微专题拓展08 利用导数解决不等式整数解问题（5大题型）讲义-2027届新高考数学一轮总复习解题妙招精讲与题型整合（新高考专用）

该高中数学高考复习讲义聚焦利用导数解决不等式整数解这一核心考点，围绕单调性分析、整数取值推理等关键能力，通过解题方法总结、五种题型（直接构造、参变分离等）梳理及课后精练构建系统知识网络，设计考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破函数性质与整数条件结合的难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义采用题型分类突破与核心素养融合的教学策略，如通过虚设零点法训练培养数学思维，函数分拆法强化数学语言表达，设置分层练习与即时验证环节，助力学生在有限时间内掌握解题逻辑，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有效指导。

微专题拓展08 利用导数解决不等式整数解问题 目录 01 解题方法总结 2 02 重难点题型梳理 3 题型一：直接构造法 3 题型二：参变分离法 4 题型三：函数分拆法 5 题型四：虚设零点法 6 题型五：端点探路法 7 03 课后拓展精练 9 利用导数解决整数问题，关键在于结合函数单调性与整数取值范围进行推理，以下是具体方法总结： （1）求导分析单调性：对目标函数求导，根据导数的正负判断函数单调性，确定函数的增减区间和极值点。 （2）确定关键点取值：计算函数在整数点或关键点（如极值点、边界点）的函数值，明确函数在这些点的取值范围。 （3）结合整数条件推理：根据题目要求的整数条件，结合函数单调性和关键点取值，推理出自变量的整数取值范围。例如，若函数在某区间单调递增，且已知某整数点的函数值，则可推断出该点附近满足条件的整数解。 （4）验证与调整：对推理出的整数解进行验证，确保其满足题目条件。必要时，通过调整参数或进一步分析函数性质，缩小或扩大整数解的范围。 题型一：直接构造法 例1．（2026·高三·湖北·开学考试）已知定义在上的函数，若满足不等式的整数解的个数恰好为2个，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例2．已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．已知函数，若有且只有两个整数使得，且，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 变式1．已知函数的导函数为，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．已知函数的导函数为，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二：参变分离法 例4．（2026·高三·河南南阳·期中）设函数，若存在唯一整数使得，则实数λ的取值范围是__________. 例5．已知函数，若关于x的不等式的解集中有且只有三个整数，则实数a的取值范围是______． 例6．（2026·高三·黑龙江哈尔滨·期末）设函数，若存在唯一的整数使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式3．已知函数，若存在唯一整数，使得，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 变式4．设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 变式5．（2026·高三·安徽·阶段检测）已知函数，若存在唯一的整数，使得，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：函数分拆法 例7．在关于的不等式（其中为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例8．设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例9．定义在上的函数满足，（为的导函数），若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6．已知函数，若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式7．若不等式（其中）的解集中恰有一个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式8．已知是函数的导函数，且对任意实数都有，，若不等式（其中）的解集中恰有三个整数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型四：虚设零点法 例10．已知函数，. (1)若， （i）求函数在处的切线方程； （ii）求证：是函数的极小值点； (2)若，恒成立，求整数的最大值. 例11．已知函数，． (1)若，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若对任意，有恒成立，求整数的最小值． 例12．已知函数，． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若对任意恒成立，求整数的最小值． 变式9．（2026·江苏·模拟预测）已知函数．（其中是自然对数的底，，）． (1)讨论函数的单调性； (2)若直线是函数图像的切线，求a的值； (3)当时，若恒成立，求整数a的最大值． 变式10．（2026·高三·安徽·阶段检测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若对定义域内的任意x，恒成立，求整数m的最小值. 题型五：端点探路法 例13．（2026·福建宁德·二模）已知函数. (1)若在处取得极值，求的值，并指出它是极大值还是极小值； (2)当时，证明：； (3)当时，若，求整数的最小值. 例14．已知函数，对，不等式恒成立，求整数的最大值． 例15．对一切的恒成立，试求出整数的最大值． 1．已知函数，若的解集中恰有一个整数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，设，若只有一个零点，则实数的取值范围是______；若不等式的解集中有且只有四个整数，则实数的取值范围是______． 3．已知定义域为R的函数，若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则的取值范围是______． 4．（2026·高三·河南许昌·期中）已知函数，若关于的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数的最大值为______. 5．（2026·高三·吉林白城·期中）已知定义域为的函数满足：（c为常数），，则的单调递增区间是______；若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是______. 6．已知不等式的解集中有且只有个整数,则实数的取值范围是________. 7．（2026·高三·江苏淮安·期中）设定义在上的函数的导函数为，已知，且，若关于的不等式的解集中恰有一个整数，则实数的取值范围是______. 8．若关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则的取值范围是______． 9．已知函数，若有且只有两个整数使得，且，则的取值范围是______ 10．（2026·高三·上海宝山·期中）若不等式的解集中仅有2个整数，则实数k的取值范围是______． 11．（2026·辽宁锦州·模拟预测）若关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则k的取值范围是______． 12．（2026·云南·三模）设函数，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是________. 13．不等式的解集中整数解的个数为______. 14．（2026·高三·江苏苏州·阶段检测）已知函数，若存在唯一的整数，使得，则实数a的取值范围是__________． 15．（2026·高三·江苏徐州·阶段检测）设函数，其中，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是__________． 16．已知函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是____. 17．已知定义在上的函数. (1)求函数在上的最大值； (2)若对于任意的，恒成立，求整数的最大值. 18．已知定义在上的函数． (1)求函数的最大值； (2)若对于任意的，恒成立，求整数a的最大值. 19．（2026·高三·天津滨海新区·阶段检测）已知函数. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性： (3)若对定义域内的任意，都有恒成立，求整数的最小值. 20．已知函数 (1)若对任意的，且，总存在，使得成立，求实数的取值范围 (2)若为整数，当时，恒成立，求的最大值； 28 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题拓展08 利用导数解决不等式整数解问题 目录 01 解题方法总结 2 02 重难点题型梳理 3 题型一：直接构造法 3 题型二：参变分离法 7 题型三：函数分拆法 11 题型四：虚设零点法 16 题型五：端点探路法 22 03 课后拓展精练 27 利用导数解决整数问题，关键在于结合函数单调性与整数取值范围进行推理，以下是具体方法总结： （1）求导分析单调性：对目标函数求导，根据导数的正负判断函数单调性，确定函数的增减区间和极值点。 （2）确定关键点取值：计算函数在整数点或关键点（如极值点、边界点）的函数值，明确函数在这些点的取值范围。 （3）结合整数条件推理：根据题目要求的整数条件，结合函数单调性和关键点取值，推理出自变量的整数取值范围。例如，若函数在某区间单调递增，且已知某整数点的函数值，则可推断出该点附近满足条件的整数解。 （4）验证与调整：对推理出的整数解进行验证，确保其满足题目条件。必要时，通过调整参数或进一步分析函数性质，缩小或扩大整数解的范围。 题型一：直接构造法 例1．（2026·高三·湖北·开学考试）已知定义在上的函数，若满足不等式的整数解的个数恰好为2个，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知定义在上的函数，若满足不等式的整数解的个数恰好为2个， 所以定义在时，不等式的整数解的个数恰好为2个， 令， 求导得， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增， 而， 所以存在，使得当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为当从0的右边趋于0时，，不满足不等式， 所以只能，解得. 故选：C. 例2．已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以 即 ， 设， 令，可得， 所以 ，则 ， 令 可得 在 上递增，令 可得 在 上递减， 所以在 处取得极大值 ，作函数的图象如图所示： 又因为， 而不等式的解集中恰有三个整数，等价于不等式的解集中恰有三个整数， 由图象知：当时，不等式不等式的解集中恰有三个整数， 所以实数的取值范围是， 故选：C. 例3．已知函数，若有且只有两个整数使得，且，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数，可得，其中， 若时，，则在上单调递增，且， 所以有无数个整数解，不符合题意， 若时，当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以， 所以，综上可得，实数的取值范围为. 故选：B. 变式1．已知函数的导函数为，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知得， 令，则，即， ∵，∴，∴， ∴，∴， 令得，，                                                                  单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 可知时，取得极大值 ，时，取得极小值， 其中，，， 当趋近于负无穷时，趋近于零，则函数的草图如下图， ∵不等式的解集中恰有两个整数， ∴当时，不等式的解集中恰有两个整数， 即实数的取值范围是， 故选：. 变式2．已知函数的导函数为，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得，即， 设，则，因，代入解得， 则，则， 由得，由，得或， 故函数在上单调递增，在和上单调递减， 且当，当，作出函数的图象. 由图知，，又，且当时，， 由图可知，要使不等式的解集中恰有两个整数，需使， 即，故实数的取值范围是. 故选：C. 题型二：参变分离法 例4．（2026·高三·河南南阳·期中）设函数，若存在唯一整数使得，则实数λ的取值范围是__________. 【答案】 【解析】当时，，舍去； 当时，令，得， 设，得，令得，， 当时，；当时，， 所以函数的极小值点为，不存在极大值点.此时不等式有无穷多解，舍去； 当时，得， 数形结合只需：，解得； 综上. 故答案为： 例5．已知函数，若关于x的不等式的解集中有且只有三个整数，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】函数的定义域为，， 当时，；当时，； 即在上单调递增，在上单调递减， 且，当时，；当时，； 令，则不等式即为， 故，即，即， 则不等式的解集中有且只有三个整数， 即为不等式的解集中有且只有三个整数， 由于，且， 结合题意可知要满足题意，解集中的三个整数为2,，3，4， 需有，即， 即实数a的取值范围是， 故答案为： 例6．（2026·高三·黑龙江哈尔滨·期末）设函数，若存在唯一的整数使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若存在唯一整数使得，可得，则， 令，该函数的定义域为，则， 当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增. ，，，且， 因此，若存在唯一的整数使得，则. 故选：A. 变式3．已知函数，若存在唯一整数，使得，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得，令,分离参数可得,若存在唯一整数，使得,即存在唯一整数使得，设,则,当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极大值也是最大值为，且时，，时，，又因为,如下图 由图可知只有满足条件。 变式4．设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若存在唯一的整数，使得，即存在唯一的整数，使得， 所以有唯一的整数解. 令，，所以， 令，即，解得， 所以在上，，单调递减， 在上，，单调递增， ，，，当时，. 若，，会有多个整数解，舍去； 若，需满足，且， 所以. 故选：D． 变式5．（2026·高三·安徽·阶段检测）已知函数，若存在唯一的整数，使得，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 令函数， 则． 令函数，显然在上单调递减． 因为， 所以当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减． 又，， 当趋近于时，趋近于负无穷，当趋近于时，趋近于， 所以当存在唯一的整数，使得时，a的取值范围是． 故选：C 题型三：函数分拆法 例7．在关于的不等式（其中为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不等式展开化简得：， 设，，则原不等式等价于． 若，则当时，，， 原不等式的解集中有无数个大于2的整数，不合题意． 若，当，即时，设， 则， 设，则在单调递减， ， 在单调递减， ， 当时，，在上为减函数，即， 当时，不等式恒成立， 原不等式的解集中没有大于2的整数，不合题意． 要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则，即，解得． 实数的取值范围为． 故选：D． 例8．设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意， 令 ， 因为存在唯一的整数，使得，即， ， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故当时，函数取得极小值也是最小值， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 是斜率为a，且过定点的直线，作出其大致图象如图： 当时，存在无穷多个满足条件的整数满足不等式，不符合题意， 故，此时需满足在图象上只有一个横坐标为整数的点在直线下方， 则需满足，解得， 则实数a的取值范围是. 故选：D 例9．定义在上的函数满足，（为的导函数），若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 即（为常数）， 又，所以，即. ，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 又，当时，，当时，， 且当时，，当时，， 所以作出的大致图象如图所示. 令，易知的图象恒过点， 在同一平面直角坐标系中作出的图象，易知，数形结合可知， 若存在唯一的整数，使得，则 即，得， 故选：B. 变式6．已知函数，若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又当时，，当时，且， 作出的函数图象如图所示： 由仅有一个整数解， 得只有一个整数解， 设，由图象可知： 当时，在上恒成立，不符合题意， 当时，若只有1个整数解，则此整数解必为1， 所以，即，解得． 故选：D． 变式7．若不等式（其中）的解集中恰有一个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令， 当时，，当， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以，且， 而当无限趋向于负无穷大时，无限趋向于0， 当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于正无穷大， 令，该函数图象为恒过的动直线， 因为不等式的解集中恰有一个整数， 结合图象可得，即，所以. 故选：D 变式8．已知是函数的导函数，且对任意实数都有，，若不等式（其中）的解集中恰有三个整数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则，可设， ．，， ． 令解得，，令解得，， 可得：时，函数取得极小值， ，，，，所以 易知，直线恒过定点， 要满足不等式（其中）的解集中恰有三个整数， 如图，当时，直线与图象的交点G，必须介于点B与点F之间. 因此直线的斜率，必须满足， 又，所以， 故选：C． 题型四：虚设零点法 例10．已知函数，. (1)若， （i）求函数在处的切线方程； （ii）求证：是函数的极小值点； (2)若，恒成立，求整数的最大值. 【解析】（1）（i）当时，，则， 又，， 所以在处的切线方程为. （ii）当时，，则 令，则， 当时，，单调递增，即在上单调递增. 又， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增； 因此为的极小值点. （2）当时，， 因此可变形为，即. 设， 则， 设，则，所以在单调递增， 又，， 因此在存在唯一零点，，且， 当时，；当时，； 又当时，，， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增； 因此在时取得最小值，即. 又，即，所以. 因为，所以， 又，所以， 又是整数，所以的最大值为2. 例11．已知函数，． (1)若，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若对任意，有恒成立，求整数的最小值． 【解析】（1）已知，则. 因为，则，解得， （2）由（1）知， . 当时，在上恒成立，此时在上单调递增； 当时，令，即，解得或（舍去）. 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）因为对任意，恒成立，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 设，则. 设，，则在上单调递减， 因为，， 所以，使得，即，则. 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因为，所以. 故整数的最小值为1. 例12．已知函数，． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若对任意恒成立，求整数的最小值． 【解析】（1）当时，，定义域为 则，令解得 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减 所以有极大值，无极小值 （2） 若时，在上恒成立，此时在上单调递增； 若时，令，即，解得或（舍去）. 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 （3）因为对任意，恒成立，所以在上恒成立， 即在上恒成立 设，则 设，，则在上单调递减， 因为，， 所以，使得，即，则. 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上的最大值 因为，所以. 故整数的最小值为1 变式9．（2026·江苏·模拟预测）已知函数．（其中是自然对数的底，，）． (1)讨论函数的单调性； (2)若直线是函数图像的切线，求a的值； (3)当时，若恒成立，求整数a的最大值． 【解析】（1）函数的定义域， 求导得， 当时，，故，函数在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，故，函数单调递增；当时，，故，函数单调递减， 因此，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减. （2）设切点为，则，直线的斜率为，因此，由得， 解得，由于切点在直线上，故， 因此，，将代入上式，得：， 令，则，对于，因此，在上单调递增，又因为，所以， 将代入，因此，的值为. （3）当时，，即：，令，则，令， 则，由于，且，故，因此在上单调递增， 因为，，因为， 因此，存在，使得，即，对于，，故，单调递减； 对于，，故，单调递增； 因此，在处取得最小值：， 令，则，所以，又，， 所以， 因此整数的最大值为1. 变式10．（2026·高三·安徽·阶段检测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若对定义域内的任意x，恒成立，求整数m的最小值. 【解析】（1）函数的定义域为， 求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）依题意，恒成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得，函数在上单调递减， 而，，则，使得，即， 当时，，；当时，，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， ， 则，所以整数m的最小值为1. 题型五：端点探路法 例13．（2026·福建宁德·二模）已知函数. (1)若在处取得极值，求的值，并指出它是极大值还是极小值； (2)当时，证明：； (3)当时，若，求整数的最小值. 【解析】（1）因为，所以. 因为在处取得极值，所以，解得. 当时，， 当在区间变化时，，的变化情况如下表所示： 0 极大 所以在处取得极大值. （2） ， 令，则， 则的最值问题可转化为的最值问题，. 当时，（不恒为零），所以在上单调递增， ， 由，得， 所以，所以，即； 当时， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以， 而，由上知，所以， 又，所以， 所以，所以，即. 综上，当时，. （3）当时，， 令，由题意知恒成立. 而，， 当时，，，当时，， 所以在上单调递减，，不合题意舍去，故. 当时，， ， ， ， 所以，当时，， 则在上单调递减，所以， 所以在上单调递减，，不合题意舍去. 当时，， ， 当时，， 所以在上单调递增，，符合题意； 当时，由（2）可知，， 所以. 综上，整数的最小值为3. 例14．已知函数，对，不等式恒成立，求整数的最大值． 【解析】 可得恒成立； 整数满足恒成立则一定满足恒成立； 注意到时，，取特殊值，得到， 可验证当时，若取大于的整数，都有使得． 下面验证满足恒成立： 令，， ，， 所以存在使得． 且当，，单调递减； ，，单调递增； 满足． ，当且仅当取等，，可得恒成立， 即恒成立，恒成立． 综上，可知满足题意的最大整数为． 例15．对一切的恒成立，试求出整数的最大值． 【解析】易知对一切的恒成立， 当时，可得，故仅可取1，2． 下面证明：当时，恒成立．设， 则． 从而在上单调递减，在上单调递增， 所以． 当2时，不等式恒成立，故的最大值为2． 1．已知函数，若的解集中恰有一个整数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知，，， 由于的解集中恰有一个整数， 即，即， 因为，所以的解集中恰有一个整数， 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 画出和的大致图象，如图所示： 要使得，可知， 设为和的交点的横坐标， 而的解集中恰有一个整数，可知该整数为1，即， 当时，得；当时，得， 即，， 当直线过点时，得， 当直线过点时，得， 所以的取值范围为. 即所以的取值范围为. 故选：C 2．已知函数，设，若只有一个零点，则实数的取值范围是______；若不等式的解集中有且只有四个整数，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； ∴；当时，；当时，；． 据此可作出图象如图所示： 令，则或， 由，可得； 又∵只有一个零点，∴无解，或， ∴，或， ∴的取值范围是． 令，则． ①当时，则或， 由，可得，无整数解，∴中有3个整数解， 结合的图象可知此4个整数解为,5， ∵， 由函数的单调性可知，∵， ∴； ②当时，， 由，得，不满足题意； ③当时，由，得或， ∵的解集中无整数，的解集中有若干个整数，不满足题意； 综上，的取值范围为． 故答案为：；． 3．已知定义域为R的函数，若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】由题，可得， 当时，，所以单调递增区间是 当时，，所以的单调递减区间是. 设，可知该函数恒过点， 考虑过的切线，设切点为，则， 故，当时，； 当时，； 画出，的大致图像，如图所示， 若， 不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则这两个整数为0，－1， 所以，即，解得． 若，不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则这两个整数为3，4， 所以，即，解得． 故答案为： 4．（2026·高三·河南许昌·期中）已知函数，若关于的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数的最大值为______. 【答案】 【解析】设， 因为均为上的增函数，故为上的奇函数， 又， 由不等式可化为， 即，故， 故的解集中有且仅有2个整数， 故的解集中有且仅有2个整数，设， 则， 则当时，；当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故， 故的最大值为， 故答案为： 5．（2026·高三·吉林白城·期中）已知定义域为的函数满足：（c为常数），，则的单调递增区间是______；若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】由题意，得， 所以，， 令，，所以的单调递增区间是． 令，，所以的单调递减区间是． 且当时，； 设，可知该函数恒过点， 画出，的大致图象，如图所示， 设过的切线的切点为， 则，故， 而， 不等式（其中）的解集中恰有两个整数， 则这两个整数为0，或， 所以，或 即或，解得或 故答案为：，. 6．已知不等式的解集中有且只有个整数,则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】, 设, 则, 当,即当时,函数为增函数; 当,即当时,函数为减函数; 当时,;当时,, 则满足题意的函数的图像与直线图像如图: , 所以,即, 解得. 故答案为:. 7．（2026·高三·江苏淮安·期中）设定义在上的函数的导函数为，已知，且，若关于的不等式的解集中恰有一个整数，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】设，则， 所以 所以， 又，得， 所以， 所以， 即 对于函数，， 当，即时，函数单调递增， 当，即时，函数单调递减， 又函数恒过点， 再同一坐标系中画出和的图像如下： 若关于的不等式的解集中恰有一个整数，则该整数必为， 所以，解得. 故答案为：. 8．若关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】，不等式可化为， 令，， 由解得，由解得， 在为增函数，在为减函数， 令，则的图象恒过，若解集恰有个整数， 当时，有无数个整数解，不满足题意； 当时， 如图画出函数的大致图象，则两个整数为1和2，故2满足不等式且3不满足不等式， 即且，解得， 故答案为：. 9．已知函数，若有且只有两个整数使得，且，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】当时，由，得， 设，，求导得，由，得， 当时，，为减函数，当上，，为增函数， 的图象恒过点，在同一坐标系中作出函数，的图象， 显然，即，由于有且只有两个整数，使得， 则这两个整数要么是2，3，不是1，要么是1，2，不能是3， 当时，即，解得，此时，， 显然至少有3个整数使得对应的函数值大于0，不符合题意，因此这两个整数是1，2，不能是3， 于是，解得， 所以的取值范围是． 故答案为： 10．（2026·高三·上海宝山·期中）若不等式的解集中仅有2个整数，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【解析】原不等式等价于，， 设， 所以， 令，得． 当时，，单调递增，当时，，单调递减． 又，时，， 因此与的图象如下， 当时，显然不满足条件，当时，只需满足， 解可得，． 故答案为：． 11．（2026·辽宁锦州·模拟预测）若关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】，不等式可化为， 令，，由解得，由解得，在为增函数，在为减函数， 令，则的图象恒过，若解集恰有个整数， 当时，有无数个整数解，不满足题意； 当时， 如图，则两个整数为1和2，故2满足不等式且3不满足不等式，即且，解得， 故答案为： 12．（2026·云南·三模）设函数，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】由函数，设和 因为存在唯一整数，使得， 所以存在唯一的整数使得在直线的下方，如图所示， 因为，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在单调递增， 当时，取得极小值，也为最小值， 且当时，，当时，， 又由直线恒经过原点，斜率为（其中）， 所以且，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 13．不等式的解集中整数解的个数为______. 【答案】3 【解析】设，则，令得， 令得，令得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 又，，， ，根据零点存在定理，存在，使得， 存在，使得，所以不等式的解集为， 此解集中包含的整数解为共3个. 故答案为：3 14．（2026·高三·江苏苏州·阶段检测）已知函数，若存在唯一的整数，使得，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】有且仅有一个整数解， ， 等价于有且仅有一个整数解， 即，令， ，当 时， ， 时， ，在 处取得极大值， 直线：过定点，作下图， ∴2是唯一的整数解，即 ，解得： ； 故答案为： . 15．（2026·高三·江苏徐州·阶段检测）设函数，其中，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】存在唯一整数，使得，即存在唯一整数，使得 令，，则， ∴当时，，则函数在上单调递减； 当时，，则函数在上单调递增； 而； 当时，，所以且当时， 因为存在唯一的整数x0使得． 当直线与相切时， 设切点为，则切线的斜率为， 又直线过原点，所以此时 由切点再切线上，可得，解得 所以 所以当直线与相切时， 因为时，，时， 所以，则，此时不满足条件. 所以结合图形知：当时，有无数多个整数x0使得，故不满足题意. 又，由图可知当直线在与之间时，满足条件的整数x0只有 ， 所以满足条件的的范围是： 故答案为： 16．已知函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是____. 【答案】. 【解析】设，， 由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数， ，当时，， 当时，,所以，函数的最小值为. 又，（1）， 直线恒过定点且斜率为， 故且，解得. 故答案为：. 17．已知定义在上的函数. (1)求函数在上的最大值； (2)若对于任意的，恒成立，求整数的最大值. 【解析】（1）由已知得， 则， 当时，，则函数在上单调递增， 当时，，则函数在上单调递减， 所以； （2）由题设知对于任意，恒成立， 即，所以恒成立， 设，则， 令，则， 又，所以恒成立，所以在上单调递增， 又，，所以存在，使得， 即，所以， 所以时，，所以，所以在上单调递减， 所以时，，所以，所以在上单调递增， 则 设，易知在上单调递增， 又，，所以， 所以恒成立， 又，所以整数的最大值为. 18．已知定义在上的函数． (1)求函数的最大值； (2)若对于任意的，恒成立，求整数a的最大值. 【解析】（1）由已知得，则， 当时，令，解得；令，解得； 可知函数在上单调递增，在上单调递减，则； 当时，， 所以. （2）由题设知对于任意，恒成立， 设，则， 令，则恒成立， 可知在上单调递增．且，， 则存在，使得，即， 当时，，即；当时，，即； 可得在上单调递减，在上单调递增， 则， 设，可知在上单调递增． 且，，即， 则， 又因为，且，所以整数的最大值为． 19．（2026·高三·天津滨海新区·阶段检测）已知函数. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性： (3)若对定义域内的任意，都有恒成立，求整数的最小值. 【解析】（1）当时，，求导得，则，而， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （3）函数的定义域为， ，不等式恒成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得，函数在上单调递减， 而，，则，使得，即， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 而，所以整数m的最小值为1. 20．已知函数 (1)若对任意的，且，总存在，使得成立，求实数的取值范围 (2)若为整数，当时，恒成立，求的最大值； 【解析】（1）设函数，可得函数在区间上单调递增， 所以， 不妨设，可得， 因为总存在，使得 成立， 即 ，可得， 设，则，即函数单调递增， 又由，可得， 则，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令 ，则满足 ，解得， 所以实数的取值范围为. （2）当时，，不等式 ，即为， 不等式即为在上恒成立， 令，则， 再令，可得，所以单调递增， 又由，，所以在上存在唯一的零点， 故在上存在唯一的零点，设此零点为，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为， 由，可得，所以 ， 因为恒成立，即为，所以 所以整数的最大值为． 28 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $