，，，，则（ ） A. 球O的表面积为 B. 平面平面 C. D. 异面直线与所成角的大小为 11. 在中， ，，，过点A作的垂线，垂足为H，则（ ） A. B. C. D. 内切圆的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 样本数据4，6，9，6，7，6的众数与极差的和为____________． 13. 若z为方程的虚数根，则____________． 14. 正三棱柱的棱长均为，，分别是棱，的中点，过点，，的平面分别交直线，于点，，则三棱柱与三棱锥公共部分的体积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，几何体为正四棱柱，E为的中点，F为上一点，且平面 ． （1）证明：平面． （2）设正四棱柱、三棱锥的体积分别为，，求的值． 16. 为丰富校园文化生活，某学校随机抽取了m名学生，统计他们每周校园图书的借阅时长（单位：分钟），将所得数据分成，，，，五组，并按上述分组方式绘制如图所示的频率分布直方图，且第二组的频数为50． （1）求 a，m的值； （2）估计该校学生每周校园图书借阅时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）按比例采用分层随机抽样的方法从第一组和第五组学生中选取5人，再从这5人中随机选取2人进行问卷调查，求这2人来自不同组的概率． 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若，且，求的周长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点．初始时刻某质点位于原点，每经过1秒，该质点仅向右或向上移动1个单位长度，且向右移动1个单位长度的概率为，向上移动1个单位长度的概率为．该质点的移动选择相互独立，设第秒末该质点位于点． （1）求的概率； （2）求的概率； （3）求的概率． 19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，且，． （1）当时，证明：平面平面． （2）当时，求点B到平面的距离． （3）设直线l过点P且与平行，当二面角的正弦值取得最大值时，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $