2027届高考数学一轮复习导学案 第四十三讲利用导数解决不等式恒成立问题

该高中数学高考复习学案系统梳理了利用导数解决不等式恒成立问题专题，将分离参数、分类讨论、隐零点、同构四大方法与恒成立、存在性等六类必考题型整合，构建“知识点-方法-题型”三维知识网络，通过问题链设计引导学生自主推导转化策略，形成系统性认知框架。 亮点在于诊断性自测与分层学习设计，开篇设置12道典型题诊断学情，学生根据错题匹配基础巩固或综合提升路径，强化数学思维与数学语言表达。每个题型模块配有方法指导卡和反思总结表，助力自主诊断提升，教师可精准把握学情，实现因材施教。

2027届高三数学一轮复习 第四十三讲 利用导数解决不等式恒成立问题 【学习目标】 能准确转化两类问题，掌握分离参数、分类讨论、隐零点、同构四种主流解题方法； 【学习重点】 恒成立问题的转化思路，分离参数法、隐零点法； 【学习难点】 同构变形识别，利用同构简化指数、对数型不等式； 必掌握知识点 1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），． 3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，． （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集． 4、法则1若函数和满足下列条件： （1）及； （2）在点的去心邻域内，与可导且； （3）， 那么=． 法则2若函数和满足下列条件：（1）及； （2），和在与上可导，且； （3）， 那么=． 法则3若函数和满足下列条件： （1）及； （2）在点的去心邻域内，与可导且； （3）， 那么=． 注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： （1）将上面公式中的，，，洛必达法则也成立． （2）洛必达法则可处理，，，，，，型． （3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限． （4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止． ，如满足条件，可继续使用洛必达法则． 必考题型全归纳 题型一、恒成立问题 1．（陕西省西安市长安区第一中学2017届高三4月模拟考试数学（文）试题）设函数. (1)当时,求函数在点处的切线方程； (2)对任意的函数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) . 【分析】（1）把代入函数解析式，求导后得到函数在点处的切线的斜率，然后利用直线方程的点斜式得答案； （2）由，得，求出函数的导函数，导函数在处的导数为零，然后由导函数的导函数在上大于零求得的范围，就是满足函数恒成立的实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时, 由，则， 所以，函数在点处的切线方程为   所以， 即为所求切线方程； （2）解： 令，则， 所以，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即， 所以， 当，即时，由得恒成立， 在上单调递增，  符合题意．所以. 当时，由得恒成立，在上单调递减， 显然不成立，舍去． 当时，由，得，即 则因为， 所以．时，恒成立，在上单调递减，显然不成立，舍去．综上，实数的取值范围为 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立，导数的几何意义等，考查运算求解能力，逻辑推理能力，分类讨论思想，是难题.本题第二问解题的关键在于结合不等式得，进而分，，三种情况讨论求解即可. 2．（江苏省丹阳高级中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷）已知函数，. (1)求函数在点处的切线方程； (2)对任意的时，恒成立，求实数的取值范围； (3)记，若，且，求证：. （1）解：因为，所以， 所以，又因为， 所以在点处的切线方程为，即； （2）解：因为，所以， 设，， 则，， 令，，则， 可得在上为增函数，即在上为增函数， 所以， 当时，，此时在上为增函数， 故，即，所以，符合题意． 当时，， 因为在上为增函数，当时，， 故存在满足，则在上单调递减，在上单调递增， 因此当时，，不合题意； 综上所述，实数a的取值范围为． (3)证明：由题意得，，所以， 由可得， 所以， 又，两边同时除以，得， 因此， 所以， 令，得， 因此， 令，，则， 所以在上为减函数，故，即时，． 因为，， 所以，所以， 又因为，所以，故，得． 【点睛】：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： ①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； ②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； ③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 3．（2018届高三第一次全国大联考（江苏卷））已知函数,（）,其中为自然常数. （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）若对任意的恒成立,求实数的取值范围. 【答案】(1)；（2） 【分析】（1）计算出得切点坐标，计算出得切线斜率，根据点斜式得切线方程；（2）利用分离常数思想原题意等价于，令，利用二次求导先求出的单调性，进而得到与0的关系，得到的单调性，求出其最小值即可. 【详解】（1）由,得,且, 则所求切线的斜率为.故所求切线方程为, 即,即. （2）因为对任意的恒成立,即对任意的恒成立,即对任意的恒成立. 令,则只需； 而 ,.设,易证对恒成立, 则 对恒成立, 故数在上单调递增,且.从而当时,,即； 当时,,即. 于是得函数在上单调递减,在上单调递增, 所以,从而得.故实数的取值范围为. 题型二、存在性问题 4．已知函数（且）． (1)求的单调区间； (2)若的图象在点处的切线的斜率为1，则在什么范围内取值时，对于任意的，函数在上总存在极值？ (3)当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析(2)．(3)． 【分析】(1)求导，利用导数与函数单调性可得； (2)求导，利用导数与函数极值的关系可解； (3)分类讨论或者分离参数皆可解. 【详解】（1）函数定义域为，． 当时，解得；解得， 的单调递增区间是，单调递减区间是； 当时，解得；解得， 的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）由得， 故，，， 则． 因为在上总存在极值，故至少有一个实根在区间上． 又是图象开口向上的二次函数，且，所以 由得． 令，因为在上单调递减， 所以，故． 由，得．综上，． （3）当时，．令， 则． 解法1：①当时，由得，，从而， 所以在上不存在，使得． ②当时，， 由，，知在上恒成立，故在上单调递增． 所以．故只要，解得． 综上，的取值范围是． 解法2：参数分离法． 在上有解在上有解，，由于，在上恒成立， 所以，单调递减．．所以．综上，的取值范围是． 5．（河北省部分学校2026届高三考前适应性考试）已知函数，函数，t，a均为实数． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)当时，若存在正实数x，使不等式成立，求a的取值范围； (3)若函数有两个不同的零点，记作，，且，求证：． 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 运用导数的几何意义求出切线方程，再通过计算该切线在两坐标轴上的截距来求解三角形面积, (2) 采用分离参数法，将“存在实数使不等式成立”的问题，转化为求解新构造函数最小值的最值问题, (3)使用换元法，将难以处理的双根不等式问题，转化为关于单变量的函数单调性证明问题. 【详解】（1）当时，, 则，即切点坐标为, ，， 则切线方程为， 令，得轴截距为，令，得轴截距为， 则切线与两坐标轴围成的三角形的面积. （2）已知，则，若存在正实数x，使， 即，即有解， 因为，两边同时除以得，即， 令， ， 易得，，则的符号完全由决定， 所以当时，，单调递减， 当时， ，单调递增， 所以，即. （3）(3)由两边同时取对数得， 已知是的两根，所以， 设，因为，所以， 将代入得， 则， 即， 则问题转化为证明：当时，，即证， 设，则 ， 因为，所以且， 因此在上，,单调递增， 所以,即， 由此可得，即，两边同时取指数，则有，命题得证. 题型三、任意、存在复合型值域问题 6．（江苏省南京市东山高级中学2022-2023学年高一上学期10月月考数学试题）已知函数． (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）由为方程的两个不等实数根，根据韦达定理求解，然后解一元二次不等式即可； （2）将不等式化简，令，可得对恒成立，只需满足，求解的范围； （3）根据二次函数与一次函数的性质求解函数与的值域，将问题转化为函数值域是函数值域的子集列不等式组求解. 【详解】（1）由题意，为方程的两个不等实数根， ，所以不等式为 ， 解得或，所以不等式解集为. （2）对恒成立， 令，即对恒成立， 因为函数开口向上，故只需满足， 解得，所以的取值范围为 （3）当时，，开口向上，对称轴为 当时，，，， 时，，由题意， 对任意，总存在，使成立， 即函数的值域是函数的值域的子集， 即，，解得，所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：求解函数的存在性与恒成立问题一般可用以下的方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法. 7．（2022届高三数学一轮复习）已知函数在处取得极值，． （1）求的值与的单调区间； （2）设，已知函数，若对于任意、，，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1），单调递增区间为、，单调递减区间为；（2）. 【分析】（1）求出导函数，由求得值，然后确定的零点与正负，得单调区间； （2）不等式转化为当，，时，，利用导数求得在上的最大值和最小值，代入解不等式可得的范围． 解：（1）由题意得的定义域为，， 函数在处取得极值，（2），解得， 则由得或， 、、的关系如下表： 2 0 0 递增 极大值 递减 极小值 递增 函数的单调递增区间为、，单调递减区间为； （2）由（1）得函数， 当时，对任意、，，都有， 即当，，时，， 在，上单调递减，，，， 在，上单调递减， 则，， 则， 即，解得或，结合，得， 故实数的取值范围为． 【点睛】本题考查用导数求函数极值，求单调区间，研究不等式恒成立．不等式恒成立问题的解题关键问题的转化，关键是转化为，，时，，这样只要用导数求得的最大值和最小值，列不等式可解得结论． 题型四、导数证明不等式（构造函数、 放缩 、 隐零点） 8．（2017年内蒙古呼和浩特市高三年级质量普查调研考试（一模））已知函数． （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）当时，求证：； （3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）. 【详解】试题分析: （1）先由导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式求切线方程，（2）构造差函数：，再利用导数求其最小值，即得证，（3）先变量分离，将不等式恒成立问题转化为求对应函数最值问题：，其中，再利用导数求其最小值，可得实数的取值范围． 试题解析:（1），， ∴，又切点坐标为，故所求切线方程为 （2）令，令，得， ∴当时，，单调递减；当时，，单调递增∴，从而. （3）对任意的恒成立对任意的恒成立 令， ∴ 由（2）可知当时，恒成立， 令，得；，得 ∴的增区间为，减区间为， ∴，∴实数的取值范围是. 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 9．（山西省芮城县2020届高三下学期3月月考数学（理）试题）已知函数. （1）对定义域内的任意,都有，求的取值范围； （2）若在处取得极值，求证：对于任意大于1的正整数，其中为自然对数的底数． 【答案】（1）；（2）见解析. 【解析】（1）求得函数的导数，利用导数求得函数的单调性，进而求出函数的最小值，由此可求得的取值范围； （2）由题设求得，得到，得到取得最小值，进而得到，令则有 ，由此利用叠加法和放缩法，即可求解. 【详解】（1）由函数，则，其中， 令，解得，令，解得， 则在单调递减，在单调递增，      所以的最小值为，所以. （2）因为在处取得极值，可得，解得，所以， 由（1）可得，当时，函数取得最小值， 所以，即，即，当且仅当时等号成立， 令，且，则有， 可得， 相加得， 又由， 因为， 可得，所以. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 10．（浙江省教研联盟2024-2025学年高二下学期5月调研测试数学试题）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积； (2)当时，求证； (3)当时，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【分析】（1）根据导数几何意义，先求出切线方程，再找出与坐标轴的交点坐标，最后根据三角形面积公式计算. （2）证明当时，，采用了两种证法，一种是通过分析函数的单调性求其最小值来证明；另一种是通过证明来间接证明. （3）分情况讨论，当时，算出得到，这种情况不符合要求. 当时，，设.先求的导数，得到在递增，那么，所以成立. 【详解】（1）方法一： 当时，，，所以，， 所以切线为，即， 切线与两坐标轴的交点分别为和， 所围成三角形的面积为． （2）当，，记，定义域为． 则， 在上单调递增， 又，，所以在上存在唯一零点，记作，， 且，即， 在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当且仅当即时等号成立，但，所以取不到等号， 综上，，所以． 证法二： 当，， 所以只需证，即证． 下证： 设，， ，，所以在上单调递减，在上单调递增． ∴． ∴成立． 两边取对数得，即． 所以． 所以，又∵时，，时，． 所以得证． （3）①当时，不成立． ②当时，， 记，， 则， 在上单调递增， 所以， 即在上单调递增，所以， 所以成立．综上，． 题型五、同构法简化恒成立、零点问题 11．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果； （2）方法一：利用导数研究函数的单调性，当a=1时，由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围. 【详解】（1），，. ，∴切点坐标为(1,1+e), ∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即, 切线与坐标轴交点坐标分别为,∴所求三角形面积为． （2）［方法一］：通性通法 ,，且. 设,则 ∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增， 当时，,∴,∴成立. 当时， ，，, ∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，因此 >1, ∴∴恒成立； 当时， ∴不是恒成立.综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞). ［方法二］【最优解】：同构 由得，即，而，所以． 令，则，所以在R上单调递增． 由，可知，所以，所以． 令，则． 所以当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以，则，即．所以a的取值范围为． ［方法三］：换元同构 由题意知，令，所以，所以． 于是． 由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有．令，所以． 当时，单调递增；当时，单调递减． 所以当时，取得最大值为．所以． ［方法四］：因为定义域为，且，所以，即． 令，则，所以在区间内单调递增． 因为，所以时，有，即． 下面证明当时，恒成立． 令，只需证当时，恒成立． 因为，所以在区间内单调递增，则． 因此要证明时，恒成立，只需证明即可． 由，得． 上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立． 当时，因为，显然不满足恒成立．所以a的取值范围为． 【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数的单调性，求出其最小值，由即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法； 方法二：利用同构思想将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解； 方法三：通过先换元，令，再同构，可将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法求出； 方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范围，再进行充分性证明即可． 题型六、极值点偏移 12．（天津市十二区县重点学校2020届高三下学期毕业班联考）已知函数． （1）求函数的单调区间和极值； （2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若存在，且当时，，证明：． 【答案】（1）当时，单调递增区间为，无极值；当时，单调递增区间为，单调递减区间为；极小值为，无极大值；（2）；（3）详见解析． 【分析】（1）求出，分类讨论的取值，根据导数符号可得单调区间和极值； （2）令，求解导数，分别讨论时和时两种情况，结合函数最值，可得实数的取值范围； （3）先令，根据导数判断单调性，把条件转化为，然后构造函数，证明，进而可证. 【详解】（1），定义域，， （i）当时，，在单调递增，无极值； （ii）当时，令，解得，∴的单调递增区间为； 令，解得，∴的单调递减区间为． 此时有极小值，无极大值． （2）令，， 则． （i）时，，在上单调递减，∴， ∴恒成立，满足题意． （ii）时，令，， ∴在上单调递减， ∴， 其中，且在上单调递减， ∴根据零点存在性定理，使得， 即，；， ∴，，在上单调递增，又∵， ∴，，不满足题意，舍掉；综上可得． （3）不妨设，则. ∵，∴， 令，，∴在上单增， ∴，从而； ∴， 即； 下面证明，令，则， 即证明，只要证明， 设，∴在上恒成立， ∴在单调递减，故． ∴，即． 【点睛】本题主要考查导数的应用，综合考查了利用导数判断单调性，求解极值，求解恒成立问题，及证明不等式等，综合性较强，对学生变通能力有较高的要求，恒成立问题及不等式的证明通常转化为函数最值问题进行处理，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养. 巩固提升： 1．（甘肃省张掖市某校2024-2025学年高二下学期3月月考检测数学试卷）已知，. (1)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)讨论函数在上的单调性； (3)对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析 (3). 【分析】（1）求出曲线在点处的切线方程，进而求出切线与两坐标轴的交点，利用直角三角形面积公式即可求解； （2）利用导数的正负研究原函数的单调性，分与两种情况讨论即可； （3）分离参数得到，构造函数，利用导数求最大值即可. 【详解】（1）因为，故，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即， 与两坐标轴的交点分别为， 故围成的三角形的面积为. （2）因为，故， 令， 当，则，故在上单调递减； 当，则时，，所以在单调递减； 时，，所以在单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在单调递减，单调递增. （3）即， 即对一切实数恒成立， 令 当时，单调增； 当时，单调减；故最大值为， 则， 故实数的取值范围是. 2．（湖南省部分学校2022-2023学年高三上学期10月联考数学试题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若在上恒成立，求整数的最小值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据导数的几何意义得曲线在点处的切线方程为，再求解对应三角形的面积即可； （2）方法一：将问题转化为在上恒成立，进而研究函数的最大值，进而得答案； 方法二：由题知可得，显然时，不满足题意，进而整数满足，再讨论当不等式恒成立即可得答案. 【详解】（1）解：因为当时， 所以，则 因为，所以切点坐标为， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 所以切线与坐标轴的交点坐标分别为 所以，所求三角形的面积为 （2）解：方法一. 由可得在上恒成立 令，则 令， 所以在上恒成立， 所以，在上为减函数 因为， 所以，存在，使得，即 所以，时，，，在上单调递增， 当时，，，在上单调递减， 所以，， 因为， 所以，， 因为，可知，， 所以，因此整数的最小值为1. 方法二 由可得， 当时，在恒成立，不满足题意； 所以，整数满足. 下面讨论当时，在恒成立， 当时，令，， 则在恒成立， 所以，在上单调递增， 所以， 所以在恒成立， 所以，整数的最小值为1. 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于将问题转化为在上恒成立，进而结合隐零点问题，求得函数的最大值. 3．（2.2备战2020年高考精选考点专项突破题集）已知函数 （1）若函数与相切，求实数a的取值范围； （2）若不等式对恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）根据导数的几何意义可知， ，利用参变分离，变形后利用基本不等式求值域，即是的范围； （2）设 ，先求函数的导数，再通过换元得到，利用导数求函数的值域是，分，和三种情况讨论时的范围. 【详解】 若函数与相切， ， 整理为: , 当时，等号成立， 此时， （2）设 ， 则， 令，则， 令，则， 在上单调递增，且的值域是， ①当时，，在上单调递增， ，符合条件； ②当时，，不符合条件； ③当时，当时，， 令， ， 存在，使得当时，， 在单调递减，， 即当时，不符合条件， 综上：的取值范围是. 【点睛】本题考查直线与曲线相切和不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查转化与化归和计算能力，属于难题，本题的第二问没有采用参变分离的方法，而是设函数 ，求函数的导数，利用求的值域，从而讨论参数的取值范围，利用函数的单调性，并且注意这一关键条件. 4．（江西省永丰县永丰中学2021届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数． （1）当时，求的值域． （2）若不等式对恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）求的导函数，判断的单调性，从而求出最值；（2）将不等式变形为，导函数为，从而可结合第（1）问的结论可知，分别讨论的取值可得结果. 【详解】（1）∵， ∵，∴，所以函数在上递增 当时，取最小值， 当时，取最大值 ∴的值域为. （2）不等式等价于 令，则 由（１）知 ①当时，，所以函数在上递增 所以满足条件 ②当时，∴不满足条件 ③当时，对 令， 显然在上单调递增 又 存在，使得时， ∴在上单调递减，∴ ∴时 ∴不满足条件 综上得，a的取值范围． 【点睛】思路点睛：（1）求函数的值域问题，可求函数的导数，判断函数的单调性，结合单调性求函数的最值；（2）恒成立问题可参变分离，可分类讨论，本题采用利用上一问的结论变形然后再分类讨论的方法. 5．（四川省南部中学2023-2024学年高三第四次月考数学（理科）试题）已知函数． (1)讨论函数 的单调性； (2)若不等式对恒成立， 求的取值范围． 【答案】(1)①当 即时，在上递减，在上递增，② 即时，在和上递增， 在上递减. (2) 【分析】（1）利用导数与单调性的关系分类讨论求解； （2）利用导数与单调性最值的关系，结合的不同取值范围分类讨论求解. 【详解】（1）， 的定义域为． ①当 即时，在上递减，在上递增， ② 即时，在和上递增， 在上递减. （2）设， 设 ， 则 在上递增，的值域为， ①当 时，为上的增函数， ， 适合条件． ②当 时，不适合条件． ③当 时， 对于， 令， 存在， 使得 时，在上单调递减， ， 即在 时，不适合条件． 综上， 的取值范围为． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第四十三讲 利用导数解决不等式恒成立问题 【学习目标】 能准确转化两类问题，掌握分离参数、分类讨论、隐零点、同构四种主流解题方法； 【学习重点】 恒成立问题的转化思路，分离参数法、隐零点法； 【学习难点】 同构变形识别，利用同构简化指数、对数型不等式； 必掌握知识点 1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），． 3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，． （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集． 4、法则1若函数和满足下列条件： （1）及； （2）在点的去心邻域内，与可导且； （3）， 那么=． 法则2若函数和满足下列条件：（1）及； （2），和在与上可导，且； （3）， 那么=． 法则3若函数和满足下列条件： （1）及； （2）在点的去心邻域内，与可导且； （3）， 那么=． 注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： （1）将上面公式中的，，，洛必达法则也成立． （2）洛必达法则可处理，，，，，，型． （3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限． （4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止． ，如满足条件，可继续使用洛必达法则． 必考题型全归纳 题型一、恒成立问题 1．（陕西省西安市长安区第一中学2017届高三4月模拟考试数学（文）试题）设函数. (1)当时,求函数在点处的切线方程； (2)对任意的函数恒成立，求实数的取值范围. 2．（江苏省丹阳高级中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷）已知函数，. (1)求函数在点处的切线方程； (2)对任意的时，恒成立，求实数的取值范围； (3)记，若，且，求证：. 3．（2018届高三第一次全国大联考（江苏卷））已知函数,（）,其中为自然常数. （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）若对任意的恒成立,求实数的取值范围. 题型二、存在性问题 4．已知函数（且）． (1)求的单调区间； (2)若的图象在点处的切线的斜率为1，则在什么范围内取值时，对于任意的，函数在上总存在极值？ (3)当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围． 5．（河北省部分学校2026届高三考前适应性考试）已知函数，函数，t，a均为实数． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)当时，若存在正实数x，使不等式成立，求a的取值范围； (3)若函数有两个不同的零点，记作，，且，求证：． 题型三、任意、存在复合型值域问题 6．（江苏省南京市东山高级中学2022-2023学年高一上学期10月月考数学试题）已知函数． (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 7．（2022届高三数学一轮复习）已知函数在处取得极值，． （1）求的值与的单调区间； （2）设，已知函数，若对于任意、，，都有，求实数的取值范围． 题型四、导数证明不等式（构造函数、 放缩 、 隐零点） 8．（2017年内蒙古呼和浩特市高三年级质量普查调研考试（一模））已知函数． （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）当时，求证：； （3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 9．（山西省芮城县2020届高三下学期3月月考数学（理）试题）已知函数. （1）对定义域内的任意,都有，求的取值范围； （2）若在处取得极值，求证：对于任意大于1的正整数，其中为自然对数的底数． 10．（浙江省教研联盟2024-2025学年高二下学期5月调研测试数学试题）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积； (2)当时，求证； (3)当时，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围． 题型五、同构法简化恒成立、零点问题 11．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 题型六、极值点偏移 12．（天津市十二区县重点学校2020届高三下学期毕业班联考）已知函数． （1）求函数的单调区间和极值； （2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若存在，且当时，，证明：． 巩固提升： 1．（甘肃省张掖市某校2024-2025学年高二下学期3月月考检测数学试卷）已知，. (1)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)讨论函数在上的单调性； (3)对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 2．（湖南省部分学校2022-2023学年高三上学期10月联考数学试题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若在上恒成立，求整数的最小值. 3．（2.2备战2020年高考精选考点专项突破题集）已知函数 （1）若函数与相切，求实数a的取值范围； （2）若不等式对恒成立，求a的取值范围. 4．（江西省永丰县永丰中学2021届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数． （1）当时，求的值域． （2）若不等式对恒成立，求实数a的取值范围． 5．（四川省南部中学2023-2024学年高三第四次月考数学（理科）试题）已知函数． (1)讨论函数 的单调性； (2)若不等式对恒成立， 求的取值范围． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $