3.3 导数与函数的极值、最值（精讲）-备战2027年高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦导数与函数的极值、最值核心考点，以知识复习（含极值定义、最值求法及注意事项）为基础，通过八大典例（图像关系、极值求解、参数问题等）构建从概念到综合应用的逻辑体系，经考点梳理、方法指导、真题训练环节帮助学生突破难点。 讲义采用问题驱动与分层训练结合的教学策略，如借助导函数图像题培养数学眼光观察极值特征，通过含参极值讨论发展数学思维的逻辑推理能力，设置选择、填空、解答题分层练习并即时总结方法，高效提升学生解题规范性与应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

3.3 导数与函数的极值、最值（精讲） 第一部分：知识复习 1．函数的极值 (1)函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 【注意】①对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．例如：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，当x0＝0时，f′(x0)＝0，但x0＝0不是f(x)的极值点；②区分极值与极值点． 2．函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． [常用结论] 1．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值． 2．单调函数无极值，区间端点一定不是极值点． 第二部分：典型例题 典例一：函数图象与极值（点）的关系 1．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）（多选）若函数导函数的部分图象如图所示，则（    ） A．是的一个极大值点 B．是的一个零点 C．不是的一个极小值点 D．是的一个极大值点 2．（25-26高二下·上海静安·期末）已知函数（）的导函数是，导函数的图像如图所示，则在内只有（    ） A．1个驻点 B．1个极值点 C．1个极小值点 D．1个极大值点 3．（25-26高二下·广东湛江·期中）（多选）导函数的图象如图所示.在标记的点中，下列说法正确的是（    ） A．是导函数的极小值点 B．是导函数的极小值 C．是函数的极大值 D．是函数的极小值点 4．（25-26高二下·江西上饶·阶段检测）（多选）函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A．是的极值点 B．是的极大值点 C．的单调递减区间是 D． 5．（25-26高二下·广东广州·期中）若函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则（    ） A．有四个极值点 B． C．有一个极小值点 D． 6．（25-26高二下·北京·期中）如图是函数的导函数的图像，则下列说法错误的是（    ）    A．在处取极大值 B． C．在上存在最小值 D．在上至多有3个零点 典例二：求已知函数的极值（点） 7．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知函数，． (1)若， （i）求的极值点； 8．（25-26高二下·山东聊城·阶段检测）已知函数，其中 ． (1)当 时，求函数单调区间和极值； 9．（25-26高二下·四川内江·期中）已知函数． (1)求函数的极值； 10．（25-26高二下·上海闵行·期末）已知 ， ． (1)当 时，求函数的单调区间和极值； 11．（25-26高二下·上海黄浦·期末）已知函数 (1)求函数在处的切线； (2)求函数的单调区间和极值（结果保留e）． 12．（2026·云南·三模）已知函数在处的切线的斜率为1. (1)求的值； (2)当时，求的极值. 典例三：根据函数的极值（点）求参数 13．（25-26高二下·四川南充·期末）若函数在处有极小值，则常数的值为________． 14．（25-26高二下·上海闵行·期末）已知，函数在处取得极大值，则的取值范围是________． 15．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知函数在处有极大值，则的极小值为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 16．（2026·陕西渭南·三模）已知函数的极小值为，则实数的值可能为（） A． B． C． D． 17．（25-26高二下·天津武清·期中）已知函数在处取得极大值0，则________. 18．（25-26高二下·天津武清·期中）若函数有两个极值点，则实数a的取值范围________． 典例四：求函数的最值（不含参） 19．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）函数在上的最小值为（     ） A． B． C． D． 20．（25-26高二下·上海黄浦·期末）函数在上的最大值为__________． 21．（25-26高二下·河南郑州·阶段检测）已知函数. (1)求； (2)求函数的单调区间； (3)求在区间上的最大值与最小值. 22．（25-26高二下·山西·阶段检测）已知函数（），当时，有极大值4． (1)求实数，的值； (2)求函数在区间上的最值． 23．（25-26高二下·广东肇庆·期中）设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值与最小值； 24．（25-26高二下·广东广州·期中）函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 典例五：根据函数的最值求参数 25．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 27．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）若函数在区间存在最大值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）若函数的最小值为，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 29．（25-26高二下·天津·阶段检测）若函数有最小值，则实数的取值范围是______． 30．（25-26高三下·云南·阶段检测）已知函数，在上的最小值为，则的最大值为_____________． 典例六：讨论含参函数极值 31．（25-26高二下·天津·阶段检测）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数极值点的个数并求出相应的极大和极小值点． 32．（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知函数. (1)讨论的单调性. (2)已知函数. ①判断的极值点个数； 33．（25-26高二下·重庆·期中）设，函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性和极值点． 34．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知函数． (1)讨论函数的极值点个数； 35．（25-26高二下·安徽安庆·期中）已知函数 (1)时，求在处切线方程； (2)讨论的极值． 36．（2026·广东广州·三模）已知函数，为的导数. (1)若，求的极值； 典例七：讨论含参函数最值 37．（25-26高二下·山东威海·阶段检测）已知函数． (1)讨论的极值； (2)求函数在上的最小值． 38．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)当时，求在上的最小值． 39．（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值． 40．（25-26高二下·湖北十堰·阶段检测）已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)求函数在区间上的最大值. 41．（24-25高二下·福建漳州·期末）设函数，为的导数． (1)讨论函数的最值； 42．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数（） (1)求在区间上的最大值． 典例八：函数的单调性、极值、最值的综合应用 43．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数的最大值为1，则（     ） A． B．1 C． D．2 44．（河南湘豫大联考2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题）（多选）已知函数，其中 ，e为自然对数的底数，下列结论中正确的有（   ） A．当 时，的最小值为0 B．若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 C．若 对任意恒成立，则实数的取值范围是 D．当时，有且仅有3个零点 45．（2026·江苏泰州·模拟预测）（多选）已知函数存在极小值点，则（    ） A． B．函数有唯一的极小值点 C． D．函数有且只有3条斜率为4的切线 46．（25-26高二下·山东临沂·阶段检测）（多选）设函数，则（   ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 47．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求m的取值范围． 48．（2026·山东·模拟预测）若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 导数与函数的极值、最值（精讲） 第一部分：知识复习 1．函数的极值 (1)函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 【注意】①对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．例如：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，当x0＝0时，f′(x0)＝0，但x0＝0不是f(x)的极值点；②区分极值与极值点． 2．函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． [常用结论] 1．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值． 2．单调函数无极值，区间端点一定不是极值点． 第二部分：典型例题 典例一：函数图象与极值（点）的关系 1．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）（多选）若函数导函数的部分图象如图所示，则（    ） A．是的一个极大值点 B．是的一个零点 C．不是的一个极小值点 D．是的一个极大值点 【答案】ACD 【分析】根据导函数值正负，与原函数单调性之间的关系，进行逐一判断． 【详解】对于A选项，由图可知，在左右两侧，导函数左正右负，函数左增右减，是的一个极大值点，A正确； 对于B选项，由图可知，在左右两侧，导函数左负右正，函数左减右增，是的一个极小值点，不是零点，B错误； 对于C选项，由图可知，在左右两侧，导函数恒大于零，函数单调递增，不是的一个极值点，C正确； 对于D选项，由图可知，在左右两侧，导函数左正右负，函数左增右减，是的一个极大值点，D正确． 2．（25-26高二下·上海静安·期末）已知函数（）的导函数是，导函数的图像如图所示，则在内只有（    ） A．1个驻点 B．1个极值点 C．1个极小值点 D．1个极大值点 【答案】C 【详解】由导函数的图像可知，在区间内： 驻点为的点，由图像可得的点有4个，故A错误； 分析各零点处的符号变化： 第一个零点：左侧，右侧，为的极大值点； 第二个零点：左侧，右侧，为的极小值点； 处：左右两侧均为正，符号不变，不是极值点； 第三个零点：左侧，右侧，为的极大值点； 因此在内有2个极大值点，1个极小值点，共3个极值点，故B、D错误，C正确. 3．（25-26高二下·广东湛江·期中）（多选）导函数的图象如图所示.在标记的点中，下列说法正确的是（    ） A．是导函数的极小值点 B．是导函数的极小值 C．是函数的极大值 D．是函数的极小值点 【答案】ACD 【详解】根据导函数的图象可知，的两侧的小区域内，的图象左减右增， 所以在，处导函数有极小值； 的两侧的小区域内，左增右减，所以在处导函数有极大值. 根据导函数的图象可知：的左侧导数大于零，在内导数小于零， 所以在处函数有极大值. 在上导数大于零，所以在处函数有极小值. 而左右两侧导函数符号相同，原函数不取得极值. 由此可知B错误，ACD正确. 4．（25-26高二下·江西上饶·阶段检测）（多选）函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A．是的极值点 B．是的极大值点 C．的单调递减区间是 D． 【答案】AD 【分析】根据导函数的图象，求出原函数的单调区间，结合极值点的意义判断. 【详解】由导函数图象可知， 当或时，，当时，， 所以函数的单调递增区间为和， 单调递减区间为，选项C正确； 是的极大值点，选项B正确； 在的左右两边导数符号不变， 所以不是的极值点，选项A错误； 在上单调递增，所以，选项D错误. 5．（25-26高二下·广东广州·期中）若函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则（    ） A．有四个极值点 B． C．有一个极小值点 D． 【答案】C 【分析】根据导数与函数单调性、极值的关系可以判断A，C；结合导数和单调性可以判断B，D. 【详解】由导函数的图像可得： 的变号零点共3个：，，； 处，但左右导数均为正，没有变号，因此不是极值点. 其中和是左正右负，为极大值点；是左负右正，为极小值点. 因此共3个极值点，1个极小值点，故A错误，C正确； 选项B，当时，，仅处导数为0，不改变单调性， 因此在上单调递增. 因为，所以，故B错误； 选项D，在单调递增，因此大于区间内所有点的函数值； 在单调递减：由，可知，故D错误. 6．（25-26高二下·北京·期中）如图是函数的导函数的图像，则下列说法错误的是（    ）    A．在处取极大值 B． C．在上存在最小值 D．在上至多有3个零点 【答案】D 【详解】由图象可知，当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以在处取极大值，故A正确； 由当时，， 可得在上单调递增，所以， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，所以极小值是和， 所以在上存在最小值，故C正确； 若，，，，， 函数在上至多有4个零点，故D错误. 典例二：求已知函数的极值（点） 7．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知函数，． (1)若， （i）求的极值点； 【答案】(1)（i）极小值点为2，无极大值点； 【分析】（1）（i）对函数进行求导，根据极值点的概念，进行判断即可； 【详解】（1）（i）当时，，定义域为， 则， 令，解得， 当变化时，与的变化如下表所示： 2 － 0 ＋ 减 极小值 增 所以的极小值点为2，无极大值点； 8．（25-26高二下·山东聊城·阶段检测）已知函数，其中 ． (1)当 时，求函数单调区间和极值； 【答案】(1)单减区间为，单增区间为；极小值，无极大值 【分析】（1）通过对函数求导，令导数为0找临界点，通过求导判断导函数的单调性，列表判断导数和函数的符号，最后写出单调区间和极值. 【详解】（1）当 时，，函数定义域为，， 令，因为 ，所以在单调递增． 又 ，x、、的变化情况如下表： x 1 - 0 + 单调递减 单调递增 所以的单减区间为，单增区间为； 时有极小值，无极大值. 9．（25-26高二下·四川内江·期中）已知函数． (1)求函数的极值； 【答案】(1)极大值，无极小值； 【详解】（1），则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在时取到极大值，无极小值； 10．（25-26高二下·上海闵行·期末）已知 ， ． (1)当 时，求函数的单调区间和极值； 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值； 【分析】（1）代入 后对函数求导，根据导数正负判断单调区间，进而求解极值； 【详解】（1）当 时， ，得 . 令 ，解得. 当 时， ，单调递减；当 时， ，单调递增. 故函数在处取极小值， ，无极大值. 因此，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值； 11．（25-26高二下·上海黄浦·期末）已知函数 (1)求函数在处的切线； (2)求函数的单调区间和极值（结果保留e）． 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为；极大值为，极小值为. 【分析】（1）根据导数的几何意义求解． （2）由确定增区间，由确定减区间，然后根据极值的定义得极值． 【详解】（1）由求导得，则，又， 所以函数在处的切线方程为； （2）因， 由得或，由得， 所以函数的递增区间是和，递减区间是， 故该函数的极大值为，极小值为． 即的单调递增区间为和，单调递减区间为； 极大值为，极小值为． 12．（2026·云南·三模）已知函数在处的切线的斜率为1. (1)求的值； (2)当时，求的极值. 【答案】(1) (2)极小值为1，无极大值 【分析】（1）由导数的几何意义求解即可； （2）利用导数确定函数的单调性，再根据单调性求解即可. 【详解】（1）由题可知， 因为在处切线的斜率为1， 所以， 解得 （2）由（1）得，因此， 所以， 令，则. 因为，所以，所以，而， 所以在区间上恒成立， 所以在上单调递增，即在上单调递增. 又， 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 所以时，取得极小值为，在上无极大值. 综上所述，在上的极小值为1，无极大值. 典例三：根据函数的极值（点）求参数 13．（25-26高二下·四川南充·期末）若函数在处有极小值，则常数的值为________． 【答案】 【分析】利用导数研究函数的单调性与极值，计算并验证即可． 【详解】由， 则， 又函数在处有极小值， 则，解得或， 当时，令，解得，或， 则当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增， 此时在处有极小值，符合题意； 当时，令，解得，或， 则当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增， 此时在处有极大值，不符合题意， 综上所述：． 14．（25-26高二下·上海闵行·期末）已知，函数在处取得极大值，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出导数，然后分，和三种情况讨论，利用导数得到函数的单调性，再根据极值点的定义进行判断，即可得解. 【详解】函数的定义域为，对求导可得 . 令，解得或. ①当，即时， 当或时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意； ②当，即时，恒成立， 所以在上单调递增，无极值，不符合题意； ③当，即时， 当或时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，不符合题意， 综上，的取值范围是. 15．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知函数在处有极大值，则的极小值为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】求导后，根据极值点定义可知，由此可得或，分别验证和两种情况下，是否为的极大值点，由此可确定的取值，并根据极小值定义求得结果. 【详解】，，解得：或； 当时，，， 当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减， 是的极小值点，不符合题意； 当时，，， 当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减， 是的极大值点，符合题意， 此时函数在时取极小值，极小值为， 综上所述：的极小值为. 16．（2026·陕西渭南·三模）已知函数的极小值为，则实数的值可能为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对函数求导得，找到临界点和，再按、、三种情况判断极小值点，代入极小值求解，验证后得到. 【详解】. 令，得临界点，. ①当时，，，函数单调递增，无极小值，舍去. ②当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 故为极小值点，代入得：. 由极小值为，得，解得，即，符合. ③当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 故为极小值点，代入得：. 由极小值为，得，解得，不在选项中，舍去. 17．（25-26高二下·天津武清·期中）已知函数在处取得极大值0，则________. 【答案】/ 【分析】由和得或，分两种情况，检验后得到答案 【详解】，由题意得，即，故， 且，解得或， 当时，，则， 令得，令得，故为极大值点，满足要求， 所以， 当时，，则， 令得，令得，故为极小值点，不满足要求， 综上，. 18．（25-26高二下·天津武清·期中）若函数有两个极值点，则实数a的取值范围________． 【答案】 【详解】由题意得函数的定义域为，求导得， 因为函数有两个极值点，所以有两个不同变号零点， 令，在上有两个不同的正根， ，所以 由韦达定理，，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 典例四：求函数的最值（不含参） 19．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）函数在上的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 令，得， 令，得或；令，得， 所以，在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递减，上单调递增，则. 20．（25-26高二下·上海黄浦·期末）函数在上的最大值为__________． 【答案】 【分析】通过求导确定函数在区间内的单调性与极值点，计算极值点和区间端点的函数值，比较后得到最大值. 【详解】由题可知，， 令， 解得，（舍去负数）， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以最大值在两个端点处， 代值计算可得，， 因为， 所以， 故最大值为. 21．（25-26高二下·河南郑州·阶段检测）已知函数. (1)求； (2)求函数的单调区间； (3)求在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，无单调递减区间 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据基本初等函数求导法则计算导数； （2）结合定义域分析导数符号得到单调区间； （3）根据单调性求解闭区间上的最值. 【详解】（1）函数的定义域为， ； （2）将导数通分整理得： ， 分母，对分子配方得， 由可知分子恒大于，因此在上恒成立， 故的单调递增区间为，无单调递减区间； （3）由（2）可知在上单调递增， 因此在闭区间上也单调递增，最值在区间端点处取得： ，， 因此在上的最大值为，最小值为. 22．（25-26高二下·山西·阶段检测）已知函数（），当时，有极大值4． (1)求实数，的值； (2)求函数在区间上的最值． 【答案】(1) (2)最小值为0，最大值为4． 【分析】（1）利用函数在极值点处的两个核心条件--函数值为4，导数值为0，列方程组求解参数，再验证该点确实为极大值点. （2）由（1）利用导数判断函数在上的单调性，求出极值和端点值，比较得解. 【详解】（1），， 当时，有极大值4，， ，， 令，可得或， 当时，，则单调递减区间为， 当或时，，则单调递增区间为，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数在取得极大值，满足题意，故． （2）由（1）可得，， 令，可得或， 当时，，则单调递减区间为， 当或时，，则单调递增区间为，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值， 且，，，， 综上可知，在上的最小值为0，最大值为4． 23．（25-26高二下·广东肇庆·期中）设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值与最小值； 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程； （2）求导，利用导数分析函数在区间内的单调性和极值，结合端点值确定函数在区间内的最大值和最小值； 【详解】（1）函数求导得， 则， 曲线在点处的切线方程为： ，即． （2）令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 为极大值点，为极小值点， ， ， ， ， 综上可得，函数在区间上的最大值为，最小值为． 24．（25-26高二下·广东广州·期中）函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合三角恒等变换化简导函数，讨论导函数的符号后得函数的单调性，从而可求最大值. 【详解】已知函数， 所以. 因为，所以，故. 当时，，即； 当时，，即， 所以在上为单调递增，在为单调递减， 故在上的最大值为. 典例五：根据函数的最值求参数 25．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 当，时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因为，函数在上存在最小值， 所以，得， 故a的可能取值为. 26．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先研究在R上的单调性，结合单调性即可求解. 【详解】， 则， 由得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 又， 则当在内存在最小值时，也即极小值即为最小值， 故需满足得， 则实数的取值范围是. 27．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）若函数在区间存在最大值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求，得出的单调性和最值，可得，解不等式即可． 【详解】 ，， 所以当或时，，所以在，上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时取得极大值， 所以要使函数 在区间存在最大值， 则可得：，即， 解得：． 28．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）若函数的最小值为，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出函数的单调性，根据单调性得到函数的最小值的表达式，结合题意即可求解. 【详解】已知函数，则， 令，由于，正实数，所以得， 令，则，由于，正实数，所以恒成立， 所以是一个单调递增的函数，当时，；当时，； 因此方程有且仅有一个实数根，设为，即， 因为，当时，有，解得，矛盾，因此， 当时，，即，函数单调递减； 当时，，即，函数单调递增； 所以函数在处取得最小值， 由于函数的最小值为，即，则有， 同时极值点满足， 代入上式得，解得， 则有，解得，故A正确. 29．（25-26高二下·天津·阶段检测）若函数有最小值，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】分和两种情况，利用导数法及单调性讨论的最小值，从而求解实数的取值范围. 【详解】当时，,则, 当时，且，故，因此在上严格单调递增， 由此可得，当时，，即此段函数的值域为，无法取到； 当时，是一次函数，其单调性由斜率决定： 若，则，函数在上单调递增， 当时，，整个函数无最小值， 若，则为常数函数，此时，结合时函数值域， 整个函数的下确界为但无法取到，无最小值， 若，则，函数在上单调递减，最小值在处取得，为， 要使整个函数有最小值，必须满足，解得, 结合的条件，所以实数的取值范围为. 30．（25-26高三下·云南·阶段检测）已知函数，在上的最小值为，则的最大值为_____________． 【答案】1 【分析】分三种情况，利用导数分析的单调性及最值，从而得到的取值范围，求得的最大值. 【详解】函数， 当时，. 若，则，，所以在上单调递增， 在上的最小值为，符合题意； 若，则，，所以在上单调递减， 在上的最小值为，不符合题意； 若，则当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，在上的最小值为，不符合题意. 综上所述，的取值范围是. 所以的最大值为. 典例六：讨论含参函数极值 31．（25-26高二下·天津·阶段检测）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数极值点的个数并求出相应的极大和极小值点． 【答案】(1) (2)当时，函数无极值点；当时，函数有2个极值点，极大值点为，极小值点为；当时，函数有2个极值点，极大值点为，极小值点为；当时，函数有1个极值点，该极值点为极小值点，为，无极大值点. 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程求出切线方程； （2）求导，分，，，四种情况分类讨论，根据导数研究函数的单调性，进而求出极值点. 【详解】（1）,, , 所以函数在处的切线方程为，即； （2）， 当时，恒成立，函数在上单调递增， 所以函数无极值点； 当时，令，解得或， 当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增； 所以函数有2个极值点，极大值点为，极小值点为； 当时，令，解得或， 当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增； 所以函数有2个极值点，极大值点为，极小值点为； 当时，恒成立，令，解得， 当时， ，单调递减，当时，，单调递增； 所以函数有1个极值点，该极值点为极小值点，为，无极大值点. 综上，当时，函数无极值点； 当时，函数有2个极值点，极大值点为，极小值点为； 当时，函数有2个极值点，极大值点为，极小值点为； 当时，函数有1个极值点，该极值点为极小值点，为，无极大值点. 32．（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知函数. (1)讨论的单调性. (2)已知函数. ①判断的极值点个数； 【答案】(1)当 时，函数 在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）求出函数的导数，按、分类讨论求出函数的单调性. （2）①先求出导函数，再分、分类讨论求出函数的零点，进而得出极值点个数； 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）①函数，定义域为. ，令，则或， 当时，方程只有1个根1，有一个极值点； 当时，方程等价于. 设，， 当时，由于，，且单调递增，而单调递减， 故两函数图象在上没有交点，有一个极值点； 当时，因为，设图象的一条过原点的切线方程为， 其中切点为.故，解得，即该切线方程为. 因此，当时，即，函数与的图象有两个交点且横坐标不为1，所以有三个极值点； 当时，函数与的图象有一个交点，即恒成立，所以有一个极值点； 当时，即，函数与的图象没有交点，所以有一个极值点； 综上，当或时，有一个极值点； 当时，有三个极值点； 33．（25-26高二下·重庆·期中）设，函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性和极值点． 【答案】(1) （或写为 ） (2)当时，在上单调递增，无极值点；当时，在上单调递减，在上单调递增，极小值点为，无极大值点. 【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可求出即切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程； （2）求出函数的导函数，再对参数分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间及极值点即可； 【详解】（1）当时，，． 且，． 曲线在点处的切线方程为，即得． （2）． 当时，，是增函数，无极值点； 当时，令，解得． 当时，；当，． 所以在上单调递减，在上单调递增， 极小值点为，无极大值点. 综上，当时，在上单调递增，无极值点； 当时，在上单调递减，在上单调递增，极小值点为，无极大值点. 34．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知函数． (1)讨论函数的极值点个数； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求导，分别讨论，，，时导数的正负，进而求出单调性，根据极值的定义判断极值点个数； 【详解】（1）由条件得，令，则． ① 当时，，在上单调递增，且， 则当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增. 故此时有1个极小值点为0，无极大值点； ②当时，令可得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， （i）当时，，所以， 而，所以在有唯一零点， 所以是的极大值点，是的极小值点． （ii）当时，，即恒成立，所以无极值点． （iii）当，所以， 而，所以在有唯一零点， 所以是的极小值点，是的极大值点． 综上所述：当时，有一个极值点；当时，没有极值点；当或时，有两个极值点. 35．（25-26高二下·安徽安庆·期中）已知函数 (1)时，求在处切线方程； (2)讨论的极值． 【答案】(1)； (2)当时，极小值，无极大值， 当时，极大值为，极小值为， 当时，无极值， 当时，极大值为，极小值为. 【分析】（1）求导，确定切线斜率，即可求解； （2）通过，，，讨论函数单调性，进而可求解. 【详解】（1）当时， ，定义域， 由，即切点为， 求导得，代入得，即斜率， 由点斜式得，即. （2）由， 求导得：，， 当时， ， 当时，单调递减；时，单调递增， 故仅有极小值，无极大值， 当，即时， ， 和时，， 时，， 故在和单调递增，在单调递减， 故极大值为，极小值为， 当时， 恒成立， 在定义域内单调递增，无极值， 当时， ，​， 和时，，时，， 在和单调递增，在单调递减， 故极大值为，极小值为， 综上：当时，极小值，无极大值， 当时，极大值为，极小值为， 当时，无极值， 当时，极大值为，极小值为. 36．（2026·广东广州·三模）已知函数，为的导数. (1)若，求的极值； 【答案】(1)极小值为，无极大值 【分析】（1）直接对进行求导，利用导数研究单调性即可判断极值点，进而求出极值； 【详解】（1）的定义域为. ，， 若，则当时，；当时，， 所以的极小值为，无极大值. 典例七：讨论含参函数最值 37．（25-26高二下·山东威海·阶段检测）已知函数． (1)讨论的极值； (2)求函数在上的最小值． 【答案】(1)当时，，无极小值；当时，，；当时，无极值；当时，，； (2)时，；时，；时，. 【分析】（1）分三种情况讨论单调性，可得极值情况； （2）由（1）讨论在上的单调性，据此可得最值. 【详解】（1）易得定义域为R. ①当， . ， 则在上单调递增，在上单调递减，此时，无极小值； ②当， . i若，，， 则在上单调递增，在上单调递减，此时，无极小值； ii若，令或. 当， 此时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则此时，； 当， 此时在R上单调递增，则无极值； 当， 此时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则此时，. 综上可得：当时，，无极小值； 当时，，； 当时，无极值； 当时，，； （2）由（1）分析可得，①当时，在上单调递减， 则； ②当时， i若，则在上单调递减， ； ii若，则在上单调递减，在上单调递增， 则此时； ③当时，此时在上单调递增，此时； ④当时，此时在上单调递增，此时. 综上可得：时，； 时，； 时，. 38．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)当时，求在上的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先确定的定义域，再求出的导数，再对参数范围分类讨论求解单调性即可. （2）先根据已知条件确定在的单调性，再对的范围分类讨论，依据单调性求出不同情况下的最小值. 【详解】（1）由题意可得：的定义域是，且， 令，则或, ①当时，若或，则，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ②当时，因为，所以在上单调递增， ③当时，若或，则，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减. （2）当时，由（1）可得：在上单调递减， 所以，①当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，为， ②当时，在上单调递减， 所以在处取得最小值，为． 综上，． 39．（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)当时，在上单调递减，最小值是；当时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是. 【分析】（1）求导后，根据正负可得单调性，结合极值定义可求得结果； （2）求导后，分别讨论、和时在上的单调性，进而确定最小值. 【详解】（1）当时，，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 的极大值为，无极小值. （2）由得：， ，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； ①当，即时，在上单调递减， 此时的最小值为； ②当，即时，在上单调递增，在上单调递减； ，，， 当时，，此时； 当时，，此时； ③当，即时，在上单调递增， 此时的最小值为； 综上所述：当时，在上单调递减，最小值是；当时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是. 40．（25-26高二下·湖北十堰·阶段检测）已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)求函数在区间上的最大值. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减. (2)当时，函数在上的最大值为，当时，函数在上的最大值为0. 【分析】（1）首先求函数的导数，讨论和两种情况讨论导数的正负，判断函数的单调性； （2）根据（1）的结果，讨论的取值，判断区间的单调性，求函数的最值. 【详解】（1）函数的定义域为，因为，所以 当时，恒成立，函数在定义域内单调递增； 当时，由得，由得或， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，故； 当时，在上单调递减，在上单调递增，又 所以，当时，；当时， 当时，函数在上单调递减，， 综上，当时，函数在上的最大值为， 当时，函数在上的最大值为0. 41．（24-25高二下·福建漳州·期末）设函数，为的导数． (1)讨论函数的最值； 【答案】(1)答案见解析； 【分析】（1）先求出，再对进行分类讨论得出的单调性，得出的极值情况，进而求得最值的情况； 【详解】（1）由题意可得的定义域为， ， 当时，恒成立， 在上单调递减，无极值， 当时，令，即，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取得极大值，也是最大值， 且最大值为，无最小值． 综上所述， 当时，无最值， 当时，的最大值为，无最小值． 42．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数（） (1)求在区间上的最大值． 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导数，就、、分类讨论导数的符号后结合单调性可求最大值； 【详解】（1），令，得 ①当，即时，恒成立，此时在区间上单调递增 ②当，即时，恒成立， 此时在区间上单调递减 ， ③当，即时， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 的最大值为与中的较大者. 当时， ，  ， 当时，  ，， 当时，， 综上所述：当时，， 当时，. 典例八：函数的单调性、极值、最值的综合应用 43．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数的最大值为1，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】法1：（1）当时，由，解得， 故函数定义域为. ①当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； ②当时，此时，， 故最大值不为，不合题意； ③当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； （2）当时，则，则函数定义域为. 且由最大值为可知，， 即对任意恒成立，且等号能取到. 设，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，当且仅当时，， 由对任意恒成立，可知， 又当时，恒有，取不到等号，所以有， 故选：B. 法2：， 由选项知，则定义域为， 故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为， 由， 则由，可得①， 且，即②， 联立①②解得. 验证：当时，， 则， 设，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； ，且， 且当，；当，； 作出函数的大致图象， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 则，满足题意，故. 法3：由选项知，则定义域为， 由，解得. 同法2验证可得，故满足题意，由选项唯一可得.. 法4：由选项知，则定义域为， 由，解得. 验证：当时，由不等式可得， 故，当且仅当时等号成立， 故满足题意，由选项唯一可得. 44．（河南湘豫大联考2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题）（多选）已知函数，其中 ，e为自然对数的底数，下列结论中正确的有（   ） A．当 时，的最小值为0 B．若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 C．若 对任意恒成立，则实数的取值范围是 D．当时，有且仅有3个零点 【答案】ABD 【分析】A根据得到函数的导函数，求，得到，再根据函数的单调性得到最小值，B令，讨论的取值范围，根据函数的单调性以及零点求解即可，C讨论的取值范围寻找特殊点的函数值，利用函数的单调性求解，D首先分析函数的单调性，得到的极值点，再分析的符号，进而得到的零点. 【详解】因为，所以. 对于A，当时，，，令，解得. 当时，，所以，所以在上单调递减； 当时，，所以，所以在上单调递增， 所以在处取得最小值，最小值为，A正确； 对于B，因为，所以. 令，则问题等价于函数有两个不同的零点. 因为，若，，所以单调递增， 则函数最多有一个零点，不符合题意； 若，令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以在处取得极小值， 且极小值为， 要使函数有两个不同的零点，则. 因为，则，即，解得. 又当时，，，所以； 当时，函数的增长远快于一次函数，所以. 综上，当时，函数有两个不同的零点，B正确； 对于C，要使对任意恒成立，分情况讨论： ①当时，由A知，恒成立，符合要求； ②当时，在上单调递增，，， 故存在，使得.在上单调递减，在上单调递增， 因此，不符合要求； ③当时，取，； 取，，均不满足恒成立； ④当时，，不符合要求. 综上，当且仅当时满足条件，C错误. 对于D，当时，，. 令，则. 令，得， 当时，，当时，， 因此在上单调递减，在上单调递增， 所以. 结合时，可知有两个不同的实数根， 分别对应的极大值点，极小值点. 又，所以，在上单调递减，且， 所以在上有1个零点，且； 在上单调递增，又当时，，， 所以在上有1个零点；在上单调递增， 又当时，，，所以在上有1个零点. 综上，有且仅有3个零点，D正确. 45．（2026·江苏泰州·模拟预测）（多选）已知函数存在极小值点，则（    ） A． B．函数有唯一的极小值点 C． D．函数有且只有3条斜率为4的切线 【答案】BCD 【分析】对于AB选项，对求导，结合，分析单调性即可求解；对于C选项，根据，代入中讨论即可判断；对于D选项，对的导数进行求导分析，判断解的个数，即可判断. 【详解】对于选项AB，， 当时，， 而当时，设，则，当时，当时， 因此，当时，取得最小值，则， 所以，当时，，即， 则， 所以在上单调递增，在上无极值， 当时，，在上单调递增， 注意到，因为，所以，则， ， 所以存在唯一的似的， 当且仅当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以为唯一的极小值点， 由可知，A选项错误，B选项正确. 对于选项C，，因此， 所以，， 因为，所以， 因此，故，C 选项正确. 对于选项D，当时，令， 设，，所以 令，所以， 在上单调递减；在上单调递增，， 且时，，时，， 所以在和上各有一个零点、， 此时，的两根为、， 当时，令，在上单调递增， 而当，时，，当时，， 所以，存在唯一的使得， 所以函数有且只有 3 条斜率为 4 的切线，故D正确. 46．（25-26高二下·山东临沂·阶段检测）（多选）设函数，则（   ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】CD 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故是函数的极小值点，A错误； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，B错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，C正确； 对D，当时， ， 所以，D正确. 47．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）对函数求导，分析导函数的符号，从而可判断函数的单调性； （2）先对不等式进行变形分离参数，再构造函数借助导数找到函数的最小值，从而得到m的取值范围. 【详解】（1）当时，，则． 由，得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）由，得．因，则得， 依题意，只需即可. 设函数，则，由，得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即， 所以，即的取值范围为． 48．（2026·山东·模拟预测）若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为函数，图象与直线有且只有一个交点，然后利用导数知识研究性质，画出大致图象，据此可得答案. 【详解】定义域为，则有且只有一个零点， 等价于方程在有且只有一个根， 即函数，图象与直线有且只有一个交点. ，，， 则在上单调递减，在上单调递增. 则在时取得极大值， 又时，，，； 时，，，远远大于，. 据此可得大致图象如下： 则由图可得为使函数，图象与直线有且只有一个交点， 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $