神奇的黄金比（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学苏教版

该小学数学《神奇的黄金比》讲义通过分模块框架系统梳理知识体系，从定义、特征、应用到与斐波那契数列关联，用对比表格区分普通比例与黄金比，突出0.618近似值、双向比例关系等重难点，构建“概念-特征-应用”的递进脉络。 讲义亮点在于真题拔高设计，如“妈妈身高163cm，下半身98cm，求高跟鞋最佳高度”等生活应用题，引导学生用数学眼光观察现实世界，培养数学建模和推理意识。易错指引针对概念混淆点，帮助不同层次学生掌握，教师可据此实施精准教学，提升复习效率。

神奇的黄金比（讲义） 知识精讲 一、课程整体认知 1. 知识定位 （1）《神奇的黄金比》是苏教版六年级上册比单元的拓展综合内容，依托比的意义、比值、最简比等基础知识点拓展延伸。 （2）核心探究生活、自然、艺术中的优美比例规律，建立数学与美学、生活、自然的关联。 （3）承接比的计算与应用，为后续比例、几何美学、设计类数学应用奠定认知基础。 2. 核心学习目标 （1）理解黄金比、黄金分割点的数学定义，掌握黄金比的近似比值。 （2）掌握黄金比的比例关系与核心特征，区分普通比例与黄金比例。 （3）认识黄金比在自然、人体、建筑、艺术、生活物品中的广泛应用。 （4）了解斐波那契数列与黄金比的内在关联，感知数学规律的统一性。 二、黄金比基础核心概念 1. 黄金分割的定义 （1）将一条完整线段分成较长、较短两部分，满足固定比例关系的分割方式，叫做黄金分割。 （2）核心比例关系：较短部分长度 ∶ 较长部分长度 = 较长部分长度 ∶ 整条线段总长度。 （3）满足以上等量比例关系的分割方式，是唯一具有美学价值的标准黄金分割。 2. 黄金分割点 （1）把线段分成黄金比例的分割点，叫做黄金分割点。 （2）一条线段上有两个黄金分割点，分别靠近线段的两个端点。 3. 黄金比的数值特征 （1）黄金比是一个无限不循环小数，小学数学取近似值0.618。 （2）标准近似比：黄金比约为0.618∶1。 （3）反比关系：较长部分与较短部分的比值约为1.618，同样属于黄金比例范畴。 （4）核心判定：比值接近0.618的比，均可称为黄金比，具备视觉美感。 三、黄金比的核心数学特征 1. 比例恒等特征 （1）黄金分割最核心的特征是双向比例相等，局部与局部的比等于局部与整体的比。 （2）普通线段分割不具备该特征，只有黄金分割能实现比例统一。 2. 美学数学特征 （1）黄金比是公认的最具美感的固定比例，构图、造型、结构符合该比例时，视觉协调、匀称舒适。 （2）区别于平均分、任意比例分割，黄金比是自然与人工设计中的最优比例。 3. 数值固定特征 （1）无论线段长短、物体大小，黄金比的近似值始终固定为0.618，不随物体尺寸变化。 四、斐波那契数列与黄金比的关联 1. 斐波那契数列定义 （1）数列规律：从第三个数开始，每一个数都等于它前面两个数的和。 （2）数列特征：是自然中广泛存在的经典数学数列。 2. 与黄金比的内在联系 （1）斐波那契数列中，相邻两个数的比值，越往后越接近黄金比0.618。 （2）该规律印证了黄金比是自然自带的数学规律，并非人为创造。 五、黄金比的生活与自然应用场景 1. 人体中的黄金比 （1）人体诸多部位比例接近0.618，是人体体态匀称优美的数学依据。 （2）常见部位：身高与肚脐高度比、手臂长度分段、面部五官比例、腿身比等。 2. 自然中的黄金比 （1）植物叶片排列、花瓣数量、果实纹理、树枝生长间距贴合黄金比例。 （2）部分贝壳、螺旋纹理的弧度比例，无限趋近黄金比。 3. 建筑与艺术中的黄金比 （1）经典古建筑的长宽高比例、立柱间距、门窗尺寸大量运用黄金比，提升建筑对称美感。 （2）绘画、摄影构图、画面分割、主体位置选取，常以黄金分割点为核心位置。 4. 日常设计中的黄金比 （1）书本、海报、屏幕、包装盒的长宽比例大多接近黄金比。 （2）工业设计、服饰设计、产品造型依托黄金比，提升视觉舒适度。 5. 几何图形中的黄金比 （1）标准五角星内部线段分割，全部符合黄金分割比例。 （2）黄金矩形：长宽比接近0.618的矩形，是视觉最舒适的矩形形状。 六、黄金比与普通比例的区别 1. 普通任意比例 （1）分割比例随机，局部与整体无固定关联，无统一美学规律。 （2）比值不固定，不具备通用性。 2. 黄金比例 （1）比例严格固定，近似值恒为0.618。 （2）满足局部比局部、局部比整体的双重等量关系。 （3）具备唯一性、稳定性、美学性，是特殊的最优比例。 七、单元核心素养知识点 1. 数学建模素养 （1）能从生活实物中抽象出线段分割模型，识别黄金分割比例。 （2）掌握黄金比固定模型，学会用0.618判断优美比例。 2. 数学审美素养 （1）理解数学不仅是计算，更是自然与美学的底层规律。 （2）感知比例之美、规律之美，建立用数学眼光观察世界的思维。 3. 推理归纳素养 （1）通过比值对比、数列规律，归纳黄金比的统一特征。 （2）区分普通比例与黄金比例的本质差异。 易错指引 1. 概念理解易错 （1）误认为黄金比是固定有限小数，黄金比是无限不循环小数，0.618只是近似值。 （2）混淆黄金比例关系，颠倒长短部分的比、局部与整体的比。 （3）认为任意接近的比例都是黄金比，只有近似0.618的比例才属于黄金比。 2. 规律认知易错 （1）误以为黄金比会随物体大小改变，黄金比数值恒定不变。 （2）忽略黄金分割的双向等量关系，只记数值，不记核心比例逻辑。 3. 应用判断易错 （1）将平均分、对称比例等同于黄金比，二者数学规律完全不同。 （2）不理解斐波那契数列与黄金比的关联，无法解释自然中的黄金比例现象。 真题拔高 一、填空题 1．黄金比是公认的最具审美意义的比，人体中也藏着黄金比。当上半身与下半身的比是5∶8时，身材显得最美，若达不到可以穿高跟鞋来改善。妈妈的身高是163cm，下半身长98cm，她穿的高跟鞋的最佳高度为( )cm。 2．数学中的黄金比（约为0.618∶1）应用广泛。一些音乐家在创作乐曲时，为使乐曲婉转动听经常将节奏的转折点按黄金比设置。例如，一首60节的乐曲，转折点就设在第60×0.618≈37（节）处。一首80节的乐曲，转折点应设在第( )节处。（结果保留整数） 3．当人体的上半身和下半身的比约为0.618：1时，会给人一种优美的视觉感受，人们称它为“黄金比”。明明的妈妈上半身长61.8cm，下半身长94cm，按照“黄金比”，她应该选择( )cm高的高跟鞋。 4．武当山建筑群的设计运用了黄金分割原理。已知真武大帝坐像的基座宽度与坐像高度的比符合黄金比（约为0.618∶1）。如果基座宽约5米，那么坐像高约为( )米。（得数保留两位小数） 5．人的肚脐是人身长的黄金分割点。一般来说，当肚脐到脚跟的长度与人身高的比为0.618∶1时，是比较好看的黄金身段。某名身高为180厘米的舞蹈演员是黄金身段，则他的肚脐到脚跟的长度为( )厘米。（结果保留整数） 6．小南通过阅读了解了黄金比例，从美学角度分析，一个人上身长∶下身长＝5∶8，就可以说这个人的身材接近黄金比例。小南的妈妈上身长约65cm，下身长约101cm，她穿( )cm的高跟鞋就能使身材接近黄金比例。 7．在校园艺术节的舞台布置中，设计师要制作一块长方形的LED背景屏。为了达到最佳视觉效果，背景屏的宽与长的比需要符合黄金比。已知这块背景屏的宽3.09米，那么背景屏的长( )米。 8．小明通过阅读了解了“黄金比”。从美学角度来说，一个人上身长与下身长的比约是8∶13，就可以说他身材接近“黄金比”。王阿姨上身长约厘米，下身长约厘米，她需要穿( )厘米的高跟鞋才能使身材接近“黄金比”。 9．“黄金比”在日常生活中有着广泛的应用，常常给人以美的感觉，它的比值约等于0.618。如图中，AC∶( )＝0.618；( )∶AC＝0.618。 10．一个长方形的宽与长的比是黄金比，如果这个长方形的长是5厘米，那么它的宽是( )厘米。 二、选择题 11．根据黄金分割理论，当下肢长度与身高的比值等于黄金分割比（约0.618）时，身材比例最协调。妈妈的身高160厘米，下半身为94厘米，请你为她挑选最合适的高跟鞋（    ）。 A．3厘米 B．4厘米 C．5厘米 D．6厘米 12．科学研究表明，当人的上半身与下半身之比满足黄金比0.618∶1时，可以给人一种协调的美感。一名芭蕾舞蹈演员身高为160cm，上半身长为65cm。若这个演员踮起脚尖后身高符合黄金比，设她踮起脚尖后身高增加了xcm，那么可以列出方程（    ）。 A．（65＋x）∶（160－65）＝0.618∶1 B．（65＋x）∶（160－65）＝1∶0.618 C．65∶（160＋x－65）＝0.618∶1 D．65∶（160＋x－65）＝1∶0.618 13．已知P是线段上一点，如果，那么点P是线段的黄金分割点，其中0.618叫做黄金分割数，此时占的百分比是（    ）。 A．23.6% B．38.2% C．50% D．61.8% 14．黄金比被视作极具审美意义的比。以肚脐为界，当上半身与下半身的长度比是0.618时，身体比例最美。达不到的话可穿高跟鞋改善。妈妈身高164厘米，下半身长99厘米，她需要穿高跟鞋的最佳高度是（    ）厘米。（结果取整厘米数） A．5 B．6 C．7 D．8 15．从美学角度来说，一个人上身长与下身长的比约是8∶13，就可以说他身材接近“黄金比”。王阿姨上身长约64cm，下身长约98cm，她需要穿（    ）cm的高跟鞋才能使身材接近“黄金比”。 A．4 B．6 C．8 D．10 三、判断题 16．小明看到一座人物雕塑，觉得它的造型特别优美，那么这座人物雕塑下身长与全身长的比，一定是0.618。( ) 17．生活中，人们设计许多物品时都会用的黄金比是。( ) 18．小明设计的贺卡宽与长的比值接近0.618，它被认为是最美的长方形。( ) 19．芭蕾舞演员踮起脚跳舞，主要是为了使下半身与身高的比接近黄金比，看起来更美。( ) 20．把一个物体分成两部分，当较长部分与整体长度的比是0.618∶1时，给人的感觉是最美的，我们称其为“黄金比”。( ) 四、解答题 21．你知道黄金比吗？把一条线段分成两部分，较长部分与整体长度之比约为0.618∶1就称为黄金比。当一个人的躯干（脚底至肚脐的长度）与身高的比大致符合黄金比时，常常会给人以一种优美的视觉感受。雕塑设计师李叔叔想按照黄金比设计一座5米高的人物雕塑。那么这个雕塑的躯干部分长多少米？（用比例解） 22．人体美学中有一个广受认可的“黄金分割”比例，即以肚脐为界，上半身与下半身的长度比接近0.618∶1时，身材显得最为协调。现有一位身高165.1厘米的女士，测得上半身长度为65.1厘米。她打算购买一双高跟鞋来优化身材比例（计算时黄金比简化为0.62∶1）。她买哪一双比较合理？请写出你推荐的理由。 23．阅读下面的信息，解决问题。 黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。把这个比应用于艺术，可以给人以最美的感觉，它也叫作“黄金比”。黄金比在作曲领域也被广泛认可，在创作一些乐曲时，音乐家会将高潮部分安排在全曲的黄金比处，比如要创作89节的乐曲，其高潮便在第55节处。（55÷89≈0.618） (1)请根据材料完成填空。 ( )∶整体部分＝( )∶较大部分＝黄金比。 (2)如果一位音乐家要创作60节的乐曲，高潮最好在第几节？请通过计算说明。（得数保留整数） (3)报幕员站在舞台黄金分割点处最自然得体。一个舞台长10米，现报幕员已站在台上，距舞台一侧2米处，要想处于最自然得体的位置，她至少再走多少米？ 24．人的腰线是人的黄金分割线，当腰线到脚底的高度与整个身高的比越接近时，越给人以美的感觉。一位同志身高175厘米，腰线到脚底的高度是103厘米。为了更美，他需要穿多高的高跟鞋？从3厘米、4厘米、5厘米、6厘米中选一个答案，并说说为什么这样选的理由。（在解答时，0.618取成0.6参与列式和计算） 25．黄金比是公认的最具审美意义的比，人体中就藏着黄金比。以肚脐眼为分割点，当上半身与下半身的比大约是5∶8时，给人一种美感，达不到的话可以穿高跟鞋来改善。妈妈的身高是165厘米，下半身长100厘米。为了尽可能达到好的美感比例，她穿的高跟鞋的最佳高度大约为多少厘米？ 26．黄金比是公认的最具审美意义的比，人体中存在着黄金比。以肚脐为分界点，当上半身与下半身的比是5∶8时，身材显得最美。妈妈的上半身长65厘米，下半身长100厘米，她想要通过穿高跟鞋来达到黄金比。妈妈穿的高跟鞋的最佳高度是多少厘米？（用方程解决问题） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 神奇的黄金比（讲义） 知识精讲 一、课程整体认知 1. 知识定位 （1）《神奇的黄金比》是苏教版六年级上册比单元的拓展综合内容，依托比的意义、比值、最简比等基础知识点拓展延伸。 （2）核心探究生活、自然、艺术中的优美比例规律，建立数学与美学、生活、自然的关联。 （3）承接比的计算与应用，为后续比例、几何美学、设计类数学应用奠定认知基础。 2. 核心学习目标 （1）理解黄金比、黄金分割点的数学定义，掌握黄金比的近似比值。 （2）掌握黄金比的比例关系与核心特征，区分普通比例与黄金比例。 （3）认识黄金比在自然、人体、建筑、艺术、生活物品中的广泛应用。 （4）了解斐波那契数列与黄金比的内在关联，感知数学规律的统一性。 二、黄金比基础核心概念 1. 黄金分割的定义 （1）将一条完整线段分成较长、较短两部分，满足固定比例关系的分割方式，叫做黄金分割。 （2）核心比例关系：较短部分长度 ∶ 较长部分长度 = 较长部分长度 ∶ 整条线段总长度。 （3）满足以上等量比例关系的分割方式，是唯一具有美学价值的标准黄金分割。 2. 黄金分割点 （1）把线段分成黄金比例的分割点，叫做黄金分割点。 （2）一条线段上有两个黄金分割点，分别靠近线段的两个端点。 3. 黄金比的数值特征 （1）黄金比是一个无限不循环小数，小学数学取近似值0.618。 （2）标准近似比：黄金比约为0.618∶1。 （3）反比关系：较长部分与较短部分的比值约为1.618，同样属于黄金比例范畴。 （4）核心判定：比值接近0.618的比，均可称为黄金比，具备视觉美感。 三、黄金比的核心数学特征 1. 比例恒等特征 （1）黄金分割最核心的特征是双向比例相等，局部与局部的比等于局部与整体的比。 （2）普通线段分割不具备该特征，只有黄金分割能实现比例统一。 2. 美学数学特征 （1）黄金比是公认的最具美感的固定比例，构图、造型、结构符合该比例时，视觉协调、匀称舒适。 （2）区别于平均分、任意比例分割，黄金比是自然与人工设计中的最优比例。 3. 数值固定特征 （1）无论线段长短、物体大小，黄金比的近似值始终固定为0.618，不随物体尺寸变化。 四、斐波那契数列与黄金比的关联 1. 斐波那契数列定义 （1）数列规律：从第三个数开始，每一个数都等于它前面两个数的和。 （2）数列特征：是自然中广泛存在的经典数学数列。 2. 与黄金比的内在联系 （1）斐波那契数列中，相邻两个数的比值，越往后越接近黄金比0.618。 （2）该规律印证了黄金比是自然自带的数学规律，并非人为创造。 五、黄金比的生活与自然应用场景 1. 人体中的黄金比 （1）人体诸多部位比例接近0.618，是人体体态匀称优美的数学依据。 （2）常见部位：身高与肚脐高度比、手臂长度分段、面部五官比例、腿身比等。 2. 自然中的黄金比 （1）植物叶片排列、花瓣数量、果实纹理、树枝生长间距贴合黄金比例。 （2）部分贝壳、螺旋纹理的弧度比例，无限趋近黄金比。 3. 建筑与艺术中的黄金比 （1）经典古建筑的长宽高比例、立柱间距、门窗尺寸大量运用黄金比，提升建筑对称美感。 （2）绘画、摄影构图、画面分割、主体位置选取，常以黄金分割点为核心位置。 4. 日常设计中的黄金比 （1）书本、海报、屏幕、包装盒的长宽比例大多接近黄金比。 （2）工业设计、服饰设计、产品造型依托黄金比，提升视觉舒适度。 5. 几何图形中的黄金比 （1）标准五角星内部线段分割，全部符合黄金分割比例。 （2）黄金矩形：长宽比接近0.618的矩形，是视觉最舒适的矩形形状。 六、黄金比与普通比例的区别 1. 普通任意比例 （1）分割比例随机，局部与整体无固定关联，无统一美学规律。 （2）比值不固定，不具备通用性。 2. 黄金比例 （1）比例严格固定，近似值恒为0.618。 （2）满足局部比局部、局部比整体的双重等量关系。 （3）具备唯一性、稳定性、美学性，是特殊的最优比例。 七、单元核心素养知识点 1. 数学建模素养 （1）能从生活实物中抽象出线段分割模型，识别黄金分割比例。 （2）掌握黄金比固定模型，学会用0.618判断优美比例。 2. 数学审美素养 （1）理解数学不仅是计算，更是自然与美学的底层规律。 （2）感知比例之美、规律之美，建立用数学眼光观察世界的思维。 3. 推理归纳素养 （1）通过比值对比、数列规律，归纳黄金比的统一特征。 （2）区分普通比例与黄金比例的本质差异。 易错指引 1. 概念理解易错 （1）误认为黄金比是固定有限小数，黄金比是无限不循环小数，0.618只是近似值。 （2）混淆黄金比例关系，颠倒长短部分的比、局部与整体的比。 （3）认为任意接近的比例都是黄金比，只有近似0.618的比例才属于黄金比。 2. 规律认知易错 （1）误以为黄金比会随物体大小改变，黄金比数值恒定不变。 （2）忽略黄金分割的双向等量关系，只记数值，不记核心比例逻辑。 3. 应用判断易错 （1）将平均分、对称比例等同于黄金比，二者数学规律完全不同。 （2）不理解斐波那契数列与黄金比的关联，无法解释自然中的黄金比例现象。 真题拔高 一、填空题 1．黄金比是公认的最具审美意义的比，人体中也藏着黄金比。当上半身与下半身的比是5∶8时，身材显得最美，若达不到可以穿高跟鞋来改善。妈妈的身高是163cm，下半身长98cm，她穿的高跟鞋的最佳高度为( )cm。 【答案】6 【分析】穿高跟鞋时上半身长度不变，下半身长度增加。首先根据妈妈的身高和下半身长度求出上半身长度。然后根据最美的身材比例（上半身∶下半身＝5∶8），利用比例的基本性质求出穿高跟鞋后的下半身长度，最后减去原来的下半身长度即为高跟鞋的最佳高度。 【详解】解：设她穿的高跟鞋的最佳高度为。 上半身长度为：163－98＝65（cm） 65∶（98＋）＝5∶8 5（98＋）＝65×8 5×98＋5＝520 490＋5＝520 5＝520－490 5＝30 ＝30÷5 ＝6 她穿的高跟鞋的最佳高度为6cm。 2．数学中的黄金比（约为0.618∶1）应用广泛。一些音乐家在创作乐曲时，为使乐曲婉转动听经常将节奏的转折点按黄金比设置。例如，一首60节的乐曲，转折点就设在第60×0.618≈37（节）处。一首80节的乐曲，转折点应设在第( )节处。（结果保留整数） 【答案】49 【分析】已知黄金比约为0.618∶1，转折点＝节数×0.618，结果保留整数即可。 【详解】80×0.618≈49（节） 3．当人体的上半身和下半身的比约为0.618：1时，会给人一种优美的视觉感受，人们称它为“黄金比”。明明的妈妈上半身长61.8cm，下半身长94cm，按照“黄金比”，她应该选择( )cm高的高跟鞋。 【答案】6 【分析】设她应该选择xcm高的高跟鞋，根据“黄金分割比”，用妈妈上半身的身长∶（妈妈下半身的身长＋高跟鞋的高度）＝黄金分割比，列出方程解答即可。 【详解】解：设她应该选择xcm高的高跟鞋。 61.8∶（94＋x）＝0.618 61.8÷（94＋x）×（94＋x）＝0.618×（94＋x） 0.618×（94＋x）＝61.8 0.618×（94＋x）÷0.618＝61.8÷0.618 94＋x＝100 94＋x－94＝100－94 x＝6 4．武当山建筑群的设计运用了黄金分割原理。已知真武大帝坐像的基座宽度与坐像高度的比符合黄金比（约为0.618∶1）。如果基座宽约5米，那么坐像高约为( )米。（得数保留两位小数） 【答案】 8.09 【分析】根据题意，基座宽度与坐像高度的比是0.618∶1，即基座宽度除以坐像高度的商约为0.618。已知基座宽度为5米，求坐像高度，根据除法各部分间的关系，用基座宽度除以0.618即可。 【详解】0.618∶1 ＝0.618÷1 ＝0.618 5÷0.618≈8.09（米） 因此坐像高约为8.09米。 5．人的肚脐是人身长的黄金分割点。一般来说，当肚脐到脚跟的长度与人身高的比为0.618∶1时，是比较好看的黄金身段。某名身高为180厘米的舞蹈演员是黄金身段，则他的肚脐到脚跟的长度为( )厘米。（结果保留整数） 【答案】111 【分析】根据题意，用身高180厘米乘0.618即可求出肚脐到脚跟的长度，再用“四舍五入”法把结果保留整数即可。 【详解】180×0.618≈111（厘米） 6．小南通过阅读了解了黄金比例，从美学角度分析，一个人上身长∶下身长＝5∶8，就可以说这个人的身材接近黄金比例。小南的妈妈上身长约65cm，下身长约101cm，她穿( )cm的高跟鞋就能使身材接近黄金比例。 【答案】3 【分析】根据比的意义可知，上身的长度平均分成5份，下身的长度平均分成8份，可先用65除以5，可得每份是多少，再用每份的长度乘8，可得到符合黄金比例的下身长度，再减去小南妈妈下身长度。 【详解】65÷58101 ＝138101 ＝104－101 ＝3（厘米） 所以她穿3cm的高跟鞋就能使身材接近黄金比例。 7．在校园艺术节的舞台布置中，设计师要制作一块长方形的LED背景屏。为了达到最佳视觉效果，背景屏的宽与长的比需要符合黄金比。已知这块背景屏的宽3.09米，那么背景屏的长( )米。 【答案】 5 【分析】宽与长的比是0.618∶1，将宽看作0.618份，长看作1份，用3.09除以0.618计算出每一份的长度，再用每一份的长度乘长的份数即可。 【详解】根据分析： 3.09÷0.618×1 ＝5×1 ＝5（米） 在校园艺术节的舞台布置中，设计师要制作一块长方形的LED背景屏。为了达到最佳视觉效果，背景屏的宽与长的比需要符合黄金比。已知这块背景屏的宽3.09米，那么背景屏的长5米。 8．小明通过阅读了解了“黄金比”。从美学角度来说，一个人上身长与下身长的比约是8∶13，就可以说他身材接近“黄金比”。王阿姨上身长约厘米，下身长约厘米，她需要穿( )厘米的高跟鞋才能使身材接近“黄金比”。 【答案】6 【分析】根据上身长与下身长的比约是8∶13，用王阿姨上身长约64厘米除以对应的8，可求得1份对应的实际量，再用1份对应的实际量乘13，可求得下身总长，再用其减去98厘米，即可求得她需要穿多少厘米的高跟鞋才能使身材接近“黄金比”。 【详解】64÷8×13－98 ＝8×13－98 ＝104－98 ＝6（厘米） 所以她需要穿6厘米的高跟鞋才能使身材接近“黄金比”。 9．“黄金比”在日常生活中有着广泛的应用，常常给人以美的感觉，它的比值约等于0.618。如图中，AC∶( )＝0.618；( )∶AC＝0.618。 【答案】 AB AD 【分析】依据是“五角星中存在‘较短线段∶较长线段≈0.618’的黄金比例关系”。先看第一个空，题目给出“AC∶（ ）＝0.618”，观察图形可知，AC是较短线段，而AB是比AC更长的线段，符合“较短线段∶较长线段”的黄金比结构，因此第一个空应填AB；再看第二个空“（ ）∶AC＝0.618”，此时AC成为较长线段，AD是比AC更短的线段，满足“更短线段∶较长线段”的黄金比规律，所以第二个空应填AD。 【详解】观察图形，AB是较长的线段，AC是较短线段，根据黄金比“较短线段∶较长线段≈0.618”，所以 AC∶AB≈0.618，因此填AB。AD是比AC更短的线段，此时“更短线段∶较短线段≈0.618”，所以 AD∶AC≈0.618，因此填AD。 10．一个长方形的宽与长的比是黄金比，如果这个长方形的长是5厘米，那么它的宽是( )厘米。 【答案】3.09 【分析】本题解题首先要理解黄金比的概念，所谓黄金比是指把一条线段分割为两部分，较长部分与整体部分的比值等于较短部分与较长部分的比值，其比值约为0.618。知道黄金比的概念后，上题已知一个长方形的宽与长的比是黄金比，长方形的长是5厘米，假设长方形宽为b厘米，那么可得：＝，计算后可得b值，即求出宽的值。 【详解】设长方形的宽为b厘米，可列式为： ＝ （厘米） 一个长方形的宽与长的比是黄金比，如果这个长方形的长是5厘米，那么它的宽为3.09厘米。 二、选择题 11．根据黄金分割理论，当下肢长度与身高的比值等于黄金分割比（约0.618）时，身材比例最协调。妈妈的身高160厘米，下半身为94厘米，请你为她挑选最合适的高跟鞋（    ）。 A．3厘米 B．4厘米 C．5厘米 D．6厘米 【答案】C 【分析】根据理解黄金分割比的含义，即下半身长度与身高的比值约为，再根据妈妈的身高，计算出理想的下半身长度，再减去当前的下半身长度，即可得出高跟鞋的高度。 【详解】已知妈妈的身高为厘米，理想的下半身长度：（厘米） 需要增加的高度：（厘米） 高跟鞋的高度应接近需要增加的高度，厘米最接近厘米。 12．科学研究表明，当人的上半身与下半身之比满足黄金比0.618∶1时，可以给人一种协调的美感。一名芭蕾舞蹈演员身高为160cm，上半身长为65cm。若这个演员踮起脚尖后身高符合黄金比，设她踮起脚尖后身高增加了xcm，那么可以列出方程（    ）。 A．（65＋x）∶（160－65）＝0.618∶1 B．（65＋x）∶（160－65）＝1∶0.618 C．65∶（160＋x－65）＝0.618∶1 D．65∶（160＋x－65）＝1∶0.618 【答案】C 【分析】原本上半身长度保持不变，踮脚增加的长度全部归为下半身长度。我们直接算出原本下半身长度，得出踮脚后下半身总长度，依照黄金比规定的上半身比下半身等于0.618：1，对应写出比例式子。 【详解】A．（65＋x）∶（160－65）＝0.618∶1；不符合题意； B．（65＋x）∶（160－65）＝1∶0.618；不符合题意； C．65∶（160＋x－65）＝0.618∶1；符合题意； D．65∶（160＋x－65）＝1∶0.618。不符合题意。 13．已知P是线段上一点，如果，那么点P是线段的黄金分割点，其中0.618叫做黄金分割数，此时占的百分比是（    ）。 A．23.6% B．38.2% C．50% D．61.8% 【答案】B 【分析】将AB长看作1，然后求出AP的长；那么BP的长＝AB的长－AP的长；求一个数是另一个数的百分之几，用除法计算，用BP的长除以AB的长再乘100%。 【详解】设AB的长是1。 所以AP∶1＝0.618，即AP＝0.618； 所以BP＝1－0.618＝0.382； 0.382÷1×100% ＝0.382×100% ＝38.2% 所以BP占AB的百分比是38.2%。 14．黄金比被视作极具审美意义的比。以肚脐为界，当上半身与下半身的长度比是0.618时，身体比例最美。达不到的话可穿高跟鞋改善。妈妈身高164厘米，下半身长99厘米，她需要穿高跟鞋的最佳高度是（    ）厘米。（结果取整厘米数） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】妈妈身高－下半身长＝上半身长，上半身长÷0.618＝身体比例最美的下半身长，身体比例最美的下半身长－妈妈下半身长＝高跟鞋的最佳高度。 【详解】（164－99）÷0.618－99 ＝65÷0.618－99 ≈105－99 ＝6（厘米） 她需要穿高跟鞋的最佳高度是6厘米。 15．从美学角度来说，一个人上身长与下身长的比约是8∶13，就可以说他身材接近“黄金比”。王阿姨上身长约64cm，下身长约98cm，她需要穿（    ）cm的高跟鞋才能使身材接近“黄金比”。 A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据比的意义，上身长与下身长的比是8∶13，可以将上身长看作8份，下身长看作13份。已知上身长64cm，先求出一份的长度，再乘13求出符合黄金比的下身长度，最后减去王阿姨原来的下身长度，即为需要穿的高跟鞋高度。 【详解】64÷8＝8（cm） 8×13－98 ＝104－98 ＝6（cm） 她需要穿6cm的高跟鞋才能使身材接近“黄金比”。 三、判断题 16．小明看到一座人物雕塑，觉得它的造型特别优美，那么这座人物雕塑下身长与全身长的比，一定是0.618。( ) 【答案】× 【分析】黄金分割的比值约为0.618，它是一种常见的美学比例。但题干中的“一定”一词过于绝对，忽略了雕塑造型的多样性。 【详解】人物雕塑的下身长与全身长的比可能因雕塑的设计、风格等因素而不同，不一定恰好是0.618。因此，该说法是错误的。 故答案为：× 17．生活中，人们设计许多物品时都会用的黄金比是。( ) 【答案】× 【分析】黄金比是指黄金分割比例，其标准值约为0.618∶1。题干中给出的比例是0.628∶1，与标准黄金比不符。 【详解】生活中常用的黄金比是0.618∶1，而不是0.628∶1。 18．小明设计的贺卡宽与长的比值接近0.618，它被认为是最美的长方形。( ) 【答案】 √ 【分析】黄金分割比的比值约为0.618，当长方形的宽与长的比值接近 0.618 时，符合黄金分割比，这种比的长方形被认为是视觉上较美观的“黄金矩形”。 【详解】贺卡宽与长的比值接近0.618，被认为是最美的长方形。原题说法正确。 故答案为：√ 19．芭蕾舞演员踮起脚跳舞，主要是为了使下半身与身高的比接近黄金比，看起来更美。( ) 【答案】√ 【分析】根据黄金比的意义：把一条线段分成两个部分，如果较短部分与较长部分长度之比等于较长部分与整体长度之比，我们就把这个比称为黄金比（约为0.618∶1），据此解答。 【详解】由分析可知： 芭蕾舞演员踮起脚跳舞，主要是为了使下半身与身高的比接近黄金比，看起来更美。原说法正确。 故答案为：√ 20．把一个物体分成两部分，当较长部分与整体长度的比是0.618∶1时，给人的感觉是最美的，我们称其为“黄金比”。( ) 【答案】√ 【分析】根据黄金分割中较长部分与整体的比是0.618∶1，解答此题即可。 【详解】由分析得， 把一个物体分成两部分，当较长部分与整体长度的比是0.618∶1时，给人的感觉是最美的，我们称其为“黄金比”，此说法正确。 故答案为：√ 【点睛】此题考查的是黄金比的定义，了解黄金比的定义是解题关键。 四、解答题 21．你知道黄金比吗？把一条线段分成两部分，较长部分与整体长度之比约为0.618∶1就称为黄金比。当一个人的躯干（脚底至肚脐的长度）与身高的比大致符合黄金比时，常常会给人以一种优美的视觉感受。雕塑设计师李叔叔想按照黄金比设计一座5米高的人物雕塑。那么这个雕塑的躯干部分长多少米？（用比例解） 【答案】1.91米 【分析】根据题意可得，较长部分∶整体长度＝0.618∶1，（脚底至肚脐的长度）即躯干部分∶5＝0.618∶1，设这个躯干的长度为x米，列比例方程求出x的值（依据比例的基本性质解方程），从而确定这个雕塑的躯干部分长度。 【详解】解：设这个雕塑的躯干部分（脚底至肚脐的长度）长度为x米。 x∶5＝0.618∶1 x＝5×0.618 x＝3.09 答：这个雕塑的躯干部分长3.09米。 22．人体美学中有一个广受认可的“黄金分割”比例，即以肚脐为界，上半身与下半身的长度比接近0.618∶1时，身材显得最为协调。现有一位身高165.1厘米的女士，测得上半身长度为65.1厘米。她打算购买一双高跟鞋来优化身材比例（计算时黄金比简化为0.62∶1）。她买哪一双比较合理？请写出你推荐的理由。 【答案】5厘米 【分析】先用总身高减去上半身长度，求出原本的下半身长度；再用上半身长度除以简化后的黄金比0.62，求出符合比例的理想下半身长度；最后用理想下半身长度减去原本下半身长度，求出需要增加的长度，也就是合适的鞋跟高度。 【详解】165.1－65.1＝100（厘米） 65.1÷0.62＝105（厘米） 105－100＝5（厘米） 答：推荐购买5厘米高跟鞋，因为穿上后下半身长度达到105厘米，上半身与下半身比例接近黄金比0.62∶1。 23．阅读下面的信息，解决问题。 黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。把这个比应用于艺术，可以给人以最美的感觉，它也叫作“黄金比”。黄金比在作曲领域也被广泛认可，在创作一些乐曲时，音乐家会将高潮部分安排在全曲的黄金比处，比如要创作89节的乐曲，其高潮便在第55节处。（55÷89≈0.618） (1)请根据材料完成填空。 ( )∶整体部分＝( )∶较大部分＝黄金比。 (2)如果一位音乐家要创作60节的乐曲，高潮最好在第几节？请通过计算说明。（得数保留整数） (3)报幕员站在舞台黄金分割点处最自然得体。一个舞台长10米，现报幕员已站在台上，距舞台一侧2米处，要想处于最自然得体的位置，她至少再走多少米？ 【答案】(1) 较大部分 较小部分 (2)37节 (3)1.82米 【分析】（1）根据较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，这个比叫作“黄金比”，填空即可。 （2）高潮所在音节∶乐曲总音节＝0.618，根据比值×后项＝前项，列式解答即可，结果根据四舍五入法保留整数。 （3）较长部分∶整体长度＝0.618，根据比值×后项＝前项，计算出较长部分，整体长度－较长部分＝较短部分，较短部分－2米＝至少再走的距离。 【详解】（1）较大部分∶整体部分＝较小部分∶较大部分＝黄金比。 （2）0.618×60≈37（节） 答：高潮最好在第37节。 （3）10－0.618×10 ＝10－6.18 ＝3.82（米） 3.82－2＝1.82（米） 答：她至少再走1.82米。 24．人的腰线是人的黄金分割线，当腰线到脚底的高度与整个身高的比越接近时，越给人以美的感觉。一位同志身高175厘米，腰线到脚底的高度是103厘米。为了更美，他需要穿多高的高跟鞋？从3厘米、4厘米、5厘米、6厘米中选一个答案，并说说为什么这样选的理由。（在解答时，0.618取成0.6参与列式和计算） 【答案】见详解 【分析】先求出腰线上方的高度为175－103＝72 厘米，这部分高度在黄金分割比中占整体身高的占比是1－0.6＝0.4。用这部分高度除以它对应的占比，求出满足黄金分割的理想身高，再用理想身高减去原身高，即可求出需要穿的高跟鞋高度。 【详解】（175－103）÷（1－0.6）－175 ＝72÷0.4－175 ＝180－175 ＝5（厘米） 答：他需要穿5厘米的高跟鞋，从3厘米、4厘米、5厘米、6厘米中选择5厘米，理由： 穿上5厘米高跟鞋后，腰线到底高度与身高的比值正好是0.6，满足黄金分割的占比要求，所以选5厘米。 25．黄金比是公认的最具审美意义的比，人体中就藏着黄金比。以肚脐眼为分割点，当上半身与下半身的比大约是5∶8时，给人一种美感，达不到的话可以穿高跟鞋来改善。妈妈的身高是165厘米，下半身长100厘米。为了尽可能达到好的美感比例，她穿的高跟鞋的最佳高度大约为多少厘米？ 【答案】 4厘米 【分析】上半身与下半身的比大约是5∶8，也就是上半身长度占总身高的；用165减去100计算出上半身的长度65厘米；再根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”用65除以计算出上半身长度65厘米时的总身高应为169厘米；用169减去165即可计算高跟鞋的最佳高度。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝4（厘米） 答：高跟鞋的最佳高度大约为4厘米。 26．黄金比是公认的最具审美意义的比，人体中存在着黄金比。以肚脐为分界点，当上半身与下半身的比是5∶8时，身材显得最美。妈妈的上半身长65厘米，下半身长100厘米，她想要通过穿高跟鞋来达到黄金比。妈妈穿的高跟鞋的最佳高度是多少厘米？（用方程解决问题） 【答案】4厘米 【分析】根据题意，设妈妈穿的高跟鞋的最佳高度是厘米，则妈妈穿上高跟鞋后下半身的高度是（100＋）厘米； 已知人体的黄金比是指上半身与下半身的比是5∶8，即上半身的高度占下半身的；可得出等量关系：妈妈穿上高跟鞋后下半身的高度×＝妈妈上半身的高度，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设妈妈穿的高跟鞋的最佳高度是厘米。 （100＋）×＝65 100＋＝65÷ 100＋＝65× 100＋＝104 ＝104－100 ＝4 答：妈妈穿的高跟鞋的最佳高度是4厘米。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $