第1章 因式分解【章末复习】（培优课件）-2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了因式分解的定义、提公因式法及公式法（平方差公式、完全平方公式），通过知识框架图将“一提二套三查”的解题顺序与核心公式串联，帮助学生构建完整的因式分解知识体系。 其亮点在于采用“基础巩固-综合应用-拓展提升”的分层复习模式，如从提公因式法基础题到换元法分解复杂多项式，培养学生的运算能力和推理意识。这种设计让不同水平学生均有收获，教师可通过典型例题把握学情，提升复习针对性。

湘教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 章末复习 第1章 因式分解 湘教版数学八年级上册 第一章 因式分解 全章同步练习题 全章知识梳理：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，是整式乘法的逆运算。全章核心解题顺序：先提公因式（单项式/多项式公因式），再套公式（平方差、完全平方），分解务必彻底。 核心公式汇总 1. 提公因式法：$$ma+mb+mc=m(a+b+c)$$（单项式公因式）；$$a(m-n)+b(m-n)=(a+b)(m-n)$$（多项式公因式） 2. 平方差公式：$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$（适用：异号二项平方式） 3. 完全平方公式：$$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$$（适用：同号首尾平方的二次三项式） 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 下列变形属于因式分解的是（） A. $$x^2+2x=x(x+2)$$ B. $$(x+1)(x-2)=x^2-x-2$$ C. $$x^2+4x+2=x(x+4)+2$$ D. $$x^2-9+6x=(x+3)(x-3)+6x$$ 2. 多项式$$6x^2y-9xy^2+3xy$$的单项式公因式是（） A. $$3xy$$ B. $$6xy$$ C. $$3x^2y$$ D. $$xy$$ 3. 多项式$$2(a-3)+4(3-a)$$提取公因式后结果为（） A. $$6(a-3)$$ B. $$-2(a-3)$$ C. $$2(a-3)$$ D. $$-6(a-3)$$ 4. 下列多项式能用平方差公式分解的是（） A. $$x^2+4y^2$$ B. $$-x^2+4y^2$$ C. $$x^2-2y$$ D. $$-x^2-4y^2$$ 5. 下列是完全平方式的是（） A. $$x^2-6x-9$$ B. $$x^2+4x+4$$ C. $$x^2-2x+2$$ D. $$x^2+2xy-y^2$$ 6. 若$$x^2-mx+16$$是完全平方式，则$$m$$的值为（） A. 8 B. -8 C. $$\pm8$$ D. $$\pm4$$ 二、填空题（每题4分，共24分） 7. 因式分解：$$5x^2-10x=$$________。 8. 因式分解：$$x(m+n)-y(m+n)=$$________。 9. 因式分解：$$49-x^2=$$________。 10. 因式分解：$$x^2-12x+36=$$________。 11. 化简分解：$$(x-2)^2-(x+1)^2=$$________。 12. 分解因式：$$3a^2-12ab+12b^2=$$________。 三、解答题（共52分） 13. 基础因式分解（每题6分，共24分） （1）$$8x^3-4x^2$$ （2）$$3(x-y)^2-6(y-x)$$ （3）$$25a^2-16b^2$$ （4）$$16x^2+24x+9$$ 14. 综合因式分解（每题7分，共14分） （1）$$2x^2-50$$ （2）$$-3x^2+6xy-3y^2$$ 15. 简便计算与求值（每题7分，共14分） （1）利用因式分解简便计算：$$206^2-194^2$$ （2）已知$$a-b=5$$，求$$a^2-2ab+b^2$$的值。 全章参考答案及详细解析 一、选择题 1.A（只有A是化为整式积的形式，其余均含加减运算，不是因式分解）； 2.A（系数最大公约数3，相同字母最低次幂xy）； 3.B（统一公因式：$$3-a=-(a-3)$$，原式=$$2(a-3)-4(a-3)=-2(a-3)$$）； 4.B（满足二项、异号、完全平方三大条件）； 5.B（符合$$a^2+2ab+b^2$$完全平方式特征）； 6.C（$$x^2-mx+16=(x\pm4)^2$$，$$m=\pm8$$）。 二、填空题 7. $$5x(x-2)$$（提取单项式公因式5x）； 8. $$(m+n)(x-y)$$（提取多项式公因式）； 9. $$(7+x)(7-x)$$（平方差公式）； 10. $$(x-6)^2$$（完全平方差公式）； 11. $$-6x+3$$（平方差展开化简：原式=$$(x-2+x+1)(x-2-x-1)$$）； 12. $$3(a-2b)^2$$（先提公因式，再套完全平方公式）。 三、解答题 13. 解： （1）原式=$$4x^2(2x-1)$$； （2）原式=$$3(x-y)^2+6(x-y)=3(x-y)(x-y+2)$$； （3）原式=$$(5a+4b)(5a-4b)$$； （4）原式=$$(4x+3)^2$$。 14. 解： （1）原式=$$2(x^2-25)=2(x+5)(x-5)$$； （2）原式=$$-3(x^2-2xy+y^2)=-3(x-y)^2$$。 15. 解： （1）原式=$$(206+194)(206-194)=400\times12=4800$$； （2）原式=$$(a-b)^2$$，代入$$a-b=5$$，得原式=$$25$$。 全章解题总结：因式分解严格遵循“一提、二套、三查”原则。先提取所有公因式（单项式/多项式），再根据式子特征套用平方差或完全平方公式，最后检查是否分解彻底，无公因式、无公式可套、结果均为整式乘积。 1. 把一个多项式表示成若干个多项式的　 形式， 称为把这个多项式_________，也称为__________； 2. 因式分解的过程和　 　的过程正好______： 前者是把一个多项式化为几个多项式的______， 后者是把几个多项式的______化为一个________. 一、因式分解 因式分解 乘积 分解因式 多项式的乘法 相反 多项式 乘积 乘积 二、提公因式法 1. 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫作这个 多项式各项的________，简称多项式的________. 2. 公因式的确定： (1)系数：取多项式各项整数系数的 ； (2)字母：取多项式各项中　 　的字母； (3)各字母的指数：取次数最　 　的． 公因式 公因式 最大公因数 相同 最低 3. 定义：逆用乘法对加法的______律，可以把 _______提到括号外边，作为积的一个_____，这 种将多项式因式分解的方法，叫作提公因式法. 分配 公因式 因式 三、公式法 —— 平方差公式 1. 因式分解中的平方差公式 a2 - b2 ＝　 　 ； 2. 多项式的特征：(1) 可化为____个整式； (2) 两项符号______； (3) 每一项都是整式的______. 3. 注意事项：(1)有公因式时，先提出公因式； (2)分解到每一个多项式都不能再分解为止. ( a + b )( a - b ) 两 相反 平方 四、公式法 —— 完全平方公式 1.完全平方公式：a2 + 2ab + b2 = ( )2， a2 - 2ab + b2 = ( )2. 2.多项式的特征：(1)三项式； (2)有两项符号_____，能写成两个 整式的_________的形式； (3)另一项是这两整式______的 _____倍. 3.注意事项：有公因式时，应先提出_______. a + b a - b 相同 平方和 乘积 2 公因式 考点一 因式分解与整式乘法的关系 例1 判断下列各式变形是不是因式分解，并说明理由： (1) a2 - 4 + 3a = ( a + 2 )( a - 2 ) + 3a； (2) ( a + 2 )( a - 5 ) = a2 - 3a - 10； (3) x2 - 6x + 9 = ( x - 3 )2； (4) 3x2 - 2xy + x = x( 3x - 2y )2. 【总结】①多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件：第一，等式的左边是一个多项式；第二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式；②判断过程要从左到右保持恒等变形. 不是 不是 是 不是 不是积的形式 是整式乘法 不是恒等变形 考点二 提公因式法因式分解 例2 分解因式： (1) 8a3b2 + 12ab3c； (2) 2a(b + c) - 3(b + c)； (3) (a + b)(a - b) - a - b. 解：(1) 原式 ＝ 4ab2(2a2 + 3bc). (2) 原式 ＝ (b + c)(2a - 3). (3) 原式 ＝ (a + b)(a - b - 1)． 方法归纳：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 例3 计算： (1)39×37－13×91； (2)29×20.22＋72×20.22＋13×20.22－20.22×14. 考点三 利用提公因式法求值 解：(1) 39×37－13×91＝3×13×37－13×91 ＝13×(3×37－91)＝13×20＝260. (2) 29×20.22＋72×20.22＋13×20.22－20.22×14 ＝20.22×(29＋72＋13－14)＝2022. 考点四 平方差公式因式分解 例4 分解因式： (1) ( a ＋ b )2 － 4a2； (2) 9( m ＋ n )2 － ( m － n )2. 解：(1) 原式 ＝ ( a ＋ b ＋ 2a )( a＋b－2a ) ＝ ( 3a＋b )( b －a ). (2) 原式 ＝ ( 3m ＋ 3n ＋ m － n )( 3m ＋ 3n － m ＋ n) ＝ ( 4m ＋ 2n )( 2m ＋ 4n ) ＝ 4( 2m ＋ n )( m ＋ 2n ). 考点五 完全平方公式因式分解 例5 因式分解： (1) -3a2x2 + 24a2x - 48a2； (2)( a2 + 4 )2 - 16a2. 解：(1) 原式 ＝ - 3a2( x2 - 8x + 16 ) ＝ - 3a2( x - 4 )2. (2) 原式 ＝ ( a2 + 4 )2 - ( 4a )2 ＝ (a2 + 4 + 4a)( a2 + 4 - 4a ) ＝ ( a + 2 )2( a - 2 )2. 1. 下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 12 2. ［汕头市模拟］若 可以因式分解为 ，那么 的值为( ) A. B. 1 C. D. 2 B 返回 考试考法 返回 3. [北京市竞赛]在1～100之间若存在整数n，使x2＋x－n能分解为两个整数系数一次式的乘积，这样的n有________个． 9 【点拨】若x2＋x－n能分解，则设分解式为(x－p)·[x＋(p＋1)]，从而n＝p(p＋1)，而1～100之间能写成这一形式的整数有2，6，12，20，30，42，56，72，90，共9个． 考试考法 14 返回 4．[淄博市期中]多项式①2x2－x；②4x2＋1＋4x；③x2－4x＋4；④－4x2－1＋4x.在分解因式后，结果含有相同因式的是(　　) A．①④ B．①② C．③④ D．②③ A 考试考法 15 返回 5.因式分解. （1） ; 【解】原式 . 考试考法 16 （2） . 令,则原式 . 将代入，得原式 . 考试考法 17 (3)(x－6)(x－2)(x＋1)(x＋3)＋9x2； 【解】原式＝[(x－6)(x＋1)][(x－2)(x＋3)]＋9x2＝(x2－5x－6)(x2＋x－6)＋9x2，设x2－6＝M，所以原式＝(M－5x)(M＋x)＋9x2＝M2－5x2－4Mx＋9x2＝M2－4Mx＋4x2＝(M－2x)2＝(x2－6－2x)2＝(x2－2x－6)2. 考试考法 返回 (4)[衡阳市自主招生]x3－3x2－6x＋8. 【解】原式＝x2(x－4)＋(x－4)(x－2)＝(x－4)(x2＋x－2)＝(x－4)(x＋2)(x－1)． 考试考法 返回 6．已知a－b＝3，b＋c＝－5，则代数式ac－bc－b2＋ab的值是(　　) A．2 B．－2 C．15 D．－15 D 【点拨】因为ac－bc－b2＋ab＝ac＋ab－bc－b2＝a(b＋c)－b(c＋b)＝(a－b)(b＋c)，a－b＝3，b＋c＝－5，所以ac－bc－b2＋ab＝3×(－5)＝－15. 考试考法 20 返回 7. 一个正整数等于两个不相等的正整数的和与这两个不相等的正整数的积之和，称这个整数为“可拆分”整数，反之则称“不可拆分”整数．例如，11＝1＋5＋1×5，11是一个“可拆分”整数．下列说法：①最小的“可拆分”整数是5；②“可拆分”整数的拆分方式可以不止一种；③最大的“不可拆分”的两位整数是96.其中正确的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 D 考试考法 21 返回 8. 实数m满足(m－2 028)2＋(2 029－m)2＝15，则(m－2 028)(2 029－m)的值是________． 考试考法 22 9. [南充市顺庆区自主招生]设实数a，b，c满足a3(a－1)＋b3(b－1)＋c3(c－1)＝a2(a－1)＋b2(b－1)＋c2(c－1)，则满足条件的所有a＋b＋c的最大值为________． 3 返回 考试考法 23 10．简便计算：(1) . 【解】 . 考试考法 24 返回 考试考法 考试考法 26 (2)若a，b，c均为奇数，m，n是否可以都为整数？说明你的理由． 【解】m，n不可以都为整数．理由如下：若m，n都为整数，其可能情况如下：①m，n都为奇数；②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数． 考试考法 返回 考试考法 返回 12. 已知一个长方体的长、宽、高分别为正整数a，b，c，且a＋b＋c＋ab＋bc＋ac＋abc＝2 022，求这个长方体的体积． 【解】不妨设a≤b≤c.因为a＋b＋c＋ab＋bc＋ac＋abc＝1＋a＋b＋c＋ab＋bc＋ac＋abc－1＝(1＋a)(1＋b)(1＋c)－1＝2 022，所以(1＋a)(1＋b)(1＋c)＝2 023.因为a，b，c为正整数，所以1＋a，1＋b，1＋c也是正整数．因为2 023＝7×17×17，所以1＋a＝7，1＋b＝1＋c＝17，所以a＝6，b＝c＝16，故长方体的体积为6×162＝1 536. 考试考法 29 返回 13.已知，则 的值为___. 4 考试考法 30 14. 数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，数形结合大致分为两种情形：借助图形的直观来阐明数之间的关系，或借助数的精确性来阐明图形的属性，即“以形助数”或“以数解形”． (1)用1张边长为a的正方形卡片，2张 边长为a，b的长方形卡片，1张边长为b的正方形卡片，拼成一个正方形(如图①)，观察拼图的过程，写出相应的等式：__________________________________________________； a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 考试考法 31 (2)用1张边长为a的正方形卡片，3张边长为a，b的长方形卡片，2张边长为b的正方形卡片，拼成一个长方形(如图②)，观察拼图的过程，写出相应的等式：_____________________________________________； a2＋3ab＋2b2＝(a＋2b)(a＋b) 考试考法 32 (3)用1张边长为a的正方形卡片，6张边长为a，b的长方形卡片，9张边长为b的正方形卡片，可以不重叠无缝隙地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为______________； a＋3b 考试考法 33 【点拨】因为用1张边长为a的正方形卡片，6张边长为a，b的长方形卡片，9张边长为b的正方形卡片拼成一个大正方形，所以大正方形卡片的面积为a2＋6ab＋9b2＝(a＋3b)2，所以大正方形的边长为a＋3b. 考试考法 (4)用4张边长为a，b的长方形卡片，拼成一个大正方形(如图③)．若大正方形的面积是64，中间围成的小正方形的面积是16，则边长为a，b的长方形卡片的面积是________； 12 考试考法 35 【点拨】由题图可知大正方形的边长为a＋b，中间围成的小正方形的边长为b－a.所以大正方形的面积为(a＋b)2，中间围成的小正方形的面积为(b－a)2.因为大正方形的面积是64，所以(a＋b)2＝64.所以a＋b＝8(负值已舍去)．因为中间围成的小正方形的面积是16，所以(b－a)2＝16.所以b－a＝4(负值已舍去)． 考试考法 考试考法 (5)将2张边长为m的正方形卡片放到1张边长为n的正方形卡片内(m<n)，拼成如图④所示的形状，再将3张边长为m的正方形卡片放到1张边长为n的正方形卡片内，拼成如图⑤所示的形状．若图⑤中阴影部分的面积比图④中阴影部分的面积大2m2，则m与n的关系为____________. 考试考法 38 【点拨】由题意得，题图④阴影部分为正方形，且边长为2m－n，所以该阴影部分的面积为(2m－n)2.由题意得，将题图⑤中阴影部分拼成一个长方形，则该长方形相邻两边长均为n－m，所以该长方形是正方形，所以面积为(n－m)2.因为题图⑤中阴影部分的面积比题图④中阴影部分的面积大2m2，所以(n－m)2－(2m－n)2＝2m2，所以n2－2mn＋m2－4m2＋4mn－n2＝2m2.所以2mn＝5m2. 返回 考试考法 因式分解 定义 提公因式法 公式法 平方差公式 完全平方公式 课堂小结 (2) 【解】因为x3－x＝x(x－1)(x＋1)，所以原式＝ ＝＝＝. 11.已知实数a，b，c，m，n满足3m＋n＝，mn＝. (1)试说明：b2－12ac为非负数； 【解】因为3m＋n＝，mn＝，所以b＝a(3m＋n)，c＝amn，则b2－12ac＝[a(3m＋n)]2－12a2mn＝a2(9m2＋6mn＋n2)－12a2mn＝a2(3m－n)2.因为a，m，n是实数，所以a2(3m－n)2≥0，所以b2－12ac为非负数． ①当m，n都为奇数时，3m＋n必为偶数．因为3m＋n＝，所以b＝a(3m＋n)．因为a为奇数，所以a(3m＋n)必为偶数，这与b为奇数矛盾． ②当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，mn必为偶数．因为mn＝，所以c＝amn.因为a为奇数，所以amn必为偶数，这与c为奇数矛盾． 综上所述，m，n不可以都为整数． 所以解得所以边长为a，b的长方形卡片的面积是ab＝12. m＝n 因为m>0，所以5m＝2n.所以m＝n. $