1.1 正数和负数 课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件围绕正数和负数的定义、表示相反意义的量展开，课堂导入从生活中温度、海拔、财务等相反意义的量入手，衔接小学非负数知识，以实际需求为支架引出数的拓展。 其亮点在于结合橘子称重、古筝调音器等实例，培养学生抽象能力与符号意识，体现用数学眼光观察现实世界。通过概念辨析（如相反意义的量与相反数）和例题巩固，帮助学生形成严谨思维，提升应用意识，也为教师提供系统教学资源与实例支撑。

1.1 正数和负数 授课人：苏老师 CONTENTS 01 探究新知-正负数的意义 02 探究新知-正负数的实际应用 学习目标 01 专题内容 学习目标 1. 理解正数、负数的定义，明确0既不是正数也不是负数。 2. 能运用正数和负数表示生活中具有相反意义的量。 3. 体会数的发展与生活需求的关联，提升用数学解决实际问题的意识。 课堂导入 01 专题内容 课堂导入 同学们，生活中处处存在相反意义的量：温度有零上与零下，海拔有高于与低于海平面，财 务有收入与支出。 为准确表达这些对立关系，数学引入了正数与负数——规定一种意义为正（如 ），其反向意义即为负（如 ）。 其中， 是正负的分界，既非正也非负。正 负数统一用符号“ ”“ ”标识，体现了数的意义拓展与实际需求的紧密联系。 探究新知-正负数的意义 01 专题内容 数的产生和发展离不开生活和生产的需要。人们对于数的认识就是伴随着记数、测量、运算等方面的需求不断拓展的（图1.1-1）。在小学，我们学过自然数、小数和分数，它们都是大于或等于0的数。但在日常生活和生产实践中，仅用这些数无法完整表达某些实际情境——例如温度的高低、盈亏的多少、增减的变化等。这些情境中往往存在具有相反意义的量，因此有必要引入一类新的数。 在我国古代，由记数、排序，产生数1，2，3，... 在古印度，由表示"没有""空位"，产生数0 在古埃及，由分物、测量，产生分数 ， ，... 一、生活中具有相反意义的量需要新的数来表示 在本章引言的问题中，温度比0℃高，称为零上温度；温度比0℃低，称为零下温度。零上温度和零下温度是以0℃为分界点的具有相反意义的量。从图1.1-2的天气预报中可以看出，零上3摄氏度用3℃表示，零下3摄氏度则用-3℃表示，这里出现了“-3”。 类似地： 盈利额和亏损额是具有相反意义的量，若用50万元表示盈利50万元，则可用-10万元表示亏损10万元； 增长的百分率和减少的百分率是具有相反意义的量，若用7.8%表示增长7.8%，则可用-0.7%表示减少0.7%。 二、正负数的引入源于对相反意义量的刻画 三、正数与负数的定义及符号规定 在数学中，像3，50，7.8%这样大于0的数叫正数；像-3，-10，-0.7%这样在正数前加上符号 “-”的数叫负数，其中符号“-”是负号，读作“负”。 有时，为了明确表达与负数的相反意义，可在正数前面加上符号“+”（读作“正”）。例如，+1800，+3，+0.5， ，…就是1800，3，0.5， ，…。一个数前面的“+”“-”号叫作这个数的符号。 特别地，0既不是正数，也不是负数。 四、正负数用于表示具有相反意义的量 如果一个问题中出现具有相反意义的量，就可以用正数和负数分别表示它们。 例如： 规定向东为正方向，则向东走5米记作+5米，向西走3米记作-3米； 规定收入为正，则收入2000元记作+2000元，支出800元记作-800元； 规定水位上升为正，则水位上升1.2米记作+1.2米，下降0.5米记作-0.5米。 这种表示方法体现了数学对现实问题的抽象与概括能力，也为后续学习有理数的运算奠定了基础。 新知应用-正负数的意义 01 专题内容 例1题目 某校组织学生去劳动实践基地采摘橘子，并称重、封装。一箱橘子的标准质量为2.5 kg。如果用正数表示超过标准质量的克数，那么 (1) 比标准质量多65 g和比标准质量少30 g各怎么表示？ (2) 50 g，-27 g各表示什么意思？ 解答 我们来逐小题分析，紧扣“正负数表示具有相反意义的量”这一核心概念。 (1) 表示方法 题目规定：用正数表示“超过标准质量”的克数。 → 这意味着： “超过”即“多于”，是相对于标准质量2.5 kg的增加量，属于“正向偏差”，用正数表示； “不足”即“少于”，是相对于标准质量的减少量，与“超过”意义相反，因此用负数表示。 所以： 比标准质量多65 g → 属于“超过”，记作 （也可简写为 ，但为强调意义对比，教材明确要求“用正数表示”，故推荐带“+”号）； 比标准质量少30 g → 属于“不足”，与“超过”相反，记作 。 注意：“+”和“−”在这里不是加减运算符号，而是性质符号，表示该数量相对于标准值的方向（增或减）。 解答 (2) 含义解读 已知：数值前的符号表示与标准质量的相对关系。 ：未写“−”，默认为正数（或可理解为 ），表示比标准质量多50 g； ：带负号，表示比标准质量少27 g。 进一步说明： 标准质量是2.5 kg = 2500 g； 所以 对应实际质量为 ； 对应实际质量为 。 但题目仅要求解释符号意义，无需换算，重点在于理解“正负号体现相反意义”。 总结 1.题目考查内容 ① 正负数的实际意义——表示具有相反意义的量（如“多于/少于”“高于/低于”“盈利/亏损”等）； ② “0”的基准作用——标准质量2.5 kg作为参照零点，所有偏差均相对于它定义； ③ 符号的性质识别——“+”“−”在此处是数的性质符号，不是运算符号。 2.题目求解要点 ① 明确题目设定的“正方向”：题干中“用正数表示超过标准质量的克数”，即规定“超过→正”，则其反向“不足→负”； ② 表示时严格遵循约定：多用 ，少用 ，体现符号的规范性； ③ 解读时回归定义：看到数字先看符号，再联系“标准量”，说出“比标准多/少多少”，不脱离语境空谈正负； ④ 注意单位统一与隐含前提：所有偏差单位为“g”，标准量虽给的是kg，但换算（2.5 kg = 2500 g）是理解数量级的基础，虽本题未要求计算，但有助于建立数感。 新知巩固-正负数的意义 01 专题内容 题目 下列说法中正确的是（  ） A．正有理数和负有理数统称为有理数 B．因为 不能被 整除，所以 不能用数轴上的点来表示 C．表示相反意义的两个量互为相反数 D．一个负数的绝对值是它的相反数 解答 我们逐项分析： A项：“正有理数和负有理数统称为有理数” 这是错误的。 有理数的定义是：能表示成 形式的数，其中 、 都是整数，且 。 有理数包括：正有理数、0、负有理数。 而A项中遗漏了 ，因此不完整，错误。 解答 B项：“因为 不能被 整除，所以 不能用数轴上的点来表示” 这是错误的。 “整除”是针对整数而言的运算关系，而 是分数，属于有理数，所有有理数都可以在数轴上找到唯一对应的点。 例如，在 与 之间三等分、四等分，就能标出 的位置。 因此，能否整除与能否在数轴上表示无关，错误。 解答 C项：“表示相反意义的两个量互为相反数” 这是错误的。 “相反意义的量”是指具有方向性、对立性的实际量，如：零上 与零下 、盈利 万元与亏损 万元、向东走 米与向西走 米。 但“互为相反数”是数与数之间的关系，特指和为 的两个数，如 与 、 与 。 注意：只有当两个量的数值相等、符号相反时，它们所对应的数才互为相反数；若数值不等（如盈利 万元与亏损 万元），则对应数 与 不是相反数（因 ）。 因此，“表示相反意义的两个量”不必然“互为相反数”，错误。 解答 D项：“一个负数的绝对值是它的相反数” 这是正确的。 根据绝对值定义： 若 ，则 ； 若 ，则 ； 若 ，则 。 当 是负数时，例如 ，则 ，而 ，即 。 而 正是 的相反数（因为 ）。 所以对任意负数 ，都有 ，即“一个负数的绝对值是它的相反数”。 正确。 综上，唯一正确的选项是 D。 总结 1.题目考查内容 ① 有理数的概念与分类（含 的归属）； ② 分数与数轴的对应关系（有理数均可在数轴上表示）； ③ “相反意义的量”与“相反数”的本质区别； ④ 绝对值的定义及其在负数情形下的代数意义。 2.题目求解要点 ① 明确数学概念的严格定义，避免生活语言与数学术语混淆（如“相反意义的量”≠“相反数”）； ② 区分运算性质（如“整除”仅适用于整数）与数的表示性质（分数必为有理数，必可数轴表示）； ③ 绝对值的代数定义需分情况讨论，特别注意负数情形下 中“ ”是正数，且恰为 的相反数； ④ 判断命题真假时，只需一个反例即可否定（如A缺 、C缺“数值相等”前提），而肯定命题需符合定义且无例外。 3.同类型题目解题步骤 ① 读清题干关键词：如“统称为”“能用……表示”“互为”“是……”等，判断是否为全称命题； ② 回归教材定义：逐字对照课标中对“有理数”“相反数”“绝对值”“数轴”等的核心表述； ③ 举出典型反例：对存疑选项，主动构造反例（如A项补上 ，C项取盈利 与亏损 ）； ④ 验证正确选项的普适性：如D项，取任意负数（如 、 、 ）代入定义验证成立； ⑤ 排除法+定义法结合：先排除明显违背定义的选项，再对剩余项严格按定义验证。 题目 如图是某古筝调音器软件的界面，指针指在 处为标准音，不需要调弦。指针指向 表示音调偏高，需放松琴弦。下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音的是（  ） A．   B．   C．   D． 解答 题干关键信息提取： 指针在 ：标准音，音高合适； 指针指向正数（如 ）：音调偏高 → 需放松琴弦（降低音高）； 因此，指针指向负数：音调偏低 → 需拧紧琴弦（提高音高）； “最接近标准音”即指针示数离 最近（即绝对值最小）。 逐项判断： A． ：负数 → 音偏低 → 需拧紧； ； B． ：正数 → 音偏高 → 需放松，不符合“需拧紧”要求，排除； C． ：负数 → 音偏低 → 需拧紧； ； D． ：负数 → 需拧紧； 。 比较满足“需拧紧”的选项A、C、D的绝对值： ， 所以 离 最近，即音高最接近标准音，且需拧紧琴弦。 答案为 C。 总结 1.题目考查内容 ① 正负数表示具有相反意义的量（音高“偏高/偏低”→ 数“正/负”）； ② 绝对值的几何意义（数轴上表示的点到原点的距离）； ③ 实际问题中“最接近标准值”即对应数的绝对值最小。 2.题目求解要点 ① 先根据题意建立正负号的实际意义映射：正→偏高→放松；负→偏低→拧紧； ② 筛选出符合动作要求（本题为“需拧紧”）的所有负数选项； ③ 在筛选出的负数中，比较其绝对值大小，绝对值最小者即最接近 ，也即最接近标准音； ④ 注意：比较“接近程度”看的是距离（绝对值），不是数值大小（如 ，但 更接近 ）。 3.同类型题目解题步骤 ① 明确基准值与方向约定：找出“0”的实际含义（如标准温度、合格尺寸、平衡状态），并确认正负分别代表哪一类偏离； ② 确定目标动作条件：如“需降温”“需补货”“需加速”等，对应哪一侧的数（正或负）； ③ 列出符合条件的所有候选数； ④ 计算各候选数的绝对值，找出最小者； ⑤ 作答并验证合理性：检查该数是否同时满足“方向正确”与“距离最近”两个条件。 探究新知-正负数的实际应用 01 专题内容 把0以外的数分为正数和负数，它们表示具有相反意义的量。在实际生活中，选定某一标准作为基准（通常用0表示），高于该基准的量用正数表示，低于该基准的量用负数表示。例如，在表示某地海拔高度时，以海平面为基准，用0 m表示海平面的海拔；高于海平面的用正数表示，如珠穆朗玛峰海拔为 ；低于海平面的用负数表示，如艾丁湖海拔为 。我国水准零点位于山东省青岛市（图1.1-3是"中华人民共和国水准零点"标志）。 一、正数和负数表示具有相反意义的量 二、分层设色地形图中正负数的意义 图1.1-4是地理中的分层设色地形图。图中不同颜色代表不同的海拔范围，其中标注的正数表示该区域高于海平面的高度，负数表示低于海平面的深度。例如，浅黄色区域可能表示海拔 至 ，而蓝色区域可能表示海拔 至 。这里的正数与负数仍以海平面为分界，体现高度方向上的相反意义。 图1.1-5是手机中的部分收支款账单。其中，“收入”类项目用正数表示，如“工资收入 元”；“支出”类项目用负数表示，如“水电费 元”。这里以“收支平衡点”（即0元）为基准，正数表示资金流入，负数表示资金流出，二者具有相反的经济意义。 三、收支账单中正负数的意义 四、其他实际应用举例 生活中还有许多用正数、负数表示具有相反意义的量的例子： （1）温度：以 为基准，零上温度记为正数，如 ；零下温度记为负数，如 ； （2）方向：规定向东为正方向，则向东走 记作 ，向西走 记作 ； （3）盈亏：盈利记为正数，如盈利 万元；亏损记为负数，如亏损 万元； （4）水位变化：以警戒水位为基准，水位上升记为正数，下降记为负数，如“水位上升 ”，“水位下降 ”。 新知应用-正负数的实际应用 01 专题内容 新知应用-正负数的实际应用 无例题 新知巩固-正负数的实际应用 01 专题内容 题目 下列说法正确的有（  ）个． ① 绝对值越大的数越大； ② 非负数是零和正数的统称； ③ 如果 表示向东前进了 ，那么 就表示向南前进了 ； ④ 在数轴上表示 的点与表示 的点之间的有理数有 个． A． 个　　B． 个　　C． 个　　D． 个 解答 我们逐条分析： ① “绝对值越大的数越大”：错误。 反例： ， ，但 ；又如 与 ， ，但 。 绝对值反映的是数到原点的距离，不决定数本身的大小关系。比较两个数的大小，需看它们在数轴上的位置：右边的数总大于左边的数。因此该说法错误。 解答 ② “非负数是零和正数的统称”：正确。 根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，“非负数”定义为：大于或等于 的数，即所有满足 的实数，包括 和所有正数。 注意：“非负”即“不是负数”，逻辑上等价于“ ”。因此该说法准确，正确。 解答 ③ “如果 表示向东前进了 ，那么 就表示向南前进了 ”：错误。 正负号在此表示具有相反意义的量，必须是同一维度上的相反方向。 向东的相反方向是向西，不是向南（南与东是垂直方向，不构成相反意义）。 规定 表示“向东”，则 应表示“向西 ”。方向必须成对且共线（如东/西、上/下、进/退、收入/支出等）。因此该说法错误。 解答 ④ “在数轴上表示 的点与表示 的点之间的有理数有 个”：错误。 首先明确：“之间”指大于 且小于 的数，即区间 。 该区间内包含无穷多个有理数。例如： ， ， ， ， 是其中的整数（共 个）， 但还有 ， ， ， 等无数个有理数。 有理数在数轴上是稠密的，任意两个不相等的有理数之间都存在无穷多个有理数。 因此“有 个”明显错误。 解答 综上，只有②正确，共 1 个正确说法。 答案选：B． 个 总结 1.题目考查内容 ① 正负数的意义及“相反意义”的严格界定； ② 非负数的概念及其与 、正数、负数的关系； ③ 绝对值的几何意义（距离）与代数大小比较的区别； ④ 有理数的稠密性及数轴上区间内数的个数判断。 2.题目求解要点 ① 判断正误必须紧扣定义，不可凭直觉； ② “相反意义的量”必须满足：同一属性、方向相反、可量化（如位移的东/西、温度的升高/降低、收支的收入/支出）； ③ 绝对值是距离，非大小；比较数的大小必须回归数轴或符号法则； ④ 区间 内的有理数无限多，有限个的说法一定错误。 3.同类型题目解题步骤 第一步：明确每个说法涉及的核心概念（如“非负数”“相反意义”“绝对值”“有理数个数”）； 第二步：逐一用定义验证，必要时举反例（尤其对全称判断如“越……越……”“有……个”）； 第三步：排除错误选项，确认唯一正确说法； 第四步：统计正确个数，对照选项作答。 题目 如图是某古筝调音器软件的界面，指针指在 处为标准音，不需要调弦。指针指向 表示音调偏高，需放松琴弦。下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音的是（  ） A． 　　B． 　　C． 　　D． 解答 题干关键信息提取： ：标准音，无需调整； ：音调偏高 → 需放松琴弦（降低音高）； 由此可推：正数表示音调偏高，负数表示音调偏低（因为只有两种偏离方向，且与 构成相反意义）； 音调偏低 → 需拧紧琴弦（提高音高）； 所以：负数对应“需拧紧琴弦”，且数值越接近 ，偏离越小，越接近标准音。 解答 逐项分析选项： A． ：负数 → 需拧紧；与 的距离为 ； B． ：正数 → 音调偏高 → 需放松，不符合“需拧紧”条件，排除； C． ：负数 → 需拧紧；与 的距离为 ； D． ：负数 → 需拧紧；与 的距离为 ； 比较满足“需拧紧”的选项 A、C、D 的绝对值： ， 故 是负数中离 最近的数，即音调偏低最少，最接近标准音。 答案选：C． 总结 1.题目考查内容 ① 正负数表示具有相反意义的量（此处为音调“偏高/偏低”）； ② 数轴上点到原点的距离（即绝对值）反映偏离程度； ③ 实际情境中符号约定的理解与应用（正→偏高→放松；负→偏低→拧紧）。 2.题目求解要点 ① 先由已知正数含义（ → 偏高 → 放松），推出负数含义（偏低 → 拧紧）； ② “最接近标准音”即数值最接近 ，等价于绝对值最小； ③ 在满足“需拧紧”（即负数）的前提下，找绝对值最小的负数。 3.同类型题目解题步骤 第一步：识别基准值（本题为 ）及其物理意义； 第二步：由一个已知符号的实例（如 ）确定正负号所代表的实际意义； 第三步：根据问题要求（如“需拧紧”“最接近”），锁定符号范围并比较绝对值大小； 第四步：选出符合条件且绝对值最小（或最大）的数作答。 课堂总结 01 专题内容 课堂总结 感谢聆听 THANK YOU $