单元复习讲义：专题09 ☆ 体育中的数学（考点梳理+例题讲解+举一反三+提升练习）-2026-2027学年数学六年级上册（苏教版·新教材）

该小学数学讲义以“体育中的数学”为主题，通过“概念界定-模型构建-应用拓展”框架系统梳理知识，用对比表格呈现单循环与淘汰赛制差异，推导过程展示比赛场次公式逻辑，统计图表应用体现运动心率数据关联，清晰呈现三大考点的重难点与内在联系。 讲义亮点在于情境化问题链设计，如“苏超联赛场次计算”“跑道起跑线前移距离”等真实问题，例题从基础到综合分层递进，培养数学思维（推理能力）与数学语言（数据观念），提升练习涵盖选择、解答题，助力不同学生巩固，为教师精准教学提供系统支持。

专题09 ☆ 体育中的数学 内容导航 考点梳理 1 考点 1：比赛场次的计算（组合数学初步） 1 考点 2：起跑线的确定（圆的周长应用） 2 考点 3：运动中的心率与身体指标（统计与健康） 3 例题讲解 4 题型一、比赛场次的计算（组合数学初步） 4 题型二、起跑线的确定（圆的周长应用） 4 题型三、运动中的心率与身体指标（统计与健康） 6 提升练习 8 考点梳理 考点 1：比赛场次的计算（组合数学初步） 1. 基本概念界定 (1) 单循环赛制：参赛队伍中，每两支队伍之间都要进行一场比赛，且只进行一次。 (2) 淘汰赛制：每场比赛负者淘汰，胜者进入下一轮，直至决出冠军。 2. 数学模型构建 假设有 支球队参加单循环比赛。 (1) 推导逻辑 A（连线法/图示法）： 1　 将每支球队看作一个点。 2　 每两支球队比赛一场，相当于两点之间连一条线段。 3　 问题转化为： 个点，任意两点连一条线，共有多少条线段？ 4　 规律发现： 2支球队：1场 ( ) 3支球队：3场 ( ) 4支球队：6场 ( ) ... 支球队： 场。 (2) 推导逻辑 B（算术法/乘法原理）： 1　 每支球队都要与其他 支球队各赛一场。 2　 支球队理论上共赛 场。 3　 关键去重：因为甲对乙与乙对甲是同一场比赛，上述计算将每场比赛重复计算了2次。 4　 通用公式： 3. 考点深化与易错点 (1) 主客场制区别：若题目变为“主客场双循环”，即甲在主场对乙，乙在主场对甲算两场，则无需除以2，公式为 。需仔细审题区分“单循环”与“双循环”。 (2) 小组赛后淘汰赛：常见复杂题型为“先分组单循环，后交叉淘汰”。解题策略为分段计算： 1　 计算各组内单循环场次。 2　 计算淘汰赛场次（ 人淘汰赛需 场决出冠军）。 3　 求和。 考点 2：起跑线的确定（圆的周长应用） 1. 问题背景 (1) 标准田径场由两个直道和两个半圆弯道组成。 (2) 外圈跑道的半径比内圈大，因此外圈跑道的全长（周长）比内圈长。 (3) 为了确保每位运动员跑的距离相等（通常为400米），外圈运动员的起跑线必须向前移动。 2. 数学原理推导 (1) 跑道结构分解： 1　 直道部分：所有跑道的直道长度相等，相互抵消，不影响起跑线差值。 2　 弯道部分：两个半圆合起来就是一个完整的圆。 (2) 周长差计算： 1　 设第一条跑道（最内圈）弯道直径为 ，则其弯道周长 。 2　 设第二条跑道弯道直径为 。若跑道宽为 ，则 （注意：直径增加的是两个宽度，左右各一个）。 3　 第二条跑道弯道周长 。 4　 相邻跑道起跑线前移距离（差值）： 5　 推广至第 条跑道与第 条跑道的差值： 3. 关键参数与计算细节 (1) 的取值：考试中通常规定 取 或保留 。若取 ，相邻跑道差值约为 。 (2) 跑道宽度 ：标准跑道宽通常为 米或 米，题目会明确给出。 (3) 200米比赛 vs 400米比赛： 1　 400米比赛：跑一整圈，经过两个弯道，使用完整圆周长公式，差值为 。 2　 200米比赛：通常只经过一个弯道（半圆），另一个是直道。此时差值减半，为 。 3　 800米及以上：通常不分道跑或抢道线后并道，但在分道跑阶段，若跑整圈数，逻辑同400米；若涉及半圈，需具体分析弯道数量。 4. 易错点警示 (1) 直径与半径混淆：公式推导中，若用半径 ，则 。相邻跑道半径差为 ，周长差 。结论一致，但需保持单位统一。 (2) 忽略弯道数量：务必看清比赛项目是经过“一个弯道”还是“两个弯道”。 考点 3：运动中的心率与身体指标（统计与健康） 1. 核心概念 (1) 安静心率：人在静止状态下的心率，正常儿童青少年约为 70-90 次/分。 (2) 运动心率：运动过程中每分钟心跳次数。 (3) 最高心率估算：常用公式为 。 (4) 适宜运动心率区间：通常认为达到最高心率的 60% - 80% 为有效燃脂或增强心肺功能的区间。 2. 数据分析方法 (1) 测量方法： 1　 摸脉搏法：测量10秒脉搏数 ，或15秒脉搏数 ，得出每分钟心率。 2　 注意：运动刚停止时心率最高，随后会逐渐恢复。 (2) 统计图表应用： 1　 折线统计图：最适合展示运动过程中心率随时间变化的趋势（上升期、平台期、恢复期）。 2　 条形统计图：适合比较不同同学在同一运动项目下的心率差异，或同一同学不同项目下的心率差异。 3. 考点逻辑 (1) 运动强度判断： 1　 若运动心率远低于适宜区间下限，说明运动强度不足，锻炼效果有限。 2　 若运动心率超过最高心率或适宜区间上限过多，可能存在安全隐患，需降低强度。 (2) 恢复率分析： 1　 运动停止后，心率恢复到安静水平所需的时间越短，说明心肺功能越好。 2　 可以通过计算“运动后1分钟心率”与“安静心率”的差值来辅助判断。 例题讲解 题型一、比赛场次的计算（组合数学初步） 【典例例题】10名同学进行乒乓球比赛，如果每两人赛一场，一共要赛( )场。 举一反三 【变式训练1】“市长杯”小学生足球比赛，共有9支代表队闯入决赛，比赛采用单循环（即每两队均要赛一场），那么一共要进行( )场比赛。 【变式训练2】2025年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如荼地举行。本次比赛共有13支球队参赛，分为两个阶段。第一阶段采用单场循环赛，13支球队每支球队都要和其他球队赛一场，最后根据积分产生“八强”；第二阶段采用淘汰赛，晋级“八强”的8支球队只要输了一场比赛即被淘汰出局，最终胜出者为冠军。算一算，按照这个规则，本次“苏超”共要比赛( )场。 【变式训练3】学校有7个班进行篮球比赛，每两个班之间要进行一场比赛，一共要比赛多少场？ 画一画： 算一算： 题型二、起跑线的确定（圆的周长应用） 【典例例题】在学校200米的跑道中，每条跑道宽1.2米。由于有弯道，为了公平，外道和内道选手的起跑线不在同一地点。如：A点处是小明的起跑线，B点处是小强的起跑线（如图）。A，B两点的距离是多少米？ 举一反三 【变式训练1】广东奥林匹克体育中心运动场的跑道由两条直跑道和两个半圆形跑道组成，最内圈弯道直径为72.6m，直道长85.96m（如图所示）。请你计算最内圈跑道的长度。 【变式训练2】国际田径联合会规定，标准塑胶跑道的宽度为1.22米，跑道之间间距的宽度为1.25米。某学校的400米环形跑道是由两条直道和两条半圆形跑道组成的，每条跑道宽为1.25米。如果在这个环形跑道上进行600米赛跑，那么第一道选手与第四道选手的起跑线要相差多少米？ 【变式训练3】如图，一个运动场的两端是半圆形，中间是长方形，有两条跑道，跑道里面是草坪，两条跑道相差多少米？草坪的面积是多少平方米？ 题型三、运动中的心率与身体指标（统计与健康） 【典例例题】男生和女生运动后心率的变化情况相同吗？每个小组由一名男生和一名女生同时跳绳1分钟，跳完后立即测心率（测10秒，测得的心跳次数心率），然后每1分钟测一次，共测5次。记录数据，并完成下面的统计图。 举一反三 【变式训练1】成年人进行有氧运动时，心率（单位：次/分钟）最好不要超过最大心率的。最大心率约为“220－年龄”。长期运动心率过高，会对心脏等器官造成损伤。爸爸今年30岁，他运动时的心率为150次/分钟，他的运动心率超标吗？为什么？ 【变式训练2】一般情况下，人的心率范围在每分钟60~100次，在运动状态下，最大心率经常会超过每分钟100次。为了评估参赛运动员的身体情况，对运动员心率进行了统计，下表是运动员张峰1500米中长跑时测得的心率数据： 时间 第1分钟 第2分钟 第3分钟 第4分钟 第5分钟 第6分钟 第7分钟 心率/次 75 89 95 110 115 125 116 （1）张峰心率最高是每分钟（    ）次，最低是每分钟（    ）次。 （2）如果去掉最高心率和最低心率，张峰平均每分钟的心率是多少次？ 【变式训练3】晨星小学要在小林和小丽两位同学中，选出一名同学代表学校参加县级跳绳比赛。下面是他们一周每天一分钟跳绳的情况记录，请根据图中信息解决下列问题。 (1)从图中可以看出，小丽同学一分钟跳绳的最高成绩与最低成绩相差( )个；小林同学一分钟跳绳的最高成绩与最低成绩相差( )个。 (2)从图中可知，小林同学跳绳的成绩，总体呈现( )趋势。 (3)你会推荐哪位同学代表班级参加一分钟跳绳比赛？说说你的理由。 提升练习 1．有8位选手参加象棋比赛，若每两位选手之间都要进行一场对决，总共要比赛（    ）场。 A．16 B．24 C．28 D．32 2．下面是贝贝13：30－17：30监测心率情况统计表，他想用统计图描述这段时间心率的变化情况，应该选用（    ）。 时间 平均心率（次/分） 76 74 86 70 68 A．单式折线统计图 B．复式折线统计图 C．单式条形统计图 D．复式条形统计图 3．如图，小东沿跑道内圈线跑一周，小军沿外圈线跑一周，小东比小军少跑（    ）米。（跑道宽1米，π取3.14） A．3.14 B．6.28 C．9.42 D．12.56 4．2025世界人形机器人运动会旨在通过各项比赛展示机器人应用技术的多样性和创新性。若6个小组的机器人队伍参加足球比赛，每两个队伍之间要进行一场比赛，一共要比赛( )场。 5．有8个足球队进行比赛，如果每两个队之间都赛一场，一共要赛( )场；如果举行淘汰赛（在这种赛制中球队两两相对，输一场即淘汰出局。每一轮淘汰掉一半球队，直至产生最后的冠军），一共要赛( )场。 6．被称作中国国球的乒乓球运动深受大众喜爱。比赛中通常采取“单败淘汰制”，选手通过抽签或种子排位确定对阵位置，形成“单败淘汰树”。如有16名选手参加，对阵情况如图。某乒乓球比赛女子单打共有32名选手参加，通过“单败淘汰制”最终决出1名冠军，这次比赛共计需比赛( )场。在第一个比赛日中，12张球桌上同时进行乒乓球比赛，单打的比双打的多6人，那么进行双打比赛的乒乓球桌有( )张。 7．一条环形跑道（长度为400米），每条直道长100米，两端弯道最内圈半径约32米，每条跑道宽1米，参加200米比赛时，小红在内圈第一道，小明在内圈第二道，小明应在小红前面( )米处起跑才公平；参加400米比赛时，小红在内圈第二道，小明在内圈第一道，小明在小红后面( )米处起跑才公平。 8．如下图，一个运动场两端是半圆形，中间是长方形。静静和欢欢进行跑步比赛，她们分别从A、B两点出发，沿跑道线跑一圈，最后都回到终点。为了比赛公平，静静和欢欢的起跑线应相差( )米。 9．“淮超”足球联赛于2025年11月29日开赛，2026年1月11日结束。第一阶段小组赛采用分组积分赛制，9支球队分A、B两个组，A组4支队伍，B组5支队伍，各组每两支球队赛一场。各小组排名前2名的球队进入名次赛。第二阶段名次赛采用单回合淘汰赛制，胜者进入决赛，负者争夺季军。 (1)“淮超”足球联赛小组赛一共进行多少场比赛？ (2)“淮超”足球联赛一共进行多少场比赛？ 10．标准400米跑道由两个直道和两个半圆形弯道组成。直道长度通常为87米，弯道的半径因赛道而异，但最内圈的半径一般是36米，跑道宽通常为1.22米。因为外道的弯道比内道长，所以外道的起跑线需要提前一定距离，称为“跑线前伸”。除去跑线宽度等其他因素，请计算在400米比赛中，2道起跑线应比1道前伸多少米？（结果保留两位小数） 11．学校操场的外圈是环形跑道，中间是活动场，如图。 （1）请你计算出中间活动场（图中阴影部分）的面积。 （2）贝贝沿着环形跑道的最外沿线跑一圈，甜甜沿着跑道的最里沿线跑一圈，谁跑的路程多？多多少米？ 12．实验小学每年一次的跳绳比赛即将开始了。每班要派出一名同学参加一分钟单人跳绳比赛，班主任张老师了解到班里跳绳成绩突出的是张乐和李亮，派谁去呢？ (1)下面几位同学想到的方法，你认为( )的方法比较合适。 A．王伟：两人各跳一次，谁的成绩好就派谁去。 B．杨阳：看两个人的最好成绩，谁的高就派谁去。 C．马可：看两个人近段时间多次的成绩，全面分析后再决定派谁去。 (2)下面是张乐和李亮近5次抽样的跳绳成绩（每次跳一分钟，单位：个） 张乐：162、165、158、170、160 李亮：158、163、166、168、172 请从下面的统计图中选择合适的一种绘制统计图，再进行数据分析，帮助你做出决定。 (3)你认为派( )去。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 ☆ 体育中的数学 内容导航 考点梳理 1 考点 1：比赛场次的计算（组合数学初步） 1 考点 2：起跑线的确定（圆的周长应用） 2 考点 3：运动中的心率与身体指标（统计与健康） 3 例题讲解 4 题型一、比赛场次的计算（组合数学初步） 4 题型二、起跑线的确定（圆的周长应用） 6 题型三、运动中的心率与身体指标（统计与健康） 9 提升练习 13 考点梳理 考点 1：比赛场次的计算（组合数学初步） 1. 基本概念界定 (1) 单循环赛制：参赛队伍中，每两支队伍之间都要进行一场比赛，且只进行一次。 (2) 淘汰赛制：每场比赛负者淘汰，胜者进入下一轮，直至决出冠军。 2. 数学模型构建 假设有 支球队参加单循环比赛。 (1) 推导逻辑 A（连线法/图示法）： 1　 将每支球队看作一个点。 2　 每两支球队比赛一场，相当于两点之间连一条线段。 3　 问题转化为： 个点，任意两点连一条线，共有多少条线段？ 4　 规律发现： 2支球队：1场 ( ) 3支球队：3场 ( ) 4支球队：6场 ( ) ... 支球队： 场。 (2) 推导逻辑 B（算术法/乘法原理）： 1　 每支球队都要与其他 支球队各赛一场。 2　 支球队理论上共赛 场。 3　 关键去重：因为甲对乙与乙对甲是同一场比赛，上述计算将每场比赛重复计算了2次。 4　 通用公式： 3. 考点深化与易错点 (1) 主客场制区别：若题目变为“主客场双循环”，即甲在主场对乙，乙在主场对甲算两场，则无需除以2，公式为 。需仔细审题区分“单循环”与“双循环”。 (2) 小组赛后淘汰赛：常见复杂题型为“先分组单循环，后交叉淘汰”。解题策略为分段计算： 1　 计算各组内单循环场次。 2　 计算淘汰赛场次（ 人淘汰赛需 场决出冠军）。 3　 求和。 考点 2：起跑线的确定（圆的周长应用） 1. 问题背景 (1) 标准田径场由两个直道和两个半圆弯道组成。 (2) 外圈跑道的半径比内圈大，因此外圈跑道的全长（周长）比内圈长。 (3) 为了确保每位运动员跑的距离相等（通常为400米），外圈运动员的起跑线必须向前移动。 2. 数学原理推导 (1) 跑道结构分解： 1　 直道部分：所有跑道的直道长度相等，相互抵消，不影响起跑线差值。 2　 弯道部分：两个半圆合起来就是一个完整的圆。 (2) 周长差计算： 1　 设第一条跑道（最内圈）弯道直径为 ，则其弯道周长 。 2　 设第二条跑道弯道直径为 。若跑道宽为 ，则 （注意：直径增加的是两个宽度，左右各一个）。 3　 第二条跑道弯道周长 。 4　 相邻跑道起跑线前移距离（差值）： 5　 推广至第 条跑道与第 条跑道的差值： 3. 关键参数与计算细节 (1) 的取值：考试中通常规定 取 或保留 。若取 ，相邻跑道差值约为 。 (2) 跑道宽度 ：标准跑道宽通常为 米或 米，题目会明确给出。 (3) 200米比赛 vs 400米比赛： 1　 400米比赛：跑一整圈，经过两个弯道，使用完整圆周长公式，差值为 。 2　 200米比赛：通常只经过一个弯道（半圆），另一个是直道。此时差值减半，为 。 3　 800米及以上：通常不分道跑或抢道线后并道，但在分道跑阶段，若跑整圈数，逻辑同400米；若涉及半圈，需具体分析弯道数量。 4. 易错点警示 (1) 直径与半径混淆：公式推导中，若用半径 ，则 。相邻跑道半径差为 ，周长差 。结论一致，但需保持单位统一。 (2) 忽略弯道数量：务必看清比赛项目是经过“一个弯道”还是“两个弯道”。 考点 3：运动中的心率与身体指标（统计与健康） 1. 核心概念 (1) 安静心率：人在静止状态下的心率，正常儿童青少年约为 70-90 次/分。 (2) 运动心率：运动过程中每分钟心跳次数。 (3) 最高心率估算：常用公式为 。 (4) 适宜运动心率区间：通常认为达到最高心率的 60% - 80% 为有效燃脂或增强心肺功能的区间。 2. 数据分析方法 (1) 测量方法： 1　 摸脉搏法：测量10秒脉搏数 ，或15秒脉搏数 ，得出每分钟心率。 2　 注意：运动刚停止时心率最高，随后会逐渐恢复。 (2) 统计图表应用： 1　 折线统计图：最适合展示运动过程中心率随时间变化的趋势（上升期、平台期、恢复期）。 2　 条形统计图：适合比较不同同学在同一运动项目下的心率差异，或同一同学不同项目下的心率差异。 3. 考点逻辑 (1) 运动强度判断： 1　 若运动心率远低于适宜区间下限，说明运动强度不足，锻炼效果有限。 2　 若运动心率超过最高心率或适宜区间上限过多，可能存在安全隐患，需降低强度。 (2) 恢复率分析： 1　 运动停止后，心率恢复到安静水平所需的时间越短，说明心肺功能越好。 2　 可以通过计算“运动后1分钟心率”与“安静心率”的差值来辅助判断。 例题讲解 题型一、比赛场次的计算（组合数学初步） 【典例例题】10名同学进行乒乓球比赛，如果每两人赛一场，一共要赛( )场。 【答案】45 【分析】每个同学都要与其余的（10－1）个人进行一场比赛，共要赛（10－1）×10场，这样重复计算了一遍，再除以2即可。 【详解】 （场） 举一反三 【变式训练1】“市长杯”小学生足球比赛，共有9支代表队闯入决赛，比赛采用单循环（即每两队均要赛一场），那么一共要进行( )场比赛。 【答案】36 【分析】单循环比赛中，每支队伍都要和除自己之外的所有队伍各赛一场，先求出每支队伍的比赛场次与队伍总数的乘积，因为每场比赛被重复计算了两次，所以要除以2来求出实际总场次。 【详解】9×（9－1）÷2 ＝9×8÷2 ＝72÷2 ＝36（场） 【变式训练2】2025年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如荼地举行。本次比赛共有13支球队参赛，分为两个阶段。第一阶段采用单场循环赛，13支球队每支球队都要和其他球队赛一场，最后根据积分产生“八强”；第二阶段采用淘汰赛，晋级“八强”的8支球队只要输了一场比赛即被淘汰出局，最终胜出者为冠军。算一算，按照这个规则，本次“苏超”共要比赛( )场。 【答案】85 【分析】比赛总场数分为单循环赛场次和淘汰赛场次两部分。单循环赛中，每支球队都要和其余12支球队各赛一场，用球队数乘球队数减1的差再÷2，可避免重复计数；淘汰赛决出冠军时，每场比赛淘汰1支球队，要淘汰7支球队才能决出冠军，因此场数等于队伍数减1，最后把两部分场次相加。 【详解】第一阶段单循环赛场次： 13×（13－1）÷2 ＝13×12÷2 ＝156÷2 ＝78（场） 第二阶段淘汰赛场次：8－1＝7（场） 总场次：78＋7＝85（场） 【变式训练3】学校有7个班进行篮球比赛，每两个班之间要进行一场比赛，一共要比赛多少场？ 画一画： 算一算： 【答案】画一画见详解；21场 【分析】7个班进行篮球比赛，每两个班之间要进行一场比赛，所以每个班都要和其他6个班进行一场比赛，则所有7个班参赛的场数为42场，由于比赛是在两个班之间进行的，要去掉重复计算的情况，用42除以2即可。据此解答并画图表示。 【详解】画一画： 算一算： 7×（7－1）÷2 ＝7×6÷2 ＝42÷2 ＝21（场） 答：一共要比赛21场。 题型二、起跑线的确定（圆的周长应用） 【典例例题】在学校200米的跑道中，每条跑道宽1.2米。由于有弯道，为了公平，外道和内道选手的起跑线不在同一地点。如：A点处是小明的起跑线，B点处是小强的起跑线（如图）。A，B两点的距离是多少米？ 【答案】 7.536米 【分析】由题意可知，A，B两点的距离是内外圈周长之差，根据圆的周长公式，，假设外圆半径为R，内圆半径为r，则，内外圈周长之差也就是两个圆半径之差与的积的2倍，而每条跑道的宽就是两个圆半径之差，代入数据计算即可。 【详解】 （米） 答：A，B两点的距离是7.536米。 举一反三 【变式训练1】广东奥林匹克体育中心运动场的跑道由两条直跑道和两个半圆形跑道组成，最内圈弯道直径为72.6m，直道长85.96m（如图所示）。请你计算最内圈跑道的长度。 【答案】399.884米 【分析】最内圈跑道由两个直径为72.6米的半圆弧长，也就是直径为72.6米的圆的周长与两条直道之和，根据圆的周长＝πd计算。 【详解】3.14×72.6＋85.96×2 ＝227.964＋171.92 ＝399.884（米） 答：最内圈跑道长为399.884米。 【变式训练2】国际田径联合会规定，标准塑胶跑道的宽度为1.22米，跑道之间间距的宽度为1.25米。某学校的400米环形跑道是由两条直道和两条半圆形跑道组成的，每条跑道宽为1.25米。如果在这个环形跑道上进行600米赛跑，那么第一道选手与第四道选手的起跑线要相差多少米？ 【答案】35.325米 【分析】在环形跑道上比赛，外道选手比内道选手跑的路程长，差距主要体现在弯道部分；600米赛跑是400米跑道的600÷400＝1.5圈，第一道与第四道之间间隔4－1＝3个跑道宽度，每个跑道宽1.25米，那么每跑一圈，第四道比第一道多跑的距离就是2π×跑道宽度，即2×3.14×1.25×（4－1）米；因为要跑1.5圈，所以用每圈的差距乘1.5，即3.14×1.25×2×（4－1）×1.5，就得到第一道选手与第四道选手起跑线的差距。 【详解】600÷400＝1.5（圈） 3.14×1.25×2×（4－1）×1.5 ＝3.14×1.25×2×3×1.5 ＝3.14×2.5×4.5 ＝3.14×11.25 ＝35.325（米） 答：第一道选手与第四道选手的起跑线要相差35.325米。 【变式训练3】如图，一个运动场的两端是半圆形，中间是长方形，有两条跑道，跑道里面是草坪，两条跑道相差多少米？草坪的面积是多少平方米？ 【答案】9.42米；2506.5平方米 【分析】中间长方形部分的长度对两条跑道来说是一样的，所以跑道的长度差只和两端的半圆形部分有关。因为跑道宽1.5米，两条跑道对应的半圆所组成的圆，半径相差了1个1.5米。根据圆的周长公式C＝2πr可知圆的周长差是由半径差决定的，用“2乘圆周率再乘半径差”，就能算出两条跑道的长度差。 草坪的形状是“中间长方形＋两端半圆形”。两端的半圆形合起来是一个完整的圆，直径是30米，所以半径是30÷2＝15米，然后根据圆的面积公式可算出圆的面积；中间长方形长60米，宽30米，根据“长方形面积＝长×宽”可算出长方形的面积；最后把圆的面积和长方形的面积相加，即为草坪的总面积。据此解答。 【详解】2×3.14×1.5 ＝6.28×1.5 ＝9.42（米） 30÷2＝15（米） 3.14×152＋60×30 ＝3.14×225＋1800 ＝706.5＋1800 ＝2506.5（平方米） 答：两条跑道相差9.42米，草坪的面积是2506.5平方米。 题型三、运动中的心率与身体指标（统计与健康） 【典例例题】男生和女生运动后心率的变化情况相同吗？每个小组由一名男生和一名女生同时跳绳1分钟，跳完后立即测心率（测10秒，测得的心跳次数心率），然后每1分钟测一次，共测5次。记录数据，并完成下面的统计图。 【答案】作图见详解；信息：跳后3分钟男生和女生的心率都是90次/分；跳后4分钟男生和女生的心率差距最大。 【分析】据题意，记录一名男生和一名女生同时跳绳1分钟的心率变化，据测得的心跳次数心率，分别代入数据计算，再根据统计图右上角的图例，在横轴找出经过的时间，纵轴找出心率，描出横轴和纵轴相交的点，再连线。据此作图。 认真观察统计图，可找出男生和女生心率变化的数据相同之处；同一时间上表示男生和女生心率的两点间的距离最远的，他们的心率的差距就最大。 【详解】男生刚跳过的心率：11×6＝66 （次/分） 跳过1分后的心率：12×6＝72 （次/分） 跳过2分后的心率：14×6＝84 （次/分） 跳过3分后的心率：15×6＝90 （次/分） 跳过4分后的心率：20×6＝120 （次/分） 女生刚跳过的心率：10×6＝60 （次/分） 跳过1分后的心率：11×6＝66 （次/分） 跳过2分后的心率：13×6＝78 （次/分） 跳过3分后的心率：15×6＝90 （次/分） 跳过4分后的心率：19×6＝96（次/分） 据此完成统计图，如下： 答：从统计图中，可获得的信息有：跳后3分钟男生和女生的心率都是90次/分；跳后4分钟男生和女生的心率差距最大。 举一反三 【变式训练1】成年人进行有氧运动时，心率（单位：次/分钟）最好不要超过最大心率的。最大心率约为“220－年龄”。长期运动心率过高，会对心脏等器官造成损伤。爸爸今年30岁，他运动时的心率为150次/分钟，他的运动心率超标吗？为什么？ 【答案】超标；原因见详解 【分析】根据公式“最大心率约为220－年龄”，爸爸今年30岁，所以最大心率为：220－30＝190（次/分钟）；将最大心率看作单位“1”，求一个数的几分之几是多少，用乘法，据此计算出运动时心率的最大允许值。最后将实际心率150次/分钟与最大允许值比较，得出结果。据此解答。 【详解】220－30＝190（次/分钟） 190×＝142.5（次/分钟） 150＞142.5 答：爸爸的运动心率超标。因为他运动时的心率150次/分钟大于最大允许心率142.5次/分钟。 【变式训练2】一般情况下，人的心率范围在每分钟60~100次，在运动状态下，最大心率经常会超过每分钟100次。为了评估参赛运动员的身体情况，对运动员心率进行了统计，下表是运动员张峰1500米中长跑时测得的心率数据： 时间 第1分钟 第2分钟 第3分钟 第4分钟 第5分钟 第6分钟 第7分钟 心率/次 75 89 95 110 115 125 116 （1）张峰心率最高是每分钟（    ）次，最低是每分钟（    ）次。 （2）如果去掉最高心率和最低心率，张峰平均每分钟的心率是多少次？ 【答案】（1）125；75 （2）105次 【分析】（1）比较得出张峰心率最高是每分钟多少次，最低是每分钟多少次； （2）先将最高心率和最低心率去掉，再计算出平均心率，平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数；据此解答。 【详解】（1）75＜89＜95＜110＜115＜116＜125 所以张峰心率最高是每分钟125次，最低是每分钟75次。 （2）去掉125次和75次 （89＋95＋110＋115＋116）÷5 ＝525÷5 ＝105（次） 答：张峰平均每分钟的心率是105次。 【变式训练3】晨星小学要在小林和小丽两位同学中，选出一名同学代表学校参加县级跳绳比赛。下面是他们一周每天一分钟跳绳的情况记录，请根据图中信息解决下列问题。 (1)从图中可以看出，小丽同学一分钟跳绳的最高成绩与最低成绩相差( )个；小林同学一分钟跳绳的最高成绩与最低成绩相差( )个。 (2)从图中可知，小林同学跳绳的成绩，总体呈现( )趋势。 (3)你会推荐哪位同学代表班级参加一分钟跳绳比赛？说说你的理由。 【答案】(1) 30 23 (2)上升 (3)小林；理由见详解 【分析】（1）复式折线统计图中，横轴表示时间，纵轴表示数量，实线表示小林一周每天一分钟跳绳的情况，虚线表示小丽一周每天一分钟跳绳的情况，折点位置越高跳绳数量越多，折点位置越低跳绳数量越少；据此求出小丽同学最高成绩与最低成绩差，小林同学最高成绩与最低成绩差。 （2）复式折线统计图不仅能看清数量的多少，还能通过折线的上升和下降表示2个及以上数量的增减变化情况，折线走势向上总体呈现上升趋势，折线走势向下总体呈现下降趋势； （3）从两条折线的走势分析两位同学的跳绳情况，选择成绩波动较小且呈上升趋势的同学即可。说法合理即可。 【详解】（1）小丽：223－193＝30（个） 小林：218－195＝23（个） （2）从统计图中可知，小林同学跳绳的成绩，总体呈现上升趋势。 （3）推荐小林同学，观察复式折线统计图可知，小丽的成绩波动较大，小林的成绩稳定且整体呈现上升趋势。（答案不唯一） 提升练习 1．有8位选手参加象棋比赛，若每两位选手之间都要进行一场对决，总共要比赛（    ）场。 A．16 B．24 C．28 D．32 【答案】C 【分析】根据题意，有8人进行象棋比赛，每两人之间都要进行一场比赛，即每人和其他7人都要进行一场比赛，则8人参赛的总场数为8×7＝56场，由于比赛是在两人之间进行的，要去掉重复计算的情况，用56除以2即可。 【详解】 （场） 2．下面是贝贝13：30－17：30监测心率情况统计表，他想用统计图描述这段时间心率的变化情况，应该选用（    ）。 时间 平均心率（次/分） 76 74 86 70 68 A．单式折线统计图 B．复式折线统计图 C．单式条形统计图 D．复式条形统计图 【答案】A 【分析】条形统计图能清楚地表示出数量的多少；折线统计图不仅能表示出数量的多少，还能清楚地反映数量的增减变化情况。单式统计图用于表示一组数据，复式统计图用于表示两组或两组以上的数据。 【详解】根据分析：贝贝想描述这段时间心率的变化情况，且统计表中只有贝贝一个人的心率数据，属于一组数据，所以应该选用单式折线统计图。 3．如图，小东沿跑道内圈线跑一周，小军沿外圈线跑一周，小东比小军少跑（    ）米。（跑道宽1米，π取3.14） A．3.14 B．6.28 C．9.42 D．12.56 【答案】B 【分析】直道部分两人跑的路程一样，只比较弯道部分。弯道部分是两个半圆，也就是一个整圆。根据圆的周长＝2πr，已知内圈弯道的半径是20米，跑道宽1米，外圈弯道的半径就是20＋1＝21（米），代入圆的周长公式，分别求出外圈和内圈弯道的周长，再求周长差，即可解答。 【详解】2×3.14×（20＋1）－2×3.14×20 ＝2×3.14×（21－20） ＝2×3.14×1 ＝6.28×1 ＝6.28（米） 小东比小军少跑6.28米。 故答案为：B 4．2025世界人形机器人运动会旨在通过各项比赛展示机器人应用技术的多样性和创新性。若6个小组的机器人队伍参加足球比赛，每两个队伍之间要进行一场比赛，一共要比赛( )场。 【答案】 15 【分析】6个队伍，每两个队伍之间比赛一场，即每个队伍都要与其他5个队伍各赛一场。用队伍数乘每个队伍比赛的场次，会将每场比赛重复计算两次（例如甲队对乙队与乙队对甲队是同一场），所以再除以2即可求出比赛场数。 【详解】6×（6－1）÷2 ＝6×5÷2 ＝30÷2 ＝15（场） 5．有8个足球队进行比赛，如果每两个队之间都赛一场，一共要赛( )场；如果举行淘汰赛（在这种赛制中球队两两相对，输一场即淘汰出局。每一轮淘汰掉一半球队，直至产生最后的冠军），一共要赛( )场。 【答案】 28 7 【分析】根据题意，8个足球队进行比赛，每两个队之间都赛一场，也就是说每个足球队要和其他7个足球队进行一场比赛，则8个足球队比赛的场数为56场，由于比赛是在两个球队之间进行的，要去掉重复计算的情况，用56除以2即可。 如果举行淘汰赛，每一轮淘汰掉一半球队，计算出每一轮的比赛场次，最后相加即可。 【详解】每两个队之间都赛一场，一共要赛： 8×（8－1）÷2 ＝8×7÷2 ＝28（场） 淘汰赛，一共要赛： 8÷2＝4（场） 4÷2＝2（场） 2÷2＝1（场） 一共：4＋2＋1＝7（场） 6．被称作中国国球的乒乓球运动深受大众喜爱。比赛中通常采取“单败淘汰制”，选手通过抽签或种子排位确定对阵位置，形成“单败淘汰树”。如有16名选手参加，对阵情况如图。某乒乓球比赛女子单打共有32名选手参加，通过“单败淘汰制”最终决出1名冠军，这次比赛共计需比赛( )场。在第一个比赛日中，12张球桌上同时进行乒乓球比赛，单打的比双打的多6人，那么进行双打比赛的乒乓球桌有( )张。 【答案】 31 3 【分析】单败淘汰制：要决出1个冠军，必须淘汰其余所有选手，每一场比赛淘汰1人，用选手人数减1即可算出共需比赛的场数； 假设12张球桌都进行单打比赛，总单打人数共2×12＝24人，双打人数是0人，此时单打比双打多24－0＝24人，比题目要求的“多6人”多出了24－6＝18人；把1张单打桌换成双打桌，单打减少2人，双打增加4人，两者的人数差会减少2＋4＝6人；想要减少18人的差值，就需要调换3张球桌（18÷6＝3），也就是有3张双打桌。 【详解】32－1＝31（场），共需比赛31场； 假设12张球桌都进行单打比赛。 2×12＝24（人） （24－6）÷（2＋4） ＝18÷6 ＝3（张） 进行双打比赛的乒乓球桌有3张。 7．一条环形跑道（长度为400米），每条直道长100米，两端弯道最内圈半径约32米，每条跑道宽1米，参加200米比赛时，小红在内圈第一道，小明在内圈第二道，小明应在小红前面( )米处起跑才公平；参加400米比赛时，小红在内圈第二道，小明在内圈第一道，小明在小红后面( )米处起跑才公平。 【答案】 3.14 6.28 【分析】解答这道题需熟知：圆的周长，半圆的弧长，核心是计算不同跑道在弯道部分的长度差。还需要注意：200米比赛时只跑一个弯道和一个直道，直道长度相同，所以只需计算相邻两个弯道的长度差（也就是两个半圆的弧长差）。400米比赛：跑两个弯道和两个直道，直道长度相同，所以需要计算相邻两个跑道的两个弯道的总周长差（也就是两个圆的周长差）。跑道宽度为1米，意味着相邻跑道的弯道半径相差1米。据此解答。 【详解】根据分析： 200米比赛（小红在第一道，小明在第二道） 第一道弯道半径：32（米） 第二道弯道半径：（米） （米） 所以，小明应在小红前面3.14米处起跑才公平。 400米比赛（小红在第二道，小明在第一道） 第一道弯道半径：32（米） 第二道弯道半径：（米） （米） 所以小明在小红后面6.28米处起跑才公平。 【点睛】这类题的关键是直道长度相同，起跑线的差距仅由弯道的周长差决定。200米比赛（半圆）：差距＝×跑道宽度；400米比赛（圆）：差距＝×跑道宽度。 8．如下图，一个运动场两端是半圆形，中间是长方形。静静和欢欢进行跑步比赛，她们分别从A、B两点出发，沿跑道线跑一圈，最后都回到终点。为了比赛公平，静静和欢欢的起跑线应相差( )米。 【答案】6.28 【分析】观察图形可知，直道的长度一定，跑道两端的两个半圆可以组合成一个圆，那么相邻跑道的起跑线的差距就是相邻的外圆与内圆的周长差。根据圆的周长公式求出相邻外圆周长与内圆周长的差即可。由图知：内圆半径为32米，相邻外圆半径比内圆半径多1米，即，代入周长公式求解即可。 【详解】 所以静静和欢欢的起跑线应相差6.28米。 9．“淮超”足球联赛于2025年11月29日开赛，2026年1月11日结束。第一阶段小组赛采用分组积分赛制，9支球队分A、B两个组，A组4支队伍，B组5支队伍，各组每两支球队赛一场。各小组排名前2名的球队进入名次赛。第二阶段名次赛采用单回合淘汰赛制，胜者进入决赛，负者争夺季军。 (1)“淮超”足球联赛小组赛一共进行多少场比赛？ (2)“淮超”足球联赛一共进行多少场比赛？ 【答案】(1)16 场 (2)20 场 【分析】（1）A组4支队伍，B组5支队伍，小组赛每两支球队赛一场，分组计算不重复的场次：第一支对另外3支，第二支对剩下2支，以此类推，第三支对第四支；B组共5支队伍，分组计算不重复的场次与A组相同，第一支对另外4支，第二支队剩下3支，以此类推。 （2）进入单回合淘汰赛的队伍是各小组前两名，共有2＋2＝4支队伍。淘汰赛阶段：半决赛2场，决赛1场，季军赛1场。最后与小组赛的比赛场次相加，即为“淮超”足球联赛一共进行多少场比赛。 【详解】（1）（1）A组：3＋2＋1＝6（场） B组：4＋3＋2＋1＝10（场） （场） 答：小组赛一共进行16场比赛。 （2）（2）2＋1＋1＝4（场） 4＋16＝20（场） 答：联赛一共进行20场比赛。 10．标准400米跑道由两个直道和两个半圆形弯道组成。直道长度通常为87米，弯道的半径因赛道而异，但最内圈的半径一般是36米，跑道宽通常为1.22米。因为外道的弯道比内道长，所以外道的起跑线需要提前一定距离，称为“跑线前伸”。除去跑线宽度等其他因素，请计算在400米比赛中，2道起跑线应比1道前伸多少米？（结果保留两位小数） 【答案】约7.66米 【分析】标准400米跑道的直道部分长度相同，因此起跑线前伸的距离由弯道部分的长度差决定。两个弯道（两个半圆）可拼成一个完整的圆，因此只需计算两个跑道弯道（圆）的周长差。由题知1道弯道的半径为36米，2道弯道的半径为（36＋1.22）米，根据圆的周长公式C＝2πr计算出1道和2道的弯道的周长，再相减即可求出2道起跑线应比1道前伸多少米。 【详解】1道弯道周长：2×π×36＝2π×36（米） 2道弯道周长：2×π×（36＋1.22）＝2π×36＋2π×1.22（米） 2π×36＋2π×1.22－2π×36 ＝2π×1.22（米） 2×3.14×1.22 ＝6.28×1.22 ＝7.6616 ≈7.66（米） 答：2道起跑线应比1道前伸约7.66米。 11．学校操场的外圈是环形跑道，中间是活动场，如图。 （1）请你计算出中间活动场（图中阴影部分）的面积。 （2）贝贝沿着环形跑道的最外沿线跑一圈，甜甜沿着跑道的最里沿线跑一圈，谁跑的路程多？多多少米？ 【答案】（1）中间活动场的面积为2979.84平方米； （2）贝贝跑的路程多，多25.12米。 【分析】（1）图中阴影部分的面积可以分两部分：两个半圆和一个长方形。圆的半径是16米，根据圆的面积的计算公式：可求，长方形的长是68米，宽是16×2＝32（米），长方形的面积等于长乘宽，最后把两部分的面积加起来，即可解答。 （2）贝贝和甜甜各跑一圈，距离主要差在弯道上，可以分别求出两人在弯道上跑的距离，做差即可。 【详解】（1） （平方米） 答：中间活动场的面积为2979.84平方米。 （2）贝贝：3.14×20×2＝125.6（m）     甜甜：3.14×16×2＝100.48（m） 125.6＞100.48，贝贝跑的路程多 125.6－100.48＝25.12（m） 答：贝贝跑的路程多，多25.12米。 12．实验小学每年一次的跳绳比赛即将开始了。每班要派出一名同学参加一分钟单人跳绳比赛，班主任张老师了解到班里跳绳成绩突出的是张乐和李亮，派谁去呢？ (1)下面几位同学想到的方法，你认为( )的方法比较合适。 A．王伟：两人各跳一次，谁的成绩好就派谁去。 B．杨阳：看两个人的最好成绩，谁的高就派谁去。 C．马可：看两个人近段时间多次的成绩，全面分析后再决定派谁去。 (2)下面是张乐和李亮近5次抽样的跳绳成绩（每次跳一分钟，单位：个） 张乐：162、165、158、170、160 李亮：158、163、166、168、172 请从下面的统计图中选择合适的一种绘制统计图，再进行数据分析，帮助你做出决定。 (3)你认为派( )去。 【答案】(1)C (2)见详解 (3)李亮 【分析】（1）单次测试存在偶然性，多次成绩能客观反映真实水平。 （2）选择复式折线统计图，对比两人成绩波动与变化趋势，再计算平均分综合分析。 （3）依据两人成绩变化趋势，判断谁赛场发挥更占优势。 【详解】（1）看两个人近段时间多次的成绩，全面分析后再决定派谁去；我认为C的方法比较合适。 （2）如图： （3）派李亮去合适；张乐的成绩不稳定，李亮的成绩在逐步提升。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $