3.4 利用导数研究恒成立、能成立、双变量问题【5大考点】专题训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以导数应用为核心，构建恒成立、能成立、双变量问题的方法体系，通过分类突破培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |恒成立（参变分离）|6题|参数分离转化为最值问题|从求导、极值到参数范围，层层递进| |恒成立（分类讨论）|6题|按参数范围讨论函数单调性|结合函数图像分析，培养分类思想| |能成立问题|6题|存在性转化为函数值域问题|与恒成立对比，强化逻辑辨析| |双变量问题|6题|构造函数或变量代换|建立变量关系，提升综合应用能力| |极值偏移|6题|对称构造或差值代换|基于极值点性质，培养创新意识|

3.4 利用导数研究恒成立、能成立、双变量问题 5大考点汇总 考点01 含参数函数的恒成立问题（参变分离法） 考点02 含参数函数的恒成立问题（分类讨论法） 考点03 利用导数研究能成立问题（存在性） 考点04 利用导数研究双变量问题 考点05 导数中的极值偏移问题 题型专练 考点01 含参数函数的恒成立问题（参变分离法） 1．已知函数． (1)求函数的导函数； (2)求的极值； (3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)极小值为1，无极大值 (3) 【分析】（1）根据复合函数求导、导数四则运算求得正确答案.， （2）求导，根据导数求解单调性，即可求解极值， （3）将恒成立问题参数分离，构造函数，即可求导求解最值． 【详解】（1）由得. （2）令，则，故在单调递增， 当时，单调递减， 所以当时，取极小值，无极大值， （3）由得，故， 构造函数，则，令，则， 故当时，单调递增，时，单调递减， 故当取极小值也是最小值，， 所以，即 2．若在上单调递增，则a的最大值为_________. 【答案】 【分析】根据可导函数在上单调递增的充要条件是导函数非负恒成立，将问题转化为求参数小于等于构造的新函数的最小值，进而求新函数的最小值即为的最大值. 【详解】已知在上单调递增，故对任意，都有恒成立， 对求导得， 因此不等式对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，只需满足即可，又， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因此是的极小值点，也是最小值点， 代入得，即的最大值为. 3．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线斜率，结合切点坐标用点斜式得切线方程； （2）将恒成立问题转化为的最小值大于，通过导数分析单调性求最小值，进而得到a的取值范围 【详解】（1），∴切点坐标为. ， 则切线斜率. 所以切线方程：，即. （2）恒成立等价于对任意恒成立，故 且， ∴ 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 故在处取极小值也是最小值，. 因此，解得， 即a的取值范围为. 4．若，恒成立，则的最大整数值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定时的情况，当时，参变分离可得，构造函数，求出函数的最小值即可. 【详解】当时，，不等式成立，； 当时，恒成立，即， 令，则， 令，，则， 则在上单调递增，所以，即. 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 故，所以； 综上，故的最大整数值为. 5．已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若对，都有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义求斜率，然后由点斜式可得； （2）参变分离，利用导数求最值可得解. 【详解】（1）当时，，，故， 由，得切线方程为，即； （2）原条件等价于对恒成立， 令，，则， ，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 计算得，，又， 所以，故的取值范围为. 6．已知函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用函数在点处的导数值即曲线的斜率及点在曲线上求得的值； （2）当时，恒成立，等价于 ，构造函数，求最小值，即可求实数的取值范围； 【详解】（1）已知函数，求导得 ， 由题意，得且 ， 所以，． （2）由（1）可知，， 由，得 ， 又，所以 ， 设，， 又，，由，解得， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，所以，即实数的取值范围为． 考点02 含参数函数的恒成立问题（分类讨论法） 7．已知函数，对于，均有，则实数的取值范围是_________． 【答案】a ≥ 【分析】用导数及分类讨论研究函数在区间上的单调性，讨论与区间的位置关系求区间单调性，进而求的最小值， 【详解】由且， 当时，，则在上单调递减， 即在上单调递减， 此时，只需， 所以，显然不成立； 当时，时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若，则在上单调递增，此时， 只需， 若，则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 只需，而且，故，所以不成立. 若，则在上单调递减，此时， 所以不满足前提， 综上，. 8．已知，． (1)当时，求的单调区间； (2)若，使成立，求参数的取值范围． 【答案】(1)的单调递减区间为，的单调递增区间为， (2) 【分析】（1）将a的值代入，再对函数求导，对函数的导数进行研究即可；（2）先对函数进行求导，再对a进行讨论，在题目要求的范围内找到一个极小值小于题目要求即可. 【详解】（1）当时， ， 所以．由，得或0；由，得. 所以的单调递减区间为，的单调递增区间为，. （2）由题意，得，因为，由，解得，． ①当时，因为，所以，所以单调递增，即． ，即． 设 ，． 所以 ，即恒成立，即，所以不等式无解； ②当时，当变化时，，变化情况如下表： 0 + 0 - 0 + 极大值 极小值 且， ，因为，所以 ， 因此恒成立， 若，使，则 所以所以 解得． 综上所述，参数的取值范围为. 9．已知函数． (1)证明：当，时，； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求导，确定函数单调性，求解最值即可求证； （2）求导，分，，三种讨论，研究其单调性即可求解最值. 【详解】（1）（1）当时，， 当时，， 则函数在单调递减，即． （2）， ①当时，在上单调递减， 即，故原不等式不成立． ②当时，因为，所以， 即，显然原不等式成立． ③当时，存在，使得， 当在单调递增， 当在单调递减， 即， 由题意，可知，解得， 综上所述：． 10．已知函数（为自然对数的底数，） (1)求在处的切线方程； (2)求的最小值； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.（表示不超过实数的最大整数） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求导求切点坐标，进而得到函数在该点的切线； （2）求导分析函数单调性，得到函数最小值； （3）针对取整函数分段讨论，利用各区间内的最小值，将恒成立问题转化为求的上界. 【详解】（1），   ，           在处的切线方程是. （2）由（1）知，  ，   则在上，，单减；在上，，单增； .        （3）当，，而，此时恒成立； 当，时，而，，此时不成立； 当，时，，此时恒成立 ； 时，，此时恒成立. 下证：时，恒成立. 令， ， 所以在上单调递增，         ， 因为 所以，即，     综上. 11．已知函数，． (1)求函数的单调区间和极值； (2)若，恒成立，求实数． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）求导根据导数的正负判断单调性与极值； （2）由（1）及零点存在定理可得当时，恒成立；再通过导数的正负判断单调性，得的极小值为，继而按、、及分类分析判断的符号，最终得到答案. 【详解】（1）依题意，函数的定义域为，导函数， 令，因为，所以是增函数 又， 故当时， ，单调递减；当时，，单调递增. 即的单调递减区间为，单调递增区间为． 当时，函数取极小值，且极小值为． （2）因为，，， 所以由（1）及零点存在定理知， ，，使，，即，． 故 且当时，，即，即， 从而 ， 当时，，即 ，即， 从而， 当时，，同理可得， 故当时，恒成立． 又，而在内单调递增，且， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以函数的极小值为， 若，则在上恒成立， 当时，，不成立，不符合题意，舍去； 若，由零点存在定理知， ，，使， 且当或时，，当时，， 若， 则，当，，不合题意，舍去； 若， 则，当，，不合题意，舍去． 综上所述，． 12．已知函数． (1)若在处取得极值，求a的值； (2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出原函数的导函数，由，求解验证即可； （2）分类讨论的范围，根据导数求得最小值，结合题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）由题意得． 因为在处取得极值，所以，解得． 经验证，当时，在处取得极小值，符合题意，故． （2）由（1）知． ①若，则当时，，即恒成立， 所以在上单调递增，， 由，得，故． ②若，令，得或， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 所以， 由，可得，解得，故． 综上，实数的取值范围是． 考点03 利用导数研究能成立问题（存在性） 13．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】将问题化为能成立，应用导数研究右侧的最大值，即可得范围. 【详解】要使得存在满足， 先将不等式进行等价变形为， 两边同乘得， 整理为关于的不等式，即， 令，问题转化为存在使得，即， 对求导，​令，则，即， 由、、在上单调递增，且，， 根据函数的单调性知在上单调递增，而， 所以，当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 观察到时，代入得，恰与等价，此时， 故极值点满足，即，故， 因此，存在使成立，当且仅当，则实数的取值范围是. 14．已知函数． (1)当时，求的单调区间、最大值； (2)设函数，若存在实数，使得，求m的取值范围． 【答案】(1)函数在上单调递增，在上单调递减，最大值为； (2) 【分析】（1）对函数求导，利用导数求出函数的单调区间及最大值； （2）把存在性问题转化为求函数最小值问题，分情况讨论，利用导数求出函数的单调性及最小值，进而求出m的取值范围． 【详解】（1）当时，函数为，定义域为， 求导得， 当时，，，故，函数单调递增； 当时，，，故，函数单调递减； 函数在上单调递增，在上单调递减； 函数在处取得极大值，即为最大值，． （2）已知，存在实数，使得， 即不等式 在其定义域 上有解， 令，则问题等价于， 当时，，，求导得， 其中，故，在上单调递增， ； 当时，，故，求导得， 其中，故，在上单调递减， ， 综上可得，，要存在实数，使得，只需满足， 的取值范围为． 15．若存在使得方程有解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据的指数移项构造一个相同自变量，再根据相同函数类型建立自变量等式，最后分参构造函数，求导分析函数区间内的值域，即可求解. 【详解】先移项， 因为， 所以， 构造函数令，，所以在定义域内单调递增， 所以对于任意一个函数值，都有唯一一个对应， 所以， 令，， 令， 当，，在区间内单调递减， 当，，在区间内单调递增， 最后求端点值确定函数值域，，，， 因为， 所以， 条件为有解，即函数与有交点，所以. 16．已知函数． (1)求在上的单调区间； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)减区间，增区间； (2)． 【分析】（1）利用导数的正负判断单调性即可； （2）利用分类讨论思想，通过构造函数求导，来研究最大值成立，即存在性问题成立即可． 【详解】（1）求导得：， 当时，，当时，， 所以的减区间是，增区间是； （2）由，可得， 题意等价于在上有解． 设，，求导得， 当时，，递增，， 所以存在，即，使得成立； 当时，时，，在上递增， 时，，在上递减， 所以， 由得， 所以存在，即，使得成立， 综上，． 17．已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，参变分离，再求函数的最值即得； （2）参变分离，构造新函数，进而求导分析单调性求函数的极值结合条件即得. 【详解】（1）由题可知在上恒成立，所以． 因为，所以， 则，所以的取值范围为． （2）由有解，可得有解． 令，则， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，故的取值范围为． 18．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数是上的单调递增函数，求的值； (3)若存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对函数求导，求出切点处的导数值和函数值，进而求得切线方程. （2）若函数单调递增，则其导函数大于等于0恒成立，通过构造新函数，求新函数的最值来确定的值. （3）将转化为关于的不等式，通过构造新函数，求新函数的最值来确定的取值范围. 【详解】（1）对函数求导得，所以. 因为，所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）对函数求导得，因为函数是上的单调递增函数， 所以在上恒成立. 令，则. 当时，，所以，在上单调递增. 又因为，当时，，不满足在上恒成立，所以. 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以在处取得最小值. 因为在上恒成立，所以，即. 令，对求导，可得. 令，即，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在处取得最大值. 因为，且，所以，此时. （3）令，所以原问题变为存在，使得成立， 对求导得，，令. 求导得，当时，， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以，即. 此时不存在，使得成立，不符合题意； 当时，令，则. 当时，；当时，； 当，即时，在上单调递增，所以. 所以在上单调递增，所以，即. 此时不存在，使得成立，不符合题意； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 因为 ，所以在区间上， 因此在上单调递减， 又，故存在，使得，即成立， 综上，所以. 考点04 利用导数研究双变量问题 19．已知函数， ，若 ，使得，则的最大值为（   ） A． B．-1 C．-e D． 【答案】A 【分析】转换，函数表达式，进而得到，之间的关系，即可求解. 【详解】因为，故设， 所以， 因此如果，则， 而对于，，因此在定义域上单调递增， 则应有，且，故， 设，所以， 因此当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 所以， 则的最大值为 20．已知函数，若使得成立，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】先求出的最小值将原命题转化为有解的问题，随后运用参变分离法构造新函数并求其极小值，即可得出参数的取值范围. 【详解】由题意得， 则当时，，即在上单调递增， 则；由使得成立， 则在上有解，即在上有解， 令，因为，则， 故在上单调递减，则，即实数的取值范围是． 21．已知． (1)证明：的极值点； (2)设的最小值为，当最大时，求的值； (3)设的解集为，若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）求导，研究其单调性，根据零点存在性定理判断； （2）求出最小值，再消去参变量，构造函数，利用导函数求最大值即可； （3）得出等价于，化简得，再构造函数得出，再分、讨论. 【详解】（1）易知， 设，则，   当时，，单调递减，即单调递减， 当时，，单调递增，即单调递增，   因为，，所以存在，使得，   因为，时，， 所以当时，， 所以当时，，单调递减， 当时，，则单调递增， 所以是的极小值点，且； （2）由（1）可知，，且， 消去，整理得， 设，则， 因为，所以，   则当时，，单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的最大值为， 此时，所以，解得； （3）因为，的解集是，所以，且， 由，得， 所以等价于， 由，得， 消去，整理得， 设，则， 所以单调递减， 又，所以，当且仅当，   因为在单调递减，且， 若，则，故，不符合； 若，则，故，满足要求， 综上，的取值范围是． 22．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若当时，，求的取值范围； (3)若存在两个不同的正数，使得，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对函数求导并计算出在点处的导数值，再由直线的点斜式方程可求得切线方程； （2）由题意可知在时恒成立，构造函数并求出其最小值，即可得； （3）方法一：根据题意可知函数的图象与直线至少有两个交点，对函数求导并对进行分类讨论，即可求得其范围； 方法二：构造函数并利用洛必达法则可求得当时，，可求得的取值范围是. 【详解】（1）当时，， 所以，又， 所以所求的切线方程为 （2）由题意，当时，，即． 设函数，则， 令，解得，当时，单调递减，当时，单调递增． 所以当时，取得最小值，， 所以， 即的取值范围是． （3）方法一： 依题意，因为，所以， 整理可得，即，所以； 即函数的图象与直线至少有两个交点． ， 设函数，则， 易知在区间上单调递减，在区间上单调递增，且， 若，则单调递减，至多有1个零点，不符合题意； 若，即，则函数存在两个零点，记为，且， 其中， 所以在区间和上单调递减，在区间上单调递增， 所以的极小值为，极大值为． 再比较与的大小： ． 设，则， 所以单调递减，，即，从而． 因为，且， 所以，且， 所以，且， 所以的图象与直线在区间内各有一个交点，因此符合题意． 综上，的取值范围是． 方法二： 由题意得，因为，所以． 不妨设，则，两边取对数得， 所以， 所以． 设，则， ． 设，则（根据不等式）， 故单调递增，，所以在上单调递增， 所以在上单调递增，又当时，，所以， 故的取值范围是． 23．函数的两个极值点满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据极值点为导函数的零点，整理变形得，然后令代入后表示出，代入目标式转化为关于的函数，利用导数求最值即可. 【详解】由题知，函数的定义域为，， 因为有两个极值点，所以，，则，① 令，因为，所以， 将代入①整理可得，， 所以， 令，则， 设，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以 故选：D 24．已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)（ⅰ）当时，证明：； （ⅱ）当时，设，且.求证：. 【答案】(1)当时，在单调递增； 当时，在上单调递增， 在上单调递减. (2)设， 则， 因为在上单调递增，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，当且仅当时取等， 所以，即，当且仅当，时取等； （ⅱ）法一：由（1）已知，当时，在单调递增； 因为，所以， 由（2）可知，，， 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以， 所以 法二： 由（1）已知，当时，在单调递增； 因为，所以；（同法一） 设，，易知在上单调递增， 所以当时，，即， 上式整理得，即 设，，所以在上单调递减， 所以，即， 因为，所以，所以，即， 所以 所以（同法一） 法三： 由（1）已知，当时，在单调递增； 因为，所以；（同法一） 设，， 所以，所以在上单调递增， 显然，所以，即， 因为，所以，所以，即， 根据基本不等式，，所以， 所以， 所以 法四： 由（1）已知，当时，在单调递增； 因为，所以；（同法一） 因为，所以 根据基本不等式，， 设，所以，整理得， 设， 所以，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以为增函数， 因为，所以当且仅当时，， 所以， 根据基本不等式，，所以， 所以 所以（同法三） 【分析】（1）根据导数分和两类讨论函数的单调性； （2）（i）构造，根据导数判断函数的单调性和最小值，进而进行证明； （ⅱ）法一：利用函数的单调性，先证得，结合（2）的不等式放缩得到，结合推出，得得证； 法二：构造，根据单调性得到，进而得到的单调性，后同法一； 法三：构造，根据单调性得，根据基本不等式得，进而证明结论； 法四：同法一得到，设，构造， 利用导数判断单调性，得到，后同法三进行证明. 【详解】（1）， ①当时，，在单调递增， ②当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在单调递增； 当时，在上单调递增， 在上单调递减. （2）略 考点05 导数中的极值偏移问题 25．已知函数有两个不同的零点，且满足，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由是两个零点，可解得，接着构造函数证，即，根据函数单调性即可证明. 【详解】由题意知， 由得 从而，， 即． 又，令, ， ， 所以在单调递增，则， 因为当时，，所以， 所以，即， 所以． 令，，易知其单调递增， 又， 所以，即， 所以，即． 26．已知是函数的两个零点，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】分和两种情况讨论，把函数的两个零点问题转化为曲线与直线有两个交点的问题， 求导得到的单调性，进而得到，且，从而把要证， 转化为证明，再通过构造函数进行证明． 【详解】当时，，0不是的零点； 当，问题可以转化为曲线与直线有两个交点， 曲线求导得，当时，；当时，；当时，， 在和上单调递减，在上单调递增，且时，， 当时，，当时，，如下图所示， ，且，，则有， 要证，即证，即证． 令，，，不等式转化为，即证明， 设，求导得， 令，求导得，，， 单调递增，， 单调递增，． 原不等式成立，即，命题得证． 27．（多选）已知函数，为常数，若函数有两个零点、，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由已知得出，化简变形后可判断A选项的正误；取可判断B选项的正误；利用构造函数法证明CD选项中的不等式，可判断CD选项的正误. 【详解】由可得，可知直线与函数在上的图象有两个交点， ，当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减，则， 且当时，，如下图所示：    当时，直线与函数在上的图象有两个交点. 对于A选项，由已知可得，消去可得，A对； 对于B选项，设，取，则，所以，，故，B错； 对于C选项，设，因为，则， 所以，，， 则， 构造函数，其中，则， 所以，函数在上单调递增，故，C对； 对于D选项，， 构造函数，其中 ，则， 所以，函数在上单调递减，则 ，D对. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 28．已知函数． (1)若函数和的图象都与平行于轴的同一条直线相切，求的值； (2)若函数有两个零点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）求导得到与的单调性，进而分别可得两函数斜率为0的切线方程，根据题意得到方程，求出的值； （2）令可得，由函数单调性可得，结合（1）可得，不妨设，构造差函数，解决极值点偏移问题. 【详解】（1）由题意：函数的定义域为，， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 由可得，图象与直线相切． ，当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数，， 即图象与直线相切． 两函数图象均与平行于轴的同一条直线相切，则，即． （2），令， 由，得， 函数在上为减函数，故，即 即，不妨设， 要证，只需证， 只需证，即证， 因为， 只需证，即， 令， 则， 在上单调递增， ， 原题得证． 【点睛】方法点睛： 极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若函数较为复杂，可先结合函数特征变形，比如本题中设进行变形，得到再利用导函数进行求解. 29．已知函数（a为常数）. (1)求函数的单调区间； (2)若存在两个不相等的正数，满足，求证：. (3)若有两个零点，，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可； （2）利用对数均值不等式（，，）即可得证. （3）由题意得，要证，只需证：，利用换元，令，只需证：，由对数均值不等式即得. 【详解】（1）由，得函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得；令，得； 所以，的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）由，得， 故欲证，只需证：，即证， 又，，， 不妨设，，等价于，令（）， 等价于（）， ，所以在单调递增，而， 所以，当时，恒成立. 所以， 所以. （3）函数有两个零点，，所以，， 不妨设，， 即，要证：， 需证： 只需证：，只需证：， 只需证：，只需证：， 令，只需证：， 令，， 所以在上单调递减，所以，即， 故. 也可由对数均值不等式（），即， 令（），则，即， 所以. 30．已知函数（）． (1)试讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，（），求证：． 【答案】(1)当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. (2)证明见解析 【分析】（1）求导后，根据的不同取值范围，对的符号进行讨论即可； （2）由已知及（1）中单调性，可知，且，故只需证明，再借助不等式性质和放缩，即可证出. 【详解】（1）由已知，的定义域为，， ①当时，，恒成立， ∴此时在区间上单调递增； ②当时，令，解得， 当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）若函数有两个零点，（）， 则由（1）知，，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且，，， 当时，，当时，，（*） ∵，∴，∴， 又∵，∴， ∴只需证明，即有. 下面证明， 设 ，， 设，则， 令，解得， 当时，，在区间单调递减， 当时，，在区间单调递增， ∴，在区间上单调递增， 又∵，∴， 即， ∴由（*）知，，∴，即. 又∵，， ∴，原命题得证. 【点睛】本题第（2）问为极值点偏移的变式，首先需要通过和，确认只需证，再通过构造关于其中一个零点的一元差函数，利用导数研究该函数的单调性，证出，最后使用不等式性质和放缩得到. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4 利用导数研究恒成立、能成立、双变量问题 5大考点汇总 考点01 含参数函数的恒成立问题（参变分离法） 考点02 含参数函数的恒成立问题（分类讨论法） 考点03 利用导数研究能成立问题（存在性） 考点04 利用导数研究双变量问题 考点05 导数中的极值偏移问题 题型专练 考点01 含参数函数的恒成立问题（参变分离法） 1．已知函数． (1)求函数的导函数； (2)求的极值； (3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 2．若在上单调递增，则a的最大值为_________. 3．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求a的取值范围． 4．若，恒成立，则的最大整数值为（ ） A． B． C． D． 5．已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若对，都有恒成立，求的取值范围. 6．已知函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 考点02 含参数函数的恒成立问题（分类讨论法） 7．已知函数，对于，均有，则实数的取值范围是_________． 8．已知，． (1)当时，求的单调区间； (2)若，使成立，求参数的取值范围． 9．已知函数． (1)证明：当，时，； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 10．已知函数（为自然对数的底数，） (1)求在处的切线方程； (2)求的最小值； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.（表示不超过实数的最大整数） 11．已知函数，． (1)求函数的单调区间和极值； (2)若，恒成立，求实数． 12．已知函数． (1)若在处取得极值，求a的值； (2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围． 考点03 利用导数研究能成立问题（存在性） 13．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是_________． 14．已知函数． (1)当时，求的单调区间、最大值； (2)设函数，若存在实数，使得，求m的取值范围． 15．若存在使得方程有解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．已知函数． (1)求在上的单调区间； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围； 17．已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围． 18．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数是上的单调递增函数，求的值； (3)若存在，使得成立，求的取值范围. 考点04 利用导数研究双变量问题 19．已知函数， ，若 ，使得，则的最大值为（   ） A． B．-1 C．-e D． 20．已知函数，若使得成立，则实数的取值范围是_____________. 21．已知． (1)证明：的极值点； (2)设的最小值为，当最大时，求的值； (3)设的解集为，若，求的取值范围． 22．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若当时，，求的取值范围； (3)若存在两个不同的正数，使得，且，求的取值范围． 23．函数的两个极值点满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 24．已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)（ⅰ）当时，证明：； （ⅱ）当时，设，且.求证：. 考点05 导数中的极值偏移问题 25．已知函数有两个不同的零点，且满足，求证：． 26．已知是函数的两个零点，且，求证：． 27．（多选）已知函数，为常数，若函数有两个零点、，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 28．已知函数． (1)若函数和的图象都与平行于轴的同一条直线相切，求的值； (2)若函数有两个零点，证明：． 29．已知函数（a为常数）. (1)求函数的单调区间； (2)若存在两个不相等的正数，满足，求证：. (3)若有两个零点，，证明：. 30．已知函数（）． (1)试讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，（），求证：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $