1.3.2利用完全平方公式进行因式分解-课件-2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“利用完全平方公式进行因式分解”，课堂导入通过“说一说”回顾完全平方公式，从公式逆向使用自然引入新知，衔接旧知与新知，构建清晰的学习支架。 其亮点在于通过“议一议”引导学生总结完全平方式特征（简记口诀）培养推理意识，“做一做”用整体思想（如将x+y看作整体）提升抽象能力，例题涵盖提公因式等步骤强化运算能力，小结明确公式和特点。助力学生发展数学思维，教师可高效开展教学。

湘教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月10日 1.3.2利用完全平方公式进行因式分解 第1章 因式分解 湘教版八年级数学1.3.2 利用完全平方公式进行因式分解同步练习题 本次练习题针对湘教版八年级数学1.3.2完全平方公式因式分解专项编写，承接平方差公式因式分解知识，重点训练完全平方式的判定、两个完全平方公式的区分、直接套用、先提公因式再套公式、整体代换等核心题型，聚焦本节重难点与高频易错点，题型由浅入深，适配课堂同步学习与课后专项巩固。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列多项式属于完全平方式的是（） A. $$x^2+2x-1$$ B. $$x^2-4x+4$$ C. $$x^2+2xy-y^2$$ D. $$x^2+4x+2$$ A. $$(a+4)^2$$ B. $$(a-4)^2$$ C. $$(a+8)^2$$ D. $$(a-8)^2$$ 3. 下列因式分解正确的是（） A. $$x^2-6x+9=(x-3)^2$$ B. $$4x^2-4x+1=(2x+1)^2$$ C. $$x^2+4x+4=(x+2)(x-2)$$ D. $$-x^2+2x-1=-(x+1)^2$$ 4. 若多项式$$x^2-mx+9$$是完全平方式，则$$m$$的值为（） A. 6 B. -6 C. $$\pm6$$ D. 9 5. 多项式$$2x^2-8x+8$$分解因式的最终结果是（） A. $$2(x^2-4x+4)$$ B. $$2(x-2)^2$$ C. $$(2x-4)^2$$ D. $$2(x-2)(x+2)$$ 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 完全平方公式因式分解：$$a^2+2ab+b^2=$$________，$$a^2-2ab+b^2=$$________。 7. 因式分解：$$x^2-10x+25=$$________。 8. 因式分解：$$9a^2+12ab+4b^2=$$________。 9. 补全完全平方式：$$x^2+$$________$$+36=(x\pm6)^2$$。 10. 因式分解：$$(x+y)^2-4(x+y)+4=$$________。 三、解答题（共60分） 11. 判断下列多项式是否为完全平方式，是的分解因式，不是的说明理由（每题4分，共16分） （1）$$x^2+4x+4$$ （2）$$x^2-2x-1$$ （3）$$4x^2-12x+9$$ （4）$$x^2+6xy+9y^2$$ 12. 利用完全平方公式分解下列因式（每题6分，共24分） （1）$$m^2-14m+49$$ （2）$$16x^2+8x+1$$ （3）$$3a^2-18a+27$$ （4）$$(a-b)^2+4(a-b)+4$$ 13. 利用完全平方公式简便计算（每题10分，共20分） （1）$$99^2+2\times99+1$$ （2）$$206^2-412\times6+6^2$$ 参考答案与解析 一、选择题 1.B 解析：完全平方式特征：首末两项是平方项且同号，中间项是首尾底数乘积的2倍。 2.A 解析：$$a^2+8a+16=a^2+2\times4a+4^2=(a+4)^2$$。 3.A 解析：B应为$$(2x-1)^2$$；C混淆完全平方与平方差公式；D应为$$-(x-1)^2$$。 4.C 解析：中间项为正负两种情况，$$m=\pm2\times1\times3=\pm6$$。 5.B 解析：先提公因式2，再用完全平方公式，必须分解彻底。 二、填空题 6. $$(a+b)^2$$；$$(a-b)^2$$ 7. $$(x-5)^2$$ 8. $$(3a+2b)^2$$ 9. $$\pm12x$$ 10. $$(x+y-2)^2$$ 三、解答题 11.（1）是，$$(x+2)^2$$；（2）不是，末项为负数，不满足完全平方式条件 （3）是，$$(2x-3)^2$$；（4）是，$$(x+3y)^2$$ 12.（1）原式$$=(m-7)^2$$ （2）原式$$=(4x+1)^2$$ （3）原式$$=3(a^2-6a+9)=3(a-3)^2$$ （4）原式$$=[(a-b)+2]^2=(a-b+2)^2$$ 13.（1）原式$$=(99+1)^2=100^2=10000$$ （2）原式$$=206^2-2\times206\times6+6^2=(206-6)^2=200^2=40000$$ 知识点总结与易错提醒：1. 完全平方式三要素：首末平方、符号相同、中间二倍乘积；2. 因式分解步骤：先提公因式，再套用完全平方公式，务必分解彻底；3. 注意整体思想，可将多项式整体当作底数套用公式；4. 切勿混淆完全平方公式与平方差公式，区分和、差平方形式。 请说出完全平方公式. 完全平方公式1： ， 完全平方公式2： . (x＋y)² = x²＋2xy＋y² (x－y)² = x²－2xy＋y² 在完全平方公式 1 中，将 y 用 2 代入得到等式 把这个等式从右到左使用，就可以把多项式 x²＋4x＋4 因式分解： x²＋4x＋4 = . (x＋2)² = . (x＋2)² x²＋4x＋4 探索新知 例5 把多项式 9x2－6x＋1 因式分解. 分析 由于9x2 = (3x)2， 1 = 1²，2·3x·1 = 6x，因此 9x2－6x＋1 符合完全平方式 2 右边的形式，于是从右到左使用完全平方公式 2，就可把 9x2－6x＋1 因式分解. 解： 9x2－6x＋1 = (3x－1)2. = (3x)2－2 · 3x · 1 + 12 典例精析 与同学交流，具有什么特征的多项式可以运用完全平方公式分解因式？ 2 x y + y2 ± = (x ± y)² x2 首2 + 尾2 ±2×首×尾 (首±尾)2 两个数的平方和加上 (或减去) 这两个数积的 2 倍，等于这两个数的和 (或差) 的平方. 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 知识点1 完全平方式 1.下列式子是完全平方式的是( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 5 2.（1）若是完全平方式，则 ___; （2）若是完全平方式，则 _____； （3）若是完全平方式，则 ____. 9 返回 中考考法 6 例6 把下列多项式因式分解： (1) －4x2＋12xy－9y2； 解：(1) －4x2＋12xy－9y2 ＝－(4x²－12xy＋9y²) ＝－[(2x)²－2·2x·3y＋(3y)²] ＝－(2x－3y)². 分析 (1)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为 －(4x2－12xy＋9y2)，然后再利用公式因式分解. (2) x5＋2x3y＋xy2. 分析 (2) 中有公因式 x，应先提出公因式，再进一步因式分解； (2) x5＋2x3y＋xy2 ＝x(x4＋2x²y＋y²) ＝x[(x²)²＋2·x²·y＋y²] ＝x(x²＋y)². 例7 把多项式 x4－2x2＋1 因式分解. 解： x4－2x2＋1 ＝(x²)²－2·x²·1＋1² ＝(x²－1)² ＝[(x＋1)(x－1)]² ＝(x＋1)²(x－1)². 因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止. 可以利用完全平方公式把多项式 (x＋y)²－4(x＋y)＋4 因式分解吗？试一试. 分析：将 x＋y 看成一个整体，如 x＋y = m，则原式化为 m2 － 4m + 4. 解：(x＋y)²－4(x＋y)＋4 ＝(x＋y)²－2·(x＋y)·2＋2² ＝(x＋y－2)². 1.分解因式： (1) －3a2x2 + 24a2x－48a2； (2) ( a2 + 4 )2－16a2. ＝(a2+4+4a)(a2+4－4a) 解：(1) 原式＝－3a2(x2－8x+16) ＝－3a2(x－4)2. (2) 原式＝(a2+4)2－(4a)2 ＝(a+2)2(a－2)2. 有公因式要先提公因式 要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解． 练习 2.利用完全平方公式简便计算： (1) 1002 － 2×100×99 + 99²； (2) 342 + 34×32 + 162. 解：(1) 原式 = (100 － 99)² (2) 原式 = (34 + 16)2 本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算. = 1. = 2500. 知识点2 运用完全平方公式分解因式 3.下列各式能用完全平方公式分解因式的是( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 12 4.把 分解因式，结果正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 13 5.［2025株洲月考］把 分解因式，结果正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 14 6.利用1个的正方形，1个的正方形和2个 的长方形可拼 成一个大正方形（如图所示），从而可得到一个表示多项式因式分解的 等式：________________________. 返回 中考考法 15 7.若，则与 的关系是________. 返回 中考考法 16 8. 如果多项式 加上一个单项式后，能够直接用完 全平方公式进行因式分解，则添加的单项式可以是__________________. （写出一个即可） （答案不唯一） 返回 中考考法 17 9.［教材 例5变式］分解因式： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） ； 解：原式 . 中考考法 18 （4） ； 解：原式 . （5） ； 解：原式 . （6） . 解：原式 . 返回 中考考法 19 课堂小结 利用完全平方公式因式分解 公式 a2±2ab＋b2 = (a±b)2 特点 （1）要求多项式有三项； （2）其中两项是某数或式的平方和，另一项则是这两数或式的乘积的 2 倍，符号可正可负. $