2027届高考数学一轮复习导学案 第四十二讲导数与函数的极值

该高中数学高考复习学案系统梳理了导数与函数极值专题，将极值概念、求极值步骤及充要条件等核心考点按“概念-方法-应用”层次架构，通过问题链和任务单设计，引导学生从定义出发自主推导极值判定逻辑，构建完整知识网络。 亮点在于真题演练与分层诊断，如必考题型涵盖近5年高考及模拟题，巩固提升设置自测题帮助学生自主定位薄弱点。培养数学思维（含参极值的逻辑推理）和数学语言表达（规范书写求解过程），助力学生自主诊断提升，教师可通过题型掌握情况精准指导。

2027届高三数学一轮复习 第四十二讲 导数与函数的极值 【学习目标】1．知道函数极值的概念； 2．会求函数的极值． 【学习重点】函数极值的概念 【学习难点】含参函数极值问题． 必掌握知识点 1、函数的极值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 2.求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号． ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点． 必考题型全归纳 题型一、极值基础概念与判定 1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 2（多选）．（福建师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题）定义在的函数，已知是它的极大值点，则以下结论正确的是（    ） A．是的一个极大值点 B．是的一个极小值点 C．是的一个极大值点 D．是的一个极小值点 3（多选）．（河北省石家庄市2023届高三三模数学试题）设函数的定义域为是的极大值点，以下结论一定正确的是（    ） A． B．是的极大值点 C．是的极小值点 D．是的极大值点 题型二、已知极值点求参数，再求极值、 单调区间 4．（湖南省长沙市南雅中学2019-2020学年高二上学期第三次月考数学试题）若是函数的极值点，则的极大值为（   ） A． B． C． D． 5．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题）若是函数的极值点，则的极大值为 A． B． C． D． 6.（河北省邢台市桥西区第一中学2019-2020学年高二上学期第三次月考数学试题）已知函数在处取得极值，且其图象在点处的切线恰好与直线垂直. （I）求实数a，b的值及f（x）的极大值； （II）若函数f（x）在区间上单调递增，求m的取值范围. 题型三、恒成立转化为零点重合，利用极值求最值 7．（广西南宁市第二中学2024-2025学年高三下学期5月数学试题）设函数．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（2025届《浙江省新高考研究卷》（全国I卷））设函数，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D．9 9．（陕西省咸阳市永寿县中学2025-2026学年高三上学期月考（三）数学试题）设函数，若，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 题型四、函数零点与极值结合（数形、同构） 10．（东北三省精准教学联盟2025届高三下学期4月模拟考试数学试卷）记函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 11．（浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目教学质量检测数学试题）设，为自然对数的底数.若，则 A． B． C． D． 12．（四川省绵阳市高中2024届高三第三次诊断性考试文科数学试卷）若函数有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 13（多选）．（四川省成都市石室中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷）设函数，则下面说法正确的是（    ） A．当时，函数在定义域上仅有一个零点 B．当时，函数在上单调递增 C．若函数存在极值点，则 D．若，则的最小值为 题型五、仅有一个极值点的参数判定 14．（河南省南阳市2019-2020学年高三上学期期中数学（理）试题）设函数． （1）若曲线在点处的切线与轴垂直，求实数的值； （2）若在处取得极大值，求实数的取值范围． 15．（北京市八一学校2025-2026学年高二下学期期末考试模拟练习数学试卷）已知函数，曲线在 处的切线方程为. (1)求的值； (2)证明：函数在区间上存在唯一极大值点； (3)求函数的零点个数. 16．（2020届广东省广州市高三3月阶段训练（一模）数学（文）试题）已知函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求，的值； （2）证明函数存在唯一的极大值点，且. 题型七、恒成立、存在性性问题 17．（四川广元市2026届高三下学期定时训练数学试卷）已知函数，. (1)若函数在处取得极值，求实数的值及此时的单调区间； (2)令，若对，的图象都不在图象的下方，求实数的取值范围. 18．（【全国百强校】广西南宁市第三中学2017-2018学年高二下学期第一次月考数学（理）试题）已知函数． （1）讨论函数在定义域内的极值点的个数； （2）若函数在处取得极值，且对任意,恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，求证：． 19．（2016-2017年河北武邑中学高二周考）已知函数． (1)讨论函数在定义域内的极值点的个数； (2)若函数在处取得极值，且对恒成立，求实数的取值范围； (3)当且时，试比较与的大小． 巩固提升： 1（多选）．（河南省2024届高三上学期调研考试（三）数学试题）已知函数有且仅有一个极值点，则（    ） A． B． C．是的极小值点 D．是的极大值点 2．（人教A版（2019）选修第二册（24页））若，为函数相邻的两个极值点，且在，处分别取得极小值和极大值，则定义为函数的一个“极优差”．那么，函数的“极优差”为______． 3．（四川省资中县第二中学2021-2022学年高三上学期11月月考文科数学试题）已知函数． (1)若函数在处取得极值，求实数的值； (2)当时，关于的方程在上恰有一个实数根，求实数的取值范围． 4．（2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测）已知函数，为的导数．证明：在区间存在唯一极大值点． 5．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知函数且. （1）求a； （2）证明：存在唯一的极大值点，且. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第四十二讲 导数与函数的极值 【学习目标】1．知道函数极值的概念； 2．会求函数的极值． 【学习重点】函数极值的概念 【学习难点】含参函数极值问题． 必掌握知识点 1、函数的极值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 2.求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号． ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点． 必考题型全归纳 题型一、极值基础概念与判定 1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项. 【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. 有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的. 当时，由，，画出的图象如下图所示：    由图可知，，故. 当时，由时，，画出的图象如下图所示：    由图可知，，故.综上所述，成立.故选：D 【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答. 2（多选）．（福建师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题）定义在的函数，已知是它的极大值点，则以下结论正确的是（    ） A．是的一个极大值点 B．是的一个极小值点 C．是的一个极大值点 D．是的一个极小值点 【答案】AD 【解析】由确定的导数的性质，从而可确定的性质．再根据与的图象关于轴对称作答． 【详解】是的极大值点，就是存在正数，使得在上，，在上，．设，， 当时，，，，同理时，，∴是的一个极大值点，从而是的一个极小值点，是的一个极小值点．不能判定是不是的极值点．故选：AD. 【点睛】本题考查导数与函数单调性、极值的关系，一定要注意极值点两侧导数的符号相反． 3（多选）．（河北省石家庄市2023届高三三模数学试题）设函数的定义域为是的极大值点，以下结论一定正确的是（    ） A． B．是的极大值点 C．是的极小值点 D．是的极大值点 【答案】BC 【分析】根据极值的定义结合函数的对称性进行判断即可. 【详解】是的极大值点．则存在区间，，对任意有，不一定是最大值，A错误； 的图象与的图象关于轴对称，因此，对任意有，是的极大值点，B正确； 的图象与的图象关于轴对称，因此对任意有，C正确； 由BC的推理可知是的极小值点，D错误．故选：BC． 题型二、已知极值点求参数，再求极值、 单调区间 4．（湖南省长沙市南雅中学2019-2020学年高二上学期第三次月考数学试题）若是函数的极值点，则的极大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据极值点，求出参数，再据此求导，讨论单调性，求得最大值. 【详解】因为，故可得， 因为是函数的极值点，故可得， 即，解得.此时 令，解得， 由可得或；由可得， 所以在区间单调递增，在单调递减，在单调递增， 故的极大值点为.则的极大值为.故选：C. 5．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题）若是函数的极值点，则的极大值为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先根据是函数的极值点求出a=1,再利用导数求函数的极大值得解. 【详解】由题得，由题得 经检验得当a=1时，x=-1是函数的极值点， 所以，令，得-1＜x＜3. 令，得x＜-1或x＞3.所以的极大值为.故选A 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 6.（河北省邢台市桥西区第一中学2019-2020学年高二上学期第三次月考数学试题）已知函数在处取得极值，且其图象在点处的切线恰好与直线垂直. （I）求实数a，b的值及f（x）的极大值； （II）若函数f（x）在区间上单调递增，求m的取值范围. 【答案】（I）；极大值（II）或 【详解】（I），，依题意：， ，令得或. 当或时，；当时，， 故f（x）在，单调递增，在上单调递减. 所以当时，f（x）取得极大值. （II）由（I）知f（x）的增区间为，， 又因为函数f（x）在区间上单调递增，则或，或，解得m的取值范围为：或. 【点睛】本题重在考查利用导数判断函数单调性的问题，属基础题. 题型三、恒成立转化为零点重合，利用极值求最值 7．（广西南宁市第二中学2024-2025学年高三下学期5月数学试题）设函数．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数的性质得的正负，从而得到的正负，进而得到，转化为二次函数最值问题. 【详解】函数的定义域是，当，得，，得， 当时，，则恒成立，又在区间单调递增，则， 当时，，则恒成立，又在区间单调递增，则，由，得，则， 所以，当，时，的最小值为.故选：B 8．（2025届《浙江省新高考研究卷》（全国I卷））设函数，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】C 【分析】利用函数的单调性转化为方程根相同，法一、消元结合二次函数的性质计算即可；法二、利用点到直线的距离公式计算即可. 解法一：的定义域为，易知函数在R上单调递增， 在R单调递减，令解得或； 由恒成立可知必有， 则， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．故选：C． 解法二：同法一得， 设点，则点在定直线上， 设点，则， 当时有最小值，由点线距公式可得， 故的最小值为．故选：C． 9．（陕西省咸阳市永寿县中学2025-2026学年高三上学期月考（三）数学试题）设函数，若，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据、的单调性以及恒成立得出，再利用基本不等式求解. 【详解】因，均为递增函数，且恒成立， 则，的根相同， 因的根为，的根为， 则，即 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为1.故选：B. 题型四、函数零点与极值结合（数形、同构） 10．（东北三省精准教学联盟2025届高三下学期4月模拟考试数学试卷）记函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由零点的概念可知，根据指对互化得，构造函数，则，根据的单调性得，即可得解. 【详解】函数的零点分别为， ， 由，得，即， 显然函数在上单调递增，，即.故选：B. 11．（浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目教学质量检测数学试题）设，为自然对数的底数.若，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不妨令，，代入：则故选 12．（四川省绵阳市高中2024届高三第三次诊断性考试文科数学试卷）若函数有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，构造函数，利用二次函数零点的分布，结合分类讨论以及极值点的定义即可求解. 【详解】，令，， 若，则或，此时单调，不存在极值点，故不符合题意，若，则方程有两个实数根， 由于有唯一极值点，故只能有一个正实数根，若另一个实数根为0，此时，显然满足条件， 若令一个实数根为负根，则，故 ，结合选项可知，一定成立，故选：C 13（多选）．（四川省成都市石室中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷）设函数，则下面说法正确的是（    ） A．当时，函数在定义域上仅有一个零点 B．当时，函数在上单调递增 C．若函数存在极值点，则 D．若，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】代入得到解析式，结合对数运算可得A正确；求导分析单调性可得B正确；当时求导分析，当利用换元法二次求导数分析可得C错误；由复合函数同增异减得到的单调性，再结合二次函数取值可得D正确； 【详解】对于A，当时，， 由得，，函数在定义域上仅有一个零点，故A正确； 对于B，当时，函数， 当时，，故函数在上单调递增，故B正确； 对于C，， 当时，函数在定义域上单调递增，且当时，， 当时，，此时函数存在零点， 即函数在上单调递减，在上单调递增，故此时函数存在极值点， 当时，设，则， 令，则， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故，故当时，函数存在零点，函数存在极值点，综上，当函数存在极值点时，或，故C错误； 对于D，恒成立，当时，或， 因为为增函数，也为增函数， 所以当且仅当两个零点重合时， 即，符合题意； 则，当时取“=”，故D正确，故选：ABD. 题型五、仅有一个极值点的参数判定 14．（河南省南阳市2019-2020学年高三上学期期中数学（理）试题）设函数． （1）若曲线在点处的切线与轴垂直，求实数的值； （2）若在处取得极大值，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据导数的几何意义得，从而求得的值； （2）对分5种情况进行讨论，并验证在左边，单调递增，在右边单调递减. 【详解】（1）． 由题知，． （2）由（1）得：， ①时，，当，当， 所以在单调递增，单调递减， 所以在处取得极大值，符合题意； ②时，当；当或， 所以在单调递减，单调递增，单调递减， 所以在处取得极大值，符合题意； ③时，即，当或；当， 所以在单调递增，单调递减，单调递增， 所以在处取得极大值，符合题意； ④时，在上恒成立，所以在上单调递增，不符合题意； ⑤时，当或；当， 所以在单调递增，单调递减，单调递增，不符合题意； 综上所述，实数的取值范围为． 【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的极值，考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想的综合运用，求解时还要注意对讨论时，二次函数图象的开口方向，防止出现单调性判断错误. 15．（北京市八一学校2025-2026学年高二下学期期末考试模拟练习数学试卷）已知函数，曲线在 处的切线方程为. (1)求的值； (2)证明：函数在区间上存在唯一极大值点； (3)求函数的零点个数. 【详解】（1）由，可得， ，则， 因曲线在 处的切线方程为，则. （2）(2)证明：由（1）得，求导得， 设，则， 当时，，，则，故函数在上单调递减， 又，由零点存在定理，存在唯一的，使得.当时，，即，则函数在上单调递增； 当时，，即，即函数在上单调递减. 故为函数在区间上的唯一极大值点； （3）函数的定义域为，则， ①当时，由（2）知，函数在上单调递增，在上单调递减. 又，即当时，，即， 故函数在上单调递减，故函数在上仅有零点； ②当时，因，由（2）当时，单调递增， 故，即在上单调递增， 当时，单调递减，因， 则在后面一段区间必有,单调递减,在上先增后减， 又，则当时，，即函数无零点； ③当时，若，则，则函数在上单调递减， 又，由零点存在定理，函数存在唯一的零点； 若，则，而，则恒成立，故函数在上无零点. 综上，函数共有与两个零点. 16．（2020届广东省广州市高三3月阶段训练（一模）数学（文）试题）已知函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求，的值； （2）证明函数存在唯一的极大值点，且. 【答案】（1）（2）证明见解析 【解析】（1）求导，可得（1），（1），结合已知切线方程即可求得，的值； （2）利用导数可得，，再构造新函数，利用导数求其最值即可得证． 【详解】（1）函数的定义域为，，则（1），（1）， 故曲线在点，（1）处的切线方程为， 又曲线在点，（1）处的切线方程为， ，； （2）证明：由（1）知，，则， 令，则，易知在单调递减， 又，（1），故存在，使得， 且当时，，单调递增，当，时，，单调递减， 由于，（1），（2）， 故存在，使得， 且当时，，，单调递增，当，时，，，单调递减，故函数存在唯一的极大值点，且，即，则， 令，则，故在上单调递增， 由于，故（2），即，． 【点睛】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查推理论证能力，属于中档题． 题型七、恒成立、存在性性问题 17．（四川广元市2026届高三下学期定时训练数学试卷）已知函数，. (1)若函数在处取得极值，求实数的值及此时的单调区间； (2)令，若对，的图象都不在图象的下方，求实数的取值范围. 【答案】(1)；的单调递减区间为，单调递增区间为. (2). 【分析】（1）先求出导函数得出极值点计算求参，再分析导函数的单调性，进而确定原函数的单调区间； （2）先化简，再构造新函数，再求出导数根据正负得出单调性即可得出最小值，最后得出参数范围. 【详解】（1）的定义域为，， ∵在处取得极值，∴，即：，解得， 当时，，在上单调递增. 又，因此当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上，；的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由题意，对恒成立，即：，， 整理并两边同除以得：， 令，则问题转化为求的最小值，即， 对求导并化简：， 令，，， ∵，∴在上恒成立，故在上单调递增.又， 当时，，，故，单调递减； 当时，，，故，单调递增； 因此在处取得最小值，故实数的取值范围为. 18．（【全国百强校】广西南宁市第三中学2017-2018学年高二下学期第一次月考数学（理）试题）已知函数． （1）讨论函数在定义域内的极值点的个数； （2）若函数在处取得极值，且对任意,恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，求证：． 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)证明见解析. 【分析】（1）由题意可得，分类讨论有：当时，函数没有极值点， 当时，函数有一个极值点． （2）由题意可得，原问题等价于恒成立，讨论函数的性质可得实数的取值范围是； （3）原问题等价于，继而证明函数在区间内单调递增即可. 【详解】（1）函数定义域为，， 当时，在上恒成立， 函数在单调递减，∴在上没有极值点； 当时，得，得， ∴在上递减，在上递增，即在处有极小值． ∴当时在上没有极值点， 当时，在上有一个极值点． （2）∵函数在处取得极值，，∴，∴， 令，，，则， 可得在上递减，在上递增， ∴，即． （3）证明：， 令，，则只要证明在上单调递增， ∵， 显然函数在上单调递增．∴，即， ∴在上单调递增，即， ∴当时，有．点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度  从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 19．（2016-2017年河北武邑中学高二周考）已知函数． (1)讨论函数在定义域内的极值点的个数； (2)若函数在处取得极值，且对恒成立，求实数的取值范围； (3)当且时，试比较与的大小． 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)，证明见解析. 【分析】（1）对求导，讨论参数a研究的单调性，进而确定极值点情况； （2）由（1）得，将问题转化为在上恒成立，应用导数求左侧最小值，即可得参数范围； （3）构造，结合（2）判断在上单调性，进而讨论x的范围判断大小关系. 【详解】（1）由题设，且， 当时，在单调递减，在上没有极值点； 当时，得：，得：， ∴在上递减，在上递增，即在处有极小值． 综上：当时在上没有极值点；当时在上有一个极值点． （2）∵函数在处取得极值， ∴，则， 令，则， 所以时，时， 则在上递减，在上递增， ∴，即． （3），证明如下： 令， 由（2）知：在上单调递减，则在上单调递减， ∴当时，，即； 当时，，有， 当时，，有．综上，. 【点睛】方法点睛：不等式的证明与不等式的恒成立问题，常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，要注意分类讨论思想和转化化归思想的应用.特别是第三小题关键要利用转化化归思想令，再利用导数分类求解. 巩固提升： 1（多选）．（河南省TOP二十名校2024届高三上学期调研考试（三）数学试题）已知函数有且仅有一个极值点，则（    ） A． B． C．是的极小值点 D．是的极大值点 【答案】AD 【分析】对函数求导，构造函数，利用有且仅有一个极值点，得出函数的单调性和开口方向与取值范围，即可得出结论. 【详解】由题意， 在中， ， ∵有且仅有一个极值点，令， ∴在上有唯一变号零点，由二次函数的性质可得， 当且仅当开口向下时满足题意，此时且，A正确， 令，解得（负舍），∴在上，在上， 所以在上单调递增，在上单调递减， ∴是的极大值点，C 错误，D正确， 当时，，，， 令，解得（负舍）， 且在上，，在上，， 则在上有唯一变号零点，则有且仅有一个极值点，故B错误.故选：AD． 2．（人教A版（2019）选修第二册（24页））若，为函数相邻的两个极值点，且在，处分别取得极小值和极大值，则定义为函数的一个“极优差”．那么，函数的“极优差”为______． 【答案】 【分析】根据函数导数，求出函数在所给区间上的极大值与极小值即可求解. 【详解】由题意，得，令，得，得或． 当时，单调递减；当时，为单调递增； 当时，为单调递减． 故的极大值为，极小值为，“极优差”为． 故答案为：. 3．（四川省资中县第二中学2021-2022学年高三上学期11月月考文科数学试题）已知函数． (1)若函数在处取得极值，求实数的值； (2)当时，关于的方程在上恰有一个实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）先求导，令可求a； （2）通过分离参数法得，设，结合导数判断函数的单调性和极值，确定大致图象和最值，即可求解. 【详解】（1）由题意，得， 因为时，函数取得极值，所以，即，解得， 经检验符合题意，； （2）当时，，即. 设，则， 令，或， 当变化时，，的变化情况如下表： 1 2 + 0 - 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以极小值，极大值， 又，因为方程在上恰有一个实数根， 易知或， 所以实数的取值范围是. 4．（模块综合检测卷-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教版2019））已知函数，为的导数．证明：在区间存在唯一极大值点． 【答案】证明见解析 【分析】构建，利用导数结合零点存在性定理分析的单调性和极值即可. 【详解】由题意可得， 设，则． 当时，因为在区间内单调递减， 可知在区间内单调递减，且，， 可得在上有唯一零点，设为． 当时，；当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减． 故在上存在唯一极大值点， 即在上存在唯一极大值点． 5．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷精编版））已知函数且. （1）求a； （2）证明：存在唯一的极大值点，且. 【答案】（1）a=1；（2）见解析. 【分析】（1）通过分析可知f（x）≥0等价于h（x）＝ax﹣a﹣lnx≥0，进而利用h′（x）＝a可得h（x）min＝h（），从而可得结论； （2）通过（1）可知f（x）＝x2﹣x﹣xlnx，记t（x）＝f′（x）＝2x﹣2﹣lnx，解不等式可知t（x）min＝t（）＝ln2﹣1＜0，从而可知f′（x）＝0存在两根x0，x2，利用f（x）必存在唯一极大值点x0及x0可知f（x0），另一方面可知f（x0）＞f（）． 【详解】（1）解：因为f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx＝x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0）， 则f（x）≥0等价于h（x）＝ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知h′（x）＝a． 则当a≤0时h′（x）＜0，即y＝h（x）在（0，+∞）上单调递减， 所以当x0＞1时，h（x0）＜h（1）＝0，矛盾，故a＞0． 因为当0＜x时h′（x）＜0、当x时h′（x）＞0， 所以h（x）min＝h（）， 又因为h（1）＝a﹣a﹣ln1＝0， 所以1，解得a＝1； 另解：因为f（1）＝0，所以f（x）≥0等价于f（x）在x＞0时的最小值为f（1）， 所以等价于f（x）在x＝1处是极小值， 所以解得a＝1；（2）证明：由（1）可知f（x）＝x2﹣x﹣xlnx，f′（x）＝2x﹣2﹣lnx， 令f′（x）＝0，可得2x﹣2﹣lnx＝0，记t（x）＝2x﹣2﹣lnx，则t′（x）＝2， 令t′（x）＝0，解得：x， 所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增， 所以t（x）min＝t（）＝ln2﹣1＜0，从而t（x）＝0有解，即f′（x）＝0存在两根x0，x2， 且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+∞）上为正， 所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0＝0， 所以f（x0）x0﹣x0lnx0x0+2x0﹣2x0， 由x0可知f（x0）＜（x0）max； 由f′（）＜0可知x0， 所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减， 所以f（x0）＞f（）； 综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $