湖南常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

**基本信息** 以函数、数列、几何等核心知识为载体，通过向日葵种植、游戏方案设计等真实情境，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模能力，实现基础巩固与创新应用的梯度融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、函数性质、概率等|第2题函数最值与零点结合，考查逻辑推理；第4题全概率公式应用，体现数学思维| |多选题|3/18|向量、双曲线、等比数列|第10题双曲线与重心综合，考查数学语言表达| |填空题|3/15|椭圆方程、二项式定理等|第14题导数与恒成立问题，考查运算能力| |解答题|5/77|数列应用、正态分布、立体几何等|第16题向日葵游戏方案设计，融合正态分布与概率决策，体现数学建模；第19题抛物线切线与面积问题，综合几何与代数，考查空间观念|

湖南省常德市汉寿县第一中学2025—2026学年 高二下学期期末考试数学试卷 一、单选题(共40分) 1.(本题5分)已知复数满足,则( ) A. B. C. D. 2.(本题5分)已知函数,,对任意恒有,且在区间上有且只有一个使,则的最大值为( ) A. B. C. D. 3.(本题5分)已知,且,则( ) A. B.0 C. D. 4.(本题5分)10支步枪中有6支已经校准过,4支未校准,一名射击运动员用校准过的枪射击时,中靶的概率为,用未校准的枪射击时,中靶的概率为,现从10支中任取一支射击,则中靶的概率为( ) A. B. C. D. 5.(本题5分)设集合,,则集合( ) A. B. C. D. 6.(本题5分)一定存在各项均为正数且不为常数列的无穷等差数列,使得( ). A.为严格增数列 B.为公差不为零的等差数列. C.为等比数列(其中,) D.为周期数列 7.(本题5分)已知定义在上的偶函数的图像是连续的,,在区间上是增函数,则下列结论正确的是( ) A.的一个周期为6 B.在区间上单调递增 C.的图像关于直线对称 D.在区间上共有100个零点 8.(本题5分)设,分别是椭圆()的左、右焦点,直线过交椭圆于,两点(点在轴下方),交轴正半轴于点,已知椭圆的离心率,且,则( ) A. B. C. D. 二、多选题(共18分) 9.(本题6分)下列说法中正确的是( ) A.向量,不能作为平面内所有向量的一组基底 B.非零向量和满足,则与的夹角为 C.若,则在方向上的投影向量的模为 D.若,与共线的单位向量坐标为 10.(本题6分)已知双曲线:的左、右焦点分别为,且,双曲线的一条渐近线的倾斜角为,是上三点,且的重心为,则下列说法正确的是( ) A.的方程为 B.到的两条渐近线的距离之积为 C.若直线的斜率之积为,则关于原点对称 D.若直线过点,且在轴两侧,则的取值范围是 11.(本题6分)数列为等比数列,下列命题正确的是( ) A.数列为等比数列 B.若,,则 C.若,则单调递增 D.若该数列前项和,则 三、填空题(共15分) 12.(本题5分)过点,且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为_. 13.(本题5分)已知,则_. 14.(本题5分)已知函数,,若对于任意的,,都有成立,则实数的取值范围为_. 四、解答题(共77分) 15.(本题12分)(1)已知数列,求的前10项和; (2)小明购买了价格分别为x元、y元的甲、乙两种学习用品,若1,x,y成等比数列,x,y,成等差数列,求x,y. 16.(本题15分)向日葵是菊科向日葵属的一年生草本植物.因花序随太阳转动而得名,深受人们喜欢,某向日葵基地为促进该基地旅游业发展,特邀请一文旅公司制作文旅创收方案. (1)公司调查发现该基地成熟向日葵花盘直径(单位:cm)近似服从正态分布.试估计一游客在该基地任摘一颗成熟向日葵,其花盘直径在的概率; (2)该公司特设置一游戏,根据游戏结果对游客全程所有消费进行打折,该游戏有两种方案,游客在这两种方案中任选一种参加游戏.方案一:不透明袋子里装有2个红球,4个白球,顾客从中一次性摸出3个球,若摸出2个红球1个白球获得“六折优惠”,若摸出1个红球2个白球获得“八折优惠”,若摸出3个白球不优惠.方案二:如图游客开始站在①位置,游客每掷一次骰子,就沿顺时针方向移动一次.若掷出正面朝上数字为奇数,游客就向前移动1格;若掷出正面朝上数字为偶数,游客就向前移动2格.游客重复掷骰子直到游客第一次到达⑨位置获得“九折优惠”或第2次到达①位置获得“七点五折优惠”游戏结束.若想要获得最大优惠,游客应选哪个方案?说明理由. 参考数据:若,则.. 17.(本题16分)在三棱锥中,平面,是上一点,且,连接与,为中点. (1)过点的平面平行于平面且与交于点,求; (2)若平面平面,且,求点到平面的距离. 18.(本题17分)已知函数,,其中. (1)求函数的零点; (2)当时,求证:,; (3)用表示、的最大值,记.问:是否存在实数,使得对任意,恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由. 19.(本题17分)已知平面内一动圆过点,且轴被该圆截得的弦长为2,设该动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)若过点且斜率为的直线与交于两点,分别作在点处的切线,两条切线交于点. (i)若,求的取值范围; (ii)若的面积为,求直线的方程.