精品解析：山西晋中市榆次区部分学校2025-2026学年八年级第二学期期末数学试卷

八年级数学（北师版） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列分式中，为最简分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列以东方传统纹样为基底，通过对称美学设计而成的图案中，是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列各式从左至右的变形，属于因式分解的是（ ）． A. B. C. D. 4. 在四边形中，，要使四边形 成为平行四边形，则在下列条件中，应增加条件（ ） A. B. C. D. 5. 如图，和是的两条中线，连接．若，则的长为（ ）． A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 6. 对多项式进行因式分解，可以提取的公因式为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线分别与边、相交于点，连接．若点为的中点，，则的长为（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 8. 斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏从点出发，共用22秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，由此可以列出方程：，其中未知数表示的意义是（ ）． A. 小敏通过路段的速度 B. 小敏通过路段的速度 C. 小敏通过路段的时间 D. 小敏通过路段的时间 9. 如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，点在线段上，点A，C的对应点分别为，，连接，则的长为（ ）． A. B. 4 C. D. 10. 如图，在中，的平分线交于点，且点是的中点，若，则的周长为（ ）． A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若使分式有意义，则的取值范围是_______． 12. 如图，将沿折叠得到，点A的对应点为．若，则_____________°． 13. 如图，将一块直角三角尺沿射线方向平移到三角尺的位置，点A，B，C的对应点分别为D，E，F．已知，，若，，则的长为_____________． 14. 如图，直线与直线（，为常数，且）相交于点，则关于的不等式的解集是_____________． 15. 如图，在中，点E是边上一点，连接，，过点B作，交于点F．延长至点G，使得，连接，且平分．若，，则的长为_____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 因式分解与解不等式组． （1）因式分解：． （2）解不等式组：并将不等式组的解集表示在数轴上． 17. 解分式方程． （1）． （2）． 18. 如图，在中，对角线和交于点，延长，分别至点，使得．连接，，，．求证：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． （1）请在图中画出关于原点O成中心对称的，点A，B，C的对应点分别为，，． （2）将进行平移，使得点A的对应点的坐标为，请在图中画出，点B，C的对应点分别为，，并写出点的坐标． （3）请直接写出的面积． 20. 如图，在中，于点，且，点是上一点，连接，且，延长交于点． （1）求证：． （2）若点为的中点，，求的长． 21. 阅读与思考 下面是小亮同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 可等垂四边形 【定义】对于平面内的一个四边形，是上一点，连接，，若且，则称四边形是“可等垂四边形”，点为四边形的“等垂点”． 【问题解决】问题1：如图1，平行四边形是“可等垂四边形”．若，则的度数为_____________°． 问题2：如图2，在四边形中，点是边上一点，连接，，过点分别作，，垂足分别为．若，，求证：四边形是“可等垂四边形”． 证明：，， ． …… 任务： （1）问题1中的的度数为_____________． （2）请补全问题2的证明过程． （3）如图3，在中，点是上的一点，请在平面内找一点，连接，，使得四边形是“可等垂四边形”，点是四边形的“等垂点”（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． 22. 某户外用品店为满足露营热潮需求，计划购进A，B两款露营灯进行销售．已知每盏B款露营灯的进价是每盏A款露营灯进价的1.5倍，用300元购进A款露营灯的数量比用540元购进B款露营灯的数量少2盏． （1）求每盏A款和B款露营灯的进价分别为多少元． （2）该商家发现这两款露营灯的销量可观，在进价不变的前提下，计划再次购进这两款露营灯共100盏，且总费用不超过4200元，则该商家最少购进多少盏A款露营灯？ 23. 综合与探究 问题情境：在等边三角形中，是边上的中线，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为． （1）初步探究：如图1，当点落在上时，连接．判断四边形的形状，并说明理由． （2）初步探究：如图2，当点在下方时，分别延长与交于点，判断与的数量关系，并说明理由． （3）深入探究：在旋转过程中，连接．若，当与直线垂直时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学（北师版） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列分式中，为最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简分式的定义，即分子和分母没有除1以外的公因式的分式是最简分式，对各选项分别判断是否存在公因式，即可得出结果． 【详解】解： 选项A，的分子与分母没有除以外的公因式，是最简分式； 选项B，的分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； 选项C，，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； 选项D，的分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式． 2. 下列以东方传统纹样为基底，通过对称美学设计而成的图案中，是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】中心对称图形定义：在平面内，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能和原图形重合，这个图形就是中心对称图形；依次判断四个选项是否满足该定义即可． 【详解】解：根据中心对称图形定义逐一分析： 选项A：将图形绕中心点旋转后，图案形态与原图无法重合，不是中心对称图形； 选项B：将图形绕中心点旋转后，上下轮廓无法匹配原图，仅为轴对称图形，不是中心对称图形； 选项C：将图形绕中心点旋转后，葫芦尖头位置与原图相反，无法重合，不是中心对称图形； 选项D：将图形绕圆心旋转，旋转后的图案和原图完全重合，符合中心对称图形定义． 3. 下列各式从左至右的变形，属于因式分解的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因式分解是将一个多项式化为几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵选项A和选项C都是将几个整式的积化为多项式的和，属于整式乘法，不属于因式分解； ∵选项D的右边是，是整式积加单项式的和的形式，不是几个整式的积，不属于因式分解； ∵选项B将多项式化为了整式的平方，即几个整式的积，符合因式分解的定义． 4. 在四边形中，，要使四边形 成为平行四边形，则在下列条件中，应增加条件（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，根据平行四边形的判定方法进行判断即可． 【详解】根据题意，作图如下； A、平行四边形的判定：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不符合题意； B、，，四边形为平行四边形； C、无法判定四边形为平行四边形，故选项错误； D、，与题干重复，无法判定四边形为平行四边形，选项错误； 故选：B 5. 如图，和是的两条中线，连接．若，则的长为（ ）． A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中线定义得到、分别为、中点，再利用三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，可得，代入即可求出． 【详解】解：是的两条中线， 是中点，是中点， 是的中位线． 根据三角形中位线定理： ， 已知，代入得： ， ． 6. 对多项式进行因式分解，可以提取的公因式为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出系数的最大公约数与相同字母的最低次幂，再得到公因式． 【详解】解：∵多项式中，两项系数和的最大公约数为，两项共有的字母为和，的最低次数为，的最低次数为， ∴公因式为． 7. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线分别与边、相交于点，连接．若点为的中点，，则的长为（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由作图步骤可知直线是线段的垂直平分线，根据垂直平分线性质得又为中点，结合长度求出，即可得到的长． 【详解】解：由尺规作图的方法可得，直线是线段的垂直平分线， 根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等， ． 点为的中点，， ， ． 8. 斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏从点出发，共用22秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，由此可以列出方程：，其中未知数表示的意义是（ ）． A. 小敏通过路段的速度 B. 小敏通过路段的速度 C. 小敏通过路段的时间 D. 小敏通过路段的时间 【答案】A 【解析】 【分析】根据公式：时间路程速度，方程中两段路程均为12米，是走段的时间，是走段的时间，且题目说明速度是速度的1.2倍，由此判断的含义． 【详解】解：∵米，通过路段的速度是通过路段速度的倍， 在方程中： 表示路程的速度走的时间； 表示路程的速度走的时间； 两段时间相加等于总用时秒， 因此未知数表示小敏通过路段的速度． 9. 如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，点在线段上，点A，C的对应点分别为，，连接，则的长为（ ）． A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出斜边长度，再根据旋转性质得到对应边相等、对应角相等，算出、的长度与，最后在中用勾股定理求． 【详解】解：在中，由勾股定理得：， 由旋转的性质可知：， ，， 在中，由勾股定理得：． 10. 如图，在中，的平分线交于点，且点是的中点，若，则的周长为（ ）． A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形对边平行的性质结合角平分线可证出，再结合是中点求出长度，最后根据平行四边形周长公式计算周长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， 为等腰三角形，， 已知， ， 又点是的中点， ， 平行四边形对边相等：， 平行四边形周长． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若使分式有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，由分母不为零可得，从而可得答案． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，将沿折叠得到，点A的对应点为．若，则_____________°． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠性质可得，在和中，再利用平角及外角定义表示、，化简即可求出． 【详解】解：由折叠的性质可知：，，． ，， 两式相加： ． 13. 如图，将一块直角三角尺沿射线方向平移到三角尺的位置，点A，B，C的对应点分别为D，E，F．已知，，若，，则的长为_____________． 【答案】6 【解析】 【分析】先根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半求出的长，再根据平移的性质得到，根据求得的长． 【详解】解：在中，，， ， ， 由平移的性质可知，， ． 14. 如图，直线与直线（，为常数，且）相交于点，则关于的不等式的解集是_____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：直线经过点，可得 ． 解方程，得 ． 所以，点的坐标为． 由图象可知，当时，． 所以，关于的不等式的解集是． 15. 如图，在中，点E是边上一点，连接，，过点B作，交于点F．延长至点G，使得，连接，且平分．若，，则的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，进而可得，结合平分，即可证明，结合等腰三角形的性质和判定证明，由即可求解． 【详解】解：取的中点，连接， ∵，即， ∴， ∴， 平分，   ， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 四边形是平行四边形，， ，  ， ， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 因式分解与解不等式组． （1）因式分解：． （2）解不等式组：并将不等式组的解集表示在数轴上． 【答案】（1） （2），数轴： 【解析】 【分析】（1）用平方差公式分解，设，，代入公式化简即可； （2）分别解两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分得到不等式组解集，最后按规则画数轴（空心圈不含等号，实心点含等号）． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：解不等式①：， ， ， ； 解不等式②：， ， ， ， ， 综合两个不等式解集：． 略 17. 解分式方程． （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先找最简公分母去分母化为整式方程，解整式方程后必须检验，排除使分母为0的增根． （2）先因式分解分母，确定最简公分母，去分母化为整式方程，求解后代入分母检验是否为增根． 【小问1详解】 解：方程两边同乘最简公分母，消去分母： ， ， ， ， 检验：把代入公分母，分母不为0，不是增根． 原分式方程的解为． 【小问2详解】 解：先分解分母：，原方程变形为： ， 方程两边同乘最简公分母： ， ， ， ， ， 检验：把代入公分母， 分母不为0，不是增根． 原分式方程的解为． 18. 如图，在中，对角线和交于点，延长，分别至点，使得．连接，，，．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形，对角线、交于点， ∴，， 已知， ∴， 即． 又∵，， ∴四边形的对角线、互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，由对角线得、，结合推出，对角线互相平分的四边形是平行四边形，再根据平行四边形对边平行得． 【详解】略 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． （1）请在图中画出关于原点O成中心对称的，点A，B，C的对应点分别为，，． （2）将进行平移，使得点A的对应点的坐标为，请在图中画出，点B，C的对应点分别为，，并写出点的坐标． （3）请直接写出的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用原点中心对称坐标变换规则变为求出对称顶点，描点连线即可； （2）由点平移前后坐标确定平移向量（右5上1），再将、同步平移得到对应点坐标，完成作图； （3）采用割补法，用包围三角形的矩形面积减去周边三个直角三角形面积，快速求出三角形面积． 【小问1详解】 解：关于原点中心对称的点横、纵坐标均变为相反数： ， ， ， 在坐标系中标记三点，依次连接、、，得到． 【小问2详解】 解：已知平移至， 横坐标增量：，纵坐标增量：， 即平移方式：向右平移5个单位，向上平移1个单位． 对点平移： ，，得； 同理． 描出，，并顺次连接，得到． 【小问3详解】 解：以三点横坐标-5,-1、纵坐标1，5作外接矩形，矩形长4、宽4， ． 矩形内除去剩余3个直角三角形面积分别为： ， ． 20. 如图，在中，于点，且，点是上一点，连接，且，延长交于点． （1）求证：． （2）若点为的中点，，求的长． 【答案】（1）证明：， ， 在和中： ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ． （2） 【解析】 【分析】（1）先利用HL证明，得到角相等，再通过直角三角形两锐角互余等量代换，推出，证得垂直； （2）由垂直平分得，结合推出，再设，利用线段关系、等腰三角形性质列方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是中点，且， 是的垂直平分线， ． ，，， 为等腰直角三角形，． 设，则． 由（1）全等可知：， ． 在中，由勾股定理： ， ， ， 即， 解得， ， ， 即． 21. 阅读与思考 下面是小亮同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 可等垂四边形 【定义】对于平面内的一个四边形，是上一点，连接，，若且，则称四边形是“可等垂四边形”，点为四边形的“等垂点”． 【问题解决】问题1：如图1，平行四边形是“可等垂四边形”．若，则的度数为_____________°． 问题2：如图2，在四边形中，点是边上一点，连接，，过点分别作，，垂足分别为．若，，求证：四边形是“可等垂四边形”． 证明：，， ． …… 任务： （1）问题1中的的度数为_____________． （2）请补全问题2的证明过程． （3）如图3，在中，点是上的一点，请在平面内找一点，连接，，使得四边形是“可等垂四边形”，点是四边形的“等垂点”（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． 【答案】（1）15 （2）， ， 在和中： ， ， ， 中，， ， 即， 且， ∴四边形是可等垂四边形． （3） 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形性质、可等垂四边形定义得到边、角关系，再通过等腰三角形、三角形内角和求出． （2）利用垂直得直角三角形，结合已知线段等式推出，再证，得到且，满足可等垂四边形定义． （3）根据定义：是等垂点，需满足．尺规作图思路：以为直角边作垂直且等长线段，分上下两种位置． 【小问1详解】 解：已知四边形是平行四边形， ，，． 由可等垂四边形定义：，， 即，， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作图步骤：连接，过点作的垂线，在垂线上截取，得到点，连接、，四边形即为所求可等垂四边形． 22. 某户外用品店为满足露营热潮需求，计划购进A，B两款露营灯进行销售．已知每盏B款露营灯的进价是每盏A款露营灯进价的1.5倍，用300元购进A款露营灯的数量比用540元购进B款露营灯的数量少2盏． （1）求每盏A款和B款露营灯的进价分别为多少元． （2）该商家发现这两款露营灯的销量可观，在进价不变的前提下，计划再次购进这两款露营灯共100盏，且总费用不超过4200元，则该商家最少购进多少盏A款露营灯？ 【答案】（1）A款进价30元/盏，B款进价45元/盏． （2）商家最少购进20盏A款露营灯． 【解析】 【分析】（1）设A款进价为元，则B款进价元；根据300元购进A款露营灯的数量比用540元购进B款露营灯的数量少2盏列分式方程求解，最后检验分母不为0． （2）设购进A款盏，则B款盏；总费用A总价B总价，列一元一次不等式，求最小整数解． 【小问1详解】 解：设每盏A款露营灯进价为元，则每盏B款进价为元． 由题意得等量关系： ， 化简，方程变为： ， 两边同乘去分母： ， 解得， 检验：把代入，，是原方程的解． ， 答：A款进价30元/盏，B款进价45元/盏． 【小问2详解】 解：设购进盏A款露营灯，则购进盏B款． 由总费用不超过4200元得不等式： ， 解得， 为灯的数量，是正整数，故最小值为． 答：商家最少购进20盏A款露营灯． 23. 综合与探究 问题情境：在等边三角形中，是边上的中线，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为． （1）初步探究：如图1，当点落在上时，连接．判断四边形的形状，并说明理由． （2）初步探究：如图2，当点在下方时，分别延长与交于点，判断与的数量关系，并说明理由． （3）深入探究：在旋转过程中，连接．若，当与直线垂直时，请直接写出的值． 【答案】（1）四边形是平行四边形 理由如下： 由等边，是中线， ，， 由旋转性质得， ， 又在上，，， 为等边三角形， ， ， 由旋转性质得， 又， ， 故四边形是平行四边形． （2） 理由如下： 连接，由旋转可知：，，． ． 又为等边三角形，是中线， ， ， ， ． （3）或 【解析】 【分析】（1）由旋转得，证等边推出，再证，一组对边平行且相等判定平行四边形． （2）连接，由旋转得、，证角相等推出，等角对等边得线段相等． （3）分垂直线段、垂直延长线两种位置，建立平面直角坐标系，利用垂直条件求出点坐标，再由两点间距离公式计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，等边，是中线， ，，，， ①当线段时，设为和的交点，设为和的交点， ，， ， 又，， ， ， ， 过点作于点，则为直角三角形， ， 是含的直角三角形， ． ， 在中，； ②当延长线时，设为和的交点，过点作于点，则为直角三角形， ，， ， ， ， ， 是含的直角三角形， ． ， 在中，， 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $