第四单元比和比例（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学苏教版

该小学数学第四单元“比和比例”讲义通过知识框架图系统梳理知识体系，涵盖比的概念性质、比例的意义性质、按比例分配应用等模块，用对比表格呈现比与分数、除法的联系区别，以思维导图展示转化、模型等数学思想，突出重难点内在逻辑。 讲义亮点在于“真题拔高”的分层练习设计，如用比例解答仓库货物问题、智能分拣系统任务时间计算等应用题，培养推理能力和模型意识。按比例分配的份数法与分数法解题模型，帮助基础薄弱学生掌握方法，优秀学生深入探究，支持教师精准教学与学生自主复习。

第四单元 比和比例（讲义） 知识精讲 一、单元整体知识概述 1. 知识定位 （1）本单元是小学阶段倍比关系的核心单元，承接分数乘除法知识，是学习百分数、比例尺、正反比例、统计配比的基础。 （2）本单元打通比、分数、除法三者的内在关联，实现三种形式的灵活转化，是小学数学数与代数板块的重要进阶内容。 （3）核心包含两大模块：比的基础概念与性质、比例的基础概念与性质、按比例分配实际应用。 2. 核心数学思想 （1）转化思想：比、除法、分数互相转化，简化计算与理解。 （2）模型思想：建立比的份数模型、比例等量模型，统一解决配比类问题。 （3）数形结合思想：借助份数、线段图理解按比例分配的数量关系。 二、比的基础概念 1. 比的意义 （1）定义：两个数相除又叫做两个数的比，专门用来表示两个数量之间的倍比关系。 （2）核心特征：比具有严格的顺序性，前项和后项位置不能随意调换，调换后表示的数量关系完全改变。 2. 比的各部分名称 （1）组成结构：一个完整的比由前项、比号、后项三部分组成。 ① 比号：符号为“∶”，读作“比”。 ② 前项：比号前面的数。 ③ 后项：比号后面的数。 （2）特殊规定：比的后项不能为0，与除法的除数、分数的分母不为0规则一致。 3. 比值的概念 （1）定义：比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 （2）求比值方法：前项 ÷ 后项 = 比值。 （3）比值形式：可以是整数、小数、最简分数。 （4）核心特点：比值是一个独立的数值，没有单位。 4. 比的两种书写形式 （1）标准形式：带比号形式，例如 a∶b。 （2）分数形式：可以写成分数样式，仍读作几比几，不能按分数读法读取。 三、比、分数、除法的联系与区别 1. 三者对应关系 （1）前项 ↔ 被除数 ↔ 分子 （2）比号 ↔ 除号 ↔ 分数线 （3）后项 ↔ 除数 ↔ 分母 （4）比值 ↔ 商 ↔ 分数值 （5）通用字母公式： 2. 三者本质区别 （1）比：表示两个数量之间的倍比关系，是一种关系表达。 （2）除法：是一种运算方式，用于计算求值。 （3）分数：是一个独立的数，属于数值范畴。 四、比的基本性质与化简比 1. 比的基本性质 （1）内容：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值大小不变。 （2）核心关键词：同时、相同的数、0除外，缺一不可。 （3）推导依据：由商不变规律、分数的基本性质迁移得来。 2. 最简整数比定义 （1）比的前项和后项均为整数。 （2）前项和后项的公因数只有1，两个数互为互质数。 3. 不同类型比的化简规则 （1）整数比化简 ① 前项和后项同时除以两个数的最大公因数，直接化为最简整数比。 （2）小数比化简 ① 前后项同时乘10、100、1000等整十整百数，去掉小数点转化为整数比。 ② 再按照整数比的方法继续化简至最简。 （3）分数比化简 ① 前后项同时乘两个分母的最小公倍数，消去分母转化为整数比。 ② 再化简为最简整数比。 4. 化简比与求比值的核心区别 （1）结果形式不同：化简比结果仍是一个比，有前后两项；求比值结果是单一数值。 （2）最终要求不同：化简比必须是最简整数比；比值可以是任意数值形式。 （3）书写规范不同：化简比保留比号或分数比形式；比值无比号。 五、按比例分配（核心应用） 1. 按比例分配的意义 （1）把一个总数量，按照给定的比分成若干份，求出每一份对应数量的问题，叫做按比例分配问题。 （2）本质：平均分的延伸，平均分是比为1∶1的特殊按比例分配。 2. 两种标准解题模型 （1）份数法（基础通用） ① 求总份数：将比的所有项相加，得到整体对应的总份数。 ② 求每份数量：总数量 ÷ 总份数 = 每一份对应的数量。 ③ 求各部分量：每份数量 × 对应份数 = 各部分具体数量。 （2）分数法（高效通用） ① 求出各部分份数占总份数的对应分率。 ② 总数量 × 对应分率 = 对应部分的数量。 3. 按比例分配适用场景 （1）物资分配、溶液配比、人数分配、工程量分配、几何边长面积配比等生活与数学场景。 六、比例的基础知识点 1. 比例的意义 （1）定义：表示两个比相等的式子，叫做比例。 （2）核心判定：两个比的比值相等，就可以组成比例。 （3）区别：比是两个数的关系，只有两项；比例是四个数组成的等式，有四项。 2. 比例的各部分名称 （1）组成：比例一共有四项，分为外项和内项。 ① 两端的两项叫做比例的外项。 ② 中间的两项叫做比例的内项。 3. 比例的基本性质 （1）内容：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 （2）字母表达：若a∶b＝c∶d，则ad＝bc。 （3）核心作用：判断两个比能否组成比例、解比例的唯一依据。 4. 解比例 （1）定义：求比例中的未知项，叫做解比例。 （2）解题原理：依据比例的基本性质，将比例式转化为乘法等式，再解方程求解未知项。 七、比与比例的大小规律 1. 比的变化规律 （1）后项不变，前项扩大或缩小几倍，比值同步扩大或缩小相同倍数。 （2）前项不变，后项扩大几倍，比值反而缩小几倍；后项缩小几倍，比值反而扩大几倍。 （3）前后项同时变化相同倍数，比值保持不变。 2. 比例恒定规律 （1）组成比例的两个比，比值始终相等，等式恒成立。 （2）外项积与内项积永远相等，是比例恒定不变的核心特征。 易错指引 1. 概念易错点 （1）混淆比和比例概念，误认为比就是比例。 （2）忽略比的顺序性，随意颠倒前后项位置，导致数量关系错误。 （3）比的后项为0，违背数学规则。 （4）混淆化简比和求比值的结果格式，混用写法。 2. 性质运用易错点 （1）运用比的基本性质时，只改变前项或只改变后项，不同步变化。 （2）乘除数字不统一，违反“同时、相同数”的核心要求。 （3）比例基本性质用反，混淆内项积和外项积。 3. 按比例分配易错点 （1）未求总份数，直接用总量乘单项份数。 （2）混淆部分量与总量，已知部分量求总量时误用正向公式。 （3）分配结果未验算，各部分量之和不等于总数量。 4. 转化易错点 （1）比、分数、除法互相转化时对应关系错乱。 （2）分数形式的比误读为分数，混淆数值与关系。 真题拔高 一、填空题 1．如果6m＝7n（m，n均不为0），那么m∶n＝( )∶( )。 【答案】 7 6 【分析】比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。 在m∶n＝（   ）∶（    ）中，m和后面括号里的数是外项，n和前面括号里的数是内项。在等式6m＝7n中，m和6相乘、n和7相乘。把m当作比例的第一个外项，另一个外项就是6；剩下的n和7就是两个内项。 【详解】6m＝7n m∶n＝7∶6 2．如果3m＝2n（m、n都不为0），那么m∶n＝( )∶( )；如果（x、y都不为0），那么x∶y＝( )∶( )。 【答案】 2 3 5 4 【分析】根据比例的基本性质，两外项之积等于两内项之积，把3m＝2n（m、n都不为0）中的3和m看作外项，2和n看作内项，根据外项∶内项＝内项∶外项，即可写出m∶n的比；中，x和4看作外项，5和y看作内项，根据外项∶内项＝内项∶外项，即可写出x∶y的比 【详解】根据分析可知，如果3m＝2n（m、n都不为0），那么m∶n＝2∶3；如果（x、y都不为0），那么x∶y＝5∶4。 3．如果a＝b，那么a∶b＝( )（填最简整数比）。在一个比例中，两个外项的乘积是最小的合数，一个内项是3，另一个内项是( )。 【答案】 5∶6 / 【分析】已知a＝b，根据比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，可以把a和看作比例的外项，b和看作比例的内项，那么可得a∶b＝∶，最后求出最简整数比； 在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，已知两个外项的积是最小的合数4，则两个内项的积也是4，又已知一个内项是3，所以用积除以其中一个内项求另一个内项。 【详解】由a＝b，可得a∶b＝∶＝（×15）∶（×15）＝10∶12＝（10÷2）∶（12÷2）＝5∶6 4÷3＝ 所以，如果a＝b，那么a∶b＝5∶6（填最简整数比）。在一个比例中，两个外项的乘积是最小的合数，一个内项是3，另一个内项是。 4．在一个神秘的数学王国里，比例关系如同魔法规则一样重要。现在有一个特殊的比例，两个内项的积是最小的合数，其中一个外项是8，则另一个外项是( )；24的因数有( )个，选取其中的四个组成比例，且这个比例的两个比的比值都为0.5，符合条件的比例可以是( )。 【答案】 0.5 8 1∶2＝3∶6（答案不唯一） 【分析】已知一个比例的两个内项的积是最小的合数，即为4，根据比例的基本性质，那么这个比例的两个外项的积也是4，用两个外项的积除以已知的一个外项，即可求出另一个外项； 先列举出24所有的因数，并数出个数；再根据比例的意义，从中找出两组比值都为0.5的比，即可组成比例。 【详解】另一个外项是：4÷8＝0.5 24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 故24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，共8个。 1÷2＝0.5 3÷6＝0.5 4÷8＝0.5 12÷24＝0.5 故符合条件的比例可以是1∶2＝3∶6（答案不唯一） 5．如果3x＝8y，那么x∶y＝( )∶( )。 【答案】 【分析】利用比例的基本性质，在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。把3和x看作比例的两个外项，把8和y看作比例的两个内项，据此即可解答。 【详解】根据分析得，如果，那么。 6．把“时∶4分”化成最简整数比是( )。 【答案】10∶1 【分析】单位不同先统一单位，1时＝60分，把时换算成分，再前后项同时除以最大公因数化成最简整数比。 【详解】（分） 7．同样一份手抄报，小明完成需要时，小红完成需要1.2时，小明与小红的工作速度最简整数比是( )。 【答案】3∶2 【分析】把完成手抄报看作单位“1”，根据工作效率＝工作量÷工作时间，分别求出小明的工作效率，小红的工作效率，再根据比的意义，用小明的工作效率∶小红的工作效率，据此解答。 【详解】（1÷）∶（1÷1.2） ＝（1×）∶（1÷） ＝（1×）∶（1×） ＝∶ ＝（×12）∶（×12） ＝15∶10 ＝（15÷5）∶（10÷5） ＝3∶2 8．在一个比例中，两外项之积是8，其中一个内项是最小的质数，则另一个内项是( )。 【答案】 【分析】据比例的基本性质：比例中，两个外项的积等于两个内项的积；已知两外项之积是8，因此两个内项的积也为8；最小的质数是2，即其中一个内项是2；所以用两个内项的积除以已知内项，即可得到另一个内项的数值。 【详解】 另一个内项是4。 9．x，y均不为0，如果，那么xy＝( )；如果x÷1.5＝y÷4，那么x∶y＝( )∶( )。 【答案】 3 3 8 【分析】根据比例的基本性质：在比例里，两外项之积等于两内项之积，据此解答。 【详解】如果，那么； 如果，那么，。 10．将4、6、和这四个数组成一个比例：( )，这个比例的内项之积是( )。 【答案】 【分析】在比例里，两个内项的积等于两个外项的积，首先把可以组成的比例列举出来，计算出内项积结果。 【详解】这四个数可以组成的正确比例有： …… （答案不唯一） 以为例，内项之积是：。 二、选择题 11．将5克盐溶解在150克水中，盐与盐水的质量比是（    ）。 A．1∶15 B．1∶30 C．1∶31 D．1∶29 【答案】C 【分析】盐水的质量等于盐的质量加上水的质量，先求出盐水的质量，再写出盐与盐水质量的比，最后根据比的基本性质化成最简整数比。 【详解】5＋150＝155（克） 5∶155＝（5÷5）∶（155÷5）＝1∶31 12．比例2∶3＝6∶9的外项2加上6，要使比例成立，内项6应该（）。 A．乘6 B．乘4 C．加上6 D．加上10 【答案】B 【分析】根据比例的基本性质，在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。先求出变化后的外项，计算出新的外项积，再与原内项积进行比较，得出内项的变化倍数，从而确定内项6应该如何变化。 【详解】原比例为，根据比例的基本性质可知：。 外项加上后变为：。新的外项积为：。 要使比例成立，新的内项积也应等于。 因为，所以新的内项积是原内项积的4倍。因为其中一个内项不变，所以另一个内项应该扩大到原来的倍，即乘。 13．一杯奶茶中的含奶率是10%，则奶与茶的质量比是（    ）。 A．1∶9 B．1∶10 C．1∶11 D．1∶20 【答案】A 【分析】将奶茶的总质量看作单位“1”，奶的质量是奶茶总质量的10%，用奶茶的总质量“1”减去奶质量的百分数，求出茶质量的百分数，再根据比的意义写出奶与茶的质量比，并利用比的基本性质进行化简。 【详解】 奶与茶的质量比： 14．如图，三角形ABC中，AD＝DC，EB＝2AE，则甲、丙的面积比是（    ）。 A．1∶2 B．1∶5 C．3∶4 D．1∶4 【答案】D 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2可知，等底等高的三角形面积相等，高相等的三角形的面积比等于底的长度比；观察图，找到甲的面积与△ACE面积的关系，再找到乙的面积与△ACE面积的关系，从而得出甲、丙的面积比。 【详解】因为底边AD、CD在AC上共线，高均为点E到AC的距离，且AD＝DC，所以△ADE与△CDE等底同高，故＝＝，即＝2； 因为EB＝2AE，所以AE：EB＝1：2，△ACE和△BCE同高（底边AE、EB在AB上共线，高均为点C到AB的距离），两个三角形的面积比等于底边长度之比，即＝1：2，故＝2； 又因为＝2；，所以＝2×2＝4；即甲、丙的面积比是1∶4。 15．下面的比中能与3∶8组成比例的是（    ）。 A．6∶16 B．4∶6 C．8∶3 D．3.5∶6 【答案】A 【分析】根据比例的意义，表示两个比相等的式子叫做比例。判断两个比能否组成比例，关键是看它们的比值是否相等。 【详解】 A．，因为0.375＝0.375，比值相等，此选项正确； B．，因为，比值不相等，此选项错误； C．，因为，比值不相等，此选项错误； D．，因为，比值不相等，此选项错误。 三、判断题 16．在楚超联赛的一场比赛中，黄冈队以6∶0大胜神农架队，说明比的后项能为0。( ) 【答案】 × 【分析】根据两个数相除又叫做两个数的比。比与除法的关系是：比的前项相当于被除数，比的后项相当于除数。因为在除法中除数不能为，所以比的后项也不能为，据此解答。 【详解】比赛中的只是记分形式，表示两队得分的相差关系，不是数学意义上的比。 故答案为：× 17．将3、5、6和10写成一组比例是。( ) 【答案】× 【分析】判断一个式子是否为比例，依据是看两个比的比值是否相等，或者验证两个外项的积是否等于两个内项的积。虽然、、、这四个数能组成比例，但题干给出的具体式子不满足比例成立的条件。 【详解】根据比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 对于式子， 两个外项分别是和，两个内项分别是和。 计算两个外项的积： 计算两个内项的积： 因为，即两个外项的积不等于两个内项的积。 所以不能构成比例。题目说法错误。 故答案为：× 18．已知甲数是乙数的2倍，则甲数与乙数的比是2∶1。( ) 【答案】√ 【详解】甲数是乙数的2倍，把乙数看作1份，则甲数是2份，所以甲数与乙数的比为2∶1，原题说法正确。 故答案为：√ 19．两杯糖水，甲杯糖与糖水的质量比是1∶5，乙杯糖有20g，水有100g。两杯糖水一样甜。( ) 【答案】× 【分析】甜度由糖占糖水的质量比决定。甲杯糖与糖水的质量比是1∶5，即糖占糖水的比例为。乙杯糖有20g，水有100g，糖水质量为糖与水之和，即20g＋100g＝120g，糖占糖水的比例为。比较两杯糖水的浓度：，因此浓度不同，甜度不同。 【详解】甲杯糖与糖水的质量比是1∶5，糖占糖水的比例为。 乙杯糖水质量为20g＋100g＝120g，糖占糖水的比例为。 因为，所以两杯糖水的浓度不同，不一样甜。 所以，题目说法错误。 故答案为：× 20．将4∶5的前项加上12，要使比值不变，后项也要加12。( ) 【答案】× 【分析】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。用比的前项加上12，再除以比的前项，求出比的前项扩大到原来的几倍，则比的后项也扩大到原来的几倍，再用扩大后比的后项减去原来比的后项，即可解答。 【详解】（4＋12）÷4 ＝16÷4 ＝4 5×4－5 ＝20－5 ＝15 将4∶5的前项加上12，要使比值不变，后项要加15。原题干说法错误。 故答案为：× 四、计算题 21．解方程和解比例。          【答案】x＝6；x＝28；x＝3 【分析】（1）先根据等式的性质1，方程两边同时加上4.5；再根据等式的性质2，方程两边同时除以2求解。 （2）先把百分数转化为小数，再化简方程，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以0.65求解。 （3）先根据比例的基本性质，将比例转化为方程3x＝×12；再化简方程，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以3求解。 【详解】（1）2x－4.5＝7.5 解：2x－4.5＋4.5＝7.5＋4.5 2x＝12 2x÷2＝12÷2 x＝6 （2）x－35％x＝18.2 解：x－0.35x＝18.2 0.65x＝18.2 0.65x÷0.65＝18.2÷0.65 x＝28 （3）∶x＝3∶12 解：3x＝×12 3x＝9 3x÷3＝9÷3 x＝3 五、作图题 22．下面每个方格的边长表示1厘米。按要求画图。 （1）画一个长方形，面积是48平方厘米，长与宽的比是。 （2）给第（1）小题中的长方形涂色，使得涂色部分与空白部分的比是。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）长与宽的比是4∶3，把长看作4份，宽看作3份。长方形面积＝长×宽，4×3＝12，面积是48平方厘米，因此1份的面积是：48÷12＝4（平方厘米）。因为4＝2×2，所以1份的长度为2厘米，长占4份，长为2×4＝8（厘米）；宽占3份，宽为2×3＝6（厘米）。因为每个方格的边长都表示1厘米，所以在方格图中，画一个长为8个方格，宽为6个方格的长方形。 （2）长方形的面积是48平方厘米，涂色部分与空白部分的比是，5＋11＝16，则48平方厘米对应16份，48÷16＝3（平方厘米），涂色部分有5份，用3×5＝15（平方厘米），空白部分是11份，3×11＝33（平方厘米）。因为每个方格的边长都表示1厘米，所以每个小格的面积为1平方厘米，则给这个长方形涂色15格即可。 【详解】（1）4×3＝12 48÷12＝4（平方厘米） 4＝2×2 即1份的长度为2厘米。 长：2×4＝8（厘米） 宽：2×3＝6（厘米） 在方格图中，画一个长为8个方格，宽为6个方格的长方形，作图如下： （2）5＋11＝16 48÷16＝3（平方厘米） 3×5＝15（平方厘米） 3×11＝33（平方厘米） 作图如下： 六、解答题 23．甲、乙两个仓库原有货物的质量比是4∶5，后来甲、乙仓库都运出1.8吨货物，这时甲、乙两个仓库货物的质量比是2∶3。原来甲、乙两个仓库各有多少吨货物？（用比例解答） 【答案】甲仓库3.6吨，乙仓库4.5吨 【分析】根据原来甲、乙两个仓库货物的质量比是4∶5，可以设原来甲仓库货物有4x吨，乙仓库货物有5x吨。两个仓库都运出货物后，甲仓库剩（4x－1.8）吨，乙仓库剩（5x－1.8）吨。根据这时甲、乙两个仓库货物的质量比是2∶3，列出比例方程，解出x的值，进而求出原来甲、乙两个仓库各有多少吨货物。 【详解】解：设原来甲仓库货物有4x吨，乙仓库货物有5x吨。 原来甲仓库：4×0.9＝3.6（吨） 原来乙仓库：5×0.9＝4.5（吨） 答：原来甲仓库有3.6吨货物，乙仓库有4.5吨货物。 24．中国快递越来越“科技范儿”。分拣机器人、大数据AI调试等智能设备系统已成为物流仓库的“隐形指挥官”。某分拣仓库自采用智能分拣系统后，仓库分拣快递能力得到了很大提升，3分钟即可处理快递4800件，分拣准确率达99.99%。照这样计算，要完成7.2万件的分拣任务，需要多长时间？（用比例解答） 【答案】45分钟 【详解】分拣速度不变，分拣快递的总件数与所需时间成正比，据此列出比例并求出未知数的值得解。 【解答】解：设完成7.2万件的分拣任务需要x分钟，则： 7.2万件＝72000件 72000∶x＝4800∶3 ＝45 答：完成7.2万件的分拣任务需要45分钟。 25．五一节期间，王老师一家出去旅游，他们上午8：00从东莞出发，以90千米/时的平均速度行驶了1小时40分钟到达惠州。在总面积3.2平方千米的惠州西湖风景名胜区游览了4小时，当晚入住惠州。第二天王老师一家继续出发，中午到达了梅州市。已知东莞到惠州与惠州到梅州的路程比是2∶3。当汽车到达惠州时，油箱里的油由原来的满箱到剩下箱。 (1)求东莞途经惠州市到梅州市的路程。 (2)王老师能否用剩下的油开到梅州市？请用你喜欢的方式说明。 【答案】(1)375千米 (2)能 【分析】（1）先求东莞到惠州的路程。速度90千米每时，时间1小时40分钟，换算成小时为小时，即小时。路程＝速度×时间。东莞到惠州与惠州到梅州的路程比是2∶3，东莞到惠州路程占2份，惠州到梅州占3份。用东莞到惠州路程除以2求出一份，再乘总份数5份，得到总路程。 （2）满箱油到惠州剩下箱，说明东莞到惠州用掉1减等于箱油。箱油行驶的路程是东莞到惠州的路程。惠州到梅州的路程占东莞到惠州的倍。惠州到梅州需要的油是箱的。 【详解】（1）1小时40分钟＝小时＝小时 东莞到惠州路程：90×＝150（千米） 一份：150÷2＝75（千米） 总路程： 75×（2＋3） ＝75×5 ＝375（千米） 答：东莞途经惠州到梅州的路程是375千米。 （2）东莞到惠州用油：1－＝（箱），惠州到梅州路程是东莞到惠州的，用油：＝（箱） 剩下油箱，＞。 答：能开到梅州市。 26．一块金牌重412g，其中所含的黄金质量与金牌总质量的比为3∶206，做202块这样的金牌需要黄金多少克？ 【答案】1212克 【分析】根据黄金质量与金牌总质量的比为，把金牌总质量看作单位“1”，黄金质量占金牌总质量的。先根据分数乘法的意义，用一块金牌的总质量乘求出一块金牌中黄金的质量，再乘求出做块这样的金牌需要黄金的总质量。 【详解】（克） （克） 答：做202块这样的金牌需要黄金1212克。 27．某商场春节期间举行促销活动，所有商品一律降价出售。A，B两款高达的原价比是5∶4，如果它们的价格都下降80元，那么它们的价格比变为3∶2。A，B两款高达的原价各是多少元？ 【答案】200元；160元 【分析】此题可以列方程解答，设A款高达的原价为元，B款高达的原价为元，根据价格都下降80元后价格比变为3∶2这个条件来列方程求解。 【详解】解：设A款高达的原价为元，B款高达的原价为元， A：（元） B：（元） 答：A款高达的原价是200元，B款高达的原价是160元。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 比和比例（讲义） 知识精讲 一、单元整体知识概述 1. 知识定位 （1）本单元是小学阶段倍比关系的核心单元，承接分数乘除法知识，是学习百分数、比例尺、正反比例、统计配比的基础。 （2）本单元打通比、分数、除法三者的内在关联，实现三种形式的灵活转化，是小学数学数与代数板块的重要进阶内容。 （3）核心包含两大模块：比的基础概念与性质、比例的基础概念与性质、按比例分配实际应用。 2. 核心数学思想 （1）转化思想：比、除法、分数互相转化，简化计算与理解。 （2）模型思想：建立比的份数模型、比例等量模型，统一解决配比类问题。 （3）数形结合思想：借助份数、线段图理解按比例分配的数量关系。 二、比的基础概念 1. 比的意义 （1）定义：两个数相除又叫做两个数的比，专门用来表示两个数量之间的倍比关系。 （2）核心特征：比具有严格的顺序性，前项和后项位置不能随意调换，调换后表示的数量关系完全改变。 2. 比的各部分名称 （1）组成结构：一个完整的比由前项、比号、后项三部分组成。 ① 比号：符号为“∶”，读作“比”。 ② 前项：比号前面的数。 ③ 后项：比号后面的数。 （2）特殊规定：比的后项不能为0，与除法的除数、分数的分母不为0规则一致。 3. 比值的概念 （1）定义：比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 （2）求比值方法：前项 ÷ 后项 = 比值。 （3）比值形式：可以是整数、小数、最简分数。 （4）核心特点：比值是一个独立的数值，没有单位。 4. 比的两种书写形式 （1）标准形式：带比号形式，例如 a∶b。 （2）分数形式：可以写成分数样式，仍读作几比几，不能按分数读法读取。 三、比、分数、除法的联系与区别 1. 三者对应关系 （1）前项 ↔ 被除数 ↔ 分子 （2）比号 ↔ 除号 ↔ 分数线 （3）后项 ↔ 除数 ↔ 分母 （4）比值 ↔ 商 ↔ 分数值 （5）通用字母公式： 2. 三者本质区别 （1）比：表示两个数量之间的倍比关系，是一种关系表达。 （2）除法：是一种运算方式，用于计算求值。 （3）分数：是一个独立的数，属于数值范畴。 四、比的基本性质与化简比 1. 比的基本性质 （1）内容：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值大小不变。 （2）核心关键词：同时、相同的数、0除外，缺一不可。 （3）推导依据：由商不变规律、分数的基本性质迁移得来。 2. 最简整数比定义 （1）比的前项和后项均为整数。 （2）前项和后项的公因数只有1，两个数互为互质数。 3. 不同类型比的化简规则 （1）整数比化简 ① 前项和后项同时除以两个数的最大公因数，直接化为最简整数比。 （2）小数比化简 ① 前后项同时乘10、100、1000等整十整百数，去掉小数点转化为整数比。 ② 再按照整数比的方法继续化简至最简。 （3）分数比化简 ① 前后项同时乘两个分母的最小公倍数，消去分母转化为整数比。 ② 再化简为最简整数比。 4. 化简比与求比值的核心区别 （1）结果形式不同：化简比结果仍是一个比，有前后两项；求比值结果是单一数值。 （2）最终要求不同：化简比必须是最简整数比；比值可以是任意数值形式。 （3）书写规范不同：化简比保留比号或分数比形式；比值无比号。 五、按比例分配（核心应用） 1. 按比例分配的意义 （1）把一个总数量，按照给定的比分成若干份，求出每一份对应数量的问题，叫做按比例分配问题。 （2）本质：平均分的延伸，平均分是比为1∶1的特殊按比例分配。 2. 两种标准解题模型 （1）份数法（基础通用） ① 求总份数：将比的所有项相加，得到整体对应的总份数。 ② 求每份数量：总数量 ÷ 总份数 = 每一份对应的数量。 ③ 求各部分量：每份数量 × 对应份数 = 各部分具体数量。 （2）分数法（高效通用） ① 求出各部分份数占总份数的对应分率。 ② 总数量 × 对应分率 = 对应部分的数量。 3. 按比例分配适用场景 （1）物资分配、溶液配比、人数分配、工程量分配、几何边长面积配比等生活与数学场景。 六、比例的基础知识点 1. 比例的意义 （1）定义：表示两个比相等的式子，叫做比例。 （2）核心判定：两个比的比值相等，就可以组成比例。 （3）区别：比是两个数的关系，只有两项；比例是四个数组成的等式，有四项。 2. 比例的各部分名称 （1）组成：比例一共有四项，分为外项和内项。 ① 两端的两项叫做比例的外项。 ② 中间的两项叫做比例的内项。 3. 比例的基本性质 （1）内容：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 （2）字母表达：若a∶b＝c∶d，则ad＝bc。 （3）核心作用：判断两个比能否组成比例、解比例的唯一依据。 4. 解比例 （1）定义：求比例中的未知项，叫做解比例。 （2）解题原理：依据比例的基本性质，将比例式转化为乘法等式，再解方程求解未知项。 七、比与比例的大小规律 1. 比的变化规律 （1）后项不变，前项扩大或缩小几倍，比值同步扩大或缩小相同倍数。 （2）前项不变，后项扩大几倍，比值反而缩小几倍；后项缩小几倍，比值反而扩大几倍。 （3）前后项同时变化相同倍数，比值保持不变。 2. 比例恒定规律 （1）组成比例的两个比，比值始终相等，等式恒成立。 （2）外项积与内项积永远相等，是比例恒定不变的核心特征。 易错指引 1. 概念易错点 （1）混淆比和比例概念，误认为比就是比例。 （2）忽略比的顺序性，随意颠倒前后项位置，导致数量关系错误。 （3）比的后项为0，违背数学规则。 （4）混淆化简比和求比值的结果格式，混用写法。 2. 性质运用易错点 （1）运用比的基本性质时，只改变前项或只改变后项，不同步变化。 （2）乘除数字不统一，违反“同时、相同数”的核心要求。 （3）比例基本性质用反，混淆内项积和外项积。 3. 按比例分配易错点 （1）未求总份数，直接用总量乘单项份数。 （2）混淆部分量与总量，已知部分量求总量时误用正向公式。 （3）分配结果未验算，各部分量之和不等于总数量。 4. 转化易错点 （1）比、分数、除法互相转化时对应关系错乱。 （2）分数形式的比误读为分数，混淆数值与关系。 真题拔高 一、填空题 1．如果6m＝7n（m，n均不为0），那么m∶n＝( )∶( )。 2．如果3m＝2n（m、n都不为0），那么m∶n＝( )∶( )；如果（x、y都不为0），那么x∶y＝( )∶( )。 3．如果a＝b，那么a∶b＝( )（填最简整数比）。在一个比例中，两个外项的乘积是最小的合数，一个内项是3，另一个内项是( )。 4．在一个神秘的数学王国里，比例关系如同魔法规则一样重要。现在有一个特殊的比例，两个内项的积是最小的合数，其中一个外项是8，则另一个外项是( )；24的因数有( )个，选取其中的四个组成比例，且这个比例的两个比的比值都为0.5，符合条件的比例可以是( )。 5．如果3x＝8y，那么x∶y＝( )∶( )。 6．把“时∶4分”化成最简整数比是( )。 7．同样一份手抄报，小明完成需要时，小红完成需要1.2时，小明与小红的工作速度最简整数比是( )。 8．在一个比例中，两外项之积是8，其中一个内项是最小的质数，则另一个内项是( )。 9．x，y均不为0，如果，那么xy＝( )；如果x÷1.5＝y÷4，那么x∶y＝( )∶( )。 10．将4、6、和这四个数组成一个比例：( )，这个比例的内项之积是( )。 二、选择题 11．将5克盐溶解在150克水中，盐与盐水的质量比是（    ）。 A．1∶15 B．1∶30 C．1∶31 D．1∶29 12．比例2∶3＝6∶9的外项2加上6，要使比例成立，内项6应该（）。 A．乘6 B．乘4 C．加上6 D．加上10 13．一杯奶茶中的含奶率是10%，则奶与茶的质量比是（    ）。 A．1∶9 B．1∶10 C．1∶11 D．1∶20 14．如图，三角形ABC中，AD＝DC，EB＝2AE，则甲、丙的面积比是（    ）。 A．1∶2 B．1∶5 C．3∶4 D．1∶4 15．下面的比中能与3∶8组成比例的是（    ）。 A．6∶16 B．4∶6 C．8∶3 D．3.5∶6 三、判断题 16．在楚超联赛的一场比赛中，黄冈队以6∶0大胜神农架队，说明比的后项能为0。( ) 17．将3、5、6和10写成一组比例是。( ) 18．已知甲数是乙数的2倍，则甲数与乙数的比是2∶1。( ) 19．两杯糖水，甲杯糖与糖水的质量比是1∶5，乙杯糖有20g，水有100g。两杯糖水一样甜。( ) 20．将4∶5的前项加上12，要使比值不变，后项也要加12。( ) 四、计算题 21．解方程和解比例。          五、作图题 22．下面每个方格的边长表示1厘米。按要求画图。 （1）画一个长方形，面积是48平方厘米，长与宽的比是。 （2）给第（1）小题中的长方形涂色，使得涂色部分与空白部分的比是。 六、解答题 23．甲、乙两个仓库原有货物的质量比是4∶5，后来甲、乙仓库都运出1.8吨货物，这时甲、乙两个仓库货物的质量比是2∶3。原来甲、乙两个仓库各有多少吨货物？（用比例解答） 24．中国快递越来越“科技范儿”。分拣机器人、大数据AI调试等智能设备系统已成为物流仓库的“隐形指挥官”。某分拣仓库自采用智能分拣系统后，仓库分拣快递能力得到了很大提升，3分钟即可处理快递4800件，分拣准确率达99.99%。照这样计算，要完成7.2万件的分拣任务，需要多长时间？（用比例解答） 25．五一节期间，王老师一家出去旅游，他们上午8：00从东莞出发，以90千米/时的平均速度行驶了1小时40分钟到达惠州。在总面积3.2平方千米的惠州西湖风景名胜区游览了4小时，当晚入住惠州。第二天王老师一家继续出发，中午到达了梅州市。已知东莞到惠州与惠州到梅州的路程比是2∶3。当汽车到达惠州时，油箱里的油由原来的满箱到剩下箱。 (1)求东莞途经惠州市到梅州市的路程。 (2)王老师能否用剩下的油开到梅州市？请用你喜欢的方式说明。 26．一块金牌重412g，其中所含的黄金质量与金牌总质量的比为3∶206，做202块这样的金牌需要黄金多少克？ 27．某商场春节期间举行促销活动，所有商品一律降价出售。A，B两款高达的原价比是5∶4，如果它们的价格都下降80元，那么它们的价格比变为3∶2。A，B两款高达的原价各是多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $