单元复习讲义：专题09 因数与倍数（考点梳理+例题讲解+举一反三+提升练习）-2026-2027学年数学五年级上册（苏教版·新教材）

该小学数学“因数与倍数”专题复习讲义通过内容导航与考点梳理构建系统知识框架，覆盖因数倍数认识、找因数倍数、2/3/5倍数特征等八个考点，以定义解析、特征归纳、方法步骤呈现知识脉络，突出概念间的内在联系。 讲义亮点在于“考点-题型-练习”三阶设计，典例结合变式训练，如用“分方巾求最大公因数”“扎花束算最小公倍数”等实际问题，培养运算能力与应用意识。提升练习分层设置，基础题巩固概念，综合题发展推理思维，助力教师实施精准教学，学生自主复习时可按需突破。

专题09 因数与倍数 内容导航 考点梳理 1 考点一、因数和倍数的认识 1 考点二、找一个数的因数及因数的特征 1 考点三、找一个数的倍数及倍数的特征 2 考点四、2、3、5的倍数特征 2 考点五、质数与合数的认识 2 考点六、质因数 3 考点七、公因数与最大公因数 3 考点八、公倍数与最小公倍数 4 例题讲解 4 题型一、因数和倍数的认识 4 题型二、找一个数的因数及因数的特征 4 题型三、找一个数的倍数及倍数的特征 5 题型四、2、3、5的倍数特征 5 题型五、质数与合数的认识 5 题型六、质因数 6 题型七、公因数与最大公因数 6 题型八、公倍数与最小公倍数 7 提升练习 7 考点梳理 考点一、因数和倍数的认识 1. 定义前提：在研究因数和倍数时，所说的数一般指非零自然数（即1, 2, 3...）。 2. 相互依存关系： (1) 如果 （ 均为非零自然数），那么 和 是 的因数， 是 和 的倍数。 (2) 注意：因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数，必须说“谁是谁的因数”或“谁是谁的倍数”。 3. 整除关系：因数与倍数的关系建立在整除基础上，即除法算式中商是整数且没有余数。 考点二、找一个数的因数及因数的特征 1. 寻找方法： (1) 乘法配对法：想哪两个数相乘等于这个数。例如找12的因数： 。 (2) 除法列举法：用这个数依次除以1, 2, 3...，直到商小于或等于除数为止。能整除的除数和商都是它的因数。 (3) 有序书写：从小到大一对一对地写，避免重复和遗漏。 2. 因数的特征： (1) 一个数的因数个数是有限的。 (2) 最小的因数是 1。 (3) 最大的因数是 它本身。 考点三、找一个数的倍数及倍数的特征 1. 寻找方法：用这个数分别乘 1, 2, 3, 4, 5...，所得的积就是它的倍数。 2. 倍数的特征： (1) 一个数的倍数个数是无限的。 (2) 最小的倍数是 它本身。 (3) 没有最大的倍数。 考点四、2、3、5的倍数特征 1. 2的倍数特征： (1) 个位上是 0, 2, 4, 6, 8 的数。 (2) 偶数：自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）。 (3) 奇数：自然数中，不是2的倍数的数叫做奇数。 2. 5的倍数特征：个位上是 0 或 5 的数。 3. 2和5共同的倍数特征：个位上是 0 的数。 4. 3的倍数特征： (1) 各个数位上的数字之和是3的倍数。 (2) 注意：判断3的倍数不能只看个位，必须看所有数位数字之和。 5. 2、3、5共同的倍数特征：个位是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数（即同时满足2、5和3的特征）。 考点五、质数与合数的认识 1. 分类标准：根据一个数因数的个数进行分类。 2. 质数（素数）： (1) 只有 1 和 它本身 两个因数的数。 (2) 最小的质数是 2（也是唯一的偶数质数）。 (3) 常见的20以内质数：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19。 3. 合数： (1) 除了1和它本身外，还有别的因数的数（即至少有3个因数）。 (2) 最小的合数是 4。 4. 特殊数 1：1 只有1个因数，它既不是质数，也不是合数。 5. 自然数分类： (1) 按是否为2的倍数分：奇数、偶数。 (2) 按因数个数分：1、质数、合数。 考点六、质因数 1. 定义：如果一个质数是某个数的因数，那么这个质数就是这个数的质因数。 2. 分解质因数： (1) 把一个合数写成几个质数相乘的形式。 (2) 短除法步骤： 1　 用能整除该合数的最小质数去除。 2　 如果商是合数，继续用质数去除。 3　 直到商是质数为止。 4　 把所有的除数和最后的商连乘起来。 (3) 示例： 。 (4) 注意：1不能做质因数；分解结果必须是连乘形式，且因子必须全是质数。 考点七、公因数与最大公因数 1. 公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。 2. 最大公因数：公因数中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 3. 找法： (1) 列举法：分别列出各数的因数，找出公共部分，取最大值。 (2) 短除法：用几个数公有的质因数连续去除，直到商互质为止，所有除数的乘积即为最大公因数。 4. 特殊情况： (1) 当两个数成倍数关系时，较小数是它们的最大公因数。 (2) 当两个数只有公因数1时（互质），最大公因数是 1。 考点八、公倍数与最小公倍数 1. 公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。 2. 最小公倍数：公倍数中最小的一个（0除外），叫做这几个数的最小公倍数。 3. 找法： (1) 列举法：分别列出各数的倍数，找出第一个公共的倍数。 (2) 短除法：用几个数公有的质因数连续去除，直到商互质为止，所有除数和商的乘积即为最小公倍数。 4. 特殊情况： (1) 当两个数成倍数关系时，较大数是它们的最小公倍数。 (2) 当两个数只有公因数1时（互质），最小公倍数是它们的乘积。 例题讲解 题型一、因数和倍数的认识 【典例例题】如果a×b＝12（a、b都是非零自然数），则a和b是12的( )，12是a和b的( )。 举一反三 【变式训练1】因为4.5÷0.5＝9，所以4.5是0.5的倍数。( ) 【变式训练2】（    ）是任何自然数（0除外）的因数。 A．3 B．1 C．2 D．5 【变式训练3】因为24÷4＝6，所以24是4的( )数，4是24的( )数。 题型二、找一个数的因数及因数的特征 【典例例题】16的因数有（    ）个。 A．3 B．4 C．5 D．6 举一反三 【变式训练1】已知a是17的因数，那么（    ）。 A．a只能是1 B．a只能是17 C．a是1或17 D．a只能是3 【变式训练2】下面的数，因数个数最多的是（    ）。 A．12 B．18 C．24 D．36 【变式训练3】写出下面各数的因数。                     题型三、找一个数的倍数及倍数的特征 【典例例题】60以内8的倍数有( )。 举一反三 【变式训练1】在24，8，12，72，216，4这些数中，24的因数有( )；24的倍数有( )。 【变式训练2】8的因数有( )；50以内12的倍数有( )。 【变式训练3】18的最大因数是( )；24的最小倍数是( )。 题型四、2、3、5的倍数特征 【典例例题】要使一个四位数46☐0同时是2，3，5的倍数，☐里最小填( )，☐里最大填( )。 举一反三 【变式训练1】17至少加上( )，所得的和是5和3的倍数，至少减去( )，所得的差是2和3的倍数。 【变式训练2】既含有2和3的因数，又含有5的因数，最大的两位数是( )，最小的三位数是( )。 【变式训练3】从0、2、5、7四个数字中任选三个数字按要求组成三位数（每种只写一个，不得重复）。2的倍数：( )3的倍数：( )同时是2、3、5的倍数：( ) 题型五、质数与合数的认识 【典例例题】在1﹣10中，质数有( )，合数有( )；其中既是偶数又是质数的是( )，既是奇数又是合数的是( )。 举一反三 【变式训练1】18的所有因数中，质数一共有（    ）个。 A．4 B．3 C．2 D．1 【变式训练2】哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”，内容是任何大于2的偶数都可以表示成两个质数之和。下面所举的四个例子，符合哥德巴赫猜想的是（    ）。 A．8＝1＋7 B．9＝2＋7 C．14＝3＋11 D．16＝6＋10 【变式训练3】清徐老陈醋工坊6个不同岗位的当班人数分别为：1，4，7，12，19，23。这6个数中，质数有( )，合数有( )，奇数有( )，偶数有( )，既不是质数也不是合数的有( )。 题型六、质因数 【典例例题】将下列各数分解质因数。 20＝( )×( )×( )    35＝( )×( ) 14＝( )×( )        18＝( )×( )×( ) 举一反三 【变式训练1】分解质因数：36＝( )；42＝( )。 【变式训练2】在括号里填上合适的质数。 91＝( )×( )  20＝( )＋( )  68＝( )×( )×( ) 【变式训练3】分解质因数。 16＝    28＝     99＝ 题型七、公因数与最大公因数 【典例例题】求下面每组数的最大公因数。 26和13          33和9 举一反三 【变式训练1】下面几组数中，公因数只有1的是（    ）。 A．14和21 B．15和16 C．18和24 D．27和9 【变式训练2】在a＝11b（b是不等于0的自然数）中，a和b的最大公因数是（    ）。 A．1 B．11 C．b D．a 【变式训练3】阳光小学五年级（1）班的学生开展“跳蚤市场”爱心义卖活动，活动结束后王老师打算将36本书和50支水笔平均奖励给参与义卖的每个小组，结果书正好分完，水笔还剩2支，五（1）班最多分成多少个小组参与这次爱心义卖活动？ 题型八、公倍数与最小公倍数 【典例例题】求出下面每组数的最小公倍数。 16和24         20和18         15和25         6和12 举一反三 【变式训练1】15和18的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 【变式训练2】已知，，和的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【变式训练3】学校举行“经典诵读”比赛，五年级2班参赛人数在30～40人之间，如果每行站9人或每行站6人，都正好站完。五年级2班参赛的学生共有多少人？ 提升练习 1．下面各组数中，第一个数是第二个数的倍数的是（    ）。 A．16和6 B．3.6和6 C．6和36 D．36和12 2．用0、2、5、8四张数字卡片摆出的四位数一定是（    ）。 A．2的倍数 B．3的倍数 C．5的倍数 D．无法确定 3．下面四个五位数中，如果Q表示数字0，P表示1~9中的任意一个数字，（    ）可以确定是2、3、5的倍数。 A．PPQPP B．PPQPQ C．PQPQP D．PQPQQ 4．“任何一个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”，这就是著名的哥德巴赫猜想，下面不能表示该猜想的是（    ）。 A．10＝3＋7 B．40＝29＋11 C．88＝19＋69 D．104＝37＋67 5．参加“淮安市52周全民阅读挑战活动”后，芳芳和明明经常去图书馆，芳芳每4天去一次，明明每5天去一次。7月2日两人在图书馆相遇，（    ）他们再次相遇。 A．7月18日 B．7月22日 C．7月20日 D．7月24日 6．阅读下面的材料，并用加横线部分文字所表示的数填空。 《三国演义》是我国古典四大名著之一，其中有很多带有数字的精彩故事如：天下一统、二士争功、桃园三结义、过五关，斩六将、七擒孟获、九伐中原、十八路诸侯讨伐董卓等。 在上面的八个数中，质数有( )，合数有( )，奇数有( )，偶数有( )；( )是( )的因数；既是2的倍数又是3的倍数的数有( )。 7．a和b均为非零自然数。若a＋1＝b，则a和b的最大公因数是( )；若5a＝b，则a和b的最小公倍数是( )。 8．如果一个数恰好等于它所有不包含自身的因数之和，这个数就叫做“完美数”，如数字6有四个因数1、2、3、6，除本身外，6＝1＋2＋3，所以6就是完美数，那么在数字9、12、15、28中，( )是完美数。 9．一个数的最小倍数是18，它的因数有( )，它的因数中有( )个质数。 10．一个三位数“41□”如果是2的倍数，□里最大填( )；如果是3的倍数，□里最小填( )；如果是5的倍数又是奇数，□里可以填( )。 11．20以内既是奇数又是合数的数有( )和( )。 12．24和18的最小公倍数是( )；14与21的最大公因数是( )。 13．一个两位数5□，它是一个偶数，且是3的倍数，这个两位数是( )，这个数分解质因数：( )。 14．在括号内填上合适的质数。 12＝( )×( )×( )    91＝( )×( ) 20＝( )＋( )＋( )    21＝( )×( ) 15．分解质因数。 57＝     87＝     91＝ 16．求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 35和105        76和24            16和88 17．下面是趣味运动会“绑腿跑”比赛报名统计表。 项目 两人组 三人组 五人组 报名人数 27 36 40 按项目类型分组，哪些项目能刚好分完没有剩余？ 18． “三月三”非遗工坊有一块长32分米、宽28分米的长方形壮锦布料。如果将它裁成若干块大小相等、边长为整分米数的正方形方巾，且布料没有剩余。裁出的正方形方巾边长最长是多少分米？一共可以剪出多少块这样的方巾？ 19．“五月五，过端午，粽香艾香飘满堂”。学校开展包粽子的劳动实践活动，五（1）班45人共包了七十几个粽子。如果把这些粽子装进盒子，4个一盒，正好装完：6个一盒，也正好装完。五（1）班共包了多少个粽子？ 20．王阿姨到昆明游玩后，返程时带回鲜花准备送亲友。她买了32枝玫瑰和24枝百合。计划用这两种花搭配扎成花束（每束花中同一种花的枝数相同），并且全部搭配完，最多能扎多少束？每束中一共有多少枝花？ 21．某地3路和18路公交车的起点站相同，3路公交车每15分钟发一次车，18路公交车每12分钟发一次车。这两路公交车上午9：20同时发车，下一次同时发车是什么时间？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 因数与倍数 内容导航 考点梳理 1 考点一、因数和倍数的认识 1 考点二、找一个数的因数及因数的特征 1 考点三、找一个数的倍数及倍数的特征 2 考点四、2、3、5的倍数特征 2 考点五、质数与合数的认识 2 考点六、质因数 3 考点七、公因数与最大公因数 3 考点八、公倍数与最小公倍数 4 例题讲解 4 题型一、因数和倍数的认识 4 题型二、找一个数的因数及因数的特征 5 题型三、找一个数的倍数及倍数的特征 6 题型四、2、3、5的倍数特征 8 题型五、质数与合数的认识 10 题型六、质因数 12 题型七、公因数与最大公因数 14 题型八、公倍数与最小公倍数 15 提升练习 17 考点梳理 考点一、因数和倍数的认识 1. 定义前提：在研究因数和倍数时，所说的数一般指非零自然数（即1, 2, 3...）。 2. 相互依存关系： (1) 如果 （ 均为非零自然数），那么 和 是 的因数， 是 和 的倍数。 (2) 注意：因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数，必须说“谁是谁的因数”或“谁是谁的倍数”。 3. 整除关系：因数与倍数的关系建立在整除基础上，即除法算式中商是整数且没有余数。 考点二、找一个数的因数及因数的特征 1. 寻找方法： (1) 乘法配对法：想哪两个数相乘等于这个数。例如找12的因数： 。 (2) 除法列举法：用这个数依次除以1, 2, 3...，直到商小于或等于除数为止。能整除的除数和商都是它的因数。 (3) 有序书写：从小到大一对一对地写，避免重复和遗漏。 2. 因数的特征： (1) 一个数的因数个数是有限的。 (2) 最小的因数是 1。 (3) 最大的因数是 它本身。 考点三、找一个数的倍数及倍数的特征 1. 寻找方法：用这个数分别乘 1, 2, 3, 4, 5...，所得的积就是它的倍数。 2. 倍数的特征： (1) 一个数的倍数个数是无限的。 (2) 最小的倍数是 它本身。 (3) 没有最大的倍数。 考点四、2、3、5的倍数特征 1. 2的倍数特征： (1) 个位上是 0, 2, 4, 6, 8 的数。 (2) 偶数：自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）。 (3) 奇数：自然数中，不是2的倍数的数叫做奇数。 2. 5的倍数特征：个位上是 0 或 5 的数。 3. 2和5共同的倍数特征：个位上是 0 的数。 4. 3的倍数特征： (1) 各个数位上的数字之和是3的倍数。 (2) 注意：判断3的倍数不能只看个位，必须看所有数位数字之和。 5. 2、3、5共同的倍数特征：个位是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数（即同时满足2、5和3的特征）。 考点五、质数与合数的认识 1. 分类标准：根据一个数因数的个数进行分类。 2. 质数（素数）： (1) 只有 1 和 它本身 两个因数的数。 (2) 最小的质数是 2（也是唯一的偶数质数）。 (3) 常见的20以内质数：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19。 3. 合数： (1) 除了1和它本身外，还有别的因数的数（即至少有3个因数）。 (2) 最小的合数是 4。 4. 特殊数 1：1 只有1个因数，它既不是质数，也不是合数。 5. 自然数分类： (1) 按是否为2的倍数分：奇数、偶数。 (2) 按因数个数分：1、质数、合数。 考点六、质因数 1. 定义：如果一个质数是某个数的因数，那么这个质数就是这个数的质因数。 2. 分解质因数： (1) 把一个合数写成几个质数相乘的形式。 (2) 短除法步骤： 1　 用能整除该合数的最小质数去除。 2　 如果商是合数，继续用质数去除。 3　 直到商是质数为止。 4　 把所有的除数和最后的商连乘起来。 (3) 示例： 。 (4) 注意：1不能做质因数；分解结果必须是连乘形式，且因子必须全是质数。 考点七、公因数与最大公因数 1. 公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。 2. 最大公因数：公因数中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 3. 找法： (1) 列举法：分别列出各数的因数，找出公共部分，取最大值。 (2) 短除法：用几个数公有的质因数连续去除，直到商互质为止，所有除数的乘积即为最大公因数。 4. 特殊情况： (1) 当两个数成倍数关系时，较小数是它们的最大公因数。 (2) 当两个数只有公因数1时（互质），最大公因数是 1。 考点八、公倍数与最小公倍数 1. 公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。 2. 最小公倍数：公倍数中最小的一个（0除外），叫做这几个数的最小公倍数。 3. 找法： (1) 列举法：分别列出各数的倍数，找出第一个公共的倍数。 (2) 短除法：用几个数公有的质因数连续去除，直到商互质为止，所有除数和商的乘积即为最小公倍数。 4. 特殊情况： (1) 当两个数成倍数关系时，较大数是它们的最小公倍数。 (2) 当两个数只有公因数1时（互质），最小公倍数是它们的乘积。 例题讲解 题型一、因数和倍数的认识 【典例例题】如果a×b＝12（a、b都是非零自然数），则a和b是12的( )，12是a和b的( )。 【答案】 因数 倍数 【分析】根据因数和倍数的定义，在非零自然数的乘法算式中，相乘的两个数都是积的因数，积是这两个数的倍数。即a×b＝12，则a和b是12的因数，12是a和b的倍数。 【详解】在算式a×b＝12中，相乘的两个数a和b是12的因数，12是a和b的倍数。 举一反三 【变式训练1】因为4.5÷0.5＝9，所以4.5是0.5的倍数。( ) 【答案】× 【分析】一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一个整数的倍数，另一个整数就是这个整数的因数。因数和倍数是在非零自然数范围内研究的，小数不符合定义条件。 【详解】虽然4.5÷0.5＝9，但4.5和0.5是小数，不是非零自然数，不符合因数和倍数的定义。因此4.5不是0.5的倍数，原题说法错误。 故答案为：× 【变式训练2】（    ）是任何自然数（0除外）的因数。 A．3 B．1 C．2 D．5 【答案】B 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。 【详解】A．3不是4的因数，排除； B．任何数乘1都得它本身，因此1是任何自然数（0除外）的因数。 C．2不是5的因数，排除； D．5不是8的因数，排除。 1是任何自然数（0除外）的因数。 【变式训练3】因为24÷4＝6，所以24是4的( )数，4是24的( )数。 【答案】 倍 因 【分析】在被除数、除数和商都是整数的除法算式中，被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，据此解答即可。 【详解】因为24÷4＝6，所以24是4的倍数，4是24的因数。 题型二、找一个数的因数及因数的特征 【典例例题】16的因数有（    ）个。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】整数a除以整数b(a、b均不为0)，商是整数且没有余数，b就是a的因数。 从小到大枚举16的所有因数，再统计个数。 【详解】16的因数：1、2、4、8、16，一共5个。 举一反三 【变式训练1】已知a是17的因数，那么（    ）。 A．a只能是1 B．a只能是17 C．a是1或17 D．a只能是3 【答案】C 【分析】因数的定义：在非零自然数范围内，如果a×b＝c （a、b、c均为非零自然数），那么a和b是c的因数。据此通过乘法算式找到17的因数。 【详解】1×17＝17，17的因数是1和17。 所以，已知a是17的因数，那么a是1或17。 【变式训练2】下面的数，因数个数最多的是（    ）。 A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】D 【分析】根据因数的定义，一个数的因数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。解题时需分别找出选项中各数的所有因数，统计因数的个数，再进行比较即可。 【详解】A．的因数有 、、、、、，共个； B．的因数有 、、、、、，共个； C．的因数有 、、、、、、、，共个； D．的因数有、、、、、、、、，共个。 因为，所以的因数个数最多。 【变式训练3】写出下面各数的因数。                     【答案】（1）；（2） 【分析】求一个数的因数，可以通过乘法算式一对一对的找，按从小到大的顺序找完即可 【详解】 的因数： 的因数： 题型三、找一个数的倍数及倍数的特征 【典例例题】60以内8的倍数有( )。 【答案】8，16，24，32，40，48，56 【分析】找一个数的倍数可以用乘法，用8分别乘1、2、3……找出60以内8的倍数即可。 【详解】8×1＝8 8×2＝16 8×3＝24 8×4＝32 8×5＝40 8×6＝48 8×7＝56 8×8＝64 64＞60 60以内8的倍数有8，16，24，32，40，48，56。 举一反三 【变式训练1】在24，8，12，72，216，4这些数中，24的因数有( )；24的倍数有( )。 【答案】 24、8、12、4 24、72、216 【分析】判断24的因数，用24除以这个数，结果无余数即为因数；判断24的倍数，用这个数除以24，结果无余数即为倍数，逐个核对数字即可。 【详解】24÷24＝1，24÷8＝3，24÷12＝2，24÷4＝6，均无余数，因此24、8、12、4是24的因数。 24÷24＝1，72÷24＝3，216÷24＝9，均无余数，因此24、72、216是24的倍数。 【变式训练2】8的因数有( )；50以内12的倍数有( )。 【答案】 1；2；4；8 12；24；36；48 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数。 用除法试商法找8的因数；用乘法列举法找12的倍数。 【详解】8÷1＝8，8÷2＝4，8÷4＝2，8÷8＝1； 12×1＝12，12×2＝24，12×3＝36，12×4＝48，12×5＝60，因为60＞50 ，所以去掉60。 8的因数有1；2；4；8；50以内12的倍数有12；24；36；48。 【变式训练3】18的最大因数是( )；24的最小倍数是( )。 【答案】 18 24 【分析】一个数的因数中最大的是它本身；一个数的倍数有无数个，其中最小的是它本身。据此直接求解即可。 【详解】18的因数有1、2、3、6、9、18，其中最大因数是18；24 的倍数有24、48、72……，其中最小倍数是24。故18的最大因数是18；24的最小倍数是24。 题型四、2、3、5的倍数特征 【典例例题】要使一个四位数46☐0同时是2，3，5的倍数，☐里最小填( )，☐里最大填( )。 【答案】 2 8 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数；个位上是0或5的数，都是5的倍数；一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。题目中46☐0的个位是0，那么它是2和5的倍数，四位数46☐0各位上的数的和是3的倍数即可。据此解答。 【详解】46□0，是2、5倍数，只需满足3的倍数：4＋6＋□＝10＋□， 即12≤10＋□≤18 当10＋□＝12时，□＝12－10＝2， 当10＋□＝15时，□＝15－10＝5， 当10＋□＝18时，□＝18－10＝8。 2＜5＜8， 所以，要使一个四位数46☐0同时是2，3，5的倍数，☐里最小填2，☐里最大填8。 举一反三 【变式训练1】17至少加上( )，所得的和是5和3的倍数，至少减去( )，所得的差是2和3的倍数。 【答案】 13 5 【分析】要使所得的和是5和3的倍数，根据公倍数的定义，这个和必须是5和3的公倍数。5和3互质，它们的最小公倍数是15。我们需要找到比17大的最小的15的倍数，计算它与17的差。 要使所得的差是2和3的倍数，根据公倍数的定义，这个差必须是2和3的公倍数。2和3互质，它们的最小公倍数是6。我们需要找到比17小的最大的6的倍数（且为非0自然数），计算17与它的差。 【详解】求至少加上的数：和的最小公倍数是。的倍数有：15、30、45……， 因为，所以比大的最小的的倍数是。 至少加上：。 求至少减去的数：和的最小公倍数是。的倍数有：6、12、18……，因为研究因数和倍数时所说的数指的是非自然数，所以差不能为。 比小的最大的的倍数是。 至少减去：。 【变式训练2】既含有2和3的因数，又含有5的因数，最大的两位数是( )，最小的三位数是( )。 【答案】 90 120 【分析】既含有2和3的因数，又含有5的因数，就代表这个数既是2和3的倍数，也是5的倍数； 2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8； 3的倍数的特征：把这个数所有数位上的数字相加，和能被3整除，这个数就是3的倍数； 5的倍数的特征：个位上是0、5；据此解答即可。 【详解】既是2又是5的倍数，这个两位数的个位上必须是0，同时要是3的倍数，即十位的数字是3的倍数，那么十位上最大的是9，该两位数是90； 既是2又是5的倍数，这个三位数的个位上必须是0，同时要是3的倍数，百位和十位上面两个数字相加为3的倍数，要想最小的三位数，那么百位上只能是1，同时十位上加1是3的倍数，并满足最小的条件，即十位上只能是2，该三位数是120。 【变式训练3】从0、2、5、7四个数字中任选三个数字按要求组成三位数（每种只写一个，不得重复）。2的倍数：( )3的倍数：( )同时是2、3、5的倍数：( ) 【答案】 （答案不唯一）； （答案不唯一）； （答案不唯一） 【分析】2的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数； 3的倍数特征：各个位上数字相加的和是3的倍数； 同时是2、3、5的倍数特征：个位数字是0，各个位上数字相加的和是3的倍数，据此解答。 【详解】（1）可选个位为0或2，任意组成不重复数字的三位数即可，如520，250，750，570符合要求（答案不唯一）； （2）三个数位的数字和是3的倍数，例如5＋0＋7＝12，12是3的倍数，因此507，570，705，750符合要求（答案不唯一）； （3）个位必须是0，且各个数位数字和是3的倍数，例如2＋7＋0＝9，9是3的倍数，因此270，720符合要求（答案不唯一）。 题型五、质数与合数的认识 【典例例题】在1﹣10中，质数有( )，合数有( )；其中既是偶数又是质数的是( )，既是奇数又是合数的是( )。 【答案】 2、3、5、7 4、6、8、9、10 2 9 【分析】一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数； 一个数，除了1和它本身外，还有其它因数，这样的数叫做合数； 1既不是质数，也不是合数，最小的质数是2； 能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数，据此解答。 【详解】在1﹣10中，质数有：2，3，5，7； 合数有：4，6，8，9，10； 既是质数又是偶数的有：2； 既是奇数又是合数的有：9。 举一反三 【变式训练1】18的所有因数中，质数一共有（    ）个。 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。据此先求出18的所有因数，再确定这些因数中质数的个数即可。 【详解】通过乘法算式找因数： 所以18的因数有：、、、、、。 根据质数的定义判断： 只有个因数，既不是质数也不是合数； 的因数有、，是质数； 的因数有、，是质数； 的因数有、、、，不是质数； 的因数有 、、，不是质数； 的因数有、、、、、，不是质数。 所以18的因数中，质数有2和3，一共有2个。 【变式训练2】哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”，内容是任何大于2的偶数都可以表示成两个质数之和。下面所举的四个例子，符合哥德巴赫猜想的是（    ）。 A．8＝1＋7 B．9＝2＋7 C．14＝3＋11 D．16＝6＋10 【答案】C 【分析】根据题干中哥德巴赫猜想的定义可知，符合要求的算式需要满足两个条件：第一，等号左边的数必须是大于的偶数；第二，等号右边的两个加数必须都是质数。据此对四个选项逐一进行验证即可。 【详解】A．8是大于2的偶数，但1不是质数，7是质数，不满足两个加数均为质数的条件，此选项错误； B．9是奇数，不满足和为偶数的条件，此选项错误； C．14是大于2的偶数，3是质数，11是质数，满足所有条件，此选项正确； D．16是大于2的偶数，但6和10都是合数，不满足两个加数均为质数的条件，此选项错误。 【变式训练3】清徐老陈醋工坊6个不同岗位的当班人数分别为：1，4，7，12，19，23。这6个数中，质数有( )，合数有( )，奇数有( )，偶数有( )，既不是质数也不是合数的有( )。 【答案】 ，， ，/12，4 ，，， ，/12，4 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数；一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数；整数中，是2的倍数的数叫作偶数；不是2的倍数的数叫作奇数；1既不是质数也不是合数。据此解答。 【详解】1既不是质数也不是合数，1不是2的倍数，1是奇数； 4的因数有1、2、4，所以4是合数，4是2的2倍，所以4也是偶数； 7的因数只有1和7，所以7是质数，7不是2的倍数，所以7也是奇数； 12的因数有1、2、3、4、6、12，所以12是合数，12是2的6倍，所以12也是偶数； 19的因数只有1和19，所以19是质数，19不是2的倍数，所以19也是奇数； 23的因数只有1和23，所以23是质数，23不是2的倍数，所以23也是奇数。 这6个数中，质数有，，；合数有4，12；奇数有，，，；偶数有4，12；既不是质数也不是合数的有1。 题型六、质因数 【典例例题】将下列各数分解质因数。 20＝( )×( )×( )    35＝( )×( ) 14＝( )×( )        18＝( )×( )×( ) 【答案】 2 2 5 5 7 2 7 2 3 3 【分析】把一个合数用几个质数相乘的形式写出来叫做分解质因数。 【详解】                             20＝2×2×5                                        35＝5×7                                  14＝2×7                                           18＝2×3×3 举一反三 【变式训练1】分解质因数：36＝( )；42＝( )。 【答案】 2×2×3×3 2×3×7 【分析】分解质因数，就是把一个合数写成几个质数相乘的形式；质数是指只有1和它本身两个因数的数；合数是指除了1和它本身还有其他因数的数；而1既不是质数也不是合数；所以分解质因数时，结果里不能出现1。 【详解】36＝2×2×3×3 42＝2×3×7 【变式训练2】在括号里填上合适的质数。 91＝( )×( )  20＝( )＋( )  68＝( )×( )×( ) 【答案】 7 13 3 17 2 2 17 【分析】质数是指只有 1 和它本身两个因数的数。把一个合数写成几个质数相乘的形式叫做分解质因数；把一个数写成两个质数相加的形式，从最小的质数开始试算，直到两个加数都是质数为止。 【详解】91＝7×13，7和13都只有1和它本身两个因数，都是质数。 20＝3＋17，3和17都是质数；也可以写成20＝7＋13，7和13也都是质数。 68＝2×2×17，2和17都只有1和它本身两个因数，都是质数。 【变式训练3】分解质因数。 16＝    28＝     99＝ 【答案】见详解 【分析】分解质因数：把一个合数写成几个质数相乘的形式叫做分解质因数。分解质因数从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止，最后把所得的质数写成相乘的形式即可。 【详解】16＝2×2×2×2 28＝2×2×7 99＝3×3×11 题型七、公因数与最大公因数 【典例例题】求下面每组数的最大公因数。 26和13          33和9 【答案】13；3 【分析】用短除法短除两个数，再将两个数公有的质因数相乘即可求出两数的最大公因数。 【详解】     （26，13）＝13     （33，9）＝3 举一反三 【变式训练1】下面几组数中，公因数只有1的是（    ）。 A．14和21 B．15和16 C．18和24 D．27和9 【答案】B 【分析】判断两个数是否互质，即公因数只有1。分别找出每个选项中两个数的因数，找到它们共有的因数，如果两个数共有的因数只有1，那么该选项符合要求。 【详解】A．的因数有，的因数有它们的公因数有，此选项错误； B．的因数有，的因数有它们的公因数只有，此选项正确； C．的因数有，的因数有它们的公因数有，此选项错误； D．的因数有，的因数有它们的公因数有此选项错误。 【变式训练2】在a＝11b（b是不等于0的自然数）中，a和b的最大公因数是（    ）。 A．1 B．11 C．b D．a 【答案】C 【分析】利用“当两个数成倍数关系时，较小的数就是它们的最大公因数”这一规律求解。 【详解】由a＝11b（b是不等于0的自然数）可知，a÷b＝11，也就是a是b的倍数，且b＜a，因此a和b的最大公因数是b。 【变式训练3】阳光小学五年级（1）班的学生开展“跳蚤市场”爱心义卖活动，活动结束后王老师打算将36本书和50支水笔平均奖励给参与义卖的每个小组，结果书正好分完，水笔还剩2支，五（1）班最多分成多少个小组参与这次爱心义卖活动？ 【答案】12个 【分析】根据题意，36本书正好分完，说明小组数是36的因数；50支水笔分完剩2支，说明实际分掉的水笔是48支，小组数也是48的因数。要求最多分成多少个小组，即求36和48的最大公因数（两数公有质因数的乘积）。同时根据有余数除法的性质，除数（小组数）必须大于余数（2支）。据此解答。 【详解】50－2＝48（支） 36＝2×2×3×3 48＝2×2×2×2×3 36和48的公有质因数是：2、2、3，它们的最大公因数是2×2×3＝12。 ，符合题意。 答：五（1）班最多分成12个小组参与这次爱心义卖活动。 题型八、公倍数与最小公倍数 【典例例题】求出下面每组数的最小公倍数。 16和24         20和18         15和25         6和12 【答案】48；180；75；12 【分析】两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，就是两个数的最小公倍数；如果两个数为倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如果两个数为互质数，最小公倍数就是两个数的乘积。 【详解】16和24 16＝2×2×2×2 24＝2×2×2×3 16和24的最小公倍数是2×2×2×3×2＝48 20和18 20＝2×2×5 18＝2×3×3 20和18的最小公倍数是2×2×5×3×3＝180 15和25 15＝3×5 25＝5×5 15和25的最小公倍数是3×5×5＝75 6和12 6和12是倍数关系，最小公倍数是12。 举一反三 【变式训练1】15和18的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 【答案】 90 3 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数通常采用分解质因数法或短除法。最大公因数是两个数所有公有质因数的乘积，最小公倍数是两个数所有公有质因数和各自独有质因数的乘积。 【详解】15＝3×5 18＝2×3×3 15和18的最小公倍数是2×3×3×5＝90，最大公因数是3。 【变式训练2】已知，，和的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 6 1260 【分析】最大公因数：取两个数全部公有质因数相乘；最小公倍数：取公有质因数×各自独有的质因数相乘。 【详解】求最大公因数：2×3＝6 求最小公倍数：2×3×3×7×2×5＝1260 【变式训练3】学校举行“经典诵读”比赛，五年级2班参赛人数在30～40人之间，如果每行站9人或每行站6人，都正好站完。五年级2班参赛的学生共有多少人？ 【答案】36人 【分析】根据题意，参赛人数既能被9整除，又能被6整除，说明参赛人数是9和6的公倍数。先用分解质因数法求出9和6的最小公倍数，然后找出该最小公倍数的倍数中，位于30～40之间的数，即为所求的参赛人数。 【详解】9＝3×3 6＝2×3 9和6的最小公倍数是2×3×3＝18。 18的倍数有：18、36、54…… 又因为参赛人数在30～40人之间， 符合条件的数只有36。 答：五年级2班参赛的学生共有36人。 提升练习 1．下面各组数中，第一个数是第二个数的倍数的是（    ）。 A．16和6 B．3.6和6 C．6和36 D．36和12 【答案】D 【分析】根据因数和倍数的意义，在非零自然数范围内，如果数a能被数b整除（b≠0），那么a叫做b的倍数，b叫做a的因数。解题时需同时满足两个条件：一是两个数都必须是非零自然数，二是第一个数除以第二个数的商必须是整数且没有余数。据此对各选项逐一进行分析。 【详解】A．16和6都是非零自然数，但16÷6＝2……4，有余数，所以16不是6的倍数，此选项错误； B．3.6是小数，不是非零自然数，不符合因数和倍数的研究范围，此选项错误； C．6和36都是非零自然数，但6÷36商不是整数，6是36的因数，而不是倍数，此选项错误； D．36和12都是非零自然数，且36÷12＝3，商是整数且没有余数，所以36是12的倍数，此选项正确。 2．用0、2、5、8四张数字卡片摆出的四位数一定是（    ）。 A．2的倍数 B．3的倍数 C．5的倍数 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查2、3、5的倍数的特征。解题关键在于计算这四个数字的和，根据3的倍数的特征判断是否为3的倍数；同时通过举例说明个位数字的不确定性，排除2和5的倍数的可能性。 【详解】 A．2的倍数的特征是个位上是 0、2、4、6、8的数。用这四张卡片摆出的四位数，个位可能是5，例如2085，此时不是2的倍数，此选项错误； B．3的倍数的特征是各个数位上的数字之和是3的倍数。因为，15是3的倍数，所以无论怎样排列，摆出的四位数一定是3的倍数，此选项正确； C．5的倍数的特征是个位上是0或5的数。用这四张卡片摆出的四位数，个位可能是2或8，例如5082，此时不是5的倍数，此选项错误； D．因为已经确定一定是 3 的倍数，所以此选项错误。 3．下面四个五位数中，如果Q表示数字0，P表示1~9中的任意一个数字，（    ）可以确定是2、3、5的倍数。 A．PPQPP B．PPQPQ C．PQPQP D．PQPQQ 【答案】B 【分析】2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【详解】A．PPQPP即PP0PP，个位数字是P，因为P不一定是 ，所以不一定是2和5的倍数，此选项错误； B．PPQPQ即PP0P0，个位数字是，满足2和5的倍数特征。各位上数字的和为 P＋P＋0＋P＋0＝3P，因为P是整数，所以3P一定是3的倍数，满足3的倍数特征，此选项正确； C．PQPQP即P0P0P，个位数字是P，因为P不一定是0，所以不一定是2和5的倍数，此选项错误； D．PQPQQ即P0P00，个位数字是0，满足2和5的倍数特征。各位上数字的和为 P＋0＋P＋0＋0＝2P。因为P是1~9中的任意一个数字，当P＝1时，2P＝2，不是3的倍数，所以不一定是的倍数，此选项错误。 PPQPQ可以确定是2、3、5的倍数。 4．“任何一个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”，这就是著名的哥德巴赫猜想，下面不能表示该猜想的是（    ）。 A．10＝3＋7 B．40＝29＋11 C．88＝19＋69 D．104＝37＋67 【答案】C 【分析】根据质数、合数的意义，一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数（或素数）；一个数如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数。 【详解】A．10＝3＋7，10是大于2的偶数，3和7都是质数，符合此猜想，不符合题意； B．40＝29＋11，40是大于2的偶数，29和11都是质数，符合此猜想，不符合题意； C．88＝19＋69，88是大于2的偶数，69是合数，不符合此猜想，符合题意； D．104＝37＋67，104是大于2的偶数，37和67都是质数，符合此猜想，不符合题意。 5．参加“淮安市52周全民阅读挑战活动”后，芳芳和明明经常去图书馆，芳芳每4天去一次，明明每5天去一次。7月2日两人在图书馆相遇，（    ）他们再次相遇。 A．7月18日 B．7月22日 C．7月20日 D．7月24日 【答案】B 【分析】先求出4和5的最小公倍数，得到再次相遇间隔的天数，再用相遇日期加上间隔天数算出下一次相遇时间。 【详解】4和5互质，最小公倍数：4×5＝20 2＋20＝22 7月22日他们再次相遇。 6．阅读下面的材料，并用加横线部分文字所表示的数填空。 《三国演义》是我国古典四大名著之一，其中有很多带有数字的精彩故事如：天下一统、二士争功、桃园三结义、过五关，斩六将、七擒孟获、九伐中原、十八路诸侯讨伐董卓等。 在上面的八个数中，质数有( )，合数有( )，奇数有( )，偶数有( )；( )是( )的因数；既是2的倍数又是3的倍数的数有( )。 【答案】 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数（或素数）；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数。 2的倍数：个位上的数是0，2，4，6或8。 整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫作奇数。 一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。（非0的自然数中，能被3整除的数也是3的倍数） 【详解】将文中的八个数用数字表示出来：1，2，3，5，6，7，9，18。 2，3，5，7，这些数只有1和它们本身两个因数，它们是质数； 6，9，18，这些数除了1和它们本身还有别的因数，它们是合数； 1，3，5，7，9，这些数不是2的倍数，它们是奇数； 2，6，18，这些数是2的倍数，它们是偶数； 6÷2＝3，2是6的因数；6÷3＝2，3是6的因数； 18÷2＝9，2是18的因数；18÷9＝2，9是18的因数； 18÷3＝6 ，3是18的因数；18÷6＝3 ，6是18的因数； 2，6，18，这些2的倍数中，6、18能被3整除，所以既是2的倍数又是3的倍数的数有6，18。 7．a和b均为非零自然数。若a＋1＝b，则a和b的最大公因数是( )；若5a＝b，则a和b的最小公倍数是( )。 【答案】 【分析】两个数是互质数，它们的最大公因数是1；两个数成倍数关系，它们的最小公倍数是较大数。 根据a＋1＝b，那么a和b是相邻的非零自然数，它们是互质数； 根据5a＝b，那么a和b成倍数关系，b是较大数。 【详解】若a＋1＝b，则a和b的最大公因数是1； 若5a＝b，则a和b的最小公倍数是b。 8．如果一个数恰好等于它所有不包含自身的因数之和，这个数就叫做“完美数”，如数字6有四个因数1、2、3、6，除本身外，6＝1＋2＋3，所以6就是完美数，那么在数字9、12、15、28中，( )是完美数。 【答案】28 【分析】9的因数有1、3、9；12的因数有1、2、3、4、6、12；15的因数有1、3、5、15；28的因数有1、2、4、7、14、28。 根据完美数的定义，我们分别计算每个数不包含自身的因数和。 【详解】数字9：不包含自身的因数是1、3，和为1＋3＝4≠9，不是完美数。 数字12：不包含自身的因数是1、2、3、4、6，和为1＋2＋3＋4＋6＝16≠12，不是完美数。 数字15：不包含自身的因数是1、3、5，和为1＋3＋5＝9≠15，不是完美数。 数字28：不包含自身的因数是1、2、4、7、14，和为1＋2＋4＋7＋14＝28，符合完美数的定义。 那么在数字9、12、15、28中，28是完美数。 9．一个数的最小倍数是18，它的因数有( )，它的因数中有( )个质数。 【答案】 、、、、、 【分析】一个数的最小倍数是它本身。若a×b＝c（a、b、c均为非0自然数），则a和b是c的因数，据此一对一对地找出这个数的因数。非0自然数中，只有1和它本身两个因数的数是质数。 【详解】一个数的最小倍数是18，说明这个数是18。 1×18＝2×9＝3×6＝18，所以18的因数有1、2、3、6、9、18。 其中，2和3只有1和它本身两个因数，是质数，共2个质数。 10．一个三位数“41□”如果是2的倍数，□里最大填( )；如果是3的倍数，□里最小填( )；如果是5的倍数又是奇数，□里可以填( )。 【答案】 8 1 5 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。个位上是0或5的数，都是5的倍数；一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。奇数：像1，3，5，7…不是2的倍数的数叫做奇数。 【详解】要使“41□”是2的倍数，□里最大填8； 要使“41□”是3的倍数，□里最小填1； 要使“41□”是5的倍数又是奇数，□里可以填5。 11．20以内既是奇数又是合数的数有( )和( )。 【答案】 9 15 【分析】奇数：不能被2整除；合数：除了1和它本身，还有其他因数；质数：只有1和它本身两个因数。首先列出0~20以内的奇数，再找出其中的合数。 【详解】20以内的奇数有：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。 1既不是质数也不是合数，排除； 3、5、7、11、13、17、19只有1和这个数本身两个因数，属于质数。 9＝1×9＝3×3 15＝1×15＝3×5 9和15除了1和它本身，还有其他因数的数，属于合数。 所以20以内既是奇数又是合数的数有9和15。 12．24和18的最小公倍数是( )；14与21的最大公因数是( )。 【答案】 72 7 【分析】先把两组数分别分解质因数： 最小公倍数：两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积。 最大公因数：两个数的公有质因数的连乘积。 【详解】24＝2×2×2×3 18＝2×3×3 所以24和18的最小公倍数是： 2×2×2×3×3 ＝4×2×3×3 ＝8×3×3 ＝24×3 ＝72 14＝2×7 21＝3×7 所以14和21的最大公因数是7。 13．一个两位数5□，它是一个偶数，且是3的倍数，这个两位数是( )，这个数分解质因数：( )。 【答案】 54 54＝2×3×3×3 【分析】两位数5□是偶数，个位只能是0、2、4、6、8；一个数是3的倍数，各数位上的数字之和是3的倍数。先确定这个两位数，再把它分解质因数。 【详解】5＋0＝5，不是3的倍数； 5＋2＝7，不是3的倍数； 5＋4＝9，9是3的倍数； 5＋6＝11，不是3的倍数； 5＋8＝13，不是3的倍数。 所以这个两位数是54。 54÷2＝27 27÷3＝9 9÷3＝3 3÷3＝1 所以54＝2×3×3×3。 14．在括号内填上合适的质数。 12＝( )×( )×( )    91＝( )×( ) 20＝( )＋( )＋( )    21＝( )×( ) 【答案】 2 2 3 7 13 2 7 11 3 7 【分析】质数是指只有 1 和它本身两个因数的数。把一个合数写成几个质数相乘的形式叫做分解质因数；把一个数写成两个质数相加的形式，从最小的质数开始试算，直到两个加数都是质数为止。 【详解】12＝2×2×3 91＝7×13 20＝2＋7＋11 21＝3×7 15．分解质因数。 57＝     87＝     91＝ 【答案】57＝3×19；87＝3×29；91＝7×13 【分析】把一个合数写成几个质数相乘的形式叫做分解质因数，据此解答。 【详解】57＝3×19 87＝3×29 91＝7×13 16．求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 35和105        76和24            16和88 【答案】35和105的最大公因数是35，最小公倍数是105； 76和24的最大公因数是4，最小公倍数是456； 16和88的最大公因数是8，最小公倍数是176。 【分析】根据求最大公因数和最小公倍数的方法，先给每组数中的每个数分解质因数，再找出两个数公有的因数，这几个因数相乘即为最大公因数；这两个数的公因数再与两个数各自的因数相乘，乘积就是这两个数的最小公倍数；据此解答即可。 【详解】（1）35和105，分解质因数为：，，两个数都有的质因数为5、7，故最大公因数为，最小公倍数为； （2）76和24，分解质因数为：，，两个数都有的质因数为2、2，故最大公因数为，最小公倍数为； （3）16和88，分解质因数为：，，两个数都有的质因数为2、2、2，故最大公因数为，最小公倍数为。 17．下面是趣味运动会“绑腿跑”比赛报名统计表。 项目 两人组 三人组 五人组 报名人数 27 36 40 按项目类型分组，哪些项目能刚好分完没有剩余？ 【答案】三人组和五人组的项目能刚好分完没有剩余。 【分析】根据各项目报名人数是否能被对应的组别人数整除，能被整除就刚好被分完没有剩余，不能被整除则不能刚好分完；据此解答即可。 【详解】27÷2＝13（组）……1（人） 36÷3＝12（组） 40÷5＝8（组） 答：三人组和五人组的项目能刚好分完没有剩余。 18． “三月三”非遗工坊有一块长32分米、宽28分米的长方形壮锦布料。如果将它裁成若干块大小相等、边长为整分米数的正方形方巾，且布料没有剩余。裁出的正方形方巾边长最长是多少分米？一共可以剪出多少块这样的方巾？ 【答案】4分米；56块 【分析】要把长方形布料裁成大小相等的正方形且没有剩余，正方形的边长必须既是长方形长的因数，也是宽的因数，即长和宽的公因数。要求边长最长，就是求长和宽的最大公因数。求出正方形边长后，分别计算长方形的长和宽各能裁出多少个正方形，再将两个数量相乘即可得到总块数。 【详解】的因数有：。 28的因数有：。 和的公因数有：。 最大公因数是 。 所以，裁出的正方形方巾边长最长是4分米。 （块） （块） （块） 答：裁出的正方形方巾边长最长是4分米，一共可以剪出56块这样的方巾。 19．“五月五，过端午，粽香艾香飘满堂”。学校开展包粽子的劳动实践活动，五（1）班45人共包了七十几个粽子。如果把这些粽子装进盒子，4个一盒，正好装完：6个一盒，也正好装完。五（1）班共包了多少个粽子？ 【答案】72个 【分析】粽子总数既能被4整除，也能被6整除，说明粽子总数是4和6的公倍数。解题思路是先求出4和6的最小公倍数（两数公有质因数和各自独有质因数的乘积），再列举出它们的公倍数，最后根据“七十几个”这一数量范围确定符合条件的具体数值。 【详解】 4和6的最小公倍数是 4和6的公倍数有：12、24、36、48、60、72、84…… 因为粽子总数是七十几个，所以在上述公倍数中，只有72符合条件。 答：五（1）班共包了72个粽子。 20．王阿姨到昆明游玩后，返程时带回鲜花准备送亲友。她买了32枝玫瑰和24枝百合。计划用这两种花搭配扎成花束（每束花中同一种花的枝数相同），并且全部搭配完，最多能扎多少束？每束中一共有多少枝花？ 【答案】8束；7枝 【分析】根据题意，32枝玫瑰和24枝百合扎成花束，每束花中同一种花的枝数相同，且全部搭配完，说明花束的数量是32和24的公因数；要求最多能扎多少束，就是求32和24的最大公因数。求出花束数量后，再用花的总枝数除以花束数量，即可求出每束中一共有多少枝花。 【详解】32＝2×2×2×2×2 24＝2×2×2×3 32和24的最大公因数：2×2×2＝8 即最多能扎8束。 （32＋24）÷8 ＝56÷8 ＝7（枝） 答：最多能扎8束，每束中一共有7枝花。 21．某地3路和18路公交车的起点站相同，3路公交车每15分钟发一次车，18路公交车每12分钟发一次车。这两路公交车上午9：20同时发车，下一次同时发车是什么时间？ 【答案】10：20 【分析】3路公交车每15分钟发一次车，18路公交车每12分钟发一次车，求下一次同时发车时间，即求15和12的最小公倍数，得出经过的时间，再根据起始时刻推算即可。 【详解】 所以15和12的最小公倍数是 60分钟＝1小时 9时20分＋1小时＝10时20分 答：下一次同时发车是10：20。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $