1.3.1利用平方差公式进行因式分解-课件-2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“利用平方差公式进行因式分解”，通过正方形剪拼的图形变换导入，从几何直观引出公式，承接提公因式法，构建“提公因式-套公式”的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以数学眼光（几何直观）和数学思维（推理意识）为核心，通过整体代换例题、先提公因式再套公式练习及简便计算应用，结合“一提二套三查”小结步骤，培养学生抽象能力与运算能力。学生能巩固基础并提升应用能力，教师可直接用于课堂巩固与专项训练。

湘教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月10日 1.3.1利用平方差公式进行因式分解 第1章 因式分解 湘教版八年级数学1.3.1 利用平方差公式进行因式分解同步练习题 本次练习题针对湘教版八年级数学1.3.1平方差公式因式分解专项编写，承接前面提公因式法因式分解，重点训练平方差公式的识别、直接套用、整体代换、先提公因式再套公式等核心题型，同时规避常见易错陷阱，题型循序渐进，贴合课堂重难点，适合课后巩固与专项训练。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列多项式中，可以使用平方差公式因式分解的是（） A. $$x^2+y^2$$ B. $$x^2-y^2$$ C. $$-x^2-y^2$$ D. $$x^2-2xy+y^2$$ 2. 分解因式$$a^2-16$$的结果是（） A. $$(a-4)^2$$ B. $$(a+4)(a-4)$$ C. $$(a-8)(a+8)$$ D. $$(4-a)^2$$ 3. 下列因式分解正确的是（） A. $$9x^2-1=(9x+1)(9x-1)$$ B. $$4m^2-25n^2=(2m-5n)(2m+5n)$$ C. $$x^2-4y=(x+2y)(x-2y)$$ D. $$-1+x^2=-(x^2-1)$$ 4. 多项式$$25(x-y)^2-4(x+y)^2$$分解因式的第一步是（） A. 先展开括号 B. 套用平方差公式整体分解 C. 提取单项式公因式 D. 合并同类项 5. 若$$x^2-k^2=(x+6)(x-6)$$，则$$k$$的值为（） A. 6 B. -6 C. $$\pm6$$ D. 36 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 平方差公式因式分解：$$a^2-b^2=$$________。 7. 因式分解：$$36-x^2=$$________。 8. 因式分解：$$4a^2-9b^2=$$________。 9. 多项式$$2x^2-8$$分解因式，需要先________，再套用平方差公式。 10. 因式分解：$$(m+1)^2-(m-1)^2=$$________。 三、解答题（共60分） 11. 判断下列多项式能否用平方差公式分解因式，能的写出分解结果，不能的说明理由（每题4分，共16分） （1）$$x^2-81$$ （2）$$-x^2+36$$ （3）$$x^2+121$$ （4）$$16x^2-25y^2$$ 12. 利用平方差公式分解下列因式（每题6分，共24分） （1）$$1-100m^2$$ （2）$$0.25x^2-64y^2$$ （3）$$3x^2-27$$ （4）$$(2x+1)^2-(x-3)^2$$ 13. 利用平方差公式简便计算（每题10分，共20分） （1）$$101^2-99^2$$（2）$$2025^2-2024\times2026$$ 参考答案与解析 一、选择题 1.B 解析：平方差公式适用条件：两项式、符号相反、两项均为平方形式。 2.B 解析：$$a^2-16=a^2-4^2=(a+4)(a-4)$$。 3.B 解析：A应为$$(3x+1)(3x-1)$$；C第二项不是平方项；D未分解彻底。 4.B 解析：可将$$5(x-y)$$与$$2(x+y)$$看作整体，直接套用平方差公式。 5.C 解析：$$k^2=36$$，故$$k=\pm6$$。 二、填空题 6. $$(a+b)(a-b)$$ 7. $$(6+x)(6-x)$$ 8. $$(2a+3b)(2a-3b)$$ 9. 提取公因式 10. $$4m$$ 三、解答题 11.（1）能，$$(x+9)(x-9)$$；（2）能，$$(6+x)(6-x)$$ （3）不能，两项符号相同，不满足平方差条件；（4）能，$$(4x+5y)(4x-5y)$$ 12.（1）原式$$=(1+10m)(1-10m)$$ （2）原式$$=(0.5x+8y)(0.5x-8y)$$ （3）原式$$=3(x^2-9)=3(x+3)(x-3)$$ （4）原式$$=[(2x+1)+(x-3)][(2x+1)-(x-3)]=(3x-2)(x+4)$$ 13.（1）原式$$=(101+99)(101-99)=200\times2=400$$ （2）原式$$=2025^2-(2025-1)(2025+1)=2025^2-(2025^2-1)=1$$ 知识点总结与易错提醒：1. 平方差公式适用条件：两项、异号、皆平方；2. 因式分解优先提公因式，再套公式，必须分解到不能再分解为止；3. 整体思想：多项式、代数式均可看作整体套用公式；4. 严禁出现$$x^2+y^2=(x+y)(x-y)$$这类公式误用错误。 1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化 思想．（重点） 2.会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进 行因式分解．（难点） 学习目标 如图，在边长为 a 米的正方形上剪掉一个边长为 b 米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么等式？ a米 b米 b米 a米 (a－b)米 a2－b2=(a+b)(a－b) 复习导入 像上面那样，把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法. x²－25＝ ＝ . 在平方差公式中，将 y 用 5 代入得到等式： (x＋5)(x－5)＝ ＝ . x²－5² x²－25 把这个等式从右到左使用，就可以把多项式x²－25因式分解： x²－5² (x＋5)(x－5) 探索新知 (5x)2 － (2y)2 例1 把多项式 25x²－4y² 因式分解. = (5x+2y)(5x－2y). x x y y + ( ) ( － ) x2 － y2 = 解：原式= 5x 2y 5x 5x 2y 2y 2y 分析 由 25x²＝(5x)² 和 4y²＝(2y)² 可知， × 下列多项式能否用平方差公式来因式分解？为什么？ ★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成： ( )2 － ( )2的形式. （1）a2 + b2 （2） － a2 － b2 － (a2+b2) y2－x2 （3） － x2 + y2 （4）x2 － 25y2 (x+5y)(x－5y) （5）m2 － 1 (m+1)(m－1) √ √ × √ 知识点 运用平方差公式分解因式 1.下列各式能用平方差公式分解因式的是( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 7 2.已知，则 等于( ) B A.16 B. C.4 D. 返回 中考考法 8 方法总结：公式中的 x、y 无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. + ( ) ( － ) x x y y x2 － y2 = 把多项式 (x＋y)²－(x－y)² 因式分解. 解：原式＝ [(x＋y)＋(x－y)][(x＋y)－(x－y)] ＝2x·2y＝4xy. 例2 把多项式 x4－y4 因式分解. 解： x4－y4＝(x2)2－(y2)2 ＝(x2＋y2)(x2－y2) ＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y). 因式分解后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解. 分解因式： (1) (a＋b)2－4a2； (2) 9(m＋n)2－(m－n)2. ＝(2m＋4n)(4m＋2n) 解：(1) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a) ＝(b－a)(3a＋b). (2) 原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n) ＝4(m＋2n)(2m＋n)． 若用平方差公式分解后的结果中还有公因式，一定要继续提公因式分解 练习 例3 把多项式 x5－x3y² 因式分解. 分析 多项式 x5－x3y² 的各项有公因式 x3，故应先提公因式，然后运用公式法进行因式分解. 解：x5－x3y²＝x3(x2－y²) ＝x3(x＋y)(x－y). 方法总结：因式分解前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再运用公式．注意因式分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止. 因式分解： (1) 5m2a4 － 5m2b4； (2) a2 － 4b2 － a － 2b. ＝ (a＋2b)(a－2b－1). ＝ 5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b). 解：(1) 原式＝ 5m2(a4－b4) ＝ 5m2(a2＋b2)(a2－b2) (2) 原式＝ (a2－4b2)－(a＋2b) ＝ (a＋2b)(a－2b)－(a＋2b) 练习 例4 把多项式 x4 － 9 因式分解. 解： x4－9＝(x2)2－32 ＝(x2＋3)(x2－3) ＝(x2＋3)[ x2－()2 ] ＝(x2＋3)(x＋)(x－). 方法总结：在进行因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止. 用简便方法计算： (1) 6.12－3.92； (2) 0.122－0.882. 解：(1) 原式＝(6.1＋3.9)(6.1－3.9) ＝10×2.2＝22. (2) 原式＝(0.12＋0.88)(0.12－0.88) ＝1×(－0.76)＝－0.76. 3.［2025娄底月考］已知，且，则 ____. 返回 中考考法 16 4.（1）分解因式： ________________; （2）分解因式： ______________; （3）计算： _____. 199 返回 中考考法 17 5.［教材P练习T 变式］因式分解： （1） ; 解：原式 . （2） ; 解：原式 . （3） ; 解：原式 . （4） ; 解：原式 . 中考考法 18 （5） ; 解：原式 . （6） . 解：原式 . 返回 中考考法 19 6. 下面是一道例题及部分解答过程，其中， 是两个 关于， 的二项式. 请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题: 中考考法 20 （1）直接写出多项式和 ，并求出该例题的运算结果； 解：， . 原式 . （2）求多项式与 的平方差. 解： . 返回 中考考法 21 平方差公式分解因式 公式 a2 － b2 = (a + b)(a － b) 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解 课堂小结 $